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2014年中考数学压轴题精编--湖北篇(试题及答案)


2014 年中考数学压轴题精编
1.已知:线段 OA⊥OB,点 C 为 OB 中点,D 为线段 OA 上一点,连结 AC,BD 交于点 P. AP (1)如图 1,当 OA=OB,且 D 为 OA 中点时,求 的值; PC (2)如图 2,当 OA=OB,且

AD 1 = 时,求 tan∠BPC 的值; 4 AO
A D O B C 图2 P A D P A D

(3)如图 3,当 AD : AO : OB=1 : n : 2 n 时,直接写出 tan∠BPC 的值.

P B C 图1

O

B

C 图3

O

1.解: (1)延长 AC 至点 E,使 CE=CA,连接 BE ∵C 为 OB 中点,∴△BCE≌△OCA ∴BE=OA,?E=?OAC ∴BE∥OA,∴△APD∽△EPB AP AD ∴ = EP EB 又∵D 为 OA 中点,OA=OB,∴ ∴ B P C

A D O

AP AD 1 = = 2 EP AO

AP AP 1 AP · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 = = ,∴ =2 · PC EP 2PC ? AP 2

E

(2)延长 AC 至点 H,使 CH=CA,连结 BH ∵C 为 OB 中点,∴△BCH≌△OCA ∴?CBH=?O=90?,BH=OA AD 1 由 = ,设 AD=t,OD=3t,则 BH=OA=OB=4t 4 AO 在 Rt△BOD 中,BD= (3t )2 ?(4t )2 =5t ∵OA∥BH,∴△HBP∽△ADP BH 4t BP ∴ = = =4 DP AD t ∴BP=4PD= B C O A P D

4 BD=4t,∴BH=BP · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 H 5 BC 2t 1 ∴tan?BPC=tan?H= = = · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 2 BH 4t
(3)tan?BPC=
n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 n
2

2. (湖北省武汉市)如图,抛物线 y1=ax -2ax+b 经过 A(-1,0) ,C(0, B.
1

3 )两点,与 x 轴交于另一点 2

(1)求此抛物线的解析式; (2) 若抛物线的顶点为 M, 点 P 为线段 OB 上一动点 (不与点 B 重合) , 点 Q 在线段 MB 上移动, 且∠MPQ
2 y2,求 y2 与 x 的函数关系式,并直接写出自变量 x 的取值范围; 2 (3)在同一平面直角坐标系中,两条直线 x=m,x=n 分别与抛物线交于点 E,G,与(2)中的函数图象

=45°,设线段 OP=x,MQ=

交于点 F,H.问四边形 EFHG 能否为平行四边形?若能,求 m,n 之间的数量关系;若不能,请说明理由.

y
M C A Q O P B x A C

y
M

Q O P

B x

备用图 3 2.解: (1)∵抛物线 y1=ax -2ax+b 经过 A(-1,0) ,C(0, )两点 2 1 y a=- a+2a+b=0 ? ? 2 M ∴? ∴ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 3 b = 3 C ? b= ? 2 2 1 2 3 A ∴抛物线的解析式为 y1=- x +x+ · · · · · · · · · · · · · · 3分 O P N 2 2 (2)作 MN?AB,垂足为 N 1 2 3 由 y1=- x +x+ 易得 M(1,2) ,N(1,0) ,A(-1,0) ,B(3,0) 2 2
2

? ? ? ? ?

Q

B x

∴AB=4,MN=BN=2,MB=2 2 ,?MBN=45? 根据勾股定理有 BM -BN =PM -PN ∴(2 2 ) -2 =PM -(1-x)
2 2 2 2 2 2 2 2

y

① · · · · · · · · · · · 5分

又?MPQ=45?=?MBP,∴△MPQ∽△MBP
2 y2? 2 2 2 1 2 5 由①②得 y2= x -x+ 2 2

F H E G

∴PM =MQ?MB=

2

② · · · · · · · · · · · 6分 O x

1 2 5 x -x+ (0≤x<3)· · · · · · ·7 分 2 2 (3)四边形 EFHG 可以为平行四边形,m、n 之间的数量关系是 m+n=2(0≤m≤2,且 m≠1) 1 2 3 ∵点 E、G 是抛物线 y1=- x +x+ 分别与直线 x=m,x=n 的交点 2 2 1 2 1 2 3 3 ∴点 E、G 坐标为 E(m,- m +m+ ) ,G(m,- n +n+ ) 2 2 2 2 1 2 5 1 2 5 同理,点 F、H 坐标为(m, m -m+ ) ,H(n, n -n+ ) 2 2 2 2 1 2 5 1 2 3 2 ∴EF= m -m+ -(- m +m+ )=m -2m+1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 2 2 2 2
∵0≤x<3,∴y2 与 x 的函数关系式为 y2= GH=

1 2 5 1 2 3 2 n -n+ -(- n +n+ )=n -2n+1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 2 2 2
2

∵四边形 EFHG 是平行四边形,∴EF=GH ∴m -2m+1=n -2n+1,∴(m+n-2)(m-n)=0 由题意知 m≠n,∴m+n=2(0≤m≤2,且 m≠1) 因此,四边形 EFHG 可以为平行四边形,m、n 之间的数量关系是 m+n=2(0≤m≤2,且 m ≠1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 3. (湖北省武汉市新洲区)如图,P 为正方形 ABCD 的边 BC 上任一点,BG⊥AP 于点 G,在 AP 的延长线 上取点 E,使 GE=AG,连接 BE,CE. (1)求证:BE=BC; (2)∠CBE 的平分线交 AE 于 N 点,连接 DN,求证:BN+DN= 2 AN; (3)若正方形的边长为 2,当 P 点为 BC 的中点时,直接写出 CE 的长度. A G B P N E D 3.解: (1)∵四边形 ABCD 为正方形,∴AB=BC ∵BG⊥AP,AG=GE,∴AB=BE ∴BE=BC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 A B G P N E D C C
2 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分

(2)过点 D 作 DH⊥AE 于 H ∵BN 平分∠CBE,∴∠EBN=∠CBN ∵AB=BE,∴∠BEN=∠BAP ∵BG⊥AP,∠ABP=90° ,∴∠BAP=∠PBG ∴∠BEN=∠PBG ∵∠BNG=∠BEN+∠EBN,∴∠BNG=∠GBN ∴BG=NG ∴BN= 2 NG · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 ∵DH⊥AE,∠DAB=90° ,∴∠BAG=∠ADH 又 AB=DA,∴△BAG≌△ADH ∴DH=AG,BG=AH=GN,∴DH=HN ∴DN= 2 DH= 2 AG ∴BN+DN= 2 AN · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 (3)CE=
2 10 5

H

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

3

4. (湖北省武汉市新洲区)如图,已知抛物线 y=x +bx+3 与 x 轴交于点 B(3,0) ,与 y 轴交于点 A,P 是抛物线上的一个动点,点 P 的横坐标为 m(m>3) ,过点 P 作 y 轴的平行线 PM,交直线 AB 于点 M. (1)求抛物线的解析式; (2)若以 AB 为直径的⊙N 与直线 PM 相切,求此时点 M 的坐标; (3)在点 P 的运动过程中,△APM 能否为等腰三角形?若能,求出点 M 的坐标;若不能,请说明理由.

2

y

P

A

O

B M

x

4.解: (1)把 B(3,0)代入 y=x +bx+3,得 0=9+3b+3 ∴b=-4 ∴抛物线的解析式为 y=x -4x+3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 (2)以 AB 为直径的⊙N 的圆心 N 是 AB 的中点,如图 1,∴点 N 的横坐标为 在 y=x -4x+3 中,令 x=0,得 y=3 ∴A(0,3) ,又 B(3,0) ,∴OA=3,OB=3 ∴AB= 3 2 ,∴⊙N 的半径为
2 2

2

3 2

y

3 2 2 3 3 + 2 2 2

∵⊙N 与直线 PM 相切,∴点 P 的横坐标为

设直线 AB 的解析式为 y=kx+3,把 B(3,0)代入 得 0=3k+3,∴k=-1 ∴直线 AB 的解析式为 y=-x+3,把点 P 的横坐标代入 得 y=-

A N O P B M 图1 x

3 3 3 3 - 2 +3= - 2 2 2 2 2

3 3 3 3 + · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 2, - 2)· 2 2 2 2 y 2 (3)∵点 P 的横坐标是 m,∴P(m,m -4m+3) ,M(m,-m+3)
∴此时点 M 的坐标为( 又 m>3,∴PM=m -4m+3-(-m+3)=m -3m ∵OA=OB=3,∠AOB=90° ,∴∠OAB=45° ∵PM∥y 轴,∴∠AMH=45° 过点 A 作 AH⊥PM 于 H,则 AH=m ①若 AP=AM,如图 2,则 PM=2HM=2AH O
4
2 2

P

A

H

B

x M

图2

∴m -3m=2m,解得 m=0(舍去)或 m=5 ∴-m+3=-5+3=-2 ∴M1(5,-2) ②若 AM=PM,如图 3,则 AM=m -3m 在 Rt△AMH 中,∵∠AMH=45° ,∴AM= 2 AH ∴m -3m= 2 m,解得 m=0(舍去)或 m=3+ 2 ∴-m+3=-3- 2 +3=- 2 ∴M2(3+ 2 ,- 2 ) ③若 PA=PM,如图 4,则△ PAM 是等腰直角三角形 ∴m=m -3m,解得 m=0(舍去)或 m=4 ∴-m+3=-4+3=-1 ∴M3(4,-1) 综上所述,△ APM 能成为等腰三角形,此时点 M 的坐标为: M1(5,-2) ,M2(3+ 2 ,- 2 ) ,M3(4,-1)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分
2 2 2

2

y

y

P A H A P

O

B

M

x

O

B

M

x

图3

图4

5. (湖北省黄冈市)某同学从家里出发,骑自行车上学时,速度 v(米/秒)与时间 t(秒)的关系如图 a,A (10,5) ,B(130,5) ,C(135,0) . (1)求该同学骑自行车上学途中的速度 v 与时间 t 的函数关系式; (2)计算该同学从家到学校的路程(提示:在 OA 和 BC 段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时 刻的速度,路程=平均速度?时间) ; (3)如图 b,直线 x=t(0≤t≤135) ,与图 a 的图象相交于 P、Q,用字母 S 表示图中阴影部分面积,试求 S 与 t 的函数关系式; (4)由(2) (3) ,直接猜出在 t 时刻,该同学离开家所走过的路程与此时 S 的数量关系. v(m/s)
5 0

A
10

B
130 C

v(m/s) x=t A P 5 t(s)
5 0 10 Q

B
130 C

t(s)

图a

图b

5.解: (1)由题意知: 当 0≤t<10 时,v=

1 t 2

当 10≤t<130 时,v=5 当 130≤t≤135 时,设 BC 段的函数关系式为 y=kt+b(k≠0)· · · · · · · · · · · ·2 分
? ?5=130k+b 则? ?0=135k+b ? ? ?k=-1 ∴? ?b=135 ?

