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湖北省鄂州市鄂城区2016届中考数学一模试题(含解析)


湖北省鄂州市鄂城区 2016 届中考数学一模试题
一、选择题 1.|﹣2|=x,则 x 的值为( A.2 B.﹣2 C.±2 D. )
2 2 ﹣2



2.下列运算正确的是(
2

A.a+2a=2a B. + = C.(x﹣3) =x ﹣9 D.﹣2 =﹣ 3.如图,将一个圆柱体放置

在长方体上,其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相平,则该几何体的 左视图是( )

A.

B.

C.

D. )

4.一次掷两枚质地均匀的硬币,出现两枚硬币都正面朝上的概率是( A. B. C. D. 5.下列命题中, ①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点;

②函数 y=(1﹣a)x ﹣4x+6 与 x 轴只有一个交点,则 a= ; ③半径分别为 1 和 2 的两圆相切,则圆心距为 3; ④若对于任意 x>1 的实数,都有 ax>1 成立,则 a≥1. 其中正确的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 6.判断一元二次方程式 x ﹣8x﹣a=0 中的 a 为下列哪一个数时,可使得此方程式的两根均为整数? ( ) A.12 B.16 C.20 D.24 7.如图,在平面直角坐标系系中,直线 y=k1x+2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 C,与反比例函数

2

y=

在第一象限内的图象交于点 B,连接 BO.若 S△OBC=1,tan∠BOC= ,则 k2 的值是(



A.﹣3 B.1

C.2

D.3 =2 .若在没有滑动
1

8.如图,矩形 ABCD 的外接圆 O 与水平地面相切于 A 点,圆 O 半径为 2,且

的情况下,将圆 O 向右滚动,使得 O 点向右移动了 75π ,则此时哪一弧与地面相切?(



A.

B.

C.
2

D.

9.已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论: 2 ①b ﹣4ac>0;②abc>0;③a+c>0;④9a+3b+c<0. 其中,正确的结论有( )

A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 10.如图,在平面直角坐标系中,⊙O 的半径为 2,AC,BD 是⊙O 的两条互相垂直的弦,垂足为 M(1, ),则四边形 ABCD 面积最大值为( )

A.2

B.5

C.4

D.6

二、填空题

11.函数

的自变量 x 的取值范围是



12. 已知关于 x 的方程 x ﹣6x+k=0 的两根分别是 x1, x2, 且满足

2

+

=3, 则 k 的值是



2

13.如图,随机闭合开关 S1,S2,S3 中的两个,能够让灯泡发光的概率为



14.如图,OABC 为菱形,点 C 在 x 轴上,点 A 在直线 y=x 上,点 B 在 y= (k>0)的图象上,若 S
菱形 OABC

=

,则 k 的值为



15.如图,已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,以 AB 为直径向正方形内作半圆,P 为半圆上一 动点(不与 A、B 重合),当 PA= 时,△PAD 为等腰三角形.

16.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,cosB= ,将△ABC 绕点 C 旋转后得到△A′B′C,其中 B′点正好 落在边 AB 上,A′B′交于点 D,则 的值为 .

三、解答题

17.计算
2

,其中



18.已知关于 x 的方程 x +2x+a﹣2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数 a 的取值范围; (2)当该方程的一个根为 1 时,求 a 的值及方程的另一根.

3

19. 如图, △ABC 中, ∠ACB=90°, D、 E 分别是 BC、 BA 的中点, 连接 DE, F 在 DE 延长线上, 且 AF=AE. (1)求证:四边形 ACEF 是平行四边形; (2)若四边形 ACEF 是菱形,求∠B 的度数.

20.小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动,如图,4 张牌分别对应价值 5,10,15,20(单位:元) 的 4 件奖品. (1)如果随机翻 1 张牌,那么抽中 20 元奖品的概率为 (2)如果随机翻 2 张牌,且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌,则所获奖品总值不低于 30 元的概 率为多少?

