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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第5课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 1.(2014· 河南郑州市质量检测)设 α,β 分别为两个不同的平面,直线 l?α,则“l⊥β” 是“α⊥β”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.依题意,由 l⊥β,l?α 可以推出 α⊥β;反过来,由 α⊥β,l?α 不能推出 l ⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件. 2. (2014· 黑龙江齐齐哈尔质检)在如图所示的四个正方体中, 能得出 AB⊥CD 的是( )

解析:选 A.A 中,∵CD⊥平面 AMB,∴CD⊥AB;B 中,AB 与 CD 成 60° 角;C 中, AB 与 CD 成 45° 角;D 中,AB 与 CD 夹角的正切值为 2. 3.(2014· 武汉市部分学校高三联考)设 a、b、c 表示三条直线,α、β 表示两个平面,则 下列命题中,不正确的是( ) c⊥α ? ? ??c⊥β A. ? α∥β? b∥c ? C. b?α??c∥α c?α ? ? B.

? ? b?β ??b⊥c c是a在β内的射影? ?
a⊥b
? a∥α? ??b⊥α b⊥a? ?

?

D.

解析:选 D.A 项是正确的;由三垂线定理可知 B 项是正确的;由线面平行的判定定理 可知 C 项是正确的;D 项中,有可能 b 与 α 平行或相交或 b?α,故 D 项错误;故选 D. 9 4.(2013· 高考山东卷)已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边 4 长为 3的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ( ) 5π π A. B. 12 3 π π C. D. 4 6 解析:选 B. 如图所示,P 为正三角形 A1B1C1 的中心,设 O 为△ABC 的中心,由题意 知:PO⊥平面 ABC,连接 OA,则∠PAO 即为 PA 与平面 ABC 所成的角.

在正三角形 ABC 中,AB=BC=AC= 3, 3 3 3 则 S= ×( 3)2= , 4 4 9 VABCA B C =S×PO= ,∴PO= 3. 4 3 PO 又 AO= × 3=1,∴tan∠PAO= = 3, 3 AO π ∴∠PAO= . 3 5.(2014· 黄冈市黄冈中学高三适应性考试)已知三棱锥 SABC 的三视图如图所示.在原 三棱锥中给出下列命题: ①BC⊥平面 SAC;②平面 SBC⊥平面 SAB;③SB⊥AC. 其中所有正确命题的代号是( ) A.① B.② C.①③ D.①②
1 1 1

解析: 选 A.显然由三视图我们易知原几何体为三棱锥侧棱 SA 垂直于底面 ABC, 底面是 个直角三角形 AC⊥BC,从而我们易知只有①是正确的. 二、填空题 6.

如图,∠BAC=90° ,PC⊥平面 ABC,则在△ABC,△PAC 的边所在的直线中:与 PC 垂直的直线有________;与 AP 垂直的直线有________. 解析:∵PC⊥平面 ABC, ∴PC 垂直于直线 AB,BC,AC. ∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C, ∴AB⊥平面 PAC, ∴AB⊥AP,与 AP 垂直的直线是 AB. 答案:AB,BC,AC AB 7.(2014· 湖北武汉武昌区联考)已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,有下列命题: ①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β. 其中正确命题的序号是________. 解析:①正确,∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β,又 m?β,∴l⊥m;②错误,l,m 还可以垂直、 斜交或异面;③正确,∵l⊥α,l∥m,∴m⊥α,又 m?β,∴α⊥β;④错误,α 与 β 可能相 交. 答案:①③ 8. 点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,给出下列四个命题:

①三棱锥 AD1PC 的体积不变; ②A1P∥平面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确的命题序号是________. 解析:连接 BD 交 AC 于 O,连接 DC1 交 D1C 于 O1,连接 OO1,则 OO1∥BC1.

∴BC1∥平面 AD1C,动点 P 到平面 AD1C 的距离不变, ∴三棱锥 PAD1C 的体积不变. 又 VPAD1C=VAD1PC,∴①正确. ∵平面 A1C1B∥平面 AD1C,A1P? 平面 A1C1B, ∴A1P∥平面 ACD1,②正确. 由于 DB 不垂直于 BC1,显然③不正确; 由于 DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1, ∴DB1⊥平面 AD1C.DB1?平面 PDB1, ∴平面 PDB1⊥平面 ACD1,④正确. 答案:①②④ 三、解答题 9. (2014· 吉林长春市调研测试)如图, 在三棱柱 ABCA1B1C1 中, 侧面 AA1C1C⊥底面 ABC, AA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,O 为 AC 的中点.