∴BC:v=-t+135

1 ? ? 2 t (0≤t<10) ∴v=? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 5 (10≤t<130) ? ?-t+135 (130≤t≤135)
(2)在 0≤t<10 时,该同学离家路程:

0?5 ×10=25(米) 2

在 10≤t<130 时,所走路程:(130-10)×5=600(米) 在 130≤t≤135 时,所走路程:

5?0 ×5=12.5(米) 2 1 1 t,∴P(t, t) 2 2

∴该同学从家到学校的路程:25+600+12.5=637.5(米) · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 (3)如图(1) ,当 0≤t<10 时,P 点的纵坐标: ∴S=

1 1 2 OQ?PQ= t · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 2 4

1 ×10×5+5×(t-10) 2 ∴S=5t-25 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分
如图(2) ,当 10≤t<130 时,∵S= 如图(3) ,当 130≤t≤135 时,∵S= ∴S=-

1 1 2 ×(135+120)×5- ×(135-t) 2 2

? ∴S=?5t 25 1 ? 2 t +135t
- -
2

1 1275 1 2 2 (t-135) + 即 S=- t +135t-8475 2 2 2 1 2 t (0≤t<10) 4
(10≤t<130) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

-8475 (130≤t≤135)

v P
0

v x=t A t
0

v x=t A P Q 图(2) t
0

A

B

x=t P t

Q 图(1)

Q C 图(3)

(4)数值相等 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分

6

6. (湖北省黄冈市)已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)顶点为 C(1,1)且过原点 O.过抛物线上一点 P

2

5 作垂线,垂足为 M,连 FM(如图) . 4 (1)求字母 a,b,c 的值;
(x,y)向直线 y= (2)在直线 x=1 上有一点 F(1,

3 ) ,求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标,并证明此时△ 4

PFM 为正三角形; (3)对抛物线上任意一点 P,是否总存在一点 N(1,t) ,使 PM=PN 恒成立,若存在请求出 t 值,若不存 在请说明理由. y M y 5 = 4 F N O P x=1 x

6.解: (1)∵抛物线的顶点为 C(1,1) ,∴设其解析式为 y=a(x-1) +1 ∵抛物线过原点 O,∴0=a(0-1) +1,∴a=-1 ∴y=-(x-1) +1,即 y=-x +2x ∴a=-1,b=2,c=0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 (2)等腰三角形 PFM 以 PM 为底边时,则 F 在 PM 的中垂线上,如图(1) ∵F(1,
2 2 2

2

3 5 5 3 1 ) ,M 在 y= 上,∴MH= - = 4 4 4 4 2

1 ∴MP=1,∴Py= 4 1 2 2 ∴ =-x +2x,∴4x -8x+1=0 4
∴x1=1+ ∴P1(1+
3 3 ,x2=1- 2 2

N F

M H P(x,y)

图(1)

3 3 1 1 , ) ,P2(1- , )· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 2 2 4 4
2 2 2

在 Rt△MNF 中,FM =FN +MN ,∴FM= (

1 2 3 ) ?( 1 ? ? 1 )2 =1 2 2

∴FM=MP=FP,∴△PFM 为正三角形 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 (3)当 t=

3 时,即点 N 与点 F 重合时,PM=PN 恒成立 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 4

理由:过 P 作 PH 与直线 x=1 的垂线,垂足为 H,如图(2) 在 Rt△PNH 中, PN =(x-1) +(t-y) =x -2x+1+t -2ty+y PM =(
2 2 2 2 2 2 2

y
M F H N O 图(2) P x

y=

5 4

5 5 25 2 2 -y) =y - y+ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 4 2 16
7

∵点 P 在抛物线上,∴y=-x +2x ∴PN =1-y+t -2ty+y =y - ∴-
2 2 2 2

2

5 25 y+ 2 16

3 9 3 9 2 2 y+2ty+ -t =0,y(2t- )+( -t )=0 对任意 y 恒成立 2 16 2 16 3 9 3 2 =0 且 -t =0,∴t= 2 16 4 3 时,PM=PN 恒成立 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 分 4 3 ,未证明只给 1 分) 4

∴2t-

故当 t=

(注:此问通过取特殊点求出的 t 值为

7. (湖北省黄石市)在△ABC 中,分别以 AB、BC 为直径作⊙O1、⊙O2,交于另一点 D. (1)证明:交点 D 必在 AC 上; (2)如图甲,当⊙O1 与⊙O2 半径之比为 4 : 3,且 DO2 与⊙O1 相切时,判断△ABC 的形状,并求 tan∠O2DB 的值; (3)如图乙,当⊙O1 经过点 O2,AB、DO2 的延长线交于 E,且 BE=BD 时,求∠A 的度数. C D O2 A O1 B (甲图) A O1 D O2 C

B (乙图)

E

7. (1)证明:∵AB 为⊙O1 的直径,∴∠ADB=90° 同理∠BDC=90° ∴∠ADC=180° ∴点 D 在 AC 上 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 (2)如图甲,△ABC 是以∠B 为直角的直角三角 形 连结 O1D,O1O2,∵DO2 是⊙O1 的切线 ∴∠O1DO2=90° ∵O1D=O1B,O2D=O2B,O1O2 为公共边 ∴△O1BO2≌△O1DO2 ∴∠O1BO2=∠O1DO2=90° ∴△ABC 为直角三角形 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 又∵BD⊥AC ∴∠O2DB=∠O2BD=∠A
8

C D O2 A O1 B (甲图)

∴tan∠O2DB=tanA=

3 BC = AB 4

· · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 D

C O2 A

(3)如图乙,连结 O1O2,则 AC=2O1O2=AB 令∠O2BD=x,则∠O2DB=∠O2BD=x ∵BE=BD,∴∠E=x ∴∠ABD=∠E+∠BDE=2x,∠ACB=∠ABC=3x ∵BC 为⊙O2 的直径,∴∠DBC+∠C=4x=90° O1

B (乙图)

E

∴∠A=180° -6x=45° · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分

8. (湖北省黄石市)已知抛物线 y=x +bx+c 与直线 y=x+1 有两个交点 A、B. (1)当 AB 的中点落在 y 轴时,求 c 的取值范围; (2)当 AB=2 2 ,求 c 的最小值,并写出 c 取最小值时抛物线的解析式; (3)设点 P(t,T)在 AB 之间的一段抛物线上运动,S(t)表示△PAB 的面积. ①当 AB=2 2 ,且抛物线与直线的一个交点在 y 轴时,求 S(t)的最大值,以及此时点 P 的坐标; ②当 AB=m(正常数)时,S(t)是否仍有最大值,若存在,求出 S(t)的最大值以及此时点 P 的坐标(t, T)满足的关系,若不存在说明理由.

2

y
B

A P

O

x

8.解: (1)由 x +bx+c=x+1 得 x +(b-1)x+c-1=0 设交点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)

2

2



(x1<x2)

由题意 x1,x2 是方程①的两个不同的实根,且 x1+x2=0
? ?b-1=0 故? 2 ?△=(b-1) -4(c-1)>0 ?

∴c<1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 (2)∵AB=2 2 ,如图可知| x1-x2|=2,即(x1+x2) -4x1x2=4 由(1)可知 x1+x2=-(b-1),x1x2=c-1 代入上式得:(b-1) -4(c-1)=4 ∴c=
2 2

1 2 (b-1) ≥0,∴c 的最小值为 0 4
2

此时 b=1,c=0,抛物线为 y=x +x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 (3)①∵AB=2 2 ,由(2)知 c=

1 2 (b-1) 成立 4
9

y
B Q A

又抛物线与直线的交点在 y 轴时这一交点为(0,1) ,即 c=1 ∴

1 2 (b-1) =1,∴b=-1 或 3 4
2 2

若 b=-1,则抛物线为 y=x -x+1 方程①为 x -2x=0,∴x1=0,x2=2,∴0<t<2 过 P 作 PQ∥y 轴,交 AB 于 Q 则△APQ 与△BPQ 公共边 PQ 上的高之和为| x1-x2|=2 而 PQ=yQ-yP=(t+1)-(t -t+1)=2t-t S(t)=S△APQ+S△BPQ =
2 2

1 2 2 PQ?| x1-x2|=PQ=2t-t =1-(t-1) 2
2

而 0<t<2,∴当 t=1 时,S(t)max=1,此时 P(1,1) 若 b=3,则抛物线为 y=x +3x+1 方程①为 x +2x=0,∴x1=-2,x2=0,∴-2<t<0 同理可得:S(t)=PQ=(t+1)-(t +3t+1)=-2t-t =1-(t+1)
2 m 2 2 m 2
2 2 2 2

而-2<t<0,∴当 t=-1 时,S(t)max=1,此时 P(-1,-1) · · · · · · · · ·8 分 ②∵当 AB=m 时,| x1-x2|=

