tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2017届江苏南京市高三上学期学情调研数学试题(解析版)


2017 届江苏南京市高三上学期学情调研数学试题

一、填空题(题型注释) 2 1.已知集合 A={0,1,2},B={x|x -x≤0},则 A∩B= 【答案】 {0,1} 【解析】 试题分析:由题意 B ? {x | 0 ? x ? 1} ,所以 A ? B ? {0,1} .



考点:集合的运算. 2.设复数 z 满足(z+i)i=-3+4i(i 为虚数单位) ,则 z 的模为 【答案】 2 5 【解析】 试题分析: z ?



?3 ? 4i ? i ? 3i ? 4 ? i ? 4 ? 2i ,则 z ? 4 ? 2i ? 42 ? 22 ? 2 5 . i

考点:复数的运算,复数的模. 3.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的 200 辆汽 车的时速,所得数据均在区间 [40,80]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 200 辆汽车中,时速在区间[40,60)内的汽车有 辆.

【答案】80 【解析】 试题分析: (0.01 ? 0.03) ?10 ? 200 ? 80 , 考点:频率分布直方图. 4. 若函数 f (x) =sin (ω x+ 【答案】 【解析】 试题分析: t ?

? ? ) (ω >0) 的最小正周期为 π , 则f ( ) 的值是 6 3



1 2 2?

? ? ? 5? 1 ? ? ,则 ? ? 2 , f ( ) ? sin(2 ? ? ) ? sin ? . ? 3 3 6 6 2


考点:三角函数的周期. 5.下图是一个算法的流程图,则输出 k 的值是

试卷第 1 页,总 18 页

【答案】5 【解析】 试题分析:依题意,循环时 S , k 值依次为 S ? 3, k ? 2 ; S ? 8, k ? 3 , S ? 19, k ? 4 ,

S ? 42, k ? 5 , S ? 64 ? 80 ,此时不再计算 k ,而是直接输出 k ? 5 .
考点:程序框图. 6. 设向量 a = (1, -4) , (-1, x) , 若a ∥c , 则实数 x 的值是 b= c = a +3 b . 【答案】4 【解析】 试题分析: c ? a ? 3b ? (?2, ?4 ? 3x) ,由 a // c 得

?

?

?

?

?

?

?



?

?

?

?

?

?2 ?4 ? 3 x ? ,解得 x ? 4 . 1 ?4

考点:平面向量的平行的坐标运算. 7.某单位要在 4 名员工(含甲、乙两人)中随机选 2 名到某地出差,则甲、乙两人中, 至少有一人被选中的概率是 . 【答案】 【解析】 试题分析: P ?
2 2 C4 ? C2 5 ? . 2 C4 6

5 6

考点:古典概型. 8.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C: =2x+1 平行,则实数 a 的值是 【答案】1 【解析】 试题分析:由题意 .

x2 y 2 ? ? 1 (a>0)的一条渐近线与直线 y a2 4

2 ? 2 , a ? 1. a
试卷第 2 页,总 18 页

考点:双曲线的几何性质. 2 9.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1) +(y-a) 2 =16 相交于 A,B 两点,且△ABC 为直角三角形,则实数 a 的值是 . 【答案】-1 【解析】 试题分析:圆的半径是 4, ?ABC 是直线三角形,则圆心 C 到直线 AB 的距离为 2 2 , 所以

a?a?2 a2 ? 1

? 2 2 ,解得 a ? ?1 .

考点:直线与圆的位置关系. 【名师点睛】解决直线和圆的位置关系,可用直线方程与圆方程联立方程组,通过研究 方程组的解的情况来得出位置关系:无解 ? 相离,一解 ? 相切,两解 ? 相交,但用 得最多的,比较简便的方法是求出圆心到直线的距离 d ,由 d 与半径 r 的关系来确定: d ? r ? 相离, d ? r ? 相切, d ? r ? 相交. 10.已知圆柱 M 的底面半径为 2,高为 6;圆锥 N 的底面直径和母线长相等.若圆柱 M 和圆锥 N 的体积相同,则圆锥 N 的高为 . 【答案】6 【解析】 试题分析:设圆锥的底面半径为 r ,则高为 3r ,所以 ? ? 2 ? 6 ? ? r ? 3r ,
2 2

1 3

r ? 2 3 ,所以高为 3r ? 6 .
考点:圆柱与圆锥的体积. 11.各项均为正数的等比数列{an},其前 n 项和为 Sn.若 a2-a5=-78,S3=13,则数 列{an}的通项公式 an= . 【答案】 3 【解析】 试题分析:设公比为 q ,则 ? 以 an ? 3
n ?1
4 ? ?a1q ? a1q ? ?78 ,因为 q ? 0 ,所以 q ? 3 , a1 ? 1 ,所 2 a (1 ? q ? q ) ? 13 ? ? 1
n ?1



考点:等比数列的通项公式. 【名师点睛】 等差数列的通项公式和前 n 项和公式在解题是起到变量代换作用, 而 a1 和

d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.在 a1 , d , n, an , Sn 中,
知三即可求二,解题时要注意方程思想的应用. 12.已知函数 f(x)= ?

?12 x ? x 2,x≤0, ? ?2 x,x ? 0,

当 x∈(-∞,m]时,f(x)的取值范围为[- .

