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2014年高考文科数学三角函数真题附答案


2016 届文科人教版数学 三角函数复习资料



名:

沈金鹏 数学学院

院 、 系: 专

业: 数学与应用数学

2015 年 10 月 25 日

2014 年高考文科数学真题(三角函数)
一.选择题(共 10 小题

) 1. (2014?广西)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=( A. B. C.﹣ D.﹣ ) )

2. (2014?广西) 已知正四面体 ABCD 中, E 是 AB 的中点, 则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为 ( A. B. C. D. )

3. (2014?河南)若 tanα>0,则( A.sinα>0

B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0 )④y=tan(2x﹣ )中,最

4. (2014?河南)在函数①y=cos 丨 2x 丨,②y=丨 cosx 丨,③y=cos(2x+ 小正周期为 π 的所有函数为( A.①②③ B.①③④ )

C.②④ D.①③ )

5. (2014?四川)为了得到函数 y=sin(x+1)的图象,只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点( A.向左平行移动 1 个单位长度 B.向右平行移动 1 个单位长度 C.向左平行移动 π 个单位长度 D.向右平行移动 π 个单位长度 6. (2014?陕西)函数 f(x)=cos(2x+ A. B .π C.2π D.4π )的图象向右平移 B.在区间[ D.在区间[﹣ , , 个单位长度,所得图象对应的函数( )的最小正周期是( )

7. (2014?辽宁)将函数 y=3sin(2x+ A.在区间[ C.在区间[﹣ , , ]上单调递减 ]上单调递减



]上单调递增 ]上单调递增

8. (2014?江西)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 3a=2b,则 值为( A.﹣ ) B. C.1 D.



9. (2014?福建)将函数 y=sinx 的图象向左平移 确的是( )

个单位,得到函数 y=f(x)的函数图象,则下列说法正

A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为 π C.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 D.y=f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称

10. (2014?安徽)若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是( A. B. ) C. D.

二.填空题(共 8 小题) 11.函数 f(x)=sin(x+φ)﹣2sinφcosx 的最大值为 _________ .

12. (2014?重庆)将函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 一半,纵坐标不变,再向右平移 13. (2014?上海)方程 sinx+

≤φ<

)图象上每一点的横坐标缩短为原来的 )= _________ .

个单位长度得到 y=sinx 的图象,则 f(

cosx=1 在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于 _________ .

14. (2014?陕西) 设 0<θ<

, 向量 = (sin2θ, cosθ) , = (1, ﹣cosθ) , 若 ? =0, 则 tanθ=

_________ .

15. (2014?山东)函数 y=

sin2x+cos x 的最小正周期为

2

_________ .

16. (2014?湖北)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= _________ . 17. (2014?福建)在△ ABC 中,A=60° ,AC=2,BC= ,则 AB 等于 _________

,a=1,b=

,则 B=



18. (2014?北京)在△ ABC 中,a=1,b=2,cosC= ,则 c= _________ ;sinA=

_________ .

三.解答题(共 8 小题) 19. (2014?广西)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3acosC=2ccosA,tanA= ,求 B.

20. (2014?重庆)在△ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 a+b+c=8. (Ⅰ)若 a=2,b= ,求 cosC 的值; (Ⅱ)若 sinAcos
2

+sinBcos

2

=2sinC,且△ ABC 的面积 S= sinC,求 a 和 b 的值. b,sinB= sinC,

21. (2014?天津)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a﹣c= (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 cos(2A﹣ )的值.

22. (2014?四川)已知函数 f(x)=sin(3x+ (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 α 是第二象限角,f( )= cos(α+
2

) .

)cos2α,求 cosα﹣sinα 的值. )=0,其中 a∈R,θ∈

23. (2014?江西)已知函数 f(x)=(a+2cos x)cos(2x+θ)为奇函数,且 f( (0,π) . (1)求 a,θ 的值; (2)若 f( )=﹣ ,α∈( ,π) ,求 sin(α+ )的值.

24. (2014?湖南) 如图, 在平面四边形 ABCD 中, DA⊥AB, DE=1, EC= (Ⅰ)求 sin∠CED 的值; (Ⅱ)求 BE 的长.