由①可知△APQ 与△BPQ 公共边 PQ 上的高之和为| x1-x2|= ∴
2 2 m2 =(x1+x2) -4x1x2=(b-1) -4(c-1) 2



∴S(t)=S△APQ+S△BPQ = = = ≤

2 1 1 PQ?| x1-x2|= ? m?PQ 2 2 2

2 2 2 m?(yQ-yP)= m[(t+1)-(t +bt+c)] 4 4 2 2 1? b 2 1? b 2 2 m[-t +(1-b)t+1-c]= m[( ) +1-c-(t- )] 4 4 2 2
(b ? 1)2 ? 4(c ? 1) 2 2 2 3 m2 m? m? = m (将②代入) = 4 4 16 32 2

∴当 t=

2 3 1? b 时,S(t)max= m 32 2
2 2 2

此时(b-1) =4t

由②得 4(c-1)=(b-1) -

1 3 1 2 2 m =4t - m 2 2

1 2 2 ∴c=t - m +1,b=1-2t 8 1 2 1 2 2 2 2 2 ∴T=t +bt+c =t +(1-2t)=t +(1-2t)t+t - m +1=t+1- m 8 8
∴P(t,T-1)

1 2 满足 T=t+1- m · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 8
9. (湖北省荆州市)如图,直角梯形 OABC 的直角顶点 O 是坐标原点,边 OA,OC 分别在 x 轴、y 轴的正
10

半轴上,OA∥BC,D 是 BC 上一点,BD= 上的两个动点,且始终保持∠DEF=45° . (1)直接写出 ....D 点的坐标;

1 OA= 2 ,AB=3,∠OAB=45° ,E、F 分别是线段 OA、AB 4

(2)设 OE=x,AF=y,试确定 y 与 x 之间的函数关系式; (3)当△AEF 是等腰三角形时,将△AEF 沿 EF 折叠,得到△A′EF,求△A′EF 与五边形 OEFBC 重叠部分 的面积. y y D B B C C F

O

E

A

x

O 备用图

A

x

9.解: (1)D 点的坐标是(

3 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 2, 2)· 2 2

(2)连结 OD,如图(1) ,由结论(1)知:D 在∠COA 的平分线上 y 则∠DOE=∠COD=45° 又在梯形 DOAB 中,∠BAO=45° ,∴OD=AB=3 由三角形外角定理得:∠1=∠DEA-45° 又∠2=∠DEA-45° C
1

D

B F

2

E O ∴∠1=∠2,∴△ODE∽△AEF · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 图(1) 3 OE OD x ∴ ,即 = = AF AE y 4 2?x

A

x

1 2 4 2 ∴y 与 x 之间的函数关系式为:y=- x + x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 3 3
(3)当△AEF 为等腰三角形时,存在 EF=AF 或 EF=AE 或 AF=AE 共 3 种情况 ①当 EF=AF 时,如图(2) ,则∠FAE=∠FEA=∠DEF=45° ∴△AEF 为等腰直角三角形,D 在 A′E 上(A′E⊥OA) ,B 在 A′F 上(A′F⊥EF) ∴△A′EF 与五边形 OEFBC 重叠部分的面积为四边形 BDEF 的面积 y 3 5 ∵AE=OA-OE=OA-CD= 4 2 - 2= 2 2 2 C 2 5 5 ∴AF=AE?sin45° = = 2× 2 2 2 1 1 5 2 25 ∴S△AEF = EF?AF= ×( ) = O 2 2 2 8 S 梯形 AEDB = A′ D B F

E 图(2)

A

x

1 1 5 3 21 (BD+AE)?DE= ×( 2 + 2 )× 2= 2 2 2 2 4

∴S 四边形 BDEF =S 梯形 AEDB -S△AEF =

21 25 17 - · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·(8 分 = 4 8 8

(注:也可用 S 阴影=S△A′EF -S△A′BD) ②当 EF=AE 时,如图(3) ,此时△A′EF 与五边形 OEFBC 重叠部分的面积为△A′EF 面积
11

∵∠DEF=∠EFA=45° ,∴DE∥AB,又 DB∥EA ∴四边形 DEAB 是平行四边形,∴AE=DB= 2 ∴S△A′EF =S△AEF =

1 1 2 AE?EF= ×( 2 ) =1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 2

③当 AF=AE 时,如图(4) ,四边形 AEA′F 为菱形且△A′EF 在五边形 OEFBC 内 ∴此时△A′EF 与五边形 OEFBC 重叠部分的面积为△A′EF 面积 由(2)知△ODE∽△AEF,则 OD=OE=3 ∴AE=AF=OA-OE= 4 2 -3 过 F 作 FH⊥AE 于 H,则 FH=AF?sin45° =( 4 2 -3)× ∴S△A′EF =S△AEF =
2 3 2 =4- 2 2

3 2 41 2 ? 48 1 1 AE?FH= ×( 4 2 -3)×(4- )= 2 4 2 2 41 2 ? 48 17 综上所述,△A′EF 与五边形 OEFBC 重叠部分的面积为 或 1 或 4 8

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

y
C D B F

y
C A′ D B F

O

A′

E

A

x

O

E H

A

x

图(3) 图(4) 10. (湖北省荆门市)如图,圆 O 的直径为 5,在圆 O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P,已知 BC : CA=4 : 3, 点 P 在半圆弧 AB 上运动 (不与 A、 B 两点重合) , 过 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点. ? ? (1)求证:AC CD=PC BC; (2)当点 P 运动到 AB 弧中点时,求 CD 的长; (3)当点 P 运动到什么位置时,△PCD 的面积最大?并求这个最大面积 S. C

A P 10.解: (1)∵AB 为直径,∴∠ACB=90° 又∵PC⊥CD,∴∠PCD=90° 而∠CAB=∠CPD,∴△ABC∽△PDC,∴

D O B

C

AC BC = PC CD
A P O B

D

∴AC?CD=PC?BC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (2)当点 P 运动到 AB 弧中点时,过点 B 作 BE⊥PC 于点 E
2 BC= 2 2 2 4 又∠CAB=∠CPB,∴tan∠CPB=tan∠CAB= 3

∵P 是 AB 中点,∴∠PCB=45° ,CE=BE=

12

2 3 2 3 BE = ( BC)= 2 4 2 tan ?CPB 7 2 从而 PC=PE+EC= 2

∴PE=

D C

由(1)得 CD=

14 2 4 PC= 3 3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

A

O E

B

(3)当点 P 在 AB 上运动时,S△PCD = 由(1)可知,CD=

1 PC?CD 2
P

4 2 2 PC,∴S△PCD = PC 3 3 故 PC 最大时,S△PCD 取得最大值;而 PC 为直径时最大
∴S△PCD 的最大值 S=

2 50 2 ×5 = · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 3 3

11. (湖北省荆门市)已知:如图一次函数 y= =

1 x+1 的图象与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B;二次函数 y 2

1 2 1 x +bx+c 的图象与一次函数 y= x+1 的图象交于 B、C 两点,与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为 2 2 (1,0) (1)求二次函数的解析式; (2)求四边形 BDEC 的面积 S; (3)在 x 轴上是否存在点 P,使得△PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点 P,若 不存在,请说明理由. y

C
2

B x A O D E

11.解: (1)将 B(0,1) ,D(1,0)的坐标代入 y= c=1 ? ? ?1 +b+c=0 ? ?2

1 2 x +bx+c 得 2

3 ? ?b=- 2 解得? ? ?c=1
1 2 3 x - x+1 · · · · · · · · · · 3分 2 2
2

y

∴二次函数的解析式为 y= (2)设 C(x0,y0) ,则有 1 y0= x0+1 2

C B

? ? ? 1 ? ?y = 2 x
0

2

0



3 x0+1 2

? ?x0=4 解得 ? ?y0=3 ? 13

x A O D E P F

∴C(4,3) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 由图可知:S= S△ACE - S△ABD,又由对称轴为 x= ∴S=

3 可知 E(2,0) 2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

1 1 1 1 9 AE?y0- AD?OB= ×4×3- ×3×1= 2 2 2 2 2

(3)设符合条件的点 P 存在,令 P(a,0) : 当 P 为直角顶点时,如图:过 C 作 CF⊥x 轴于 F ∵Rt△BOP∽Rt△PFC,∴
2

BO OP 1 a ,即 = = PF CF 4?a 3

整理得 a -4a+3=0,解得 a=1 或 a=3 ∴所求的点 P 的坐标为(1,0)或(3,0) 综上所述:满足条件的点 P 共有二个 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

12. (湖北省宜昌市)如图①,P 是△ABC 边 AC 上的动点,以 P 为顶点作矩形 PDEF,顶点 D,E 在边 BC 上,顶点 F 在边 AB 上;△ABC 的底边 BC 及 BC 上的高的长分别为 a,h,且是关于 x 的一元二次方程 mx +nx+k=0 的两个实数根,设过 D, E,F 三点的⊙O 的面积为 S⊙O,矩形 PDEF 的面积为 S 矩形 PDEF. (1)求证:以 a+h 为边长的正方形面积与以 a,h 为边长的矩形面积之比不小于 4; (2)求 S⊙O 的最小值; S矩形PDEF S⊙O 的值最小时,过点 A 作 BC 的平行线交直线 BP 于 Q,这时线段 AQ 的长与 m,n,k 的取 S矩形PDEF A F P A
2

(3) 当

值是否有关?请说明理由.

