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新疆兵团农二师华山中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试卷 Word版含答案


2014-2015学年第二学期高二年级期中考 试理科数学 试卷
(考试时间:120 分钟,满分:150 分) 命题教师:王丽丽
一、选择题(每小题 5 分,共计 60 分) 1.复数 i﹣1(i 是虚数单位)的虚部是( ) A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i 2.某人练习射击,每次击中目标的概率为 0.6,则他在五次射击中恰有四次击中目标的概率为 A. (0.

6)4 C. 1 ? (0.6)5
3 2 3. C6 等于( ? C6

4 5 B. C5 ? (0.6)4 ? (1 ? 0.6) ? C5 ? (0.6)5
4 D. C5 ? (0.6)4 ? (1 ? 0.6)


2 C. C7 3 D. C7

A. A 4 6

B. A 5 7

4.从数字 1 、 2 、 3 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 30 的概率为 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

1 ? a ? a 2 ? ? ? a n ?1 ?
5.在用数学归纳法证明 时,等式左边为( A. 1 ) C. 1 ? a ? a
2

1 ? a n?2 (a ? 1, n ? N ? ) 1? a 时,在验证当 n ? 1
D. 1 ? a ? a ? a
2 3

B. 1 ? a

6 6.4. ( x ? ) 的展开式中的常数项是(

1 x

) C. 10 D. 20
3
4

A. ?10

B. ?20
1 2

7.法国数学家费马观察到 22 ? 1 ? 5 , 22 ? 1 ? 17 , 22 ? 1 ? 257 , 22 ? 1 ? 65 537 都是质数, 于是他提出猜想:任何形如 22 ? 1 (n ? N*)的数都是质数,这就是著名的费马猜想.半个世 纪之后,善于发现的欧拉发现第 5 个费马数 22 ? 1 ? 4 294 967 297 ? 641? 6 700 417 不是质 数,从而推翻了费马猜想,这一案例说明( ) A.归纳推理,结果一定不正确 B.归纳推理,结果不一定正确 C.类比推理,结果一定不正确 D.类比推理,结果不一定正确 8.如图,大正方形靶盘的边长为 13 ,四个全等的直角三角形围成一个小正方形,即阴影区 域. 较短的直角边长为 2, 现向大正方形靶盘投掷飞镖, 则飞镖落在阴影区域的概率为 (
4 13 2 13 1 13 3 13
5 n



(A)

(B)

(C)

(D)

9.设 (5 x ? x ) n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M ? N=240,则展开式 中 x 的系数为( A.-150 B.150
3

) C.-560 D.560
a (n=1,2,3,4) ,其中 a 是常数, 则 n(n ? 1)

10.随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)=

1 5 <X< )的值为( ) 2 2 2 3 A. B. 3 4
P(

C.

4 5

D.

5 6
只能出现在第一步 )

11.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 或最后一步,程序 A. 种 B.

实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有 ( 种 C. 种 D. 种

12.已知 a ? A.45

?

?

2 0

(sin x ? cos x) dx ,在 (1 ? ax)6 (1 ? y)4 的展开式中,
C.60 D.120

项的系数为(



B. 72

二、填空题(每小题 5 分,共计 20 分) 13.已知

m ? 1 ? ni ,其中 m 、 n 为实数,则 m ? n ? 1? i

.

14.一家 5 口春节回老家探亲,买到了如下图的一排 5 张车票:

其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的座位,小孙女喜欢看风景要坐靠窗的座位,则座位的安排 方式一共有__________种。 15.甲、乙两人各射击 1 次,击中目标的概率分别是

2 3 和 ,假设两人射击目标是否击中相 3 4

互之间没有影响,每人各次射击是否击中目标也没有影响.则两人各射击 4 次,甲恰好有 2 次击中目标且乙恰好有 3 次击中目标的概率为________.

16.由图(1)有面积关系:

则由(2) 有体积关系:

三、解答题(共计 70 分) 17. (本题满分 10 分)已知 ,求证: .