, EA=2, ∠ADC=

, ∠BEC=



25.已知函数 f(x)=Asin(x+ (1)求 A 的值; (2)若 f(θ)﹣f(﹣θ)=

) ,x∈R,且 f(

)=



,θ∈(0,

) ,求 f(

﹣θ) .

26. (2014?安徽)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,且 b=3,c=1,△ ABC 的面积为 ,求 cosA 与 a 的值.

2014 年高考文科数学真题(三角函数)
参考答案与试题解析

一.选择题(共 10 小题) 1. (2014?广西)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=( A. B. C .﹣ ) D.﹣

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值.

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分析: 由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα 的值. 解答: 解:∵角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,∴x=﹣4,y=3,r= ∴cosα= = 故选:D. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题. =﹣ , =5.

2. (2014?广西)已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( A. B. C. D.



考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角.

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分析: 由 E 为 AB 的中点,可取 AD 中点 F,连接 EF,则∠CEF 为异面直线 CE 与 BD 所成角,设出正四面体的 棱长,求出△ CEF 的三边长,然后利用余弦定理求解异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值. 解答: 解:如图, 取 AD 中点 F,连接 EF,CF, ∵E 为 AB 的中点, ∴EF∥DB, 则∠CEF 为异面直线 BD 与 CE 所成的角, ∵ABCD 为正四面体,E,F 分别为 AB,AD 的中点, ∴CE=CF.

设正四面体的棱长为 2a, 则 EF=a, CE=CF= 在△ CEF 中,由余弦定理得: = 故选:B. . .

点评: 本题考查异面直线及其所成的角,关键是找角,考查了余弦定理的应用,是中档题.

3. (2014?河南)若 tanα>0,则( A.sinα>0

) C.sin2α>0 D.cos2α>0

B.cosα>0

考点: 三角函数值的符号. 专题: 三角函数的求值.

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分析: 化切为弦,然后利用二倍角的正弦得答案. 解答: 解:∵tanα>0, ∴ ,

则 sin2α=2sinαcosα>0. 故选:C. 点评: 本题考查三角函数值的符号,考查了二倍角的正弦公式,是基础题.

4. (2014?河南)在函数①y=cos 丨 2x 丨,②y=丨 cosx 丨,③y=cos(2x+ 为 π 的所有函数为( A.①②③ ) B.①③④ C.②④

)④y=tan(2x﹣

)中,最小正周期

D.①③

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质.

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分析: 根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论. 解答: 解:∵函数①y=cos 丨 2x 丨=cos2x,它的最小正周期为 ②y=丨 cosx 丨的最小正周期为 ③y=cos(2x+ ④y=tan(2x﹣ 故选:A. 点评: 本题主要考查三角函数的周期性及求法,属于基础题. )的最小正周期为 )的最小正周期为 =π, =π, , =π,

5. (2014?四川)为了得到函数 y=sin(x+1)的图象,只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点( A.向左平行移动 1 个单位长度 C. 向左平行移动 π 个单位长度 B. 向右平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 π 个单位长度



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质.

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分析: 直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案. 解答: 解:∵由 y=sinx 到 y=sin(x+1) ,只是横坐标由 x 变为 x+1, ∴要得到函数 y=sin(x+1)的图象,只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点向左平行移动 1 个单位长度. 故选:A. 点评: 本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减.是基础题.

6. (2014?陕西)函数 f(x)=cos(2x+ A. B.π

)的最小正周期是( C.2π

) D.4π

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质.

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分析: 由题意得 ω=2,再代入复合三角函数的周期公式 解答: 解:根据复合三角函数的周期公式 函数 f(x)=cos(2x+ 故选:B. 得,

求解.

)的最小正周期是 π,

点评: 本题考查了三角函数的周期性,以及复合三角函数的周期公式

应用,属于基础题.

7. (2014?辽宁)将函数 y=3sin(2x+ A.在区间[ C. 在区间[﹣ , , ]上单调递减 ]上单调递减

)的图象向右平移

个单位长度,所得图象对应的函数( , , ]上单调递增 ]上单调递增



B. 在区间[ D.在区间[﹣

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质.