B

E 图(1)

D

C

B

(供画图参考)

C

图(2)

12.解法一: (1)据题意,∵a+h=-

n k ,a?h= m m ∴所求正方形与矩形的面积之比:
( a ? h )2 = a· h
2

(?

n 2 ) n2 m · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 = k mk m
2

k 知 m,k 同号 m ∴mk>0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分
∵n -4mk≥0,∴n ≥4mk,由 a?h= (说明:此处未得出 mk>0 只扣 1 分,不再影响下面评分)
14



4mk n2 ≥ =4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 mk mk

即正方形与矩形的面积之比不小于 4 (2)∵∠FED=90? ,∴DF 为⊙O 的直径

DF 2 ? 2 2 DF 2 ) =π = (EF +DE ) · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 2 4 4 矩形 PDEF 的面积:S 矩形 PDEF=EF?DE
∴⊙O 的面积为:S⊙O=π( ∴面积之比:
S⊙O S 矩形PDEF



?
4

(

EF DE EF + ),设 =f DE EF DE
f -
1 f
2



S⊙O S 矩形PDEF



?
4
2

( f+

? 1 )= ( 4 f

)+

2

?
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分

∵(

f -

1 f 1 f

) ≥0,∴

?
4

(

f -

1 f

)+

?
2



?
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分



f =

,即 f=1 时(EF=DE) ,



S⊙O S 矩形PDEF

的最小值为 ? · · · · · · · · · · · ·7 分 2

(3)当

S⊙O S 矩形PDEF

的值最小时,矩形 PDEF 的四边相等为正方形

过 B 点过 BM⊥AQ,M 为垂足,BM 交直线 PF 于 N 点,设 FP=e ∵BN∥FE,NF∥BE,∴BN=EF,∴BN=FP=e 由 BC∥MQ 得:BM=AG=h ∵AQ∥BC,PF∥BC,∴AQ∥FP ∴△FBP∽△ABQ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 (说明:此处有多种相似关系可用,要同等分步骤评分) FP BN ∴ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 = AQ BM M e e ∴ · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 = ,∴AQ=h · AQ h N ∴AQ=
? n ? n 2 ? 4mk 2m

A F O P

Q

· · · · · · · · · · · · · ·11 分 B E

∴线段 AQ 的长与 m,n,k 的取值有关 (解题过程叙述基本清楚即可) 解法二: (1)∵a,h 为线 段长,即 a,h 都大于 0,

G D

C

∴ah>0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 (说明:此处未得出 ah>0 只扣 1 分,不再影响下面评分) ∵(a-h) ≥0,当 a=h 时等号成立.
15
2

故(a-h) =(a+h) -4ah≥0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 ∴(a+h) ≥4ah ∴ (a ? h) ≥4(*) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 ah 即正方形 与矩形的面积之比不小于 4(叙述基本明晰即可)
2

2

2

2

(2)设矩形 PDEF 的边 PD=x,DE=y,则⊙O 的直径为 x 2 ? y 2 S⊙O=π(
x2 ? y2 2

) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分

2

S 矩形 PDEF=xy
S⊙O S 矩形PDEF



?( x 2 ? y 2 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 4 xy
?( x ? y )2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ? 2? · ? xy ? ?



? ?( x 2 ? 2 xy ? y 2 )? 2 xy ? ? ? ?= 4 4? xy ?
( x ? y )2 ≥4 xy

由(1) (*) ,

A F O B E G D C P

Q



? ? ? ?( x ? y )2 ? ? 2? ≥ (4-2)= ? 4? xy 4 2 ?
S⊙O S 矩形PDEF





的最小值是

?
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分

(3)当

S⊙O S 矩形PDEF

的值最小时,矩形 PDEF 的四边相等为正方形

∴EF=PF.作 AG⊥BC,G 为垂足.

AB AG · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 = BF EF AQ AB ∵△AQB∽△FPB,∴ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 = BF PF AQ AG ∴ = EF PF
∵△AGB∽△FEB,∴ 而 EF=PF,∴AG=AQ=h · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ∴AG=h=
? n ? n 2 ? 4mk 2m

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分

∴线段 AQ 的长与 m,n,k 的取值有关 (解题过程叙述基本清楚即可)

13. (湖北省宜昌市)如图,直线 y=hx+d 与 x 轴和 y 轴分别相交于点 A(-1,0) ,B(0,1) ,与双曲线 y
16



t 在第一象限相交于点 C;以 AC 为斜边、∠CAO 为内角的直角三角形,与以 CO 为对角线、一边在 x x
2

轴上的矩形面积相等;点 C,P 在以 B 为顶点的抛物线 y=mx +nx+k 上;直线 y=hx+d、双曲线 y= 抛物线 y=ax +bx+c 同时经过两个不同的点 C,D. (1) 确定 t 的值 (2)确定 m,n,k 的值 2 (3)若无论 a,b,c 取何值,抛物线 y=ax +bx+c 都不经过点 P,请确定 P 的坐标. y
2

t 和 x

C B A O D x

13.解: (1)∵直线 y=hx+d 过点 A(-1,0) ,B(0,1) ∴0=-h+d 和 1=d,∴h=d=1 ∴y=x+1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 ∵双曲线 y=

t 经过点 C(x1,y1) ,∴x1y1=t x 1 ×y1×(1+x1) 2

以 AC 为斜边,∠CAO 为内角的直角三角形的面积为 以 CO 为对角线的矩形面积为 x1y1

1 ×y1×(1+x1)=x1y1 2 ∵x1,y1 都不等于 0,∴x1=1,∴y1=2
由题意得:

t ∴2= ,即 t=2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 1 2 (2)∵B(0,1)是抛物线 y=mx +nx+k 的顶点

n 2 ? 4 mk n =0,- =1 4m 2m
2

∴n=0,k=1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 ∵点 C(1,2)在抛物线 y=mx +nx+k ∴2=m+1,即 m=1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 (3)设点 P 的横坐标为 p,则纵坐标为 p +1
17
2

y=x+1 ? ? 联立? 1 y= ? ? x
解法一:

求得 D 点坐标为(-2,-1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分
2

∵抛物线 y=ax +bx+c 经过两个不同的点 C,D

? ?2=a+b+c ∴? ? ?-1=4a-2b+c ?b=a+1 ? 解得? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ?c=1-2a ?

(说明:如用 b 表示 a,c,或用 c 表示 a,b,均可,后续参照得分) ∴y=ax +(a+1)x+(1-2a) 于是:p +1≠ap +(a+1)p+(1-2a) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ∴无论 a 取何值都有 p -p≠(p +p-2)a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 (或者,令 p -p=(p +p-2)a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ∵抛物线 y=ax +bx+c 不经过 P 点 ∴此方程无解,或有解但不合题意) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分
2 2 2 2 2 2 2 2

?p -p=0 ∵a≠0,∴①? 2 ?p +p-2≠0
解得 p=0,p=1,且 p≠1,p≠-2,得 p=0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ∴符合题意的 P 点为(0,1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

2

?p -p≠0 ②? 2 ?p +p-2=0

2

解得 p=1,p=-2,且 p≠0,p≠1

得 p=-2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 符合题意的 P 点为(-2,5) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ∴符合题意的 P 点有两个: (0,1)和(-2,5)

解法二: 则有(a-1)p +(a+1)p-2a=0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 即[(a-1)p+2a](p-1)=0 当 p-1=0 时,得 p=1,为(1,2)此即 C 点,在 y=ax +bx+c 上 · ·8 分 或(a-1)p+2a=0,即(p+2)a=p 当 p=0 时 a=0 与 a≠0 矛盾 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 得点 P(0,1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
18
2 2

或者 p=-2 时,无解 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 得点 P(-2,5) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 故对任意 a,b,c,抛物线 y=ax +bx+c 都不经过(0,1)和(-2,5) 解法三: 如图,抛物线 y=ax +bx+c 不经过直线 CD 上除 C,D 外的其他点 (只经过直线 CD 上的 C,D 点) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分
2 2

?y=x+1 由? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 2 ?y=x +1
解得交点为 C(1,2) ,B(0,1) 故符合题意的点 P 为(0,1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 抛物线 y=ax +bx+c 不经过直线 x=-2 上除 D 外的其它点 · · · · · · · · · · · · · ·9 分
2

?y=x +1 由? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ?x=-2
解得交点 P 为(-2,5) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 抛物线 y=ax +bx+c 不经过直线 x=1 上除 C 外的其它点

2

?y=x +1 由? ?x=1

2

解得交点为 C(1,2) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

故符合条件的点 P 为(0,1)或(-2,5) (说明:1.仅由图形看出一个点的坐标给 1 分,看出二个给 2 分;2.解题过程叙述基本清 楚即可) P

y

C B(P) A O D x

14. (湖北省襄樊市)如图,已知:AC 是⊙O 的直径,PA⊥AC,连结 OP,弦 CB∥OP,直线 PB 交直线 AC 于 D,BD=2PA. P (1)证明:直线 PB 是⊙O 的切线; B (2)探究线段 PO 与线段 BC 之间的数量关系,并加以证明; (3)求 sin∠OPA 的值. A D C O
19

14.解: (1)连结 OB,∵BC∥OP ∴∠BCO=∠POA,∠CBO=∠POB · · · · · · · · · · · · ·1 分 又∵OC=OB,∴∠BCO=∠CBO ∴∠POB=∠POA · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 又∵PO=PO,OB=OA ∴△POB≌△POA · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 ∴∠PBO=∠PAO=90° ∴PB 是⊙O 的切线 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 (2)2PO=3BC(写 PO= D C O B

P

A

3 BC 亦可) 2

证明:∵△POB≌△POA,∴PB=PA · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 ∵BD=2PA,∴BD=2PB,∵BC∥PO,∴△DBC∽△DPO · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ∴

BC BD 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 = = ,∴2PO=3BC · PO PD 3 DC BD 2 2 · · · · · ·8 分 = = ,即 DC= DO,∴DC=2OC · DO PD 3 3
2 2 2 2 2

注:开始没有写出判断结论,证明正确也给满分 (3)∵△DBC∽△DPO,∴

设 OA=x,PA=y,则 DO=3x,OB=x,BD=2y 在 Rt△OBD 中,由勾股定理,得(3x) =x +(2y) ,即 2x =y

∵x>0,y>0,∴y= 2 x,OP= x 2+ y 2 = 3 x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ∴sin∠OPA=
3 OA x = = 3 OP 3x

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

15. (湖北省襄樊市)如图,四边形 ABCO 是平行四边形,AB=4,OB=2,抛物线过 A、B、C 三点,与 x 轴交于另一点 D.一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从 B 点出发沿 BA 向点 A 运动,运动到点 A 停止, 同时一动点 Q 从点 D 出发,以每秒 3 个单位长度的速度沿 DC 向点 C 运动,与点 P 同时停止. (1)求抛物线的解析式; (2)若抛物线的对称轴与 AB 交于点 E,与 x 轴交于点 F,当点 P 运动时间 t 为何值时,四边形 POQE 是 等腰梯形? (3)当 t 为何值时,以 P、B、O 为顶点的三角形与以点 Q、B、O 为顶点的三角形相似? y

B C O

A x

D

15.解: (1)∵四边形 ABCO 是平行四边形,∴OC=AB=4
20

∴A(4,2) ,B(0,2) ,C(-4,0) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 ∵抛物线 y=ax +bx+c 过点 B,∴c=2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 1 a=- ? 16 ?16a-4b+2=0 由题意,有? 解得 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 ?16a+4b+2=2 1 ? b= 4 1 2 1 ∴所求抛物线的解析式为 y=- x + x+2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 16 4
2

? ? ? ? ?