16,+∞) ,则实数 m 的取值范围是 【答案】[-2,8] 【解析】

试题分析: x ? 0 时, f ( x) ? 12 x ? x3 , f '( x) ? 12 ? 3x 2 ,当 x ? ?2 时, f '( x) ? 0 ,
试卷第 3 页,总 18 页

当 ?2 ? x ? 0 时 , f '(x )? 0, 即 f ( x ) 在 (??, ?2) 上 递 减 , 在 (? 2 , 0 ] 上递增, ,当 x ? 0 时, f ( x ) 递减, f (0) ? 0 , f (8) ? ?16 ,因此 f ( x)极小值= f ( ? 2) ? ? 16

m ? [?2, 8].
考点:函数的单调性,函数的值域. 13.在△ABC 中,已知 AB=3,BC=2,D 在 AB 上, AD = 则 AC 的长是 【答案】 10 【解析】 试题分析:由已知 BD ? 2, AD ? 1 ,设 ?ADC ? ? ,则 DB ? DC ? 2 x cos? ? 3,又 .

????

? ??? ? ???? 1 ??? AB ,若 DB · DC =3, 3

??? ? ????

22 ? x 2 ? 4x cos? ? 22 , 所 以 x ? 6 , cos ? ?

6 , 则 在 ?A D C 中 4

AC 2 ? 12 ? ( 6)2 ? 2 ?1? 6 ? (?

6 ) ? 10 , AC ? 10 . 4

考点:向量的数量积,余弦定理. 【名师点睛】本题是一道平面向量与解三角形的综合题,其中向量部分是概念的应用,

? ???? 1 ??? ??? ? ???? ,说明 D 是线段 AB 的一个三等分点,数量积 DB · DC =3,只要根据 AD = AB , 3
定义写出数量积的定义转化为三角形的边角关系, 然后根据条件选择解三角形时要用什 么公式:在两个三角形中分别应用余弦定理即可方便求解. 14.已知 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f(x)+g(x)=(
x

1 ) 2

.若存在 x0∈[ .

1 ,1],使得等式 af(x0)+g(2x0)=0 成立,则实数 a 的取值范围 2 5 2] 2 1 2
x



【答案】[ 2 2 , 【解析】

x) ?g ( x) ? () 试题分析: 由 f ( x) ? g ( x) ? ( ) 得 f (? x) ? g (? x) ? ( ) , 即? f (
所以 f ( x) ?

1 2

?x

1 2

?x



1 ?x 1 1 (2 ? 2 x ) , g ( x) ? (2? x ? 2 x ) .存在 x0∈[ ,1],使得等式 af(x0) 2 2 2 1 2

+g(2x0)=0 成立,即 x0 ? [ ,1] , a ? ?

g (2 x0 ) 1 g (2 x) ,设 h( x) ? ? ( x ? [ ,1] ) , 2 f ( x0 ) f ( x)

1 ?2 x (2 ? 22 x ) 22 x ? 2?2 x ? x 则 h( x ) ? ? 2 1 ?x 2 ? 2? x (2 ? 2 x ) 2

试卷第 4 页,总 18 页

? (2 x ? 2? x ) ?

2 3 2 1 x ?x , x ? [ ,1] 时 , 2 ? 2 ? [ , ] , 设 t ? 2x ? 2? x , 则 ?x 2 ?2 2 2 2
x

t ?[

2 3 2 2 2 3 , ] ,而 h( x) ? t ? ,易知 y ? t ? 在 [ , 2] 是递减,在 [ 2, ] 上递增, t t 2 2 2 2
2?

因此 y最小 ?

2 2 5 2 5 2 2 ? ? ], ,所以 h( x) ? [2 2, ? 2 2 , y最大 ? 2 2 2 2 2 2

即 a ? [2 2,

5 2 ]. 2

考点:函数的奇偶性,函数的值域. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性,考查转化与化归思想.解题时需由奇偶性定义求 出函数 f ( x), g ( x) 的解析式,存在 x0∈[ 立,其中等式可转化为 a ? ?

1 ,1],使得等式 af(x0)+g(2x0)=0 成 2

g (2 x0 ) ,这样求 a 的取值范围就转化为求函数 f ( x0 )

h( x ) ? ?

g (2 x) 1 , x ? [ ,1] 的值域.当然在求函数 h( x) 值域时还用到换元法和的单调 f ( x) 2

性,问题进一步进行了转化. 二、解答题(题型注释) 15.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴正半轴为始边的锐角 α 和钝角 β 的终边 分别与单位圆交于点 A,B.若点 A 的横坐标 是 ...

3 10 2 5 ,点 B 的纵坐标 是 . ... 10 5

(1)求 cos(α -β )的值; (2)求 α +β 的值. 【答案】 (1) ? 【解析】 试题分析: (1)要求 cos(? ? ? ) 的值,由两角差的余弦公式知要求得 ? , ? 的正弦与余 弦值,这首先由三角函数的定义可得 cos? , sin ? ,再由同角关系及 ? , ? 的位置可得

2 3? ; (2) 4 10

试卷第 5 页,总 18 页

(2)要求角 ? ? ? ,一般要求 ? ? ? 的三角函数 sin ? ,cos ? ,从而可得 cos(? ? ? ) ; 值,可以先关注 ? ? ? 的范围,由 ? ? (0,

?

? ? 3? ), ? ? ( , ? ) 知 ? ? ? ? ( , ) ,这个范 2 2 2 2

围内正弦是一对一的,因此可求 sin(? ? ? ) ,再得角.

