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山东省宁阳县第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文科)试卷


宁阳一中 2015-2016 学年高二上学期期中考试试卷 数学(文)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一.选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题正确的是(
2


2

A. 若a ? b,则ac ? bc C. 若ac ? bc,则a ? b 2.不等式

B. 若a ? ?b,则 ? a ? b D. ) B. {x | x ? ?3且x ? ?1} D. {x | x ? ?1或x ? ?3} )

若a ? b,则a ? c ? b ? c

x ?1 ? 2 的解集为( x ?1

A. {x | x ? ?3} C. {x | x ? ?1或x ? ?3}

3. 如图所示, 表示满足不等式 ( x ? y )( x ? 2 y ? 2) ? 0 的点 ( x, y ) 所在的平面区域为(

A

B

C

D

4. 在等差数列 {a n } 中, 首项 a1 ? 8 , 公差 d ? ?2 , 则数列 {a n } 的前 n 项和取最大值时 n 的 值为( A.3 5. 设x ? 0,那么3 ? A.最大值 1 ) B.4 C.5 ) C.最大值 5 ) D.最小值﹣5 D.4 或 5

1 ? x 有( x
B.最小值 1

6.在△ABC 中, a ? 1 ,B ? 45 ? , S ?ABC ? 2 ,则b ? ( A.2 B.1 C.5 D.2

7.已知点 (?2,3) 和 (1,2) 在直线 3ax ? y ? 1 ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是( A. (? , )

)

1 1 3 3

B. [? , ]

1 1 3 3

1

C. (??,? ) ? ( ,??)

1 3

1 3

D. (??,? ] ? [ ,??)

1 3

1 3

8 .已知 a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边,向量 m ? ( 3 ,?1) , n ? (cos A, sin A) ,若 m ? n,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则 A , B 的大小分别为 ( A. )

?
3

,

?
6

B.

2? ? , 3 6

C.

? ?
6 3
,

D.

? ?
3 3
,

9 . 已 知 数 列 {a n } , a1 ? 1 , 前 n 项 和 为 S n , 且 点 P(a n ,a n ?1 ) (n ? N ? ) 在 直 线

x ? y ? 1 ? 0 上,则

1 1 1 1 ? ? ??? ? ( S1 S 2 S 3 Sn

)

A.

n(n ? 1) 2

B.

2 n(n ? 1)

C.

2n n ?1

D.

n 2(n ? 1)


10.已知正项等差数列 {a n } 中的相邻三项依次为 a ,ab ,2b ,则 4a ? 8b 的最小值为( A.4 B.16 C.8 D.32

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题(本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若数列 {a n } 满足: a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n 12.函数 y ?

共 100 分)

( n ? N ? ),则 a5 ? .

.

1 6 ? x ? x2

的定义域是

13.设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1 , S 6 ? 4 S 3 14.已知数列 {a n } 的通项公式 a n ? (?1) n n

,则 a 4 = .

,其前 n 项和 S n 为

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 15.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 x ? y 的最小值为_______________. ?1 ? x ? 3 ?
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分) 公差 d ? 0 的等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a 4 是a3与a 7 的等比中项, 且 S 8 ? 32 , 求 S10
2

17. (本小题满分 12 分) 若不等式: kx ? 2 x ? 6k ? 0 (k ? 0)
2

①若不等式解集是 {x x ? ?3或x ? ?2} ,试求 k 的值 ②若不等式解集是 R,求 k 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 某小型餐馆一天中要购买 A, B 两种蔬菜, A, B 蔬菜每公斤的单价分别为 2 元和 3 元. 根 据需要,A 蔬菜至少要买 6 公斤,B 蔬菜至少要买 4 公斤,而且一天中购买这两种蔬菜 的总费用不能超过 60 元. (1)写出一天中 A 蔬菜购买的公斤数 x 和 B 蔬菜购买的公斤数 y 之间的满足的不等式 组;并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域(用阴影表示) (2)如果这两种蔬菜加工后全部卖出,A,B 两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为 2 元 和 1 元,餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大,利润最大为多少元?

19. (本小题满分 12 分)

?ABC 在内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 a ? b cos C ? c sin B .
(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值.

3

20. (本小题满分 13 分) 某工厂生产某种产品,每日的成本 C(单位:万元)与日产量 x (单位:吨)满足函数 关系式 C ? 3 ? x ,每日的销售额 S(单位:万元)与日产量 x 的函数关系式

k ? 2x ? ?7 , 0? x?6 ? ? x ?8 S ?? ? ? 14 ,x ? 6 ?
已知每日的利润 L=S﹣C,且当 x =2 时,L= (1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.