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分析: 直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合函数的单调性的求法求出函 数的增区间,取 k=0 即可得到函数在区间[ 解答: 解:把函数 y=3sin(2x+ , ]上单调递增,则答案可求. 个单位长度, )+ ].

)的图象向右平移

得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x﹣ 即 y=3sin(2x﹣ 由 取 k=0,得 . , ) . ,得



∴所得图象对应的函数在区间[ 故选:B.

]上单调递增.

点评: 本题考查了函数图象的平移,考查了复合函数单调性的求法,复合函数的单调性满足“同增异减”原则,是 中档题.

8. (2014?江西) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 若 3a=2b, 则 A.﹣ B. C .1 D.

的值为 (



考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形.

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分析: 根据正弦定理,将条件进行化简即可得到结论. 解答: 解:∵3a=2b,∴b= ,

根据正弦定理可得 故选:D.

=

=

=



点评: 本题主要考查正弦定理的应用,比较基础.

9. (2014?福建) 将函数 y=sinx 的图象向左平移 A.y=f(x)是奇函数 C. y=f(x)的图象关于直线 x= 对称

个单位, 得到函数 y=f (x) 的函数图象, 则下列说法正确的是 ( B. y=f(x)的周期为 π D.y=f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质.

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分析: 利用函数图象的平移法则得到函数 y=f(x)的图象对应的解析式为 f(x)=cosx,则可排除选项 A,B,再 由 cos =cos(﹣ )=0 即可得到正确选项. 个单位,得 y=sin(x+ )=cosx.

解答: 解:将函数 y=sinx 的图象向左平移 即 f(x)=cosx.

∴f(x)是周期为 2π 的偶函数,选项 A,B 错误; ∵cos =cos(﹣ )=0, ,0) 、 ( ,0)成中心对称.

∴y=f(x)的图象关于点(﹣ 故选:D.

点评: 本题考查函数图象的平移,考查了余弦函数的性质,属基础题.

10. (2014?安徽)若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正 值是( A. ) B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的求值.

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分析: 利用两角和的正弦函数对解析式进行化简,由所得到的图象关于 y 轴对称,根据对称轴方程求出 φ 的最小

值. 解答: 解:函数 f(x)=sin2x+cos2x= 所得图象是函数 y= sin(2x+ sin(2x+ ﹣2φ) , , )的图象向右平移 φ 的单位,

图象关于 y 轴对称,可得 即 φ=﹣ ,

﹣2φ=kπ+

当 k=﹣1 时,φ 的最小正值是 故选:C.



点评: 本题考查三角函数的图象变换,考查正弦函数图象的特点,属于基础题.

二.填空题(共 8 小题) 11.函数 f(x)=sin(x+φ)﹣2sinφcosx 的最大值为 1 .

考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值.

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分析: 展开两角和的正弦,合并同类项后再用两角差的正弦化简,则答案可求. 解答: 解:∵f(x)=sin(x+φ)﹣2sinφcosx =sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx =sinxcosφ﹣sinφcosx =sin(x﹣φ) . ∴f(x)的最大值为 1. 故答案为:1. 点评: 本题考查两角和与差的正弦,考查了正弦函数的值域,是基础题.

12. (2014?重庆)将函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 坐标不变,再向右平移

≤φ<

)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵 )= .

个单位长度得到 y=sinx 的图象,则 f(

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质.

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分析: 哟条件根据函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象变换规律, 可得 sin (2ωx+φ﹣

ω) =sinx, 可得 2ω=1, 且 φ﹣

ω=2kπ,

k∈z,由此求得 ω、φ 的值,可得 f(x)的解析式,从而求得 f( 解答: 解:函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 变,可得函数 y=sin(2ωx+φ)的图象. 再把所得图象再向右平移 =sin(2ωx+φ﹣ ∴2ω=1,且 φ﹣ ∴ω= ,φ= ∴f( 个单位长度得到函数 y=sin[2ω(x﹣ ≤φ<

)的值.

)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不

)+φ)]

ω)=sinx 的图象, ω=2kπ,k∈z, ) , .

,∴f(x)=sin( x+ + )=sin =

)=sin( .

故答案为:

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题.

