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2014年陕西高考理科数学试题及答案(Word版)


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2014 年陕西高考数学试题(理) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {x | x ? 0}, N ? {x | x2 ? 1, x ? R} ,则 M

N ?(





A.[0,1]
【答案】 【解析】 B

B.[0,1)

C. ( 0 , 1 ]

D.(0,1)

? M = [0,+ ∞), N = (-1 , 1),∴M ∩N = [0,1).选B
2.函数 f ( x ) ? cos(2 x ?

?
6

) 的最小正周期是(
C .2? D.4?



A.

? 2

B.?
B

【答案】 【解析】

?T =

2π 2π = = π,∴选B |ω | 2

3.定积分

? (2 x ? e )dx 的值为(
x 0

1



A.e ? 2
【答案】 【解析】
1 0

B.e ? 1
C

C .e

D.e ? 1

1 0 ?∫ (2 x + e x )dx = ( x 2 + e x ) |1 0 = 1 - 0 + e - e = e,∴选C

4.根据右边框图,对大于 2 的整数 N ,输出数列的通项公式是(



A.an ? 2n

B.an ? 2(n ? 1)

C.an ? 2n

D.an ? 2n?1

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【答案】 【解析】

C

? a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8,∴an是a1 = 2, q = 2的等比数列 .选C
5.已知底面边长为 1,侧棱长为 2 则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积 为( )

A.

32? 3
D

B.4?

C .2?

D.

4? 3

【答案】 【解析】

4 4 设球的半径为 r ,? (2r ) 2 = 12 + 12 + ( 2 ) 2 = 4, 解得r = 1,∴ V = π r 3 = π.选D 3 3
6.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方形 边长的概率为( )

A.

1 5

B.

2 5
C

C.

3 5

D.

4 5

【答案】 【解析】

反向解题 . p = 1-

4 4 3 = 2 = .选C 2 C 5 C5 5

x

7.下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是( (A) f ? x ? ? x 【答案】 【解析】 D
1 2

(B) f ? x ? ? x

3

?1? (C) f ? x ? ? ? ? ?2?

(D) f ? x ? ? 3

x

只有C不是递增函数 .对D而言,f ( x + y) = 3x+ y , f ( x) ? f ( y) = 3x ? 3y = 3x+ y.选D

8.原命题为“若 z1 , z2 互为共轭复数,则 z1 ? z2 ” ,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性 的判断依次如下,正确的是( (A)真,假,真 【答案】 【解析】 B ) (C)真,真,假 (D)假,假,假

(B)假,假,真

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原命题和逆否名称等价 ,逆命题和否命题等价 .设z1 = a + bi, 则z1 = a - bi, | z1 |= a 2 + b 2, | z2 |= a 2 + b 2 ,∴ | z1 |=| z2 | ,原命题为真 , 逆否名称也为真,不需 判断逆命题的真假即可 完成 选择.选B
设样本数据 x1 , x2 ,

, x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi ? xi ? a ( a 为非零常数,

i ? 1, 2,

,则 y1 , y2, ,10 )

y10 的均值和方差分别为(
(C) 1, 4

) (D)1, 4+a

(A) 1+a, 4 【答案】 【解析】 A

(B) 1 ? a, 4 ? a

样本数据加同一个数, 均值也加此数,方差不 变.选A
10.如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处下降, 已 知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为( )

1 3 3 x ? x 125 5 3 3 x ?x (C) y ? 125
(A) y ? 【答案】 【解析】 A

(B) y ?

2 3 4 x ? x 125 5 3 3 1 x ? x (D) y ? ? 125 5

三次奇函数过点 (0,0), (5, - 2) , 且x = 5为极值点, 即f ′(5) = 0.对A而言, ? f ( x) = ∴ f (5) = 1 - 3 = -2,f ′( x) = 3x2 3 3 3 - ,f ′(5) = - = 0.只有A符合.选A 125 5 5 5

1 3 3 x - x 125 5

第二部分(共 100 分)
二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11.已知 4 ? 2, lg x ? a, 则 x =________.
a

【答案】

10

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【解析】

? 4a = 2 2a = 2, lg x = a,∴ 2a = 1, lg x = a =

1 1 , 所以x = 102 = 10. 2

12.若圆 C 的半径为 1, 其圆心与点 (1,0) 关于直线 y ? x 对称, 则圆 C 的标准方程为_______. 【答案】 【解析】
2 ?点(1,0)关于y = x的对称点 (0,1), ∴圆心为(0,1),半径为 1 的标准方程为 x 2 + ( y -1 ) = 1. 2 x 2 + ( y -1 ) =1

设0 ?? ?