21.如图,我南海某海域 A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪,船长马上向我国渔政搜救中心 发出求救信号,此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的 B 处,该渔政船收到渔政求救中心指令 后前去救援,但两船之间有大片暗礁,无法直线到达,于是决定马上调整方向,先向北偏东 60°方 向以每小时 30 海里的速度航行半小时到达 C 处,同时捕鱼船低速航行到 A 点的正北 1.5 海里 D 处, 渔政船航行到点 C 处时测得点 D 在南偏东 53°方向上. (1)求 CD 两点的距离; (2)渔政船决定再次调整航向前去救援,若两船航速不变,并且在点 E 处相会合,求∠ECD 的正弦 值. (参考数据:sin53°≈ ,cos53°≈ ,tan53°≈ )

22.如图,在⊙O 中,AB 为直径,OC⊥AB,弦 CD 与 OB 交于点 F,在 AB 的延长线上有点 E,且 EF=ED. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若 OF:OB=1:3,⊙O 的半径 R=3,求 的值.

4

23.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第 x(1≤x≤90)天的售价与销量的 相关信息如下表: 时间 x(天) 1≤x<50 50≤x≤90 售价(元/件) x+40 90 每天销量(件) 200﹣2x 已知该商品的进价为每件 30 元,设销售该商品的每天利润为 y 元. (1)求出 y 与 x 的函数关系式; (2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少? (3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于 4800 元?请直接写出结果. 2 24.如图,已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=﹣1,且抛物线经过 A(1,0),C(0, 3)两点,与 x 轴交于点 B. (1)若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点,求直线 BC 和抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴 x=﹣1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小,求出点 M 的坐标; (3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=﹣1 上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点 P 的坐标.

5

2016 年湖北省鄂州市鄂城区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1.|﹣2|=x,则 x 的值为( A.2 B.﹣2 C.±2 D.



【考点】绝对值. 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数,即可解答. 【解答】解:∵|﹣2|=2, ∴x=2, 故选:A. 【点评】本题考查了绝对值,解决本题的关键是熟记负数的绝对值是它的相反数. 2.下列运算正确的是(
2


2 2 ﹣2

A.a+2a=2a B. + = C.(x﹣3) =x ﹣9 D.﹣2 =﹣ 【考点】完全平方公式;有理数的乘方;实数的运算;合并同类项. 【分析】根据合并同类项法则、实数的运算、完全平方公式、负整数指数幂分别求出,再进行判断 即可. 【解答】解:A、a+2a=3a,故本选项错误; B、 和 不能合并,故本选项错误;
2 2

C、(x﹣3) =x +6x+9,故本选项错误; D、﹣2 =﹣ ,故本选项正确; 故选 D. 【点评】本题考查了合并同类项法则、实数的运算、完全平方公式、负整数指数幂的应用,能熟记 法则是解此题的关键. 3.如图,将一个圆柱体放置在长方体上,其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相平,则该几何体的 左视图是( )
﹣2

A.

B.

C.

D.

【考点】简单组合体的三视图. 【分析】找到从左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在左视图中.

【解答】解:从左面看易得左视图为:



6

故选 A. 【点评】本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图. 4.一次掷两枚质地均匀的硬币,出现两枚硬币都正面朝上的概率是( )

A. B. C. D. 【考点】列表法与树状图法. 【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果,然后根据概率的概念即 可得到两枚硬币都是正面朝上的概率. 【解答】解:同时掷两枚质地均匀的硬币一次, 共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果, 两枚硬币都是正面朝上的占一种, 所以两枚硬币都是正面朝上的概率= . 故选 D. 【点评】本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法:先利用列表法与树状图法表示所有等可能 的结果 n,然后找出某事件出现的结果数 m,最后计算 P= . 5.下列命题中, ①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点; ②函数 y=(1﹣a)x ﹣4x+6 与 x 轴只有一个交点,则 a= ; ③半径分别为 1 和 2 的两圆相切,则圆心距为 3; ④若对于任意 x>1 的实数,都有 ax>1 成立,则 a≥1. 其中正确的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】命题与定理. 【分析】利用三角形的外心的定义、两圆的位置关系、实数的性质分别判断后即可确定正确的选项. 【解答】解:①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,故正确; ②16﹣4×(1﹣a)×6=16﹣24+24a=24a﹣8=0, 解得,a= , 函数 y=(1﹣a)x ﹣4x+6 与 x 轴只有一个交点,则 a= ,故正确; ③半径分别为 1 和 2 的两圆相切,则圆心距为 3 或 1,故错误; ④若对于任意 x>1 的实数,都有 ax>1 成立,则 a 不一定≥1,故错误. 故选:B. 【点评】本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题 的真假关键是要熟悉课本中的性质定理. 6.判断一元二次方程式 x ﹣8x﹣a=0 中的 a 为下列哪一个数时,可使得此方程式的两根均为整数? ( ) A.12 B.16 C.20 D.24
2 2 2