18. (本题满分 12 分)号码为 1、2、3、4、5、6 的六个大小相同的球,放入编号为 1、2、3、 4、5、6 的六个盒子中,每个盒子只能放一个球. (Ⅰ) 若 1 号球只能放在 1 号盒子中, 2 号球只能放在 2 号的盒子中, 则不同的放法有多少种? (Ⅱ)若 3 号球只能放在 1 号或 2 号盒子中,4 号球不能放在 4 号盒子中,则不同的放法有多 少种? (Ⅲ)若 5、6 号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中,则不同的放法有多少种? 19. (本题满分 12 分)某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考 核测试,在本次考核中只有合格和优秀两个等级.若考核为合格,授予 10 分降分资格;考核 为优秀, 授予 20 分降分资格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为

2 2 1 、 、 ,他们 3 3 2

考核所得的等级相互独立. (1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率; (2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量 ξ ,求随机变量 ξ 的分布 列. 20. (本题满分 12 分)已知几何体 A ? BCDE 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰 长为 4 的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.

(1)求此几何体的体积 V 的大小; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (3)求二面角 A-ED-B 的正弦值. 21(本题满分 12 分) .如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右两个 a2 b2

焦点,A、B 为两个顶点,该椭圆的离心率为

5 , ?ABO 的面积为 5 . 5

(1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)作与 AB 平行的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点, PQ ? 22(本题满分 12 分) .已知函数 f ? x ? ?

9 5 ,求直线 l 的方程. 5

1 2 x ? 2a ln x ? ? a ? 2 ? x, a ? R . 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 图象在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,讨论函数 f ? x ? 的单调性; (3)是否存在实数 a ,对任意的 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? 且x1 ? x2有 存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由. 参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共计 60 分)

?

?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? a 恒成立?若 x2 ? x1

1 A

2 D

3 D

4 B

5 C

6 B

7 B

8 C

9 B

10 D

11 B

12 B

二、填 空题

(每小题 5 分,共计 20 分)

13.3

14.24

15.

1 8

16.

三、解答题(共计 70 分) 17.证明略 18.18. (Ⅰ)24 (Ⅱ)192 (Ⅲ)240 19. 【解析】 (1)记“甲考核为优秀”为事件 A, “乙考核为优秀”为事件 B, “丙考核为优秀” 为事件 C,“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件 E. 则事件 A、B、C 是相互独立事件,事件 A B C 与事件 E 是对立事件,于是 P(E)=1-P( A B C )=1-(1-

2 2 1 17 )(1- )(1- )= . 3 3 2 18

(2)ξ 的所有可能取值为 30,40,50,60.

2 2 1 1 )(1- )(1- )= , 3 3 2 18 5 P(ξ =40)=P(A B C )+P( A B C )+P( A B C)= , 18 8 P(ξ =50)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)= , 18 4 P(ξ =60)=P(ABC)= . 18
P(ξ =30)=P( A B C )=(1- 所以 ξ 的分布列为 ξ 30 40 50 60

P

1 18

5 18

8 18
10 5

4 18
; (3)
5 3

20. (1)16; (2) 【解析】 (1)



AC⊥平面 BCE, 则 V ?

1 3

? S BCED ? AC ? 16

∴几何体的体积 V 为 16. (2)取 EC 的中点是 F,连结 BF,则 BF//DE,∴∠FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成 的角.

在△BAF 中,AB= 4 2 ,BF=AF= 2 5 .∴ cos ?ABF ?

10 5



∴异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为

10 5

(3)AC⊥平面 BCE,过 C 作 CG⊥DE 交 DE 于 G,连 AG.可得 DE⊥平面 ACG, 从而 AG⊥DE,∴∠AGC 为二面角 A-ED-B 的平面角. 在△ACG 中,∠ACG=90°,AC=4,CG=

8 5 5

,∴ tan ?AGC ?