9 2

21. (本小题满分 14 分) 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若对于任意的正整数 n 都有 S n ? 2a n ? 3n (1)设 bn ? a n ? 3 ,求证:数列 {bn } 是等比数列,并求出 {a n } 的通项公式 (2)求数列 {nbn } 的前 n 项和 Tn

4

高二数学上学期期中考试试题答案(文)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一.选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.)

题号 答案

1 D

2 D

3 B

4 D

5 A

6 C

7 C

8 A

9 C

10 B

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 16 12. {x ? 3 ? x ? 2} 13. 3

?n ? ?2 14. a n ? ? ?? n ? 1 ? ? 2

n为偶数
15.

n为奇数

9 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分) 解:公差 d≠0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, ∵a4 是 a3 与 a7 的等比中项,且 S8=32,





..................................8 分

解得 a1=﹣3,d=2, ∴S10= =60.

.................................10 分 ................................12 分

5

17. (本小题满分 12 分) 解:①∵不等式 kx2﹣2x+6k<0 的解集是{x|x<﹣3 或 x>﹣2} ∴方程 kx2﹣2x+6k=0 的两个根为﹣3,﹣2 ∴ =﹣3+(﹣2)=﹣5, ∴k=﹣ ②:①∵不等式 kx2﹣2x+6k<0 的解集是 R ∴ ..................................10 分 ..................................2 分 .................................4 分 ..................................6 分

解得 k<﹣

.................................12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)依题意,A 蔬菜购买的公斤数 x 和 B 蔬菜购买的公斤数 y 之间的满足的不等式组 如下: 画出的平面区域如图. .................................3 分 .................................6 分

(2)设餐馆加工这两种蔬菜利润为 z 元,则目标函数为 z=2x+y.................................7 分 ∵y=﹣2x+z∴z 表示过可行域内点斜率为﹣2 的一组平行线在 y 轴上的截距. 联立 解得 即 B(24,4) ................................9 分

∴当直线过点 B(24,4)时,在 y 轴上的截距最大,
6

即 zmax=2× 24+4=52

................................11 分

答:餐馆应购买 A 蔬菜 24 公斤,B 蔬菜 4 公斤,加工后利润最大为 52 元.............12 分 19. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)由已知及正弦定理得 sin A ? sin B cos C ? sin C sin B . . . . . . . . . . . . . .1 分 又 A ? ? ? (B ? C) , 故 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3分 所以 sin B cos C ? sin C sin B ? sin B cos C ? cos B sin C 即 sin C sin B ? cos B sin C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4分 因为 c ? (0, ? ) ,所以 sin C ? 0 , 所以 sin B ? cos B , B ? (Ⅱ) ?ABC 的面积 S ?

?
4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 ac sin B ? ac . 2 4

由已知及余弦定理得 4 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos 又 a 2 ? c 2 ? 2ac ,故 ac ?

?
4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8分

4 2? 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

当且仅当 a ? c 时,等号成立. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 因此 ?ABC 面积的最大值为 2 ? 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 20. (本小题满分 13 分) 解答: 解:由题意,每日利润 L 与日产量 x 的函数关系式为 L= .................................4 分 (1)当 x=2 时,L= ,即: =2+ ∴k=9 (2)当 x≥6 时,L=11﹣x 为单调递减函数, 故当 x=6 时,Lmax=5 当 0<x<6 时,L=(x﹣8)+ +12≤﹣2 .................................7 分 +12=6........................10 分 +4 .................................5 分 .................................6 分

当且仅当 x=5 时,Lmax=6.................................12 分
7

综合上述情况,当日产量为 5 吨时,日利润达到最大 6 万元.....................13 分

21. (本小题满分 14 分) 解答: 解: (1)由已知条件得:S1=2a1﹣3,a1=3. ∵Sn=2an﹣3n,对于任意的正整数都成立, ∴Sn+1=2an+1﹣3n﹣3, 两式相减,得 a n+1=2an+1﹣2an﹣3,即 an+1=2an+3, ∴an+1+3=2(an+3) , 所以数列{bn}是以 2 为公比的等比数列, ∴首项 b1=a1+3=6,公比 q=2,bn=6?2n 1=3?2n


..............................2 分

..............................4 分

..............................6 分

∴an=6?2n 1﹣3=3?2n﹣3.


.............................8 分 .............................9 分

(2)∵nbn=3×n?2n ∴Tn=3(1?2+2?22+3?23+…+n?2n) 2Tn=3(

1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1)

...........................11 分 ...........................12 分

∴﹣Tn=3(2+22+23+…+2n﹣n?2n+1)

2 ? 2n ? 2 ? n ? 2 n ?1 ) 1? 2 n ?1 ? 3(2 ? 2 ? n ? 2 n ?1 ) ? 3( ? (3 ? 3n)2 n ?1 ? 6
∴Tn ? (3n ? 3)2
n ?1

?6

...........................14 分

8


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