7

【考点】根的判别式. 【分析】根据题意得到△=64+4a,然后把四个选项中 a 的值一一代入得到 案. 2 【解答】解:∵一元二次方程式 x ﹣8x﹣a=0 的两个根均为整数, ∴△=64+4a,△的值若可以被开平方即可, A、△=64+4×12=102, B、△=64+4×16=128, C、△=64+4×20=144, D、△=64+4×24=160, = ,此选项不对; ,此选项不对; =12,此选项正确; ,此选项不对, 是正整数即可得出答

故选:C. 2 【点评】本题考查了利用一元二次方程根的判别式(△=b ﹣4ac)判断方程的根的情况.在一元二 2 次方程 ax +bx+c=0(a≠0)中,当△>0 时,方程有两个不相等的两个实数根. 7.如图,在平面直角坐标系系中,直线 y=k1x+2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 C,与反比例函数

y=

在第一象限内的图象交于点 B,连接 BO.若 S△OBC=1,tan∠BOC= ,则 k2 的值是(



A.﹣3 B.1 C.2 D.3 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【专题】压轴题. 【分析】首先根据直线求得点 C 的坐标,然后根据△BOC 的面积求得 BD 的长,然后利用正切函数的 定义求得 OD 的长,从而求得点 B 的坐标,求得结论. 【解答】解:∵直线 y=k1x+2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 C, ∴点 C 的坐标为(0,2), ∴OC=2, ∵S△OBC=1, ∴BD=1, ∵tan∠BOC= , ∴ = , ∴OD=3, ∴点 B 的坐标为(1,3),

8

∵反比例函数 y= ∴k2=1×3=3. 故选 D.

在第一象限内的图象交于点 B,

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标,解题的关键是仔细审题,能够求得点 B 的 坐标,难度不大.

8.如图,矩形 ABCD 的外接圆 O 与水平地面相切于 A 点,圆 O 半径为 2,且

=2

.若在没有滑动 )

的情况下,将圆 O 向右滚动,使得 O 点向右移动了 75π ,则此时哪一弧与地面相切?(

A.

B.

C.

D.

【考点】旋转的性质. 【分析】根据题意得出圆的周长以及圆转动的周数,进而得出与地面相切的弧. 【解答】解:∵圆 O 半径为 2, ∴圆的周长为:2π ×r=4π , ∵将圆 O 向右滚动,使得 O 点向右移动了 75π , ∴75π ÷4π =18?3π , 即圆滚动 18 周后,又向右滚动了 3π , ∵矩形 ABCD 的外接圆 O 与水平地面相切于 A 点, ∴ + + = ×4π = <3π , =2 ,

∴此时

与地面相切.

故选:C. 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及圆的周长公式等知识,得出 O 点转动的周数是解题关键. 9.已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论: 2 ①b ﹣4ac>0;②abc>0;③a+c>0;④9a+3b+c<0.
2