?
2

cos? ?, b ? ? cos? , 1? ,若 a // b ,则 tan ? ? _______. ,向量 a ? ? sin 2? ,
1 2

?

?

【答案】 【解析】

1 ? a = (sin 2θ, cos θ), b = (cos θ,1)., a // b ∴ sin 2θ = cos 2 θ即2 sin θ cos θ = cos 2 θ, 解得 t a n θ= . 2
14. 观察分析下表中的数据: 多面体 三棱锥 五棱锥 立方体 面数( F ) 5 6 6 顶点数( V ) 6 6 8 棱数( E ) 9 10 12

V, E 所满足的等式是_________. 猜想一般凸多面体中, F ,
【答案】 【解析】

F +V = E+ 2

经观察规律,可得 F + V = E + 2.
15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)

A. (不等式选做题)设 a, b, m, n ? R ,且 a2 ? b2 ? 5, ma ? nb ? 5 ,则 m2 ? n2 的最小值


B. (几何证明选做题)如图, ?ABC 中, BC ? 6 ,以 BC 为直径的半圆分别交 AB, AC
于点 E , F ,若 AC ? 2 AE ,则 EF ?

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C. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 (2, ) 到直线 ? sin(? ? ) ? 1 的距离 6 6
是 【答案】 【解析】 A A

?

?

5

B

3

C

1

? a 2 + b 2 = 5,∴设a = 5 sin θ, b = 5cosθ, 则m a+ nb = m 5 sin θ + n 5cosθ = 5 m 2 + n 2 sin(θ + φ) = 5, ∴ m 2 + n 2 sin(θ + φ) = 5 ≤ m 2 + n 2 . 所以,m 2 + n 2的最小值为 5
B

?Δ AEF与ΔACB相似∴
C

AE EF = ,且BC = 6, AC = 2 AE,∴ EF = 3. AC CB

π π 3 1 ? 极坐标点(2, )对应直角坐标点 ( 3,1 ) , 直线ρ sin(θ - ) = ρ sin θ ? - ρcosθ ? = 1即对应 6 6 2 2 3 - 3+ 2 3 y - x = 2,∴点( 3,1 )到直线x - 3 y + 2 = 0的距离d =| |= 1 3+ 1
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, b, c. B, C 所对的边分别为 a,

b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin ? A ? C ? ; (I)若 a , b, c 成等比数列,求 cos B 的最小值. (II)若 a ,
1 2

【答案】 【解析】 (1)

(1) 省略

(2)

? a, b, c成等差, ∴ 2b = a + c,即2sinB= sinA+ sinC. ? sinB = sin(A+ C),∴.sinA+ sinC = sin(A+ C)
(2)
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? a, b, c成等比, ∴ b 2 = ac.又cosB=

a 2 + c 2 - b 2 2ac - b 2 2ac - ac 1 ≥ = = 2ac 2ac 2ac 2

1 仅当a = c = b时,cosB取最小值 , 这时三角形为正三角形 . 2

17. (本小题满分 12 分) 四面体 ABCD 及其三视图如图所示,过棱 AB 的中点 E 作平行于 AD , BC 的平面分

DC, CA 于点 F , G, H. 别交四面体的棱 BD,

(I)证明:四边形 EFGH 是矩形; (II)求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 ? 的正弦值.