(2)将抛物线的解析式配方,得 y=-

1 9 2 (x-2) + 16 4

∴抛物线的对称轴为 x=2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 ∴D(8,0) ,E(2,2) ,F(2,0) 欲使四边形 POQE 为等腰梯形,则有 OP=QE,即 BP=FQ ∴t=6-3t,即 t=

3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 2

y

B C O

A P E F Q D x

(3)欲使以 P、B、O 为顶点的三角形与以点 Q、B、O 为顶点的三角形相似 BO OQ BP BP ∵∠PBO=∠BOQ=90° ,∴ 或 = = OQ OB BO OB 即 PB=OQ 或 OB =PB?OQ ①若 P、Q 在 y 轴的同侧,当 PB=OQ 时,t=8-3t,∴t=2 · · · · · · · · · · · · · ·8 分 当 OB =PB?OQ 时,t(8-3t)=4,即 3t -8t+4=0 解得 t1=2,t2=
2 2 2

2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 3
4?2 7 3

②若 P、Q 在 y 轴的异侧,当 PB=OQ 时,t=3t-8,∴t=4 · · · · · · · · · · · · · 10 分 当 OB =PB?OQ 时,t(3t-8)=4,即 3t -8t-4=0,解得 t= ∵t=
4?2 7 4?2 7 <0,故舍去,∴t= 3 3
2 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分

4?2 7 2 或 t=4 或 t= 秒时,以 P、B、O 为顶点的三角形与以点 3 3 Q、B、O 为顶点的三角形相似 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

综上所述,当 t=2 或 t=

16. (湖北省咸宁市)在一条直线上依次有 A、B、C 三个港口,甲、乙两船同时分别从 A、B 港口出发,沿 直线匀速驶向 C 港,最终达到 C 港.设甲、乙两船行驶 x(h)后,与 港的距离 分别为 y1、y2(km) ,y1、 .B . ....

y2 与 x 的函数关系如图所示.
21

(1)填空:A、C 两港口间的距离为_________km,a=_________; (2)求图中点 P 的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义; (3)若两船的距离不超过 10 km 时能够相互望见,求甲、乙两船可以相互望见时 x 的取值范围.

y/km
90 甲 乙 30 O 0.5

P a
3

x/h

16.解: (1)120,a=2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 (2)由点(3,90)求得,y2=30x 当 x >0.5 时,由点(0.5,0) , (2,90)求得,y1=60x-30 · · · · · · · · · · · · · ·3 分 当 y1=y2 时,60x-30=30x,解得 x=1 此时 y1=y2=30,所以点 P 的坐标为(1,30) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 该点坐标的意义为:两船出发 1 h 后,甲船追上乙船,此时两船离 B 港的距离为 30 km · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 求点 P 的坐标的另一种方法: 30 90 由图可得,甲的速度为 ,乙的速度为 =60(km/h) =30(km/h) 0.5 3 30 则甲追上乙所用的时间为 ,此时乙船行驶的路程为 30×1=30(km) =1(h) 60 ? 30 所以点 P 的坐标为(1,30) (3)①当 x≤0.5 时,由点(0,30) , (0.5,0) ,求得 y1=-60x+30

2 ,不合题意 · · · · · · · · · · · · · ·7 分 3 ②当 0.5<x≤1 时,依题意,30x-(60x-30)≤10
依题意,(-60x+30)+30x≤10. 解得,x≥

2 2 ,所以 ≤x≤1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 3 3 ③当 x>1 时,依题意,(60x-30)-30x≤10 4 4 解得 x≤ ,所以 1<x≤ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 3 3
解得 x≥ 综上所述,当

2 4 ≤x≤ 时,甲、乙两船可以相互望见 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 3 3

22

17. (湖北省咸宁市)如图,直角梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠DAB=90° ,AD=2DC=4,AB=6.动点 M 以每秒 1 个单位长的速度,从点 A 沿线段 AB 向点 B 运动;同时点 P 以相同的速度,从点 C 沿折线 C- D - A 向点 A 运动.当点 M 到达点 B 时,两点同时停止运动.过点 M 作直线 l∥AD,与线段 CD 的交点为 E,与折线 A-C-B 的交点为 Q.点 M 运动的时间为 t(秒) . (1)当 t=0.5 时,求线段 QM 的长; (2)当 0<t<2 时,如果以 C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形,求 t 的值; CQ (3)当 t>2 时,连接 PQ 交线段 AC 于点 R.请探究 是否为定值,若是,试求这个定值;若不是,请 RQ 说明理由. DE P C D C D C

Q A l M B A
(备用图 1)

B

A
(备用图 2)

B

17.解: (1)过点 C 作 CF⊥AB 于 F,则四边形 AFCD 为矩形 ∴CF=4,AF=2 此时,Rt△ AQM∽Rt△ ACF · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ∴ DE P C

QM CF = AM AF
A

QM 4 即 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 = ,∴QM=1 · 0.5 2 (2)∵∠DCA 为锐角,故有两种情况:
①当∠CPQ=90° 时,点 P 与点 E 重合

Q l M F B

此时 DE+CP=CD,即 t+t=2,∴t=1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 ②当∠PQC=90° 时,如备用图 1 EQ MA 此时 Rt△ PEQ∽Rt△ QMA,∴ = PE QM 由(1)知,EQ=EM-QM=4-2t 而 PE=PC-EC=PC-(DC-DE)=t-(2-t)=2t-2 ∴ DP E C Q

4 ? 2t 1 5 = ,∴t= 2t ? 2 2 3

A

M
(备用图 1)

B

5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 3 (说明:未综述,不扣分) CQ (3) 为定值 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 RQ D C 当 t >2 时,如备用图 2 Q P R PA=DA-DP=4-(t-2)=6-t
综上所述,t=1 或 由(1)得,BF=AB-AF=4 ∴CF=BF,∴∠CBF=45°
23

A

F

M

B

(备用图 2)

∴QM=MB=6-t,∴QM=PA ∴四边形 AMQP 为矩形,∴PQ∥AB · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ∴△ CRQ∽△ CAB ∴
4 2 2 2 BF 2 +CF 2 CQ BC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 = = = = 6 3 AB AB RQ

18. (湖北省十堰市)如 图 , 已 知 ⊙ O 1 与 ⊙ O 2 都 过 点 A,AO1 是⊙O2 的切线,⊙O1 交 O1O2 于点 B, 连结 AB 并延长交⊙O2 于点 C,连结 O2C. A (1)求证:O2C⊥O1O2; (2)证明:AB?BC=2O2B?BO1; (3)如果 AB?BC=12,O2C=4,求 AO1 的长. O2 O1 B

C 18.解: (1)∵AO1 是⊙O2 的切线,∴O1A⊥AO2,∴∠O2AB+∠BAO1=90° 又 O2A=O2C,O1A=O1B,∴∠O2CB=∠O2AB,∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1 ∴∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90° ,∴O2C⊥O2B,即 O2C⊥O1O2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 (2)延长 O2O1 交⊙O1 于点 D,连结 AD ∵BD 是⊙O1 直径,∴∠BAD=90° 又由(1)可知∠BO2C=90° ∴∠BAD=∠BO2C,又∠ABD=∠O2BC ∴△O2BC∽△ABD ∴ D O1 A O2

B

O2 B BC = BD AB

C

∴AB?BC=O2B?BD,又 BD=2BO1 ∴AB?BC=2O2B?BO1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 (3)由(2)证可知∠D=∠C=∠O2AB,即∠D=∠O2AB,又∠AO2B=∠DO2A ∴△AO2B∽△DO2A AO2 O2 B ∴ = DO2 O2 A ∴AO2 =O2B?O2D ∵O2C=O2A ∴O2C =O2B?O2D
2 2 2


2 2 2

又由(2)AB?BC=O2B?BD ② 由①-②得 O2C -AB?BC=O2B ,即 4 -12 =O2B ∴O2B=2,又 O2B?BD=AB?BC=12 ∴BD=6,∴2AO1=BD=6,∴AO1=3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分
24

19. (湖北省十堰市)已知关于 x 的方程 mx -(3m-1)x+2m-2=0 (1)求证:无论 m 取任何实数时,方程恒有实数根. 2 (2) 若关于 x 的二次函数 y=mx -(3m-1)x+2m-2=0 的图象与 x 轴两交点间的距离为 2 时, 求抛物线的 解析式. (3)在直角坐标系 xoy 中,画出(2)中的函数图象,结合图象回答问题:当直线 y=x+b 与(2)中的函 数图象只有两个交点时,求 b 的取值范围. 19.解: (1)分两种情况讨论: ①当 m=0 时,方程为 x-2=0,∴x=2,方程有实数根 ②当 m≠0 时,则一元二次方程的根的判别式 △=[-(3m-1)] -4m(2m-2)=m +2m+1=(m+1) ≥0 不论 m 为何实数,△≥0 成立,∴方程恒有实数根 综合①②,可知 m 取任何实数,方程 mx -(3m-1)x+2m-2=0 恒有实数根 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 (2)设 x1,x2 为抛物线 y=mx -(3m-1)x+2m-2 与 x 轴交点的横坐标. 则有 x1+x2=
2 2 2 2 2