9

其中,正确的结论有(



A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【考点】二次函数图象与系数的关系. 【分析】根据抛物线与 x 轴有两个交点对①进行判断;由抛物线开口方向得到 a>0,由抛物线对称 轴为直线 x=﹣ =1 得到 b=﹣2a,b<0,由抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得到 c<0,则可对②进 行判断;根据 x=﹣1 时,y<0,则 a﹣b+c<0,即 a+c<b,这样可对③进行判断;根据抛物线的对 称性可得到抛物线与 x 轴的另一个交点在(3,0)和(4,0)之间,则 x=3 时,y<0,即 9a+3b+c <0,则可对④进行判断. 【解答】解:∵抛物线与 x 轴有两个交点, 2 ∴b ﹣4ac>0,所以①正确; ∵抛物线开口向上, ∴a>0, 又∵抛物线对称轴为直线 x=﹣ =1, ∴b=﹣2a,b<0, ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方, ∴c<0, ∴abc>0,所以②正确; ∵x=﹣1 时,y<0,即 a﹣b+c<0, ∴a+c<b<0,所以③错误; ∵抛物线对称轴为直线 x=1,而抛物线与 x 轴的一个交点在(﹣2,0)和(﹣1,0)在之间, ∴抛物线与 x 轴的另一个交点在(3,0)和(4,0)之间, ∴当 x=3 时,y<0,即 9a+3b+c<0,所以④正确. 故选 B. 2 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象为抛物线, 2 当 a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线 x=﹣b2a;抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,c);当 b ﹣ 2 2 4ac>0,抛物线与 x 轴有两个交点;当 b ﹣4ac=0,抛物线与 x 轴有一个交点;当 b ﹣4ac<0,抛物 线与 x 轴没有交点. 10.如图,在平面直角坐标系中,⊙O 的半径为 2,AC,BD 是⊙O 的两条互相垂直的弦,垂足为 M(1, ),则四边形 ABCD 面积最大值为( )

10

A.2

B.5

C.4

D.6

【考点】垂径定理;坐标与图形性质;勾股定理. 【分析】解答本题要注意当 AC、BD 相等,且 OM 平分两弦的相交的角时,此时四边形 ABCD 的面积最 大,求出对角线 AC、BD 的长度可以求得四边形 ABCD 的最大面积. 【解答】解:当 AC、BD 相等,且 OM 平分两弦的相交的角时,这时 O 到弦的距离为:OM×sin45= 由勾股定理及垂径定理知弦长为: , ,

S= × × =5; 故选 B. 【点评】本题考查了垂径定理以及坐标与图形的变换,当对角线互相垂直时,四边形的面积等于对 角线乘积的一半,这一性质要好好记忆,同时还要注意极值图形的选取方法. 二、填空题

11.函数

的自变量 x 的取值范围是 x≥0 且 x≠1 .

【考点】函数自变量的取值范围. 【分析】根据被开方数大于等于 0,分母不等于 0 列式计算即可得解. 【解答】解:由题意得,x≥0 且 x﹣1≠0, 解得 x≥0 且 x≠1. 故答案为:x≥0 且 x≠1. 【点评】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.

12.已知关于 x 的方程 x ﹣6x+k=0 的两根分别是 x1,x2,且满足

2

+

=3,则 k 的值是 2 .

【考点】根与系数的关系. 【分析】找出一元二次方程的系数 a,b 及 c 的值,利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积, 然后利用完全平方公式变形后,将求出的两根之和与两根之积代入,即可求出所求式子的值.

11

【解答】解:∵x ﹣6x+k=0 的两个解分别为 x1、x2, ∴x1+x2=6,x1x2=k,

2

+

=

= =3,

解得:k=2, 故答案为:2. 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系,对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的 关键.

13.如图,随机闭合开关 S1,S2,S3 中的两个,能够让灯泡发光的概率为



【考点】概率公式. 【专题】跨学科. 【分析】根据题意可得:随机闭合开关 S1,S2,S3 中的两个,有 3 种方法,其中有两种能够让灯泡发 光,故其概率为 . 【解答】解:P(灯泡发光)= . 故本题答案为: . 【点评】本题考查的是概率的求法.如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中 事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= .

14.如图,OABC 为菱形,点 C 在 x 轴上,点 A 在直线 y=x 上,点 B 在 y= (k>0)的图象上,若 S
菱形 OABC

=

,则 k 的值为

+1 .

【考点】反比例函数系数 k 的几何意义;菱形的性质. 【分析】首先根据直线 y=x 经过点 A,设 A 点坐标为(a,a),再利用勾股定理算出 AO= a,进而
12

得到 AO=CO=CB=AB=

a,再利用菱形的面积公式计算出 a 的值,进而得到 A 点坐标,进而得到 B 点

坐标,再利用待定系数法求出反比例函数表达式. 【解答】解:∵直线 y=x 经过点 A, ∴设 A(a,a), 2 2 ∴OA =2a , ∴AO= a,

∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AO=CO=CB=AB= a, ,

∵菱形 OABC 的面积是 ∴ a?a= ,

∴a=1, ∴AB= ∴B(1+ ,A(1,1) ,1),

设反比例函数解析式为 y= (k≠0), ∵B(1+ ∴k=(1+ 故答案为: ,1)在反比例函数图象上, )×1= +1. +1,

【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数,菱形的面积公式,菱形的性质,关键是根据菱 形的面积求出 A 点坐标,进而得到 B 点坐标,即可算出反比例函数解析式. 15.如图,已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,以 AB 为直径向正方形内作半圆,P 为半圆上一 动点(不与 A、B 重合),当 PA= 2 或4或 时,△PAD 为等腰三角形.

