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高中数学 2.1.2指数函数及其性质(一)全册精品教案 新人教A版必修1


2.1.2
(一)教学目标 1.知识与技能

指数函数及其性质(一)

了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象. 2.过程与方法 能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索指数函数图象特征. 3.情感、态度与价值观 在解决简单实际问题的过程中, 体会指数函数是一类重要的函数模型, 激发学生学习数 学的兴趣,努力培养学生的创新意识. (二)教学重点、难点 1.教学重点:指数函数的概念和图象. 2.教学难点:指数函数的概念和图象. (三)教学方法 采用观察、分析、归纳、抽象、概括,自主探究,合作交流的教学方法,通过各种教学 媒体(如计算机或计算器) ,调动学生参与课堂教学的主动性和积极性. (四)教学过程 教学 教学内容 环节 1. 在本章的开头,问题(1)中时间 x 与 GDP 值中的 y ? 1.073 ( x ? x ? 20)
x

师生互动

设计意图

由实际 问题引入,

与问题(2) 中时间t
不仅能激发

和C-14含量P的对应关系
复习 引入

学生的学习 学生思考回答函数的特征. 兴趣,而且

P=[( ) 2

1

1
5

30 t

],

可以培养学 生解决实际 问题的能 力.

请问这两个函数有什么共同特征. 2. 这两个函数有什么共同特征

1 1 把P=[( )5730 ]变成 P ? [( ) 5730 ]t ,从而得出这 2 2
用心 爱心 专心

t

1

1

两个关系式中的底数是一个正数,自变量为指数, 即都可以用 y ? a ( a >0且 a ≠1来表示).
x

指数函数的定义 一般地,函数 y ? a ( a >0 且 a ≠1)叫做
x

指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 回答:在下列的关系式中,哪些不是指数函 形 成 概念 数,为什么? (1) y ? 2
x?2

(2) y ? ( ?2) (3) y ? ?2 (4) y ? ? (5) y ? x
x x

x

由 特 殊到一般, 培养学生的 观察、 归纳、 概括的能 学生独立思考,交流讨论, 力. 教师巡视,并注意个别指导,

2

(6) y ? 4 x (7) y ? x
x

2

学生探讨分析, 教师点拨指 (8) y ? ( a ? 1)
x

( a >1,且 a ? 2 )

导. 使 学

小结:根据指数函数的定义来判断说明:因 为 a >0,x 是任意一个实数时,a 是一个确定的 实数,所以函数的定义域为实数集 R.
x

生进一步理 解指数函数 的概念.

理 解 概念

?当 x ? 0时,a x 等于 0 ? 若 a ? 0, ? x ?当 x ? 0时,a 无意义 ?
若 a <0,
1 1 如 y ? ( ?2) x , 先时,对于 x = , x ? 等等,在实 6 8

数范围内的函数值不存在. 若 a =1, y ? 1 ? 1, 是一个常量,没有研究
x

的意义,只有满足

用心

爱心

专心

2

y ? a x ( a ? 0, 且 a ? 1) 的形式才能称为指数函
数, a为常数,
1

如: y=2-3x ,y=2 x , y ? x x ,

y ? 3x ? 5 , y ? 3 x ? 1等等,不符合 y ? a x ( a ? 0且 a ? 1)的形式,

所以不是指数函数 .
我们在学习函数的单调性的时候,主要是根 据函数的图象,即用数形结合的方法来研究. 下 面我们通过 先来研究 y ? a ( a >1)的图象,
x

通过列 表、计算使 学生体会、 感受指数函 数图象的化

用计算机完成以下表格,并且用计算机画出 函数 y ? 2 的图象
x

趋势,通过 描点,作图

x
y ? 2x
深化 概念

?3.00
1 ?8

?2.50

?2.00
1 4

?1.50

学生列表计算, 描点、 作图. 培养学生的 动手实践能 教师动画演示. 力.

?1.00
1 2

0.00
1

0.50

1.00
2
x

1.50

2.00
不同情况进 4 学生观察、归纳、总结,教师诱 行对照,使 学生再次经 历从特殊到 一般,由具 体到抽象的 思 维 1 过

再研究先来研究 y ? a (0< a <1)的图象, 导、点评. 用计算机完成以下表格并绘出函数 y ? ( )

1

x

2

的图象.

x
1 y ? ( )x 2

?2.50 ?2.00 ?1.50 ?1.00 0.00
1 4 1 2

程.培养学 生的归纳概

1.00 1.50 2.00 2.50

括能力.

用心

爱心

专心

3

2

4

从图中我们看出

1 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象有什么关系? 2
通过图象看出

1 y ? 2 x 与y ? ( ) x 的图象关于y轴对称, 实 2
质是 y ? 2 上的 点(-x, y )
x

1 与 y =( )x 上点(-x, y )关于 y轴对称. 2 1 x x 讨论: y ? 2 与 y ? ( ) 的图象关于 y 轴对 2
称,所以这两个函数是偶函数,对吗? ②利用电脑软件画出

1 1 y ? 5 x , y ? 3x , y ? ( ) x , y ? ( ) x 的 函 数 图 3 5
象.