2

3m ? 1 2m ? 2 ,x1?x2= m m
2

y

由|x1-x2|= ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 = (
3m ? 1 2 4(2m ? 2) ) ? m m

y1=x -2x

2

O

2

4

x



( m ? 1)2 m2

=|

m ?1 | m m ?1 m ?1 m ?1 |=2,∴ =2 或 =-2 m m m

1 y2=- (x-2)(x-4) 3

由|x1-x2|=2 得| ∴m=1 或 m=-

1 3

2 1 2 8 ∴所求抛物线的解析式为 y1=x -2x,y2=- x +2x- 3 3

1 即 y1=x(x-2),y2=- (x-2)(x-4),其图象如图所示 · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 3
方法 2:由 mx -(3m-1)x+2m-2=0 得(x-2)[mx-(m-1)]=0 可知抛物线 y=mx -(3m-1)x+2m-2 不论 m 为任何不为 0 的实数时恒过定点(2,0) ∵|x1-x2|=2,可得|2-x2|=2,∴x2=0 或 x2=4,对应的 m 的值为 m=1 或 m=-
2 2

1 3

1 2 8 1 2 即所求抛物线的解析式为 y1=x -2x=x(x-2),y2=- x +2x- =- (x-2)(x-4) 3 3 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分
(3)在(2)的条件下,直线 y=x+b 与抛物线 y1,y2 组成的图象只有两个交点,结合图象,求 b
25

的取值范围

?y1=x -2x ? ?y=x+b

2

当 y1=y 时,得 x -3x-b=0,由△=9+4b=0,得 b=-

2

9 4

1 2 8 ? ?y2=- x +2x- 3 3 同理? ? ?y=x+b
观察函数图象可知当 b<-

可得△=9-4(8+3b)=0,得 b=-

23 12

9 23 或 b>- 时,直线 y=x+b 与(2)中的图象只有两个交点 4 12

y x -2x ? ? 1= 由 ? 1 y2=- (x-2)(x-4) ? ? 3

2

当 y1=y2 时,有 x=2 或 x=1;当 x=1 时,y=-1

所以过两抛物线交点(1,-1) , (2,0)的直线为 y=x-2

9 23 或 b>- 或 b=-2 时,直线 y=x+b 与(2)中的图象只有两 4 12 个交点 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
综上所述可知:当 b<-

20. (湖北省孝感市)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为(2,0) ,直线 y=x+1 与二次函数的图象交于 A、B 两点,其中点 A 在 y 轴上. (1)二次函数的解析式为 y=__________________; (2)证明点(―m,2m―1)不在(1)中所求的二次函数的图象上; (3)若 C 为线段 AB 的中点,过 C 点作 CE⊥x 轴于 E 点,CE 与二次函数的图象交于 D 点. ①y 轴上存在点 K,使以 K、A、D、C 为顶点的四边形是平行四边形,则 K 点的坐标是__________; ②二次函数的图象上是否存在点 P,使得 S△POE =2S△ABD?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明 理由. y B C

A O 20. (1)解:y=

2

D E

x

1 2 1 2 x -x+1(y= (x-2) ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 4 4 1 2 x -x+1 的图象上 4

(2)证明:设点(―m,2m―1)在二次函数 y= 则有:2m―1=
2

1 2 m +m+1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 4

整理得 m ―4m+8=0
26

∵△=(-4) -4×8=-16<0 ∴原方程无解 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 ∴点(―m,2m―1)不在二次函数 y= 说明:由

2

1 2 x -x+1 的图象上 · · · · · · · · · · · · ·6 分 4

1 2 1 2 m +m+1―(2m―1)得到( m―1) +1>0,从而判断点(―m,2m―1)不在二 4 2 次函数图象上的同样给分
(3)解:①K(0,5)或(0,-3) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ②二次函数的图象上存在点 P,使得 S△POE =2S△ABD 如图,过点 B 作 BF⊥x 轴于 F,则 BF∥CE∥AO,又 C 为 AB 中点 ∴OE=EF,由 y=

1 2 x -x+1 和 y=x+1 可求得点 B(8,9) 4
1 ×4×4=16 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 2

∴E(4,0) ,D(4,1) ,C(4,5) ,∴AD∥x 轴 ∴S△ABD =2S△ACD =2× 设 P(x,

1 2 x -x+1) ,由题意有: 4

1 1 2 1 2 S△POE = ×4( x -x+1)= x -2x+2 · · · · · · · · ·10 分 2 4 2 1 2 ∵S△POE =2S△ABD,∴ x -2x+2=32 2
解得 x=-6 或 x=10 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 当 x=-6 时,y=

y
B C

1 2 ×(-6) -(-6)+1=16 4

A O

2

D E

1 2 当 x=10 时,y= ×10 -10+1=16 4
∴存在点 P(-6,16)和 P(10,16) ,使得 S△POE =2S△ABD · · · · · · · · · · · · 12 分

x

说明:在求出 S△ABD =16 后,也可由 S△POE =2S△ABD 得到△POE 的边 OE 上的高为 16,然 后由 16=

1 2 x -x+1 可求出 P 点坐标 4

21. (湖北省鄂州市)春节期间,某客运站旅客流量不断增大,旅客往往需要长时间排队等候购票。经过调 查发现,每天开始售票时,约有 400 人排队购票,同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票。售票 时售票厅每分钟新增购票人数 4 人,每分钟每个售票窗口出售的票数 3 张。某一天售票厅排队等候购票的 人数 y(人)与售票时间 x(分钟)的关系如图所示,已知售票的前 a 分钟只开放了两个售票窗口(规定每人只 购一张票) 。 (1)求 a 的值。 (2)求售票到第 60 分钟时,售票厅排队等候购票的旅客人数。 (3)若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票,以便后来到站的旅客随到随购,至少需 要同时开放几个售票窗口?
y(人) 400 320 A B 27 O a C 104 x(分钟)

21.解: (1)由题意得:400+4a-2×3a=320 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 解这个方程,得 a=40 即 a 的值为 40 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 (2)设第 40~78 分钟时,售票厅排队等候购票的旅客人数 y 与售票时间 x 的函数关系式为 y=kx+b,则
? ?40k+b=320 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 ?104k+b=0 ? ?k=-5 ? 解得? ? ?b=520

∴y=-5x+520 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分

当 x=60 时,y=-5×60+520=220 因此,售票到第 60 分钟时,售票厅排队等候购票的旅客有 220 人 · · · · · · ·5 分 (3)设同时开放 n 个售票窗口,依题意得: 400+30×4≤30×3×n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 解这个不等式,得 n≥

52 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 9

因为 n 为整数,所以 n=6 即至少需要同时开放 6 个售票窗口 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

22. (湖北省鄂州市)工程师有一块长 AD 为 12 分米,宽 AB 为 8 分米的铁板,截去了长 AE=2 分米,AF =4 分米的直角三角形,在余下的五边形中截得矩形 MGCH,M 必须在线段 EF 上。 (1)若截得矩形 MGCH 的面积为 70 平方分米,求矩形 MGCH 的长和宽。 (2)当 EM 为多少时,矩形 MGCH 的面积最大?并求此时矩形的周长。 A M E F D H

G 22.解: (1)延长 GM 交 AD 于 N,则△NMF∽△AEF ∴

B

C A E N M F D H

NM NF = AE AF

NM 4 ? x 设 AN=x,则 = 2 4
∴NM=2-

x 2
28

B

G

C

∴MG=8-(2- 依题意得:(6+

x x )=6+ ,MH=12-x 2 2 x )(12-x)=70 2
2

即(12+x)(12-x)=140,∴144-x =140 ∴x=2 ∴MH=12-2=10,MG=6+1=7 即矩形 MGCH 的长为 10 分米,宽为 7 分米 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 (2)∵S 矩形 MGCH=(6+

x 1 2 )(12-x)=72- x 2 2

∴当 x=0,矩形 MGCH 的面积最大 此时 M 点与 E 点重合,即 EM 为 0,矩形 MGCH 的长为 12,宽为 8-2=6 周长为:2(12+6)=36(分米) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

23. (湖北省鄂州市)如图,一面利用墙,用篱笆围成一个外形为矩形的花圃,花圃的面积为 S 平方米,平 行于院墙的一边长为 x 米。 (1)若院墙可利用最大长度为 10 米,篱笆长为 24 米,花圃中间用一道篱笆间隔成两个小矩形,求 S 与 x 之间函数关系。 (2)在(1)的条件下,围成的花圃面积为 45 平方米时,求 AB 的长。能否围成面积比 45 平方米更大的花 圃?如果能,应该怎样围?如果不能,请说明理由。 (3)当院墙可利用最大长度为 40 米,篱笆长为 77 米,中间建 n 道篱笆间隔成小矩形,当这些小矩形为正 方形,且 x 为正整数时,请直接写出一组满足条件的 x、n 的值。 A B x (1)题图 23.解: (1)由题意知花圃的长为 x 米,则花圃的宽为 ∴S 与 x 之间函数关系为:S=x( D C A B x (2)题图 …… D C

24 ? x 米 3

24 ? x 1 2 )=- x +8x(0<x≤10) · · · · ·3 分 3 3

1 2 (2)依题意得:- x +8x=45 3
整理得:x -24x+135=0,解得 x=15(舍去)或 x=9 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 ∴AB=
2

24 ? 9 =5(米) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 3

1 2 若- x +8x>45,则 9<x<15 3
又 0<x≤10,∴9<x≤10 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分

1 2 1 2 1 2 ∵S=- x +8x=- (x -24x)=- (x-12) +48 3 3 3
当 9<x≤10 时,S 随 x 的增大而增大
29

∴平行于院墙的一边长大于 9 米时,就能围成面积比 45 平方米更大的花圃 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 (3)x=33,n=2(或 x=35,n=4 或 x=38,n=37) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 x、n 的值的求解过程如下(原题不作要求,本人添加,仅供参考) ∵中间有 n 道篱笆,∴花圃的宽为 ∵间隔成的小矩形为正方形,∴有 ∴2nx+3x=77(n+1),∴x=

77 ? x 米 n?2 77 ? x x = n?2 n ?1

77( n ? 1 ) 2n ? 3

∵n、x 均为正整数且 0<x≤40 ∴2n+3=7 或 2n+3=11 或 2n+3=77
?n=2 ?n=4 ?n=37 ? ? ? ∴? 或 ? 或 ? ? ? ? ?x=33 ?x=35 ?x=38