【考点】正方形的性质;等腰三角形的判定;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质. 【专题】分类讨论. 【分析】分别从当 PA=PD,PA=AD,AD=PD 时,△PAD 是等腰三角形讨论,然后由等腰三角形的性质 与射影定理即可求得答案.

13

【解答】解:①当 PA=PD 时, 此时 P 位于四边形 ABCD 的中心, 过点 P 作 PE⊥AD 于 E,作 PM⊥AB 于 M, 则四边形 EAMP 是正方形, ∴PM=PE= AB=2, 2 ∵PM =AM?BM=4, ∵AM+BM=4, ∴AM=2, ∴PA=2 ,

②当 PA=AD 时,PA=4; ③当 PD=DA 时,以点 D 为圆心,DA 为半径作圆与弧 AB 的交点为点 P. 连 PD,令 AB 中点为 O,再连 DO,PO,DO 交 AP 于点 G, 则△ADO≌△PDO, ∴DO⊥AP,AG=PG, ∴AP=2AG, 又∵DA=2AO, ∴AG=2OG, 设 AG 为 2x,OG 为 x, 2 2 ∴(2x) +x =4, ∴x= ∴AG=2x= ∴PA=2AG= ∴PA=2 , , ; , .

或4或

故答案为:2

或4或

14

【点评】此题考查了正方形的性质,圆周角的性质以及勾股定理等知识.此题综合性很强,解题时 要注意数形结合与方程思想的应用.

16.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,cosB= ,将△ABC 绕点 C 旋转后得到△A′B′C,其中 B′点正好 落在边 AB 上,A′B′交于点 D,则 的值为 .

【考点】旋转的性质. 【专题】推理填空题. 【分析】 要求 的值, 只要说明△ADB′与△A′DC 相似即可, 然后根据题意可以求得 AB′与 A′C

的比值即可,可以根据 cosB= ,设出 BC=3a,从而可以用含 a 的式子表示出 AB′与 A′C 的比值, 本题得以解决. 【解答】解:作 CE⊥AB 于点 E,如下图所示,

∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,cosB= ,cosB= ∴设 BC=3a,AB=5a, ∴AC= ,



又∵△ABC 绕点 C 旋转后得到△A′B′C, ∴A′C=AC=4a,CB=CB′, ∵CE⊥AB,cosB= ,

15

∴BE=B′E, ∴B′E=BE= ,



∴AB′=AB﹣BE﹣B′E=5a﹣ = ∵∠A=∠A′,∠ADB′=∠A′DC, ∴△ADB′∽△A′DC,







故答案为: . 【点评】本题考查旋转的性质,解题的关键是明确旋转后图形与旋转前图形的对应关系,找出所求 问题需要的条件. 三、解答题

17.计算

,其中



【考点】分式的化简求值. 【专题】探究型. 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把 x 的值代入原式进行计算即可.

【解答】解:原式=

÷

=

×

=



当 x=2+

时,原式=

=

=



【点评】本题考查分式的化简求值,在解答此类题目时要注意通分、约分的灵活运用. 18.已知关于 x 的方程 x +2x+a﹣2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数 a 的取值范围; (2)当该方程的一个根为 1 时,求 a 的值及方程的另一根. 【考点】根的判别式;一元二次方程的解;根与系数的关系. 2 2 【分析】(1)关于 x 的方程 x ﹣2x+a﹣2=0 有两个不相等的实数根,即判别式△=b ﹣4ac>0.即可 得到关于 a 的不等式,从而求得 a 的范围. (2)设方程的另一根为 x1,根据根与系数的关系列出方程组,求出 a 的值和方程的另一根.
2