13. (2014?上海)方程 sinx+

cosx=1 在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于



考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由三角函数公式可得 sin(x+ 可得 x 值,求和即可. 解答: 解:∵sinx+ ∴ sinx+ 即 sin(x+ 可知 x+ cosx=1, cosx= , )= , =2kπ+ ,或 x+ =2kπ+

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)= ,可知 x+

=2kπ+

,或 x+

=2kπ+

,k∈Z,结合 x∈[0,2π],

,k∈Z,

又∵x∈[0,2π], ∴x= ∴ + ,或 x= = ,

故答案为: 点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,属基础题.

14. (2014?陕西)设 0<θ<

,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(1,﹣cosθ) ,若 ? =0,则 tanθ=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

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分析: 由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos2θ=0,再利用同角三角函数的基本关系求得 tanθ 解答: 解:∵ =sin2θ﹣cos θ=2sinθcosθ﹣cos θ=0,0<θ<
2 2



∴2sinθ﹣cosθ=0,∴tanθ= , 故答案为: . 点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式,同角三角函数的基本关系,属于基础题.

15. (2014?山东)函数 y=

sin2x+cos x 的最小正周期为 π .

2

考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质.

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分析: 利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为 f(x)=sin(2x+ 小正周期 解答: 解:∵函数 y= sin2x+cos x=
2

) ,从而求得函数的最

sin2x+ =π,

=sin(2x+

)+ ,

故函数的最小正周期的最小正周期为 故答案为:π.

点评: 本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式,正弦函数的周期性,属于基础题.

16. (2014?湖北) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 A=

, a=1, b=

, 则 B=





考点: 余弦定理.

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专题: 三角函数的求值. 分析: 利用正弦定理列出关系式,将 a,sinA,b 的值代入求出 sinB 的值,即可确定出 B 的度数. 解答: 解:∵在△ ABC 中,A= ,a=1,b= ,

∴由正弦定理

=

得:sinB=

=

=



∵a<b,∴A<B, ∴B= 或 . 或

故答案为:

点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

17. (2014?福建)在△ ABC 中,A=60° ,AC=2,BC=

,则 AB 等于 1 .

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值.

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分析: 利用余弦定理列出关系式,将 AC,BC,以及 cosA 的值代入即可求出 AB 的长. 解答: 解:∵在△ ABC 中,A=60° ,AC=b=2,BC=a=
2 2 2 2



∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 3=4+c ﹣2c, 解得:c=1, 则 AB=c=1, 故答案为:1 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.

18. (2014?北京)在△ ABC 中,a=1,b=2,cosC= ,则 c= 2 ;sinA=



考点: 余弦定理.

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专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: 利用余弦定理列出关系式,将 a,b,以及 cosC 的值代入求出 c 的值,由 cosC 的值求出 sinC 的值,再由 a, c 的值,利用正弦定理即可求出 sinA 的值. 解答: 解:∵在△ ABC 中,a=1,b=2,cosC= , ∴由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC=1+4﹣1=4,即 c=2; ∵cosC= ,C 为三角形内角, ∴sinC= = ,
2 2 2

∴由正弦定理

=

得:sinA=

=

=



故答案为:2; 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解本题的关键.

三.解答题(共 8 小题) 19. (2014?广西)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3acosC=2ccosA,tanA= ,求 B.

考点: 正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形.

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分析: 由 3acosC=2ccosA, 利用正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA, 再利用同角的三角函数基本关系式可得 tanC, 利用 tanB=tan[π﹣(A+B)]=﹣tan(A+B)即可得出. 解答: 解:∵3acosC=2ccosA, 由正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA, ∴3tanA=2tanC, ∵tanA= , ∴2tanC=3× =1,解得 tanC= .

∴tanB=tan[π﹣(A+C)]=﹣tan(A+C)=﹣

=﹣

=﹣1,

∵B∈(0,π) , ∴B= 点评: 本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技 能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.

20. (2014?重庆)在△ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 a+b+c=8. (Ⅰ)若 a=2,b= ,求 cosC 的值; (Ⅱ)若 sinAcos
2

+sinBcos

2

=2sinC,且△ ABC 的面积 S= sinC,求 a 和 b 的值.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值.