24. (湖北省鄂州市)如图,在直角坐标系中,A(-1,0)、B(0,2),一动点 P 沿过 B 点且垂直于 AB 的射 线 BM 运动,P 点的运动速度为每秒 1 个单位长度,射线 BM 与 x 轴交于点 C。 (1)求点 C 的坐标. (2)求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式。 (3)若 P 点开始运动时,Q 点也同时从 C 点出发,以 P 点相同的速度沿 x 轴负方向向点 A 运动,t 秒后, 以 P、Q、C 为顶点的三角形为等腰三角形(点 P 到点 C 时停止运动,点 Q 也同时停止运动) ,求 t 的值。 (4)在(2) (3)的条件下,当 CQ=CP 时,求直线 OP 与抛物线的交点坐标。 y B

P C Q Mx

A O 24.解: (1)易知△AOB∽△BOC,则
2 2

OB OC = OA OB

∴OB =OA?OC,即 2 =1×OC,∴OC=4 ∴点 C 的坐标为(4,0) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 (2)设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y=ax +bx+c(a≠0) ,则有: 1 a=- 2 ?0=a-b+c
2

? ?2=c ? ?0=16a+4b+c

? 3 解得? b= 2 ?c=2

∴抛物线的解析式为 y=-

1 2 3 x + +2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 2 2

(3)∵OB=2,OC=4,∴BC= 22 +42 = 2 5 设 P、Q 的运动时间为 t 秒,则 BP=t,CQ=t.以 P、Q、C 为顶点的三角形为等腰三角形,
30

有以下三种情况: ①若 CQ=PC,如图 1 所示,则 PC=CQ=BP=t ∴2t=BC= 2 5 ,∴t= 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分
2 5 t 5

②若 CQ=PQ,如图 2 所示,过点 Q 作 QD⊥BC,垂足为 D,则有 CD=PD 由△ABC∽△QDC,可得 PD=CD= ∴
4 5 5

t= 2 5 -t,解得 t=

40 -10 5 11

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分
2 5 PC 5

③若 PQ=PC,如图 3 所示,过点 P 作 PE⊥A C,垂足为 E,则 EC=QE= ∴ y

2 5 32 5 - 40 1 t= ( 2 5 -t),解得 t= · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 5 11 2

B P C

y

B

y P Q 图2 D

B P C

C Mx A O Q 图3 E

A O

Q 图1

Mx

A O

Mx

综上所述,当 t= 5 或 形

40 -10 5 32 5 - 40 或 时,以 P、Q、C 为顶点的三角形是等腰三角 11 11

(4)当 CQ=PC 时,由(3)知 t= 5 ,∴点 P 的坐标为(2,1) · · · · · · · · · · · · ·9 分 ∴直线 OP 的解析式为 y=

1 x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2

1 y= x ? ? 2 由 ? 1 3 y=- x + +2 ? ? 2 2
2

?x =1+ 5 解得 ? 1? 5 y= ? 2
1 1

?x =1- 5 ?y = 1- 5 ? 2
2 2

∴直线 OP 与抛物线的交点坐标为(1+ 5 ,

1? 5 1- 5 )和(1- 5 , ) 2 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 25. (湖北省随州市)如图①,在△ABC 中,点 D 在 AC 上,点 E 在 BC 上,且 DE∥AB,将△CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转得到△CD′E′(使∠BCE′<180° ) ,连接 AD′、BE′,设直线 BE′ 与 AC 交于点 F. (1)当 AC=BC 时,AD′ : BE′ 的值为___________; (2)如图②,当 AC=5,BC=4 时,求 AD′ : BE′ 的值; (3)在(2)的条件下,若∠ACB=60° ,且 E 为 BC 的中点,求△ABF 面积的最小值. A A

D E′ F B E
图①

D′

D F

E′ D′ C

C

31

B

E
图②

25.解: (1)1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 (2)∵DE∥AB,∴△CDE∽△CAB EC DC ∴ = BC AC 由旋转图形的性质得:EC=E′C,DC=D′C E?C D?C ∴ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 = BC AC ∵∠ECD=∠E′CD′,∴∠ECD+∠ACE′=E′CD′+∠ACE′ · · · · · · · · · · · · 4分 即∠BCE′=∠ACD′,∴△BCE′∽△ACD′ · 5 ∴AD′ : BE′=AC : BC= · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 4 (3)作 BH⊥AC 于点 H,则 BH=BC?sin60° =2 3 ∵E 为 BC 中点,∴CE= B E D H F C E′ D′

A

1 BC=2 2

△CDE 旋转时,点 E′ 在以点 C 为圆心、CE 长为半径的圆上运动 ∵CF 随着∠CBE′ 的增大而增大, · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ∴当 BE′ 与⊙C 相切时,即∠BE′C=90° 时,∠CBE′ 最大 ·

此时 CF 最大,∠CBE′=30° ,CE′=

1 BC=2=CE 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ∴点 E′ 在 AC 上,即点 E′ 与点 F 重合,∴CF=CE′=2· 又∵CF 最大时,AF 最小,且 AF=AC-CF=3 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ∴S△ABF 最小 = AF?BH= 3 3 · 2 26. (湖北省随州市)如图①,在平面直角坐标系中,抛物线 L1:y=x +c 与 x 轴交于 B、C 两点,与 y 轴 交于点 A,且△ABC 是等腰直角三角形. (1)求 c 的值; (2)如图②,将△ABC 绕点 B 逆时针方向旋转 90° ,得△A′BC′,然后将抛物线 L1 平移,使它的顶点落在 点 C′ 处,得抛物线 L2,它与 y 轴相交于点 D,连接 DC′,试判断四边形 BA′DC′ 的形状,并说明理由; (3)将抛物线 L2 沿直线 BC′ 向上或向下平移,记此时抛物线的顶点为 C″,它与 y 轴的交点为 D′,过点 C″ 作 C″A″∥C′A′,交直线 A′B 于点 A″ .是否存在这样的点 C″,使得△A″C″D′ 是一个含有 30° 内角的三角形? ″ 若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.
2

y

y

y

D C′ B O A
图①

C′ A′ C A
图② 32

A′ x B O A
备用图

C

x

B O

C

x

26.解: (1)在 y=x +c 中,令 y=0,得 x +c=0,∴x=± ? c ;令 x=0,得 y=c ∴A(0,c) ,B(- ? c ,0) ,C( ? c ,0) ∵△ABC 是等腰直角三角形,∴OA=OB 即-c= ? c ,∴c=0(舍去)或 c=-1 即 c 的值为-1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 (2)四边形 BA′DC′ 为平行四边形 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 由(1)知:A(0,-1) ,B(-1,0) ,C(1,0) △ABC 绕点 B 逆时针方向旋转 90° 后,点 C′ 的坐标为(-1,2)· · · · · · · · · ·5 分 ∵抛物线 L2 的顶点为 C′(-1,2) ∴抛物线 L2 的解析式为 y=(x+1) +2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ∵A(0,-1) ,∴A′(0,1) 在 y=(x+1) +2 中,令 x=0,得 y=3 ∴点 D 的坐标为(0,3) ,∴DA′=3-1=2=BC′ 又∠C′BC=90° ,∴BC′∥DA′ ∴四边形 BA′DC′ 为平行四边形 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 (3)假设存在这样的点 C″,过 D′ 作 D′E⊥BC′ 于 E 设顶点为 C″ 的抛物线的解析式为 y=(x+1) +k 令 x=-1,得 y=k;令 x=0,得 y=1+k ∴C″E=1+k-k=1=D′E,∴△C″D′E 是等腰直角三角形,∴∠D′C″E=45° ∵△ABC 是等腰直角三角形,∴∠BCA=45° ,∴∠BC′A′=45° ∵C″A″∥C′A′,∴∠BC″A″=45° ∴∠A″C″D′=90° · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ∴若△A″C″D′ 是一个含有 30° 内角的三角形,则只能是∠C″A″D′=30° 或∠C″D′A″=30° · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 C″D′ 当∠C″A″D′=30° 时,则 A″C″= = 3C″D′= 3× 2= 6 tan30° ∴BC″= 2A″C″= 2× 6=2 3 ∴C″1(-1,2 3) ,C″2(-1,-2 3) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 3 6 当∠C″D′A″=30° 时,则 A″C″=C″D′?tan30° = 2× = 3 3 6 2 3 ∴BC″= 2A″C″= 2× = 3 3 2 3 2 3 ∴C″3(-1, ) ,C″4(-1,- ) 3 3 综上所述,存在这样的点 C″,使得△A″C″D′ 是一个含有 30° 内角的三角形, 2 3 2 3 点 C″ 的坐标为: (-1,2 3)或(-1,-2 3)或(-1, )或(-1,- ) 3 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分
33
2 2 2

2

2

y

y

y

y

E C″ C′

D′

C′ A′

C′ C″ C D′ x A″ B O

D′ A′ C A x

C′ B A″ O A′ D′ C x

A′ B O A

A″ C x A″

B O A

C″ A

C″ 27. (湖北省恩施自治州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=x +bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两 点,A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0) ,与 y 轴交于 C(0,-3)点,点 P 是直线 BC 下方的抛物线 上一动点. (1)求这个二次函数的表达式; (2)连结 PO、PC,并把△POC 沿 CO 翻折,得到四边形 POP′C,那么是否存在点 P,使四边形 POP′C 为 菱形?若存在,请求出此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面积最大?并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大 面积. y
2

A

O

B

x

C

P

27.解: (1)∵二次函数 y=x +bx+c 的图象经过 B(3,0) 、C(0,-3)两点
? ?9+3b+c=0 ∴? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 ?c=-3 ? ? ?b=-2 解得:? ?c=-3 ?