16

【解答】解:(1)∵b ﹣4ac=(2) ﹣4×1×(a﹣2)=12﹣4a>0, 解得:a<3. ∴a 的取值范围是 a<3; (2)设方程的另一根为 x1,由根与系数的关系得:

2

2



解得:



则 a 的值是﹣1,该方程的另一根为﹣3. 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系: (1)△>0?方程有两个不相等的实数根; (2)△=0?方程有两个相等的实数根; (3)△<0?方程没有实数根. 19. 如图, △ABC 中, ∠ACB=90°, D、 E 分别是 BC、 BA 的中点, 连接 DE, F 在 DE 延长线上, 且 AF=AE. (1)求证:四边形 ACEF 是平行四边形; (2)若四边形 ACEF 是菱形,求∠B 的度数.

【考点】菱形的性质;平行四边形的判定. 【专题】证明题. 【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CE=AE=BE,从而得到 AF=CE,再根 据等腰三角形三线合一的性质可得∠1=∠2,根据等边对等角可得然后∠F=∠3,然后求出∠2=∠F, 再根据同位角相等,两直线平行求出 CE∥AF,然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 证明; (2)根据菱形的四条边都相等可得 AC=CE,然后求出 AC=CE=AE,从而得到△AEC 是等边三角形,再 根据等边三角形的每一个角都是 60°求出∠CAE=60°,然后根据直角三角形两锐角互余解答. 【解答】(1)证明:∵∠ACB=90°,E 是 BA 的中点, ∴CE=AE=BE, ∵AF=AE, ∴AF=CE, 在△BEC 中,∵BE=CE 且 D 是 BC 的中点, ∴ED 是等腰△BEC 底边上的中线, ∴ED 也是等腰△BEC 的顶角平分线, ∴∠1=∠2, ∵AF=AE, ∴∠F=∠3,

17

∵∠1=∠3, ∴∠2=∠F, ∴CE∥AF, 又∵CE=AF, ∴四边形 ACEF 是平行四边形; (2)解:∵四边形 ACEF 是菱形, ∴AC=CE, 由(1)知,AE=CE, ∴AC=CE=AE, ∴△AEC 是等边三角形, ∴∠CAE=60°, 在 Rt△ABC 中,∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°.

【点评】本题考查了菱形的性质,平行四边形的判定,等边三角形的判定与性质,直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半,以及直角三角形两锐角互余的性质,熟记各性质与判定方法是解题的关 键. 20.小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动,如图,4 张牌分别对应价值 5,10,15,20(单位:元) 的 4 件奖品. (1)如果随机翻 1 张牌,那么抽中 20 元奖品的概率为 25% (2)如果随机翻 2 张牌,且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌,则所获奖品总值不低于 30 元的概 率为多少?

【考点】列表法与树状图法;概率公式. 【分析】(1)随机事件 A 的概率 P(A)=事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数,据此 用 1 除以 4,求出抽中 20 元奖品的概率为多少即可. (2)首先应用树状图法,列举出随机翻 2 张牌,所获奖品的总值一共有多少种情况;然后用所获奖 品总值不低于 30 元的情况的数量除以所有情况的数量,求出所获奖品总值不低于 30 元的概率为多 少即可. 【解答】解:(1)∵1÷4=0.25=25%, ∴抽中 20 元奖品的概率为 25%. 故答案为:25%.

18

(2)



∵所获奖品总值不低于 30 元有 4 种情况:30 元、35 元、30 元、35 元, ∴所获奖品总值不低于 30 元的概率为: 4÷12= . 【点评】(1)此题主要考查了概率公式,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:随机事件 A 的概 率 P(A)=事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数. (2) 此题还考查了列举法与树状图法求概率问题, 解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果, 列表法是一种,但当一个事件涉及三个或更多元素时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采 用树形图. 21.如图,我南海某海域 A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪,船长马上向我国渔政搜救中心 发出求救信号,此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的 B 处,该渔政船收到渔政求救中心指令 后前去救援,但两船之间有大片暗礁,无法直线到达,于是决定马上调整方向,先向北偏东 60°方 向以每小时 30 海里的速度航行半小时到达 C 处,同时捕鱼船低速航行到 A 点的正北 1.5 海里 D 处, 渔政船航行到点 C 处时测得点 D 在南偏东 53°方向上. (1)求 CD 两点的距离; (2)渔政船决定再次调整航向前去救援,若两船航速不变,并且在点 E 处相会合,求∠ECD 的正弦 值. (参考数据:sin53°≈ ,cos53°≈ ,tan53°≈ )