5 2

.∴ sin ?AGC ?

5 3



∴二面角 A-ED-B 的的正弦值为

5 3



21. (1)

x2 y 2 (2) y ? 2 x ? 2 . ? ? 1; 5 4 5 5

?c 5 ? ? 5 2 5 ? 2 2 2 5 【解析】由题设知: ? a ,又 a ? b ? c ,将 c ? 代入, a, b ? 5 a ? 1 ab ? 5 ? ?2
得到:

a 2 20 ? 2 ? a 2 ,即 a 4 ? 25 ,所以 a 2 ? 5 , b2 ? 4 5 a
x2 y 2 ? ? 1, 5 4

故椭圆方程为

焦点 F1、F2 的坐标分别为(-1,0)和(1,0) , (2)由(1)知 A(? 5,0), B(0, 2) ,

? k PQ ? k AB ?

2 , 5

∴设直线 l 的方程为 y ? 2 x ? b , 5

2 ? y? x?b ? ? 5 由? 2 2 ?x ? y ?1 ? 4 ?5
得 8x ? 4 5bx ? 5b ? 20 ? 0 ,
2 2

设 P (x1,y1),Q (x2,y2),则

x1 ? x2 ? ?
? y1 ? y2 ?

5b 5b2 ? 20 , , x1 ? x2 ? 2 8
2 2 2 ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? ( x1 ? x2 ) , 5 5 5

?| PQ | ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

2 ? ? ? ?1 ? ( ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 5 ? ?

?

3 3 5b2 5b2 ? 20 9 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 4? ? 8 5 5 4 5

2 解之, b ?

4 (验证判别式为正) ,所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 5 5 5

22. (1) 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 ; (2)当 a ? ?2 时, f ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增;当 ? 2 ? a ? 0 时, f ?x ? 在 ?0,?a ?, ?2,??? 上 单调递增, 在 ?? a,2? 上单调递减; 当 a ? ?2 时, f ?x ? 在 ?0,2?, ?? a,??? 上单调递增, 在 ?2,?a ? 上单调递减; (3) ? ? ?,? ? 2

? ?

1? ?

( x ? 2)( x ? a) 2a ?a?2? ( x ? 0) x x ( x ? 2)( x ? 1) (1)当 a ? 1 时, f ?? x ? ? , f ??1? ? ?2 , x
【解析】解: f ?? x ? ? x ? ∴所求的切线方程为 y ? f ?1? ? ?2?x ? 1? ,

即 4x ? 2 y ? 3 ? 0 . (2)①当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时,

f ??x ? ?

( x ? 2) 2 ? 0 , f ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增. x

②当 ? a ? 2 ,即 ? 2 ? a ? 0 时,

? 0 ? x ? ? a 或 x ? 2 时, f ??x ? ? 0 ; ? a ? x ? 2 2 时, f ??x ? ? 0 ,

f ?x ? 在 ?0,?a ?, ?2,??? 上单调递增,在 ?? a,2? 上单调递减;
③当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时,? 0 ? x ? 2 或 x ? ?a 时, f ??x ? ? 0 ;

2 ? x ? ? a 时, f ??x ? ? 0 , f ?x ? 在 ?0,2?, ?? a,??? 上单调递增,在 ?2,?a ? 上单调递减
(3)假设存在这样的实数 a 满足条件,不妨设 x1 ? x2 2. 由

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 知 f ?x2 ? ? ax2 ? f ?x1 ? ? ax1 成立, x2 ? x1
1 2 x ? 2a ln x ? 2 x , 2

令 g ? x ? ? f ? x ? ? ax ?

则函数 g ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增,

? g ?? x ? ? x ?

2a ? 2 ? 0, x
2

即 2a ? x 2 ? 2 x ? ?x ?1? ?1 在 ?0,??? 上恒成立.

?a ? ?

1 ,故存在这样的实数 a 满足题意, 2

其范围为 ? ? ?,? ? 2

? ?

1? ?


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