0

用心

爱心

专心

4

8

6

4

2

-1 0

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

问题:从画出的图象中,你能发现函数的图 象与底数间有什么样的规律. 从图上看 y ? a ( a >1)与 y ? a
x ?x

两函数图

象的特征——关于 y 轴对称.

学生思考、解答、交流,教 师巡视,注意个别指导,发现带 有普遍性的问题, 应及时提到全 体学生面前供大家讨论. 例 1 分析:要求

f (0), f (1), f ( ?3)的值,
例 1: 66 例 6) (P 已知指数函数 f ( x ) ? a ( a
x

只需求出a, 得出f(x)=(? ) ,

1 巩固所学知 3 x

应用 > 0 且 a ≠1 ) 的 图 象 过 点 ( 3 , π ) 求 再把 0,1,3 分别代入 x ,即可 , 举例 f (0), f (1), f ( ?3)的值. 求得 f (0), f (1), f ( ?3). 解:将点(3,π ) ,代入

识,培养学 生的数形结 合思想和创 新能力.

f ( x) ? a

x

得到 f (3) ? ? , 即a ?? ,
3
1

解 得 : a ??3 , 于 是
x

f ( x) ? ? 3 ,

用心

爱心

专心

5

所以 f (0) ? ? ? 1 ,
0

f (0) ? ? ? 3 ? ,
f ( ?3) ? ? ?1 ?
1、理解指数函数 y ? a ( a ? 0),
x

1 3

1

?

.

通过师

注意a ? 1与0 ? a ? 1两种情况

生的合作 总结, 使学 生对本节

归纳 总结

学生先自回顾反思, 教师点 课 所 学 知 评完善. 识的结构 有一个明 2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰 地分析题目,培养数型结合与分类讨论的数学思 想 . 晰的认识, 形成知识 体系.

课后 作业:2.1 第四课时 习案 作业

学生独立完成

巩固新知 提升能力

备选例题
例 1 指出下列函数哪些是指数函数: (1) y ? 4 ;
x

(2) y ? x ;
4 x

(3) y ? ?4 x ; (4) y ? (?4) ; (5) y ? ? ; (6) y ? 4x ;
x 2

(7) y ? x ;
x

(8) y ? ( 2 a ? 1) ( a ?
x

1 2

, 且 a ? 1) .

【分析】 根据指数函数定义进行判断. 【解析】 (1)(5)(8)为指数函数; 、 、 (2)是幂函数(后面 2.3 节中将会学习) ; (3)是 ? 1 与指数函数 4 x 的乘积;

用心

爱心

专心

6

(4)底数 ? 4 ? 0 ,?不是指数函数; (6)指数不是自变量 x ,而底数是 x 的函数; (7)底数 x 不是常数. 它们都不符合指数函数的定义. 【小结】准确理解指数函数的定义是解好本问题的关键. 例 2 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指 数函数 y= 2 x 的图象的关系, ⑴y= 2 x ?1 与 y= 2 x ? 2 . ⑵y= 2
x ?1

与 y= 2

x?2

.

解:⑴作出图像,显示出函数数据表

x

-3 0.125 0.25 0.5

-2 0.25 0.5 1
9

-1 0.5 1 2

0 1 2 4

1 2 4 8

2 4 8 16

3 8 16 32

2x 2 x ?1 2 x?2

8 7 6 5 4 3 2 1
-6 -4 -2

8

7

6

5

4

3

2

1

-3 -2 -1 0

1 2 3
2

4

6

8

比较函数 y= 2 x ?1 、y= 2 x ? 2 与 y= 2 x 的关系:将指数函数 y= 2 x 的图象向左平行移动 1 个 单位长度, 就得到函数 y= 2 x ?1 的图象, 将指数函数 y= 2 x 的图象向左平行移动 2 个单位长度, 就得到函数 y= 2
x?2

的图象

⑵作出图像,显示出函数数据表

x

-3 0.125 0.625 0.3125

-2 0.25 0.125 0.625

-1 0.5 0.25 0.125
用心

0 1 0.5 0.25
爱心

1 2 1 0.5
专心

2 4 2 1

3 8 4 2
7

2x 2 x ?1
2 x?2

?1? y?? ? ?3?

x

9

8 7 6 5 4 3 2 1
-6 -4 -2

8

7

6

5

4

3

2

1

-3 -2 -1 0

1 2 3 4 5
2 4

6

8

比较函数 y= 2 x ?1 、y= 2 x ? 2 与 y= 2 x 的关系:将指数函数 y= 2 x 的图象向右平行移动 1 个 单位长度, 就得到函数 y= 2 x ?1 的图象, 将指数函数 y= 2 x 的图象向右平行移动 2 个单位长度, 就得到函数 y= 2 x ? 2 的图象 小结:⑴当 m>0 时,将指数函数 y= 2 的图象向右平行移动 m 个单位长度,就得到函数
x

y= 2 x? m 的图象;当 m>0 时,将指数函数 y= 2 x 的图象向左平行移动 m 个单位长度,就得到函
数 y= 2
x?m

的图象

用心

爱心

专心

8



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