【答案】 【解析】 (1)

(1) 省略

(2)

10 5

由题知,ΔBCD为等腰RTΔ, BD ⊥ DC, 且AD ⊥ 面BCD ? BC//面EFGH, EH ?面EFGH, EHBC共面∴ EH//BC,且AH = HC 同理? AD//面EFGH, EF, HG ?面EFGH,ADEF和ADHG共面 ∴ AD//EF,AD//HG, 且DF = FB, DG = GC ∴ EF // HG, 且EF = HG, EF ⊥ 面BCD,即EF ⊥ FG.所以,四边形EHGF为矩形.
(2)

1 由(1)知,分别以DC, DB, DA为x, y, z轴建系,则A(0, 0, 1), B(0, 2, 0), F (0,1,0), E (0,1, ), G (1,0,0) 2 1 ∴ AB = (0, 2, - 1), FE = (0, 0, ), FG = (1, - 1,0),设面EHGF法向量n = ( x, y, z ),则 2 n FE = n FG = 0,解得一个n = (1,1,0),∴cos< AB, n >= 所以, sin θ =| cos< AB, n >|= 10 5 ABn | AB || n | = 2 10 = 5 5 2

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18.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1), B(2,3), C (3,2) ,点 P ( x, y ) 在 ?ABC 三边围成的 区域(含边界)上 (1)若 PA ? PB ? PC ? 0 ,求 OP ; (2)设 OP ? m AB ? n AC(m, n ? R) ,用 x, y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值.【答案】 (1) 2 2 【解析】 (1) (2) m-n=y-x, 1

? A(1, 1), B (2,3), C (3,2), P ( x, y ),∴ P A+ P B+ P C = (1 - x,1 - y ) + (2 - x,3 - y ) + (3 - x,2 - y ) = (0,0) ∴1 - x + 2 - x + 3 - x = 0,1 - y + 3 - y + 2 - y = 0, 解得x = 2, y = 2, ∴ | OP |= x 2 + y 2 = 2 2 所以, | OP |= 2 2
(2)

? OP = mAB+ nAC,∴ ( x, y) = m(1,2) + n(2,1),即x = m + 2n, y = 2m + n.解得m - n = y - x. 即求y - x在三角形ABC含边界内的最大值,属 线性规划问题,可以代 A, B, C三个顶点求 . 经计算在B(2,3)时,y - x取最大值 1.所以,m - n = y - x,m - n最大值为 1
19.(本小题满分 12 分) 在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 ...2000 元 的概率. 【答案】 【解析】 (1) (1) (800,0.2) (2000,0.5) (4000,0.3) (2) 0.896

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利润X = 产量 * 价格 - 成本.考虑产量和价格,利润 X可以取300* 6 - 1000= 800 , 300*10 - 1000= 2000 , 500* 6 - 1000= 2000 , 500*10 - 1000= 4000 ,即800,2000 ,4000 三个. p ( X = 800) = 0.5 * 0.4 = 0.2, p ( X = 2000 ) = 0.5 * 0.6 + 0.5 * 0.4 = 0.5, p ( X = 4000 ) = 0.5 * 0.6 = 0.3
X 的分布列如下表:

X P
(2)

800 0.2

2000 0.5

4000 0.3

利润X = 产量 * 价格 - 成本.考虑产量和价格,利润 X可以取300* 6 - 1000= 800 , 由(1)知,一季利润不少于 2000 的概率p = 0.5 + 0.3 = 0.8. 则3季中至少有2季的利润不少于 2000 的概率
3 3 P = C32 p 2 (1 - p) + C3 p (1 - p) = 3 * 0.82 * 0.2 + 0.83 = 0.896

所以, 3季中至少有2季的利润不少于 2000 的概率是0.896
20.(本小题满分 13 分)

y 2 x2 如 图 , 曲 线 C 由 上 半 椭 圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和 部 分 抛 物 线 a b

C2 : y ? ?x2 ? 1( y ? 0) 连接而成, C1 , C2 的公共点为 A, B ,其中 C1 的离心率为
(1)求 a , b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于 P, Q (均异于点 A, B ) ,若 AP 的方程.