1 (2)若 E 是线段 A1B 上一点,且满足 VEBCC1= · VABCA1B1C1,求 A1E 的长度. 12 解:(1)证明:∵AA1=A1C=AC=2,且 O 为 AC 的中点, ∴A1O⊥AC.又∵侧面 AA1C1C⊥底面 ABC, 侧面 AA1C1C∩底面 ABC=AC,A1O?平面 A1AC, ∴A1O⊥平面 ABC. 1 1 (2)∵VEBCC1= VABCA1B1C1= VA1BCC1, 12 4 1 3 ∴BE= BA1,即 A1E= A1B. 4 4 连接 OB(图略),在 Rt△A1OB 中,A1O⊥OB,A1O= 3,BO=1,故 A1B=2,则 A1E

(1)证明:A1O⊥平面 ABC;

3 的长度为 . 2

10.(2014· 黄冈市黄冈中学高三模拟考试)在如图所示的组合体中,三棱柱 ABCA1B1C1 的侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面,C 是圆柱底面圆周上不与 A、B 重合的一个点. (1)求证:无论点 C 如何运动,平面 A1BC⊥平面 A1AC; (2)当点 C 是弧 AB 的中点时,求四棱锥 A1BCC1B1 与圆柱的体积比. 解:(1)证明:因为侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面,C 是圆柱底面圆周上不与 A、B 重合 的一个点, 所以 AC⊥BC. 又圆柱母线 AA1⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又 AA1∩AC=A,所以 BC⊥平面 A1AC. 因为 BC?平面 A1BC,所以平面 A1BC⊥平面 A1AC. (2)设圆柱的底面半径为 r,母线长度为 h, 当点 C 是弧 AB 的中点时,AC=BC= 2r, 1 2 VA1-BCC1B1= · ( 2r ) · ( 2r)· h= r2h, 3 3 V 圆柱=πr2h, 所以 VA1-BCC1B1∶V 圆柱=2∶3π. [能力提升] 1.(2013· 高考江苏卷) 如图,在三棱锥 SABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS =AB.过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.

求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA. 证明:(1)因为 AS=AB,AF⊥SB, 垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点. 又因为 E 是 SA 的中点, 所以 EF∥AB. 因为 EF?平面 ABC,AB?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. 同理 EG∥平面 ABC.又 EF∩EG=E, 所以平面 EFG∥平面 ABC. (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB, 又 AF?平面 SAB,AF⊥SB,所以 AF⊥平面 SBC. 因为 BC?平面 SBC,所以 AF⊥BC. 又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF?平面 SAB,AB?平面 SAB,所以 BC⊥平面 SAB. 因为 SA?平面 SAB,所以 BC⊥SA. 2.如图所示,AD⊥平面 ABC,CE⊥平

1 面 ABC,AC=AD=AB=1,BC= 2,凸多面体 ABCED 的体积为 ,F 为 BC 的中点. 2 (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:平面 BDE⊥平面 BCE. 证明:(1)∵AD⊥平面 ABC,CE⊥平面 ABC, ∴四边形 ACED 为梯形,且平面 ABC⊥平面 ACED. ∵BC2=AC2+AB2,∴AB⊥AC.

∵平面 ABC∩平面 ACED=AC, ∴AB⊥平面 ACED, 即 AB 为四棱锥 BACED 的高, 1 1 1 1 ∵VBS · AB= × ×(1+CE)×1×1= , ACED= · 3 ACED 3 2 2 ∴CE=2. 取 BE 的中点 G,连接 GF,GD, ∴GF 为三角形 BCE 的中位线, ∴GF∥EC∥DA, 1 GF= CE=DA, 2 ∴四边形 GFAD 为平行四边形, ∴AF∥GD. 又 GD?平面 BDE,AF?平面 BDE, ∴AF∥平面 BDE. (2)∵AB=AC,F 为 BC 的中点, ∴AF⊥BC. 又 GF⊥AF,BC∩GF=F,∴AF⊥平面 BCE. ∵AF∥GD,∴GD⊥平面 BCE. 又 GD?平面 BDE, ∴平面 BDE⊥平面 BCE. 3. 如图,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° , PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.

(1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (2)证明:AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 APDC 的正弦值. 解:(1)在四棱锥 PABCD 中,

因 PA⊥底面 ABCD,AB?平面 ABCD, 故 PA⊥AB.又 AB⊥AD,PA∩AD=A, 从而 AB⊥平面 PAD, 故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA, 从而∠APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角. 在 Rt△PAB 中,AB=PA, 故∠APB=45° , 所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45° . (2)证明:在四棱锥 PABCD 中, 因 PA⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD,故 CD⊥PA. 由条件 CD⊥AC,PA∩AC=A, 所以 CD⊥平面 PAC. 又 AE?平面 PAC,所以 AE⊥CD. 由 PA=AB=BC,∠ABC=60° ,可得 AC=PA. 因为 E 是 PC 的中点,所以 AE⊥PC.

又 PC∩CD=C,综上得 AE⊥平面 PCD. (3)过点 E 作 EM⊥PD,垂足为 M,连接 AM,如图所示. 由(2)知,AE⊥平面 PCD,AM 在平面 PCD 内的射影是 EM,则 AM⊥PD. 因此∠AME 是二面角 APDC 的平面角. 由已知,可得∠CAD=30° . 设 AC=a,可得 2 3 21 PA=a,AD= a,PD= a, 3 3 2 AE= a. 2 在 Rt△ADP 中,因为 AM⊥PD, 所以 AM· PD=PA· AD, 2 3 a· a 3 PA· AD 2 7 则 AM= = = a. PD 7 21 a 3 在 Rt△AEM 中, AE 14 sin∠AME= = . AM 4 14 所以二面角 APDC 的正弦值为 . 4


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