试题解析:因为锐角 α 的终边与单位圆交于 A,且点 A 的横坐标是

3 10 , 10

所以,由任意角的三角函数的定义可知,cosα =

3 10 , 10

从而 sinα = 1 ? cos

2

??

10 . 10 2 5 , 5

因为钝角 β 的终边与单位圆交于点 B,且点 B 的纵坐标是

所以 sinβ =

2 5 5 2 ,从而 cosβ = ? 1 ? sin ? =- . 5 5 3 10 5 10 2 5 × (- ) + × = 10 5 10 5

(1)cos (α -β ) =cosα cosβ +sinα sinβ =



2 . 10

(2)sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ =

10 5 3 10 2 5 2 ×(- )+ × = . 10 5 10 5 2

因为 α 为锐角,β 为钝角,故 α +β ∈( 所以 α +β =

3? . 4

? 3? , ) , 2 2

考点:三角函数的求值、求角.三角函数的定义,三角函数的同角间的关系,两角和与 差的正弦公式. 16.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M,N 分别为线段 A1B,AC1 的中点. (1)求证:MN∥平面 BB1C1C; (2)若 D 在边 BC 上,AD⊥DC1,求证:MN⊥AD.

试卷第 6 页,总 18 页

【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析 【解析】 试题分析: (1)要证线面平行,就要证 MN 与平面 BB1C1C 内的一条直线平行,注意到

N ,这样有中位线定理就可 M , N 都是相应线段中点,特别是 AC 1 与 AC1 的交点就是
行线线平行,从而证得线面平行; (2)要证线线 MN 与 AD 垂直,可以证明 AD 与 BC 垂直,这样结合已知 AD ? DC1 ,只要证 AD ? 平面 BCC1B1 即可,为此还要一个线线 垂直,而这由直棱柱的定义可得. 试题解析:证明: (1)如图,连结 A1C. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1C1C 为平行四边形. 又因为 N 为线段 AC1 的中点, 所以 A1C 与 AC1 相交于点 N, 即 A1C 经过点 N,且 N 为线段 A1C 的中点.

因为 M 为线段 A1B 的中点,所以 MN∥BC. 又 MN?平面 BB1C1C,BC?平面 BB1C1C, 所以 MN∥平面 BB1C1C. (2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC. 又 AD?平面 ABC,所以 CC1⊥AD. 因为 AD⊥DC1,DC1?平面 BB1C1C,CC1?平面 BB1C1C,CC1∩DC1=C1, 所以 AD⊥平面 BB1C1C. 又 BC?平面 BB1C1C,所以 AD⊥BC. 又由(1)知,MN∥BC,所以 MN⊥AD. 考点:线面平行的判定,线面垂直的判定与性质. 17.如图,某城市有一块半径为 40m 的半圆形绿化区域(以 O 为圆心,AB 为直径) ,现 计划对其进行改建.在 AB 的延长线上取点 D,OD=80m,在半圆上选定一点 C,改建后 2 的绿化区域由扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成,其面积为 Sm .设∠AOC=xrad. (1)写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x) ,并指出 x 的取值范围; (2)试问∠AOC 多大时,改建后的绿化区域面积 S 取得最大值.

【答案】 (1)S=1600sinx+800x,0<x<π ; (2)当∠AOC 为

2? 时,改建后的绿化区 3

域面积 S 最大. 【解析】 试题分析:本题是三角函数应用题,解题的关键是建立函数关系. (1)求面积 S ,它由
试卷第 7 页,总 18 页

两部分组成, 一个是扇形面积, 由扇形面积公式 S ? 观察图形选用面积公式 S ?

1 2 αr 可得, 另一个是 ΔOCD 面积, 2

1 ab sin C 易得,两者相加即得; (2)由于 S=1600sinx+ 2

800x,因此其最大值可用导数的知识求解,即求出导函数 S '( x ) ,讨论 S ( x) 的单调性 后可得极值、最值. 试题解析: (1)因为扇形 AOC 的半径为 40m,∠AOC=xrad, 所以扇形 AOC 的面积 S 扇形 AOC=

x ? OA2 =800x,0<x<π . 2

在△COD 中,OD=80,OC=40,∠COD=π -x, 所以△COD 的面积 S△COD=

1 ·OC·OD·sin∠COD=1600sin(π -x)=1600sinx. 2

从而 S=S△COD+S 扇形 AOC=1600sinx+800x,0<x<π . (2)由(1)知, S(x)=1600sinx+800x,0<x<π . S′(x)=1600cosx+800=1600(cosx+ 由 S′(x)=0,解得 x= 从而当 0<x<

2? 2? 时,S′(x)>0;当 <x<π 时,S′(x)<0. 3 3 2? 2? 因此 S(x)在区间(0, )上单调递增;在区间( ,π )上单调递减. 3 3 2? 所以当 x= ,S(x)取得最大值. 3 2? 答:当∠AOC 为 时,改建后的绿化区域面积 S 最大. 3
考点:三角函数的应用题. 18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

2? . 3

1 ) . 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点 a 2 b2

分别为 F1, F2, P 为椭圆上一点 (在 x 轴上方) , 连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q, 设 PF1 =λ FQ 1 . (1)若点 P 的坐标为(1,

????

????

