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红对勾必修四1-1-2


系列丛书

第一章
三角函数

第一章

三角函数

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系列丛书

1.1 任意角和弧度制

第一章

三角函数

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系列丛书

>1.1.2
课前自主预习

弧度制
课堂互动探究

随堂知能训练

课时作业

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第一章 1.1 1.1.2

系列丛书

目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩

1.了解弧度制,明确 1 弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握弧度数的计算公式及应用.

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第一章 1.1 1.1.2

系列丛书

课 前 自 主 预 习
课 前 预 习 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·明 确 目 标

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第一章 1.1 1.1.2

系列丛书

新知初探
1.度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,规定周

1 角的 360 等于 1 度,记作 1° .

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第一章 1.1 1.1.2

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(2)弧度制 ①弧度制的定义 长度等于 半径长 的弧所对的 圆心角 叫做 1 弧度的 角,用符号 rad 表示,读作弧度. 以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. ②任意角的弧度数与实数的对应关系

负数 正角的弧度数是一个 正数 ;负角的弧度数是一个
;零角的弧度数是 0 .

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第一章 1.1 1.1.2

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③角的弧度数的计算 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么,

角 α 的弧度数的绝对值是|α|=

l r .

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第一章 1.1 1.1.2

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2.角度与弧度的换算 角度化弧度 360° = 2π rad 180° =π rad 弧度化角度 2π rad= 360° π rad= 180°

180 π 1° = 180 rad≈ 0.01745 rad 1 rad=( π )° ≈ 57.30°

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第一章 1.1 1.1.2

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3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 R,弧长为 l,圆心角为 α(n° ),则 度量单位 类别 扇形的弧长 n 为角度制 (0° <n° <360° ) α 为弧度制 (0<α<2π) l= αR

nπR l= 180
nπR2 S= 360

扇形的面积

1 1 2 lR αR S= 2 = 2

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第一章 1.1 1.1.2

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思考感悟
1.1 弧度的角的大小是否与它所在的圆的半径有关?

提示: 1 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小, 是一个与圆的半径大小无关的定值.

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第一章 1.1 1.1.2

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2.弧度制与角度制有什么异同?

提示:(1)弧度制是以“弧度”为单位度量角的单位制, 角度制是以“度”为单位度量角的单位制. (2)1 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小, 而 1 1° 是圆周的360所对的圆心角的大小.

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第一章 1.1 1.1.2

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(3)弧度制和角度制一样, 只是一种度量角的方法. 弧度制 与角度制相比有一定的优点.其一是在进位上,角度制在度、 分、秒上是 60 进位制,不便于计算,而弧度制是十进位制, 给运算带来方便;其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达 上, 弧度制下的公式远比角度制下的公式简单, 运用起来方便. (4)用角度制和弧度制来度量零角, 虽然单位不同, 但量数 相同,对于其他非零角度,由于单位不同,量数也就不同了.

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第一章 1.1 1.1.2

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3.运用扇形的弧长与面积公式应注意什么?

1 提示:(1)在公式 l=αR,S= lR 中,由 α,R,l,S 中 2 的两个量可以求出另外的两个量,即知二求二. (2)运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式明显比角 度制下的公式简单得多,但要注意它的前提是 α 为弧度制.

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第一章 1.1 1.1.2

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(3)在运用公式时, 还应熟练地掌握这两个公式的变形运 用: l l ①l=|α|R,|α|=R,R=|α|; 1 2S ②S=2|α|R2,|α|= R2 .

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第一章 1.1 1.1.2

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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升

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第一章 1.1 1.1.2

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典例导悟
类型一 [例 1] 弧度制的概念 下列说法正确的是( )

A.1 弧度是 1 度的圆心角所对的弧 B.1 弧度是长度为半径的弧 C.1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和 D.1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是 角的一种度量单位

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第一章 1.1 1.1.2

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[解]

本题主要考查弧度制下,角的度量单位 1 弧度的

概念.认真理解体会 1 弧度的定义即可作出判断.

[答案] D

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第一章 1.1 1.1.2

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[点评]

抓住 1 弧度的定义是解决本题的关键.

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第一章 1.1 1.1.2

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变式训练 1 下列说法不正确的是(

)

A.度与弧度是度量角的两种不同的度量单位 1 B.1 度的角是圆周的360所对的圆心角,1 弧度的角是 1 圆周的2π所对的圆心角 C.根据弧度的定义,知 180° 一定等于 π rad D.不论是用角度制还是弧度制度量角,它们都与圆的 半径长短有关

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第一章 1.1 1.1.2

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解析: 不论是用角度制还是弧度制度量角, 它们都与圆 的半径长短无关.