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分析: (Ⅰ)由 a+b+c=8,根据 a=2,b= 求出 c 的长,利用余弦定理表示出 cosC,将三边长代入求出 cosC 的值

即可; (Ⅱ)已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式 变形,再利用正弦定理得到 a+b=3c,与 a+b+c=8 联立求出 a+b 的值,利用三角形的面积公式列出关系式, 代入 S= sinC 求出 ab 的值,联立即可求出 a 与 b 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵a=2,b= ,且 a+b+c=8, ∴c=8﹣(a+b)= ,

∴由余弦定理得:cosC=

=

=﹣ ;

(Ⅱ)由 sinAcos

2

+sinBcos

2

=2sinC 可得:sinA?

+sinB?

=2sinC,

整理得:sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC, ∵sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC, ∴sinA+sinB=3sinC, 利用正弦定理化简得:a+b=3c, ∵a+b+c=8, ∴a+b=6①, ∵S= absinC= sinC, ∴ab=9②, 联立①②解得:a=b=3. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

21. (2014?天津)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a﹣c= (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 cos(2A﹣ )的值.

b,sinB=

sinC,

考点: 正弦定理;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值.

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分析: (Ⅰ)已知第二个等式利用正弦定理化简,代入第一个等式表示出 a,利用余弦定理表示出 cosA,将表示 出的 a,b 代入计算,即可求出 cosA 的值; (Ⅱ)由 cosA 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,进而利用二倍角的正弦、余弦函数

公式求出 sin2A 与 cos2A 的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简,将各自 的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ)将 sinB= 代入 a﹣c= sinC,利用正弦定理化简得:b= c,

b,得:a﹣c=c,即 a=2c, ;

∴cosA=

=

=

(Ⅱ)∵cosA= ∴sinA=
2

,A 为三角形内角, = , , + × = .

∴cos2A=2cos A﹣1=﹣ ,sin2A=2sinAcosA= 则 cos(2A﹣ )=cos2Acos +sin2Asin

=﹣ ×

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,同角三角函数间的基本关系,二倍角的正弦、余弦函数公式,以及两角和与 差的余弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

22. (2014?四川)已知函数 f(x)=sin(3x+ (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 α 是第二象限角,f( )= cos(α+

) .

)cos2α,求 cosα﹣sinα 的值.

考点: 两角和与差的余弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)令 2kπ﹣ ≤3x+ ≤2kπ+

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,k∈z,求得 x 的范围,可得函数的增区间. )=sin(α+
2

(2)由函数的解析式可得 f( (α+ 的值. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=sin(3x+ 求得 ﹣ ≤x≤ +

) ,又 f(

)= cos(α+

)cos2α,可得 sin(α+

)= cos

)cos2α,化简可得 (cosα﹣sinα) = .再由 α 是第二象限角,cosα﹣sinα<0,从而求得 cosα﹣sinα

) ,令 2kπ﹣

≤3x+

≤2kπ+ ﹣ ,

,k∈z, + ],k∈z. )cos2α,
2 2

,故函数的增区间为[ )=sin(α+ ) ,又 f(

(2)由函数的解析式可得 f( ∴sin(α+ )= cos(α+

)= cos(α+

)cos2α,即 sin(α+

)= cos(α+

) (cos α﹣sin α) ,

∴sinαcos 即

+cosαsin

= (cos α﹣sin α)?
2

2

2

(sinα﹣cosα) , (sinα+cosα) ,

(sinα﹣cosα)= ?(cosα﹣sinα) ?

又∵α 是第二象限角,∴cosα﹣sinα<0, 当 sinα+cosα=0 时,此时 cosα﹣sinα=﹣ 当 sinα+cosα≠0 时,此时 cosα﹣sinα=﹣ 综上所述:cosα﹣sinα=﹣ 或﹣ . . .

点评: 本题主要考查正弦函数的单调性,三角函数的恒等变换,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.

23. (2014?江西)已知函数 f(x)=(a+2cos x)cos(2x+θ)为奇函数,且 f( (1)求 a,θ 的值; (2)若 f( )=﹣ ,α∈( ,π) ,求 sin(α+ )的值.

2

)=0,其中 a∈R,θ∈(0,π) .