3 ) ,且△PQF2 的周长为 8,求椭圆 C 的方程; 2

(2)若 PF2 垂直于 x 轴,且椭圆 C 的离心率 e∈[

2 1 , ],求实数 λ 的取值范围. 2 2

试卷第 8 页,总 18 页

【答案】 (1) 【解析】

7 x2 y2 + =1; (2)[ ,5] 3 3 4

试题分析: (1)求椭圆标准方程,实质就是要求 a , b 的值,为此要找两个关于 a, b, c 的 方程, 本题由已知, 把 P 点坐标代入可得一个方程, 由椭圆定义知 ΔPF2Q 的周长是 4 a , 又可得 a 值,从而得解; (2)本小题关键是建立起 λ 与离心率 e 的关系,利用 P, Q 两点 在椭圆上,由 PF2 ? x 轴可求得 P (c,

???? ???? b2 ,可求得 Q 点坐标, 把Q 点 ) ,由 PF1 =λ FQ 1 a
2 2 2

坐标代入椭圆方程, 再转化后可得 λ, e 的关系 (λ +4λ +3) e =λ -1, 因为 λ +1≠0,

故有 λ =

3e2 ? 1 4 ? ? 3 ,从而可得 λ 的范围. 2 1? e 1 ? e2

试题解析: (1)因为 F1,F2 为椭圆 C 的两焦点,且 P,Q 为椭圆上的点, 所以 PF1+PF2=QF1+QF2=2a,从而△PQF2 的周长为 4a. 由题意,得 4a=8,解得 a=2. 因为点 P 的坐标为(1, 解得 b =3. 所以椭圆 C 的方程为
2

3 1 9 ) ,所以 2 ? 2 ? 1, 2 a 4b

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)方法一:因为 PF2⊥x 轴,且 P 在 x 轴上方,故设 P(c,y0) ,y0>0.设 Q(x1,y1) . 因为 P 在椭圆上,所以

c 2 y0 2 b2 b2 ? ? 1 ,解得 y ,即 P ( c , ) . 0= a 2 b2 a a

???? ???? b2 因为 F1(-c,0) ,所以 PF1 =(-2c,- ) , FQ =(x1+c,y1) . 1 a
由 PF1 =λ FQ ,- 1 ,得-2c=λ (x1+c)

????

????

b2 =λ y1, a

??2 ??2 b2 b2 c ,y1=- ,所以 Q(- ? c c,- ) 解得 x1= ? . ? ? ?a ?a
因为点 Q 在椭圆上,所以(
2 2 2

??2 2 2 b2 ) e + 2 2 =1, ? ? a
2 2 2 2

即(λ +2) e +(1-e )=λ , (λ +4λ +3)e =λ -1, 因为 λ +1≠0, 所以(λ +3)e =λ -1,从而 λ =
2

3e2 ? 1 4 ? ?3. 2 1? e 1 ? e2

试卷第 9 页,总 18 页

因为 e∈[

2 1 1 1 7 2 , ],所以 ≤e ≤ ,即 ≤λ ≤5. 2 4 2 3 2
7 ,5]. 3

所以 λ 的取值范围为[

方法二:因为 PF2⊥x 轴,且 P 在 x 轴上方,故设 P(c,y0) ,y0>0. 因为 P 在椭圆上,所以

c 2 y0 2 b2 b2 ,解得 y ,即 P ( c , ) . ? ? 1 0= a 2 b2 a a
b2 ( x ? c) . 2ac

因为 F1(-c,0) ,故直线 PF1 的方程为 y ?

? b2 y ? ( x ? c) ? ? 2ac 2 2 2 2 2 2 2 由? 得(4c +b )x +2b cx+c (b -4a )=0. 2 2 ? x ? y ?1 ? ? a 2 b2

因为直线 PF1 与椭圆有一个交点为 P(c,

b2 ) .设 Q(x1,y1) , a

2b 2 c 2b 2 c 则 x1+c ? 2 ,即-c-x1= 2 . 4c ? b 2 4c ? b 2
因为 PF 1 ? ? FQ 1 , 所以 λ =

????

????

2c 4c 2 ? b 2 3c 2 ? a 2 3e2 ? 1 4 ? 2 2 ? ? ? 3. = 2 2 b a ?c 1? e 1? e ?c ? x1 2 1 1 1 7 2 , ],所以 ≤e ≤ ,即 ≤λ ≤5. 2 4 2 3 2
7 ,5]. 3

因为 e∈[

所以 λ 的取值范围为[

考点:椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系. 【名师点睛】本题考查解析几何中的范围问题,由于题中已知离心率 e 的范围,因此我 们可以把 λ 表示为 e 的函数, 为此先求得点 P 的坐标 (这里 P 点是确定的,否则设出 P 点坐标) ,由向量的运算求得 Q 点的坐标,再把 Q 点坐标代入椭圆方程可得 λ, a, b, c 的

c 2 , a ? b 2 ? c 2 可化此等式为 e, λ 的方程,解出 λ ,即把 λ 表示为 e 的函 a 数,由函数性质可求得 λ 的范围.本题采用的方法是解析几何中的基本的计算,考查了
等式,利用 e ? 学生的运算能力. 19.已知数列{an}是公差为正数的等差数列,其前 n 项和为 Sn,且 a2·a3=15,S4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足 b1=a1, bn ?1 ? bn ?