答案:D

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第一章 1.1 1.1.2

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类型二 [例 2]

弧度制的换算 (1)把 202 ° 30′化成弧度.

5 (2)把- π 化成角度. 12 π 7π (3)已知 α=15° ,β=10,γ=1,θ=105° ,φ=12,试比 较 α,β,γ,θ,φ 的大小.

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第一章 1.1 1.1.2

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[分析]

由题目可获取以下主要信息:所给的各角的度

量单位不同,有角度和弧度.解答本题第 (1)(2)小题可直接 π 180 利用 1° = rad,1 rad=( )° 进行转化,第(3)小题可先统 180 π 一单位,由于用弧度表示的角较多,可统一为弧度,再根据 实数大小进行比较.

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第一章 1.1 1.1.2

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[解]

405 π 9 (1)202° 30′=202.5° = 2 ×180=8π.

5 5 180 (2)-12π=-(12π× π )° =-75° . (3)方法一(化为弧度): π π π 7π α=15° =15×180=12.θ=105° =105×180=12. π π 7π 显然 < <1< .故 α<β<γ<θ=φ. 12 10 12

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第一章 1.1 1.1.2

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方法二(化为角度): π π 180 β=10=10×( π )° =18° ,γ=1≈57.30° , 7π 180 φ=12×( π )° =105° . 显然,15° <18° <57.30° <105° .故 α<β<γ<θ=φ.

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第一章 1.1 1.1.2

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[ 点评 ]

解答角度与弧度的互化问题的关键在于抓住

π “π=180° ”这一关系,由它可以得:度数×180=弧度数, 180 弧度数×( π )° =度数,同时还要牢记一些特殊角的度数与 弧度数的对应关系.

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第一章 1.1 1.1.2

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变式训练 2 (1)将 112° 30′化为弧度; 5π (2)将12 rad 化为度.

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第一章 1.1 1.1.2

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π 解:(1)∵1° =180 rad, π 5π ∴112° 30′=180×112.5 rad= 8 rad. 180 5π 5π 180 (2)∵1 rad=( )° ,∴ rad=( × )° =75° . π 12 12 π

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第一章 1.1 1.1.2

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类型三 [例 3] 0≤α<2π;

用弧度制表示终边相同的角 (1)把-1 480° 写成 α+2kπ(k∈Z)的形式,其中

(2)若 β∈[-4π,0],且 β 与(1)中 α 的终边相同,求 β. [分析] (1)考查角度与弧度的互化.利用互化关系将

-1 480° 化为弧度即可.(2)由 β 的范围及 β=α+2kπ 即可 求出 β.

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第一章 1.1 1.1.2

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[解]

74π 2π 16π (1)-1 480° =- 9 =-8π- 9 =-10π+ 9 .

16π 16π ∵0≤ 9 <2π,∴-1 480° = 9 +2×(-5)π. 16π (2)∵β 与 α 的终边相同,∴β=α+2kπ= +2kπ(k∈ 9 Z).又∵β∈[-4π,0], 16π 2π 16π 20π ∴β1= -2π=- ,β2= -4π=- . 9 9 9 9

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第一章 1.1 1.1.2

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[ 点评 ]

快速准确地实现角度和弧度的互化在今后的

学习中是必要的,而实现这两者之间互化的桥梁就是 180° =π rad.还必须指出的是,随着我们的进一步学习,我们要 更熟练地使用弧度制,并且要把弧度制的运用放在首位.对 于第一节中的角度的相关概念要熟练地转化为弧度制, 如象 限角、终边相同的角、轴线角、区间角等.

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第一章 1.1 1.1.2

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变式训练 3 将下列各角化成 2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的 形式,并确定其所在的象限. 19π 31π (1) ;(2)- . 3 6

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第一章 1.1 1.1.2

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19π 7π 7π 解:(1) 3 =2π+ 6 ,而 6 是第三象限的角, 19π ∴ 3 是第三象限角. 31π 5π 31π (2)∵- =-6π+ ,∴- 是第二象限角. 6 6 6

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第一章 1.1 1.1.2

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类型四

弧长与扇形面积的有关问题

[例 4] 一个扇形的面积为 1,周长为 4,求圆心角的 弧度数.

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第一章 1.1 1.1.2

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[解]

设扇形的半径为 R,弧长为 l,则 2R+l=4.

1 1 根据扇形面积公式 S=2lR,得 1=2l· R.
? ? 联立?2R+l=4, ? ?

1 l· R=1, 2

l 2 解得 R=1,l=2,∴α=R=1=2.

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第一章 1.1 1.1.2

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[点评] 求解.