考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数奇偶性的性质. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)把 x= θ 的值可得. (2) 利用 f ( ) =﹣ 和函数的解析式可求得 sin

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代入函数解析式可求得 a 的值,进而根据函数为奇函数推断出 f(0)=0,进而求得 cosθ,则

, 进而求得 cos

, 进而利用二倍角公式分别求得 sinα,

cosα,最后利用两角和与差的正弦公式求得答案. 解答: 解: (1)f( )=﹣(a+1)sinθ=0,

∵θ∈(0,π) . ∴sinθ≠0, ∴a+1=0,即 a=﹣1 ∵f(x)为奇函数, ∴f(0)=(a+2)cosθ=0, ∴cosθ=0,θ= .
2

(2)由(1)知 f(x)=(﹣1+2cos x)cos(2x+ ∴f( )=﹣ sinα=﹣ ,

)=cos2x?(﹣sin2x)=﹣



∴sinα= ,

∵α∈( ∴cosα= ∴sin(α+

,π) , =﹣ , )=sinαcos +cosαsin = .

点评: 本题主要考查了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,函数奇偶性问题.综合运用了所学知识解 决问题的能力.

24. (2014?湖南)如图,在平面四边形 ABCD 中,DA⊥AB,DE=1,EC= (Ⅰ)求 sin∠CED 的值; (Ⅱ)求 BE 的长.

,EA=2,∠ADC=

,∠BEC=



考点: 余弦定理的应用;正弦定理. 专题: 解三角形.

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分析: (Ⅰ)根据三角形边角之间的关系,结合正弦定理和余弦定理即可得到结论. (Ⅱ)利用两角和的余弦公式,结合正弦定理即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)设 α=∠CED, 在△ CDE 中,由余弦定理得 EC =CD +ED ﹣2CD?DEcos∠CDE, 即 7=CD +1+CD,则 CD +CD﹣6=0, 解得 CD=2 或 CD=﹣3, (舍去) , 在△ CDE 中,由正弦定理得 ,
2 2 2 2 2

则 sinα= 即 sin∠CED= .



(Ⅱ)由题设知 0<α< 而∠AEB= ∴cos∠AEB=cos( ,

,由(Ⅰ)知 cosα=



)=cos ,

cosα+sin

sinα=



在 Rt△ EAB 中,cos∠AEB=

故 BE=



点评: 本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键,难度不大.

25.已知函数 f(x)=Asin(x+ (1)求 A 的值; (2)若 f(θ)﹣f(﹣θ)=

) ,x∈R,且 f(

)=



,θ∈(0,

) ,求 f(

﹣θ) .

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质.

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分析: (1)通过函数 f(x)=Asin(x+

) ,x∈R,且 f(

)=

,直接求 A 的值; ) ,求出 cosθ,利用两角差的正弦函数

(2)利用函数的解析式,通过 f(θ)﹣f(﹣θ)= 求 f( ﹣θ) . ) ,x∈R,且 f( = ,

,θ∈(0,

解答: 解: (1)∵函数 f(x)=Asin(x+ ∴f( ∴ )=Asin( . + )=Asin

)=



(2)由(1)可知:函数 f(x)=3sin(x+ ∴f(θ)﹣f(﹣θ)=3sin(θ+ =3[( =3?2sinθcos ∴sinθ= ∴cosθ= ∴f( ﹣θ)=3sin( , , )=3sin( =3sinθ= ,

) , ) )]

)﹣3sin(﹣θ+ )﹣(

)3cosθ=



点评: 本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的解析式的求法,基本知识的考查.

26. (2014?安徽)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,且 b=3,c=1,△ ABC 的面积为 cosA 与 a 的值.

,求

考点: 余弦定理的应用.

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专题: 计算题;解三角形. 分析: 利用三角形的面积公式,求出 sinA= 解答: 解:∵b=3,c=1,△ ABC 的面积为 ∴ ∴sinA=
2

,利用平方关系,求出 cosA,利用余弦定理求出 a 的值. ,

= ,
2



又∵sin A+cos A=1 ∴cosA=± , 由余弦定理可得 a= =2 或2 .

点评: 本题考查三角形的面积公式、余弦定理,考查学生的计算能力,属于中档题.


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