1 an ?an ?1

试卷第 10 页,总 18 页

①求数列{bn}的通项公式; ②是否存在正整数 m,n(m≠n) ,使得 b2,bm,bn 成等差数列?若存在,求出 m,n 的值; 若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)an=2n-1; (2)① bn ? bn 成等差数列. 【解析】 试题分析: (1)本小题是求 {an } 是等差数列,可用基本量法,把已知条件用 a1 和公差 d 表 示 出 来 , 并 解 得 a1 , d , 然 后 可 得 通 项 公 式 ; ( 2 ) ① 已 知 {bn } 的 递 推 关 系 ) ,

3n ? 2 ;②存在正整数 m=3,n=8,使得 b2,bm, 2n ? 1

bn?1 ? bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 可用累加法求得 bn ,②本 an ??an?1 (2n ? 1)? (2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

题 是 存 在 性 命 题 , 解 题 方 法 是 : 假 设 存 在 , 然 后 建 立 m, n 的 关 系 式 得

1 1 1 ? ? ,从此式分析, m, n 的整数解,如有整数解,说明存在,如没有 2m ? 1 6 4n ? 2
整数解,说明 不存在. 试题解析: (1)设数列{an}的公差为 d,则 d>0. 由 a2·a3=15,S4=16,得

?(a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 15,
4 a1 ? 6d ? 16,

解得 ?

?a1 ? 1, ? a1 ? 7, 或? (舍去) ? d ? 2 ? d ? ?2

所以 an=2n-1. (2)①因为 b1=a1, bn ?1 ? bn ? 所以 b1 ? a 1 ? 1

1 an ?an ?1

bn?1 ? bn ?
即 b2 ? b1 ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bn?1 ? bn an ??an?1 (2n ? 1)? (2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 (1 ? ) , 2 3 1 1 1 b3 ? b2 ? ( ? ) 2 3 5

……

1 1 1 ( ? ), (n ? 2) 2 2n ? 3 2n ? 1 1 1 n ?1 )? 累加得: bn ? b1 ? (1 ? 2 2n ? 1 2n ? 1 n ?1 n ? 1 3n ? 2 ? 1? ? 所以 bn ? b1 ? b ? 1 也符合上式. 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 3n ? 2 ,n? N? 故 bn ? 2n ? 1 bn ? bn ?1 ?
②假设存在正整数 m、n(m≠n) ,使得 b2,bm,bn 成等差数列,则 b2+bn=2bm.
试卷第 11 页,总 18 页

4 3n ? 2 3 1 3 1 , bn ? ? ? , bm ? ? 3 2n ? 1 2 4n ? 2 2 4m ? 2 4 3 1 3 1 1 1 1 ) ? 2( ? ), 即 ? ? 所以 ? ( ? 3 2 4n ? 2 2 4m ? 2 2m ? 1 6 4n ? 2 7n ? 2 9 ? 7? 化简得: 2m ? n ?1 n ?1
又 b2 ? 当 n+1=3,即 n=2 时,m=2, (舍去) ; 当 n+1=9,即 n=8 时,m=3,符合题意. 所以存在正整数 m=3,n=8,使得 b2,bm,bn 成等差数列. 考点:等差数列的通项公式,累加法求通项公式,存在性命题的研究. 2 20.已知函数 f(x)=ax -bx+lnx,a,b∈R. (1)当 a=b=1 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)当 b=2a+1 时,讨论函数 f(x)的单调性; (3)当 a=1,b>3 时,记函数 f(x)的导函数 f ′(x)的两个零点是 x1 和 x2 (x1 <x2) . 求证: f ( x1 ) ? f(x 2 ) ?

3 ? ln 2 4

【答案】 (1)2x-y-2=0; (2)当 a≤0 时,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区

1 1 时,f(x)在区间(0,1)和区间 ( , ??) 上 2 2a 1 1 ) 上单调递减.当 a ? 单调递增,在区间 (1, 时,f(x)在区间(0,+∞)上单调 2a 2 1 1 1 ) 和区间(1,+∞)上单调递增,在区间 ( ,1) 递增. a ? 时,f(x)在区间 (0, 2 2a 2a
间(1,+∞)上单调递减. 0 ? a ? 上单调递减. (3)证明见解析. 【解析】 试题分析: (1)求切线方程,可根据导数的几何意义,求出导数 f '( x) ,计算 f '(1) , 切线方程为 y ? f (1) ? f '(1)( x ? 1) ,化简即可; ( 2 )研究单调性,同样求出导函数

f ' ( x) ?

(2ax ? 1)( x ? 1) , x ? 0 。 然 后 研 究 f ' (x ) 的 正 负 , 实 质 只 要 研 究 函 数 式 x

a ? 0, a ? 0, 必须分类讨论, 确定分类的标准是: 在a ? 0 y ? (2ax ? 1)( x ? 1) 的正负,
时,按

1 1 1 ?1, ? 1, ? 1 分类; (3)要证明此不等式,首先要考察 x1 , x2 的范 2a 2a 2a

围 与 关 系 , 由 已 知 求 出 f '( x) ?

2 x 2 ? bx ? 1 ( x ? 0) , 因 此 x1 , x2 是 方 程 x

1 , 粗 略 地 估 计 一 下 , 由 于 2 1 3?b 1 g( ) ? ? 0, g (1) ? 3 ? b ? 0 ,因此有 x1 ? (0, ), x2 ? (1, ??) ,由此可知 f(x) 2 2 2 1 在 [x1 , x2] 上 为 减 函 数 , 从 而 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( ) ? f (1) , 这 里 2 1 b 3 3 f ( ) ? f (1) ? ? ? ln 2 ? ? ln 2 ,正好可证明题设结论. 2 2 4 4

g ( x)? 22x ? b ? x 1? 的 0 两 根 , x1 x2 ?