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题. 【分析】(1)过点 C、D 分别作 CG⊥AB,DF⊥CG,垂足分别为 G,F,根据直角三角形的性质得出 CG,再根据三角函数的定义即可得出 CD 的长; (2)如图,设渔政船调整方向后 t 小时能与捕渔船相会合,由题意知 CE=30t,DE=1.5×2×t=3t, ∠EDC=53°,过点 E 作 EH⊥CD 于点 H,根据三角函数表示出 EH,在 Rt△EHC 中,根据正弦的定义求 值即可. 【解答】解:(1)过点 C、D 分别作 CG⊥AB,DF⊥CG,垂足分别为 G,F, ∵在 Rt△CGB 中,∠CBG=90°﹣60°=30°, ∴CG= BC= ×(30× )=7.5,

19

∵∠DAG=90°, ∴四边形 ADFG 是矩形, ∴GF=AD=1.5, ∴CF=CG﹣GF=7.5﹣1.5=6, 在 Rt△CDF 中,∠CFD=90°, ∵∠DCF=53°, ∴COS∠DCF= ,

∴CD=

= =10(海里).

答:CD 两点的距离是 10; (2)如图,设渔政船调整方向后 t 小时能与捕渔船相会合, 由题意知 CE=30t,DE=1.5×2×t=3t,∠EDC=53°, 过点 E 作 EH⊥CD 于点 H,则∠EHD=∠CHE=90°, ∴sin∠EDH= , t,

∴EH=EDsin53°=3t× =

∴在 Rt△EHC 中,sin∠ECD= 答:sin∠ECD= .

=

=



【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,此题是一道方向角问题,结合航海中的实际问 题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想. 22.如图,在⊙O 中,AB 为直径,OC⊥AB,弦 CD 与 OB 交于点 F,在 AB 的延长线上有点 E,且 EF=ED. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若 OF:OB=1:3,⊙O 的半径 R=3,求 的值.

【考点】切线的判定.

20

【专题】证明题. 【分析】(1)连结 OD,如图,由 EF=ED 得到∠EFD=∠EDF,再利用对顶角相等得∠EFD=∠CFO,则 ∠CFO=∠EDF,由于∠OCF+∠CFO=90°,∠OCF=∠ODF,则∠ODC+∠EDF=90°,于是根据切线的判定 定理可得 DE 是⊙O 的切线; (2)由 OF:OB=1:3 得到 OF=1,BF=2,设 BE=x,则 DE=EF=x+2,根据圆周角定理,由 AB 为直径得 到∠ADB=90°,接着证明△EBD∽△EDA,利用相似比得 的值后计算 的值. 【解答】(1)证明:连结 OD,如图, ∵EF=ED, ∴∠EFD=∠EDF, ∵∠EFD=∠CFO, ∴∠CFO=∠EDF, ∵OC⊥OF, ∴∠OCF+∠CFO=90°, 而 OC=OD, ∴∠OCF=∠ODF, ∴∠ODC+∠EDF=90°,即∠ODE=90°, ∴OD⊥DE, ∴DE 是⊙O 的切线; (2)解:∵OF:OB=1:3, ∴OF=1,BF=2, 设 BE=x,则 DE=EF=x+2, ∵AB 为直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠ADO=∠BDE, 而∠ADO=∠A, ∴∠BDE=∠A, 而∠BED=∠DAE, ∴△EBD∽△EDA, ∴ = = ∴x=2, ∴ = ,即 = = , = = ,即 = = ,然后求出 x

= .

