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直线与直线平行与垂直的条件


复习引入: 直线名称 点斜式 斜截式 已知条件 直线方程 使用范围 示意图

P 1 ( x1 , y1 ), k
k, b

y ? y1 ? k ( x ? x1 )
y ? kx ? b

k存在
k存在

( x1 , y1 )
两点式 ( x2 , y

2 ) 截距式 一般式

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b

x1 ? x2 , y1 ? y 2

a, b
A、B、C ? R

a ? 0, b ? 0 A2 ? B 2 ? 0

Ax ? By ? C ? 0

1.特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时: (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为 90°,互相平行; (2)当另一条直线的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角为 90°,另一条直线的倾斜角为 0°, 两直线互相垂直 2.斜率存在时两直线的平行与垂直.
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王新敞
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设直线 l1 和 l 2 的斜率为 k 1 和 k 2 ,它们的方程分别是:

l1 : y ? k1 x ? b1 ;

l 2 : y ? k 2 x ? b2 .

两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的, 两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率 决定的, 所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特 y 征 ⑴两条直线平行(不重合)的情形. 如图,从位置关系、倾斜角、斜率的定义、正切函数的性质分析,得以下结 论: ?1 O 两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如
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l1 l2 ?2
x

果它们的斜率相等,则它们平行,即 l1 // l 2 ? k 1 = k 2 且 b1 ? b2

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要注意,上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提, 结论并不存立. 例 1 两条直线 l1 : 2 x ? 4 y ? 7 ? 0 , l 2 : x ? 2 y ? 5 ? 0 .求证: l1 ∥ l 2

例 2 求过点 A(1,?4) 且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线方程. (两种方法) 注意: ①解法一求直线方程的方法是通法,必须掌握; ②解法二是常常采用的解题技巧。 一般地, 直线 Ax ? By ? C ? 0 中系数 A 、B

确 定 直 线 的 斜 率 , 因 此 , 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 平 行 的 直 线 方 程 可 设 为

Ax ? By ? ? ? 0(? ? C ) ,其中 ? 待定 (直线系)
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例 3 求与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行,且在两坐标轴上的截距之和为

5 的直线的方程. 6

⑵两条直线垂直的情形: 则直线的位置关系如上三种:设直线 l1 和 l 2 的倾斜角分别是 ?1 , ? 2 ,斜率分别是 k 1 和

k2 。
分别用倾斜角的关系及向量 的关系推导,得以下结论: 两条直线都有斜率,如果 它们互相垂直,则它们的斜率 互为负倒数;反之,如果它们 的斜率互为负倒数,则它们互 相垂直,即
y
y

y
l2

l1 ?2
O

l2 ?1
x

l1

l1 ?1
x
O

l2 ?2
x

?1
O

?2







l1 ? l 2 ? k1 ? ?

1 ? k1k 2 ? ?1 k2

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要注意,上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提, 结论并不存立. 已知直线 (a ? 2) x ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与 (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,求 a

例 4 的值.

例5

求过点 A(2,1) ,且与直线 2 x ? y ? 10 ? 0 垂直的直线 l 的方程. 注意: ①解法一求直线方程的方法是通法,必须掌握; ②解法二是常常采用的解题技巧:一般地,由于与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直 的直线的斜率互为负倒数,故可得其方程为 Bx ? Ay ? ? ? 0 ,这是常常用到的解题技 巧(直线系方程)

思 考

1 : 已 知 直 线 l1 、 l 2 的 方 程 为 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 :

A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ( A1 B1C1 ? 0, A2 B2C2 ? 0)
求证: l1 ∥ l 2 的充要条件是

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

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思考 2: 已知直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 :A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l 2 :A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 , 则 l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0
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思考 3:已知直线 l1 、 l 2 的方程为 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 :

A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ( A1 B1C1 ? 0, A2 B2C2 ? 0)
当直线 l1 , l2 不平行时,则它们的交点如何去求? 思考 4:在同一平面内有两点 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则这两点的距离可以表示成什 么? 思考 5:在同一平面内有两点 P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) ,这两点的中点 M ( x0 , y0 ) , 则?

? x0 ? ? y0 ?


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