试题解析: (1)因为 a=b=1,所以 f(x)=x -x+lnx,
试卷第 12 页,总 18 页

2

从而 f ( x ) ? 2 x ? 1 ?
'

1 x

因为 f(1)=0,f′(1)=2,故曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-0=2(x -1) ,即 2x-y-2=0. 2 ( 2 ) 因 为 b = 2a + 1 , 所 以 f ( x ) = ax - ( 2a + 1 ) x + lnx , 从 而

1 f ' ( x)? 2a x ? ( 2a ? 1? ) x

2 2 ax ? (2 a? 1 x )? ? x

1 ( a2 x ? ? x

1x ? )(

1) x , ? 0

当 a≤0 时,x∈(0,1)时,f′(x)>0,x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,所以, f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.

1 1 1 时,由 f ' ( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 或 x ? ,由 f ' ( x) ? 0 得 1 ? x ? 2 2a 2a 1 1 ) 上单调递减. 所以 f(x)在区间(0,1)和区间 ( , ??) 上单调递增,在区间 (1, 2a 2a 1 当 a ? 时,因为 f ' ( x) ? 0 (当且仅当 x=1 时取等号) ,所以 f(x)在区间(0,+∞) 2
当0 ? a ? 上单调递增.

1 1 1 ? x ? 1, 时, 由 f ' ( x) ? 0 得 0 ? x ? 或 x>1, 由 f ' (x 所以 f ( x ) ) ? 0 得 2 2a 2a 1 1 ) 和区间(1,+∞)上单调递增,在区间 ( ,1) 上单调递减. 在区间 (0, 2a 2a
当a ?

2 x 2 ? bx ? 1 ( x ? 0) (3)方法一:因为 a=1,所以 f(x)=x -bx+lnx,从而 f '( x) ? x
2

由题意知,x1,x2 是方程 2x -bx+1=0 的两个根,故 x1 x2 ?
2

1 . 2

记 g(x) =2x -bx+1,因为 b>3,所以 g ( ) ?
2

1 2

3?b ? 0, g (1) ? 3 ? b ? 0 2

2 所以 x1 ? (0, ), x 2? (1, ??) ,且 bxi ? 2xi ? 1(i ? 1, 2)

1 2

2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x12 ? x2 ) ? (bx1 ? bx2 ) ? ln

x1 x 2 ? ?( x12 ? x2 ) ? ln 1 x2 x2

因为 x1 x2 ?
2

1 1 2 2 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x2 ? 2 ? ln 2 x 2 , x2 ? (1, ??) 2 4 x2
t 1 2 ? ? ln t , t ? 2 x2 ? (2, ??) 2 2t

令 t ? 2 x2 ? (2, ??), ? (t ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 因为 ? (t ) ?
'

(t ? 1) 2 ? 0 所以 φ (t)在区间(2,+∞)单调递增, 2t 2
3 3 ? ln 2 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ln 2 4 4
'

所以 ? (t ) ? ? (2) ?

方法二:因为 a=1,所以 f ( x) ? x2 ? bx ? ln x ,从而 f ( x) ? 由题意知,x1,x2 是方程 2x -bx+1=0 的两个根.
2

2 x 2 ? bx ? 1 ( x ? 0) x

试卷第 13 页,总 18 页

记 g(x)=2x -bx+1,因为 b>3,所以

2

1 3?b g( ) ? ? 0, g (1) ? 3 ? b ? 0 2 2

所以 x1 ? (0, ), x 2? (1, ??) ,且 f(x)在[x1,x2]上为减函数.

1 2

1 b 3 b ? ln 2) ? (1 ? b) ? ? ? ? ln 2 4 2 4 2 3 b 3 因为 b>3,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? ? ln 2 ? ? ln 2 4 2 4
所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( ) ? f (1) ? ( ? 考点:导数的几何意义,用导数研究单调性,函数的综合应用. 【名师点睛】 1.导数法求函数单调区间的一般流程: 求定义域→求导数 f'(x)→求 f'(x)=0 在定义域内的根→用求得的根划分定义区间 →确定 f'(x)在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性. 2.在函数中含有参数时,解方程 f'(x)=0 时必须对参数进行分类讨论,这里分类讨 论的标准要按照不等式的形式正确确定. 3.已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件 f'(x)≥0(或 f'(x)≤0),x ∈(a,b),转化为不等式恒成立问题求解. 21.如图,AB 为圆 O 的一条弦,C 为圆 O 外一点.CA,CB 分别交圆 O 于 D,E 两点. 若 AB=AC,EF⊥AC 于点 F,求证:F 为线段 DC 的中点.

1 2

【答案】证明见解析. 【解析】 试题分析:要证 F 为线段 DC 的中点,由于 EF⊥AC,因此只要证 ED ? EC ,也即只要 证 ?EDC ? ?ECD ,而这两个角都可与 ?ABC 相等,因此结论得证. 试题解析:证明:因为点 A、D、E、B 在圆 O 上,即四边形 ADEB 是圆内接四边形,所以 ∠B=∠EDC。因为 AB=AC,所以∠B=∠C.所以∠C=∠EDC,从而 ED=EC.又因为 EF ⊥DC 于点 F,所以 F 为线段 DC 中点. 考点:圆内接四边形的性质. 22.已知矩阵, A ? ?

?2, ?2? ?1,0 ? ,B?? ? ? 设 M=AB. ?0, ?1? ?1, ?3 ?