根据扇形的面积、 周长公式, 列出相应方程组,

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第一章 1.1 1.1.2

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变式训练 4 解答下列各题: 5π (1)求半径为 2,圆心角为 3 的圆弧的长度; (2)在半径为 6 的圆中,求长度为 6 的弦和它所对的劣 弧围成的弓形的面积.

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第一章 1.1 1.1.2

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5π 解:(1)∵半径 r=2,圆心角 α= 3 , 5π 10π ∴弧长 l=α· r=2× 3 = 3 .

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第一章 1.1 1.1.2

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(2)如上图所示, ∵AB=6,OA=OB=6, π ∴∠AOB= . 3 1 1 1 π ∴扇形 AOB 的面积 S 扇形 AOB=2lr=2αr2=2×3×62=6π. 又∵△AOB 是等边三角形, 3 ∴S△AOB= 4 ×62=9 3. ∴所求弓形的面积 S=6π-9 3.

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第一章 1.1 1.1.2

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自我纠错
易错点:混淆了用弧度制和角度制表示的角 [错题展示] A.α=β C.α<β [错解] α=π,β=π°,则有( B.α>β D.α 与 β 的大小不确定 由于 π=π,则 α=β,故选 A. )

[错解分析] 错解中混淆了 π 与 π°的区别,π 的单位是 弧度,而 π°的单位是度.
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第一章 1.1 1.1.2

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[正解]

α=π=180° ,

因为 180°>π°,所以 α>β.

[答案] B

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第一章 1.1 1.1.2

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思悟升华
1.用弧度制来度量角,使角的集合与实数集之间建立 了一一对应关系.角度制与弧度制之间换算的实质:180° = π(rad). 2.弧度制引入的合理性. 当圆心角一定时,圆心角所对的弧长与半径成正比,与 所取半径无关. 因此用圆心角所对弧长与半径的比来度量这 个圆心角是合理的.

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第一章 1.1 1.1.2

系列丛书

3. 学习过程中一定要努力突破单一按角度制思考三角 问题的习惯,力求能直接通过弧度来认识任意的角.要实现 这一目标,可以从多做角度与弧度的互化练习,记熟常用特 殊角的弧度数开始.下面是特殊角的度数与弧度数对应表:

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第一章 1.1 1.1.2

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0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° π 180 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3

弧度 0

度 弧度

135° 150° 180° 225° 270° 315° 360° 3π 4 5π 6 π 5π 4 3π 2 7 4π 2π

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第一章 1.1 1.1.2

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4.同一个式子中,角度、弧度不能混用.如:与 30° 角 终边相同的角的集合不能表示为{α|α=2kπ+30° , k ∈ Z} , π 正确的表示方法是 {α|α = 2kπ + , k ∈ Z} 或 {α|α = k· 360° + 6 30° ,k∈Z}. 5.用角度制和弧度制来度量零角,虽然单位不同,但量 数相同(都是 0).如果度量任一非零角,单位不同,量数也 不同.

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第一章 1.1 1.1.2

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6.使用弧度制下的各种公式有诸多优越性,但是若已知 角是以“度”为单位,则必须先把它化成弧度后再计算.

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随 堂 知 能 训 练
知 识 反 馈 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·技 能 检 验

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第一章 1.1 1.1.2

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1.-300° 化为弧度是( 4π A.- 3 7π C.- 4

) 5π B.- 3 7π D.- 6

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第一章 1.1 1.1.2

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π 解析:∵1° =180 rad, π 5π ∴-300° =-300×180 rad=- 3 rad.

答案:B

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2.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这 个圆心角所对的弧长是( A.2 C.2sin1 ) 2 B. sin1 D.sin2

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第一章 1.1 1.1.2

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1 解析:设半径为 R,则 Rsin1=1.∴R=sin1. 2 ∴弧长 l=sin1.

答案:B

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第一章 1.1 1.1.2

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2 3.5π 化成角度为________.

2 2 解析:5π rad=5×180° =72° .

答案:72°

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第一章 1.1 1.1.2

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4.已知角 α=2 rad,则角 α 的终边在第________象限.

解析:由 2×57.3° =114.6° 知在第二象限.

答案:二

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5 .用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为 ________.

π 答案:{α|2kπ+2<α<2kπ+π,k∈Z}

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6.将下列角度与弧度进行互化: 7π 11π (1)20° ;(2)-15° ;(3)12;(4)- 5 .
20 π 解:(1)20° =180π=9. 15 π (2)-15° =-180π=-12. 7π 180 7π 7 (3)12=( π ×12)° =12×180° =7×15° =105° . 11π 11 (4)- 5 =- 5 ×180° =-396° .
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温 馨 提 示

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