3 . 2

? AQ ,求直线 l

【答案】 【解析】 (1)

(1)

a=2,b=1

(2)

8 y = - ( x -1) 3

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c 3 2 ? 抛物线y = - x 2 + 1交于点(-1,0), (1,0), ∴ b = 1.又 ? = , a = b2 + c2 a 2 2 y ∴ 联立解得a = 2, b = 1, c 2 = 3, 椭圆方程为 + x 2 = 1 4

y2 设过B(1,0)的直线方程为y = k ( x - 1), P( x1 , y1 ), Q( x 2 , y2 ),与 + x 2 = 1联立得 4 2 2 2 2 2 2 2 k ( x - 2x + 1) + 4 x = 4,即(k + 4) x - 2k x + k - 4 = 0, 由韦达定理得 x1 = k2 -4 - 8k k 2 - 4 - 8k , y = k ( x 1 ) = , 即 P ( , ) 1 1 k2 + 4 k2 + 4 k2 + 4 k2 + 4 与y = - x 2 + 1联立得 : x 2 + kx - k - 1 = 0,

(2)由韦达定理得 x 2 = -k - 1, y 2 = k ( x 2 -1) = -k2 - 2k, 即Q(-k - 1,-k2 - 2k)

k2 -4 - 8k + 1, 2 ) ? (-k, - k 2 - 2k) = 0, 2 k +4 k +4 8 即(k ,-4)(1, k + 2) = k - 4(k + 2) = 0, 解得k = - . 3 8 所以,所求直线方程为 y = - ( x - 1) 3 A(-1,0),? AP ⊥ AQ∴ AP ? AQ = 0,即(
21.(本小题满分 14 分) 设函数

f ( x) ? ln(1 ? x), g ( x) ? xf '( x), x ? 0 ,其中 f '( x) 是 f ( x) 的导函数.

(1) g1 ( x) ? g ( x), gn?1 ( x) ? g ( g n ( x)), n ? N? ,求 gn ( x) 的表达式; (2)若

f ( x) ? ag ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3)设 n ? N ? ,比较 g (1) ? g (2) ?

? g (n) 与 n ? f (n) 的大小,并加以证明.
(-∞,1]

【答案】 【解析】 (1)

(1)

g n ( x) =

x 1+ nx

(2)

(3) 前式 > 后式

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1 x , g ( x) = 1+ x 1+ x x x x ? g1 ( x) = g ( x),g n+1 ( x) = g ( g n ( x)), ∴ g1 ( x) = ,g 2 ( x) = 1+ x = x 1+ x 1+ 2 x 1+ 1+ x x x x 假设当n = k ≥ 1时,g k ( x) = .则g k+1 ( x) = 1+ kx = x 1+ kx 1+ (k + 1) x 1+ 1+ kx x ∴当n = k + 1时,g k+1 ( x) = 也成立. 1+ (k + 1) x x 综上, g n ( x) = , n ∈ N+ 1+ nx ? f ( x) = ln(1+ x), g ( x) = xf ′( x), x ≥ 0,∴ f ′( x) =
(2)

? f ( x) ≥ ag( x), g ( x) =

x ax ∴ ln(1+ x) ≥ ,x ≥ 0. 1+ x 1+ x ax 1 a(1+ x - x) 1+ x - a 令h(x)= ln(1+ x) ,x ≥ 0.则, h′(x)= = 1+ x 1+ x (1+ x) 2 (1+ x) 2

? h(0)= 0, h(x) ≥ 0在x ≥ 0上恒成立∴? x ∈[0, t ), t > 0, 使h′(x) ≥ 0 即? x ∈[0, t ), 1+ x - a ≥ 0.解得a ≤ 1.所以,a ∈ (-∞,1]
(3)

? g ( x) =

x n 1 ,∴ g (n) = = 11+ x 1+ n 1+ n

∴ g (1) + g (2) + g (3) + ?+ g (n) - [n - f(n)]= f(n)-

1 1 1 1 -? 1+ 1 1+ 2 1+ 3 1+ n 2 3 4 n+1 1 1 1 1 = ln ( ? ? ? ?? ) -? 1 2 3 n 1+ 1 1+ 2 1+ 3 1+ n 2 1 3 1 4 1 n+1 1 = (ln ) + (ln ) + (ln ) + ?+ (ln ) (a) 1 1+ 1 2 1+ 2 3 1+ 3 n 1+ n x 令h( x) = ln(1+ x) ,x∈ (0,1],则由(2)知,h( x) > 0恒成立. 1+ x n+1 1 ∴ ln > 0恒成立, 式(a ) > 0恒成立 n 1+ n 所以,g (1) + g (2) + g (3) + ?+ g (n) > n - f(n) ,n ∈ N +

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