(1)求矩阵 M; (2)求矩阵 M 的特征值. 【答案】 (1) ? 【解析】 试题分析: (1)由矩阵乘法法则可求得 M ; (2)写出特征多项式 f ( λ) ? 然后解方程 f ( λ) ? 0 可得特征值.

?2, 2? (2)特征值为 1 或 4. ?; ?1,3 ? λ ? 2 ?2 , ?1 λ ? 3

试卷第 14 页,总 18 页

试题解析: (1) M ? AB ? ? (2)矩阵 M 的特征多项式为

?2, ?2? ?1,0 ? ?2, 2? ?? ??? ? ?1, ?3 ? ?0, ?1? ?1,3 ?

f (? ) ?

? ? 2, ?2 ? (? ? 2)(? ? 3) ? 2 ?1, ? ? 3

令 f(λ )=0,解得 λ 1=1,λ 2=4,所以矩阵 M 的特征值为 1 或 4. 考点:矩阵的运算,特征值. 23.已知曲线 C 的极坐标方程为?=2cosθ ,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? 若直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点,求实数 m 的值. 【答案】 ? 【解析】

?
6

) ? m,

1 3 或 2 2

? ρ cos θ ? x ? 试题分析:由公式 ? ρ sin θ ? y 可把极坐标方程化为直角坐标方程,由题意直线与圆 ? ρ2 ? x2 ? y 2 ?
相切,在直角坐标方程中,由圆心到直线的距离等于圆的半径可求得 m 2 2 试题解析:曲线 C 的极坐标方程为?=2cosθ ,化为直角坐标方程为 x +y =2x. 2 2 即(x-1) +y =1,表示以(1,0)为圆心,1 为半径的圆. 直线 l 的极坐标方程是 ? sin(? ?

?

1 3 ) ? m, ,即 ? cos ? ? ? sin ? ? m 6 2 2

化为直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2m ? 0 因为直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点, 所以

1 ? 2m 1 3 ? 1,解得 m ? ? 或 m ? 2 2 2
1 3 或 2 2

所以,所求实数 m 的值为 ?

考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线与圆的位置关系. 24.解不等式|x-1|+2|x|≤4x. 【答案】 【解析】 试题分析:解绝对值不等式,可根据绝对值的定义去绝对值符号,化绝对值不等式为一 元一次不等式组,然后分别解出,并求并集. 试题解析:原不等式等价于

? x ? 0, ?0 ? x ? 1, ?x ? 1, 或? 或? ? ?1 ? x ? 2 x ? 4 x ?1 ? x ? 2 x ? 4 x ?1 ? x ? 2 x ? 4 x
解?

? x ? 0, 得 x ? ?x ; ?1 ? x ? 2 x ? 4 x

试卷第 15 页,总 18 页

解?

?0 ? x ? 1, 1 ? x ?1 得 3 ?1 ? x ? 2 x ? 4 x ?x ? 1, 得 x ?1. ?1 ? x ? 2 x ? 4 x
?1 ?3 ? ?

解?

所以原不等式的解集为 ? , ?? ?

考点:解绝对值不等式. 25.如图,在底面为正方形的四棱锥 P-ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,点 E 是线段 PC 的中点.

(1)求异面直线 AP 与 BE 所成角的大小; (2)若点 F 在线段 PB 上,使得二面角 F-DE-B 的正弦值为

3 PF ,求 的值. PB 3

【答案】 (1)

π 1 ; (2) 6 2

【解析】 试题分析:由已知条件可得两两垂直,因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系,设

AB ? 2 ,写出各点坐标, (2)求得 AP, BE 的夹角可得异面直线 AP 与 BE 所成角的大

??? ? ??? ?

PF ??, 再求出 E , F 的坐标, 然后求出平面 FDE 和平面 BDE PB 的法向量,则法向量夹角与二面角相等或互补,可得出 λ 的方程,解之可得 λ 值.
小 (这个角是锐角) ; (2) 试题解析: (1)在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,所以 DA、DC、DP 两两垂直,故以 DA, DC , DP 为正交基底,建立空间直角坐标系 D-xyz.

?

??? ? ???? ??? ?

?

因为 PD=DC,所以 DA=DC=DP,不妨设 DA=DC=DP=2, 则 D(0,0,0) ,A(2,0,0) ,C(0,2,0) ,P(0,0,2) ,B(2,2,0) . 因为 E 是 PC 的中点,所以 E(0,1,1) .

试卷第 16 页,总 18 页

所以 AP =(-2,0,2) , BE =(-2,-1,1) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP ×BE 3 所以 cos< AP , BE >= ??? , ? ??? ? = 2 AP ×BE
从而< AP , BE >=

??? ?

??? ?

?
6

因此异面直线 AP 与 BE 所成角的大小为

?
6



(2)由(1)可知, DE =(0,1,1) , DB =(2,2,0) , PB =(2,2,-2) . 设 PE =λ

??? ?

??? ?

??? ?

???

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ,从而 DF = DP + PF =(2λ ,2λ , PB ,则 PF =(2λ ,2λ ,-2λ )

2-2λ ) . 设 m=(x1,y1,z1)为平面 DEF 的一个法向量,

??? ? ì ì ? x1 + ? y1 + (1- ? )z1 = 0 ? m ? DF =0 ? ? ??? 则í 即? ? í ? ? m ? DE = 0 ? ? ? y1 + z1 = 0 ?