21

【点评】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证 某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了 相似三角形的判定与性质. 23.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第 x(1≤x≤90)天的售价与销量的 相关信息如下表: 时间 x(天) 1≤x<50 50≤x≤90 售价(元/件) x+40 90 每天销量(件) 200﹣2x 已知该商品的进价为每件 30 元,设销售该商品的每天利润为 y 元. (1)求出 y 与 x 的函数关系式; (2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少? (3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于 4800 元?请直接写出结果. 【考点】二次函数的应用. 【专题】销售问题. 【分析】(1)根据单价乘以数量,可得利润,可得答案; (2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案; (3)根据二次函数值大于或等于 4800,一次函数值大于或等于 48000,可得不等式,根据解不等式 组,可得答案. 2 【解答】解:(1)当 1≤x<50 时,y=(200﹣2x)(x+40﹣30)=﹣2x +180x+2000, 当 50≤x≤90 时, y=(200﹣2x)(90﹣30)=﹣120x+12000,

综上所述:y=



(2)当 1≤x<50 时,二次函数开口向下,二次函数对称轴为 x=45, 2 当 x=45 时,y 最大=﹣2×45 +180×45+2000=6050, 当 50≤x≤90 时,y 随 x 的增大而减小, 当 x=50 时,y 最大=6000, 综上所述,该商品第 45 天时,当天销售利润最大,最大利润是 6050 元; (3)当 1≤x<50 时,y=﹣2x +180x+2000≥4800,解得 20≤x≤70, 因此利润不低于 4800 元的天数是 20≤x<50,共 30 天; 当 50≤x≤90 时,y=﹣120x+12000≥4800,解得 x≤60, 因此利润不低于 4800 元的天数是 50≤x≤60,共 11 天, 所以该商品在销售过程中,共 41 天每天销售利润不低于 4800 元. 【点评】本题考查了二次函数的应用,利用单价乘以数量求函数解析式,利用了函数的性质求最值. 24.如图,已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=﹣1,且抛物线经过 A(1,0),C(0, 3)两点,与 x 轴交于点 B. (1)若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点,求直线 BC 和抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴 x=﹣1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小,求出点 M 的坐标;
2 2

22

(3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=﹣1 上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点 P 的坐标.

【考点】二次函数综合题. 【专题】压轴题. 【分析】(1)先把点 A,C 的坐标分别代入抛物线解析式得到 a 和 b,c 的关系式,再根据抛物线的 对称轴方程可得 a 和 b 的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出 a,b,c 的值即可得到抛物线 解析式;把 B、C 两点的坐标代入直线 y=mx+n,解方程组求出 m 和 n 的值即可得到直线解析式; (2)设直线 BC 与对称轴 x=﹣1 的交点为 M,则此时 MA+MC 的值最小.把 x=﹣1 代入直线 y=x+3 得 y 的值,即可求出点 M 坐标; 2 2 2 2 2 (3)设 P(﹣1,t),又因为 B(﹣3,0),C(0,3),所以可得 BC =18,PB =(﹣1+3) +t =4+t , 2 2 2 2 PC =(﹣1) +(t﹣3) =t ﹣6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意 t 值即可求出点 P 的坐标.

【解答】解:(1)依题意得:



解之得:


2

∴抛物线解析式为 y=﹣x ﹣2x+3 ∵对称轴为 x=﹣1,且抛物线经过 A(1,0), ∴把 B(﹣3,0)、C(0,3)分别代入直线 y=mx+n,





解之得:



∴直线 y=mx+n 的解析式为 y=x+3; (2)设直线 BC 与对称轴 x=﹣1 的交点为 M,则此时 MA+MC 的值最小. 把 x=﹣1 代入直线 y=x+3 得,y=2, ∴M(﹣1,2), 即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标为(﹣1,2); (3)设 P(﹣1,t), 又∵B(﹣3,0),C(0,3),

23

∴BC =18,PB =(﹣1+3) +t =4+t ,PC =(﹣1) +(t﹣3) =t ﹣6t+10, 2 2 2 2 2 ①若点 B 为直角顶点,则 BC +PB =PC 即:18+4+t =t ﹣6t+10 解之得:t=﹣2; 2 2 2 2 2 ②若点 C 为直角顶点,则 BC +PC =PB 即:18+t ﹣6t+10=4+t 解之得:t=4,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

③若点 P 为直角顶点,则 PB +PC =BC 即:4+t +t ﹣6t+10=18 解之得:t1=

2

2

2

2

2

,t2=



综上所述 P 的坐标为(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1,

) 或(﹣1,

).

【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解 析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大,是一道不错的中考压轴题.

24


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