2

∴二次函数的表达式为:y=x -2x-3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 (2)存在点 P,使四边形 POP′C 为菱形.设 P 点坐标为(x,x -2x-3) ,PP′ 交 CO 于 E 若四边形 POP′C 为菱形,则有 PC=PO 连结 PP′,则 PE⊥CO 于 E,∴OE=EC= ∴y=-
2

2

3 2

3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 2
34

令 x -2x-3=- 解得 x1=

2

3 2

2 ? 10 2 ? 10 ,x2= (不合题意,舍去) 2 2

∴P 点的坐标为(

2 ? 10 3 ,- ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 2 2
2

(3)过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q,与 OB 交于点 F,设 P(x,x -2x-3) 易得直线 BC 的解析式为 y=x-3,则 Q 点的坐标为(x,x-3) ∴QP=x-3-(x -2x-3)=-x +3x S 四边形 ABPC =S△ABC +S△BPQ+ S△CPQ = =
2 2

1 1 1 AB?OC+ QP?FB+ QP?OF 2 2 2

1 1 2 ×4×3+ (-x +3x)×3 2 2 3 3 2 75 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 =- (x- ) + 2 2 8 3 时,四边形 ABPC 的面积最大 2 3 2 3 15 此时 y=( ) -2× -3=- 2 2 4 3 15 75 ∴P 点的坐标为( ,- ) ,四边形 ABPC 的最大面积为 · · · · · · · · · · 12 分 2 4 8
当 x=

y

y
F

A P′ C

O E P

B

x

A

O Q C P

B

x

28. (湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田)如图,已知直线 l:y=- 轴于点 B,将△AOB 沿直线 l 翻折,点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y= (1)求 k 的值;

3 x+ 3 交 x 轴于点 A,交 y 3

k (k>0)上. x k 上,并说明理由. x

(2)将△ABC 绕 AC 的中点旋转 180° 得到△PCA,请判断点 P 是否在双曲线 y=

y
C B O
35

A

x

28.解: (1)在 y=-

3 3 x+ 3 中,令 y=0,得- x+ 3 =0,∴x=3;令 x=0,得 y= 3 3 3 3 OB = ,∴∠BAO=30° 3 OA

∴A(3,0) ,B(0, 3 ) ∴tan∠BAO=

∴∠BAC=30° ,∴∠CAO=60° 过 C 作 CD⊥OA 于 D,则 OD=OA-DA=OA-CA?cos60° =3-3× CD=CA?sin60° =3× ∴C(
3 3 3 , ) 2 2 3 3 k k (k>0)上,∴ = 3 2 x 2 3 3 3 = 2 2

1 2



3 2

y
C B O A P x

∵点 C 在双曲线 y=

∴k=

9 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 4

9 3 (2)由(1)知双曲线的解析式为 y= 4x

将△ABC 绕 AC 的中点旋转 180° 得到△PCA,则 AP=BC=OB= 3 ∠CAP=∠ACB=90° ,∴∠OAP=150° 过 P 作 PE⊥x 轴于 E,则∠PAE=30° ∴OE=OA+AE=OA+AP?cos30° =3+ 3 × PE=AP?sin30° = 3× ∵
3 9 = 2 2

1 2



3 2

3 9 3 9 3 = ,∴点 P 在双曲线 y= 上 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 9 2 4x 4? 2

29. (湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田)正方形 ABCD 中,点 O 是对角线 DB 的中点,点 P 是 DB 所在直线上的一个动点,PE⊥BC 于 E,PF⊥DC 于 F. (1)当点 P 与点 O 重合时(如图①) ,猜测 AP 与 EF 的数量及位置关系,并证明你的结论; (2)当点 P 在线段 DB 上(不与点 D、O、B 重合)时(如图②) ,探究(1)中的结论是否成立?若成立, 写出证明过程;若不成立,请说明理由; (3)当点 P 在 DB 的长延长线上时,请将图③补充完整,并判断(1)中的结论是否成立?若成立,直接 写出结论;若不成立,请写出相应的结论. A (P) O D A D A D

F P

O F C B

O

B

E
图①

C

B

E 36
图②

C
图③

29.解: (1)AP=EF,AP⊥EF · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 如图①,∵PE⊥BC,PF⊥DC,∴PE∥DC,PF∥BC 又∵O 是对角线 DB 的中点,点 P 与点 O 重合,∴E 是 BC 的中点,F 是 DC 的中点 ∴EF∥DB,EF= 又∵AP=

1 DB 2

A (P) O

D

1 DB,AP⊥DB 2

∴AP=EF,AP⊥EF · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (2) (1)中的结论仍然成立 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 如图②,延长 AP 交 EF 于 G,延长 EP 交 AD 于 H ∵PE⊥BC,PF⊥DC,∠C=90° ,∴四边形 PECF 为矩形 ∵DB 为对角线,∠PFD=90° ,∴DF=PF ∴四边形 PFDH 为正方形 ∴PF=DF=PH=DH,∴AH=FC=PE ∴△APH≌△PEF ∴AP=EF · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ∠PAH=∠PEF ∵∠PAH+∠APH=90° ,∠APH=∠EPG ∴∠PEF+∠EPG=90° ,∴∠PGE=90° B P A B

F

E
图①

C

H

D

O F G E
图②

C

∴AP⊥EF · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 (3)如图③ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 (1)中的结论仍然成立,即 AP=EF,AP⊥EF · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 提示:延长 AB 交 PF 于 G,证明△ APG≌△FEP A H D

O E B P G
图③

C F

37

30. (湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田)如图,平面直角坐标系中,点 A、B、C 在 x 轴上,点 D、 E 在 y 轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,DB⊥DC,直线 AD 与经过 B、E、C 三点的抛物线交于 F、G 两 点,与其对称轴交于 M.点,P 为线段 FG 上一个动点(与 F、G 不重合) ,PQ∥y 轴与抛物线交于点 Q. (1)求经过 B、E、C 三点的抛物线的解析式; (2)是否存在点 P,使得以 P、Q、M 为顶点的三角形与△AOD 相似?若存在,求出满足条件的点 P 的坐 标;若不存在,请说明理由; (3)若抛物线的顶点为 N,连接 QN,探究四边形 PMNQ 的形状: ①能否成为菱形; ②能否成为等腰梯形? 若能,请直接写出点 P 的坐标;若不能,请说明理由.

y

N G M

E D F A B O

C

x

30.解: (1)∵DB⊥DC,∴∠BDC=90° ,∴∠BDO+∠ODC=90° ∵∠BDO+∠OBD=90° ,∴∠OBD=ODC 又∵∠BOD=∠DOC=90° ,∴△BOD∽△ DOC OB OD OB 2 ∴ ,即 = = ,∴OB=1 OD OC 2 4 ∴B(-1,0) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 设经过 B、E、C 三点的抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-4) 将 E(0,4)代入,得 4=a(0+1)(0-4),∴a=-1 ∴抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-4) 即 y=-x +3x+4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 3 2 25 2 (2)∵y=-x +3x+4=-(x- ) + 2 4 3 ∴抛物线的对称轴为直线 x= 2 设直线 AD 的解析式为 y=kx+b
? ?-2k+b=0 则? ?b=2 ? ? ?k=1 ∴? ?b=2 ?
2

y
Q E H D P F A B O

N G M

C
图①

x

∴线 AD 的解析式为 y=x+2,将 x= ∴M(

3 3 7 代入,得 y= +2= 2 2 2

3 7 , )· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 2 2
2

若以 P、Q、M 为顶点的三角形与△AOD 相似,则△PQM 为等腰直角三角形 设 P(x,x+2) ,则 Q(x,-x +3x+4)
38

∴PQ=-x +3x+4-(x+2)=-x +2x+2 ∵PQ∥y 轴,∴当点 P 在对称轴的左侧时,∠MPQ=∠MDE=∠ADO=45° ∴∠PMQ=90° 或 45° 当点 P 在对称轴的右侧时,∠MPQ=135° ,△ PQM 与△ AOD 不相似 ①若以 M 为直角顶点,PQ 为斜边,如图①,过点 M 作 MH⊥PQ 于 H 3 2 则 PQ=2HM,即-x +2x+2=2( -x) 2 ∴解得 x1=2+ 3 (不合题意,舍去) ,x2=2- 3 ∴x+2=2- 3 +2=4- 3 ∴P1(2- 3 ,4- 3 )· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ②若以 Q 为直角顶点,PM 为斜边,如图②,则 PQ=MQ 即-x +2x+2=
2

2

2

y

N G

E Q

M

3 ? 11 3 ? 11 3 P D -x,解得 x1= (舍去) ,x2= F 2 2 2 A 3 ? 11 7 ? 11 ∴x+2= +2= B O 2 2

C
图②

x

∴P2(

3 ? 11 7 ? 11 , ) 2 2

故存在符合条件的 P 点,且 P 点坐标为: (2- 3 ,4- 3 )或(
3 ? 11 7 ? 11 , )· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 2 2

y
Q

N G

(3)①四边形 PMNQ 不能成为菱形 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 5 9 ②四边形 PMNQ 能成为等腰梯形,点 P 的坐标为( , ) · 12 分 2 2 提示(原题不作要求,本人添加,仅供参考) :

E D P

M

F ①若四边形 PMNQ 为菱形,如图③,则 PQ=MN A 25 7 11 2 2 B O ∴-x +2x+2= - = ,即 4x -8x+3=0 4 2 4 1 3 3 1 解得 x1= ,x2= (舍去) ,此时 PM= 2 ( - )= 2 ≠MN 2 2 2 2 ∴四边形 PMNQ 不能成为菱形 ②显然,当 NQ∥PM 时,四边形 PMNQ 是平行四边形,所 以若四边形 PMNQ 是梯形,只有一种情况:PQ∥MN 若四边形 PMNQ 为等腰梯形,如图④ 1 1 则有: ( yM+yN )= ( yP+yQ ) 2 2 7 25 2 2 即 + =x+2-x +3x+4,整理得:4x -16x+15=0 2 4 3 5 解得 x1= (舍去) ,x2= 2 2 5 9 ∴x+2= +2= 2 2 5 9 ∴四边形 PMNQ 能成为等腰梯形,点 P 的坐标为( , ) 2 2
39

C
图③

x

y
R E D F A B O

N Q S G P M

C
图④

x

40



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