取 z1=λ ,则 y1=-λ ,x1=2λ -1. 所以 m=(2λ -1,-λ ,λ )为平面 DEF 的一个法向量. 设 n=(x2,y2,z2)为平面 DEB 的一个法向量,

??? ? ì ? n ? DB =0 ì ? 2 x1 + 2 y1 = 0 ? 则 í ??? 即? ? í ? ? n ? DE = 0 ? ? ? y2 + z 2 = 0 ?

取 x2=1,则 y2=-1,z2=1. 所以 n=(1,-1,1)为平面 BDE 的一个法向量. 因为二面角 F-DE-B 的正弦值为

6 3 ,所以二面角 F-DE-B 的余弦的绝对值为 , 3 3

即|cos<m,n>|=

6 , 3

所以

m? n m ?n

=

4? - 1 6 6 , , = 2 2 3 3 3 ? ( 2? - 1) + 2?
1 PF 1 = . ,即 2 PB 2

化简得,4λ =1,因为点 F 在线段 PB 上,所以 0≤λ ≤1,所以 λ =

2

考点:用向量法求异面直线所成的角,二面角. 26.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或 每人都已投球 3 次时结束. 设甲每次投篮命中的概率为 且各次投篮互不影响.现由甲先投. (1)求甲获胜的概率; (2)求投篮结束时甲的投篮次数 X 的分布列与期望.
试卷第 17 页,总 18 页

2 2 , 乙每次投篮命中的概率为 , 5 3

【答案】 (1)

62 31 ; (2)分布列见解析,数学期望为 25 125

【解析】 试题分析: (1)本题考查互斥事件的概率,设甲第 i 次投中获胜的事件为 Ai (i=1,2, 3) ,则 A1,A2,A3 彼此互斥,分别计算出 A1 , A2 , A3 的概率(可用相互独立事件同时发生 的概率公式计算) ,然后相加即得; (2)甲的投篮次数 X 的取舍分别 1,2,3,注意这里事件 X ? i 含甲第 i 次投中和第 i 次 投不中而接着乙投中,结合(1)的过程可很快求和各事件概率,从而得分布列,并依 据期望公式可计算出期望值. 试题解析: (1)设甲第 i 次投中获胜的事件为 Ai(i=1,2,3) ,则 A1,A2,A3 彼此互斥. 甲获胜的事件为 A1+A2+A3. P(A1)=

2 ; 5 3 1 2 2 创 = ; 5 3 5 25 3 2 1 2 2 2 ) ×( ) × = . 5 3 5 125 2 2 2 62 + + = . 5 25 125 125

P(A2)=

P(A3)=(

所以 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=

答:甲获胜的概率为

62 . 125

(2)X 所有可能取的值为 1,2,3. 则 P(X=1)=

2 3 2 4 + × = ; 5 5 3 5

P(X=2)=

2 3 1 3 2 4 + × × × = ; 25 5 3 5 3 25 3 2 1 2 1 ) ×( ) ×1= . 5 3 25
2 3

P(X=3)=(

即 X 的概率分布列为 X P 1

4 5

4 25

1 25 4 4 1 31 +2× +3× = . 5 25 25 25

所以 X 的数学期望 E(X)=1×

考点:互斥事件的概率,随机变量的概率分布列和数学期望.

试卷第 18 页,总 18 页


推荐相关:

2017届南京市高三综合复习数学试题(解析版)

2017届南京市高三综合复习数学试题(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2017 届高三数学综合题一、填空题 1.如图正△ABC 的边长为 2,CD 是 AB 边上的高,E,F...


...江苏省南京市2017届高三上学期学情调研数学试题解析...

2017模拟卷-江苏省南京市2017届高三上学期学情调研数学试题解析02(解析版)Word版含解斩_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三模拟卷...


江苏省南京市2017届高三上学期学情调研卷数学试题

江苏省南京市2017届高三上学期学情调研数学试题_数学_高中教育_教育专区。最新江苏省南京市2017届高三上学期学情调研数学试题电子版,值得珍藏!...


江苏省南京市2017届高三上学期学情调研考试数学试题

江苏省南京市2017届高三上学期学情调研考试数学试题_高中教育_教育专区。注意事项: 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~...


江苏省南京市2017届高三综合复习数学试题+Word版含解析

江苏省南京市2017届高三综合复习数学试题+Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。好。 2017 届高三数学综合题一、填空题 1. 如图正△ABC 的边长为 2, CD 是 ...


江苏省南京市2017届高三9月学情调研 数学

南京市 2017 届高三年级学情调研 数学 2016.09 注意事项: 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本...


2017届江苏省南京市高三第一学期学情调研语文试卷

2017届江苏省南京市高三第一学期学情调研语文试卷_语文_高中教育_教育专区。南京市 2017 届高三年级学情调研卷 语文 注意事项: 1.本试卷共 6 页。满分 160 分...


江苏省南京市2018届高三上学期学情调研数学

江苏省南京市2018届高三上学期学情调研数学_高三数学_数学_高中教育_教育专区。南京市 2018 届高三年级学情调研 数 注意事项: 学 2017 .09 1.本试卷共 4 页...


江苏省南京市2017届高三年级学情调研卷

江苏省南京市2017届高三年级学情调研卷_数学_高中教育_教育专区。江苏省南京市 ...(请用自己的话说明)(4 分) 二、名著阅读题(15 分) 23.下列对有关名著的...


2017届江苏省南京市高三第三次调研测试含详解

2017届江苏省南京市高三第三次调研测试含详解_数学_高中教育_教育专区。2017届江苏省南京市高三第三次调研测试含详解 南京市 2017 届三模数学全卷解析 1.已知...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com