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北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(文)试题


2013 年高三数学查漏补缺题 文
1.函数 y ? cos(4 x ? A.



2013 年 5 月

?
3

) 图象的两条相邻对称轴间的距离为
π 4
C.

π 8

B.

π 2

D. π

2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? e x B. y ? sin 2 x C. y ? ? x 3 D. y ? log 1 x
2

3.若向量 a , b 满足 | a |?| b |? 2 ,且 a ? b ? b ? b ? 6 ,则向量 a , b 的夹角为 A.30 ° B.45° C.60° D.90°

4.已知函数 f ( x ) ? x sin x ,则 f (

π π π π 的大小关系为 A. f (? ) ? f (?1) ? f ( ) ) , f ( ?1) , ( f ? ) 11 3 3 11

π ) 11 π π C. f ( ) ? f (?1) ? f ( ? ) 11 3
B. f (?1) ? f (? ) ? f (

π 3

D. f (? ) ? f (

π 3

π ) ? f (?1) 11
6 6 5 5
左视图

5.某空间几何体三视图如右图所示,则该几何体的表面积为_____, 体积为_____________. 6.设 m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面 ,有以下四个命题:

主视图

俯视图

① 若 ? / / ? ,? / /? , 则 ? / /? ③ 若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ? 其中所有真命题的序号是_____

②若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? ④若 m / / n, n ? ? ,则 m / /?

?x ? 2 y ? 0 ? 7.设不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示的平面区域为 D,若直线 2 x ? y ? b 上存在区域 D 上的点,则 b 的取值范 ?y ? 0 ?
围是_____.

?0 ? x ? 2, ? 8.已知不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域为 W ,则 W 的面积是_____; ?3 x ? 2 y ? 4 ? 0 ?

1

设点 P( x, y ) ?W ,当 x 2 ? y 2 最小时,点 P 坐标为_____. 9.设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn .则“ | q | ? 1 ”是“ S4 ? 2S2 ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

10.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? m 在区间 [0, ] 上有两个零点,则 m 的取值范围是(

π 6

π 2



A. [0, )

1 2

B. (0, ]

1 2

C. [ ,1)

1 2

D. ( ,1]

1 2

11 .已知椭圆 G :

x2 y2 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 .⊙ M 过椭圆 G 的一个顶点和一个 2 a b 2
) D. 16

焦点,圆心 M 在此椭圆上,则满足条件的点 M 的个数是( A. 4 B. 8 C. 12

12.如果直线 y ? kx ? 2 总不经过 点 (cos? ,sin ? ) ,其中 ? ? R ,那么 k 的取值范围是_____. ... 13.如图所示,正方体 ABCD ? A?B?C ?D ? 的棱长为 1, E、F 分别是棱 AA? 、 CC ? 的中点,过直线 E、F 的 平面分别与棱 BB? 、 DD? 交于 M、N, 设 BM= x, x ? [0,1] ,给出以下四个命题: ①平面 MENF ? 平面 BDD?B? ; ②四边形 MENF 周长 L ? f ( x ) , x ? [0,1] 是单调函数; ③四边形 MENF 面积 S ? g ( x ) , x ? [0,1] 是单调函数; ④四棱锥 C ? ? MENF 的体积 V ? h( x ) 为常函数; 以上命题中正确命题的个数( A .1 B.2 ) C.3 D.4
E D M B C A' D' N B' F

C'

A

14.直线 y ? ax ? b 与抛物线 y ?

1 2 x ? 1相切于点 P . 若 P 的横坐标为整数,那么 a 2 ? b2 的最小值为 4

2

15.已知数 列 {an } 的前 n 项和 Sn ? ?

?2n ? 1, ? 2 ? ??n ? (a ? 1)n,

n ? 4, n ? 5.

若 a 5 是 {an } 中的最大值, 则实数 a 的取值范围

是_____. 解答题部分: 1. 已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 2 3sin x cos x ? sin2 x (I)求 f ( x ) 的最小正周期和值域; (II)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,若 f ( ) ? 2 且 a 2 ? bc ,试判断 ?ABC 的形状. 2.如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P 是单位圆上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线与射线

A 2

π π y ? 3x ( x ? 0) 交于点 Q ,与 x 轴交于点 M .记 ?MOP ? ? ,且 ? ? (? , ) . 2 2 1 (Ⅰ)若 sin ? ? ,求 cos ?POQ ; 3
(Ⅱ)求 ?OPQ 面积的最大值. 3. 已知函数 f ( x) ? cos2 x ? a sin( x ? ) ? 1 ,且 f ( ) ? 1 ? 2 ﹙Ⅰ﹚求 a 的值. (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, π ] 上的最大和最小值. 4. 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? kn ? b ,其前 n 项和为 Sn . (I) 若 S2 ? 4, S3 ? 9 ,求 k , b 的值; (Ⅱ) 若 k ? ?2, 且 S5 ? 0 ,求 b 的取值范围.
3 3 3 3 2 5.数列 ?an ? 的各项都是正数,前 n 项和为 Sn ,且对任意 n ? N ? ,都有 a1 . ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn

M

π 2

π 4

(Ⅰ)求 a2 的值;
2 ? 2Sn ? an ; (Ⅱ)求证: an

E C D O F A B

(Ⅲ)求数列 ?an ? 的通项公式.

3

6. 已知正三角形 ACE 与平行四边形 ABCD 所在的平面互相垂直. 又 ?ACD ? 90? ,且 CD ? 2, AC ? 2 ,点 O , F 分别为 AC , AD 的中点. 求证: CF ? DE

7. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD , PC ⊥ AD .底面 ABCD 为梯形, AB / / DC ,
AB ? BC . PA ? AB ? BC ,点 E 在棱 PB 上,且 PE ? 2EB .[来源:Zxxk.Com]

(Ⅰ)求证:平面 PAB ⊥平面 PCB ; (Ⅱ)求证: PD ∥平面 EAC 8. 设 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? a 2 x (a ? 0) 的两个极值点. (I)若 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 | x1 | ? | x2 |? 2 2 ,求 b 的最大值. 9. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2a ln x ? 5 .
D

P

E

A

B

C

(Ⅰ)若 a ? ?1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间. 10. 已知椭圆 C : 上的两点. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 PQ 过 F1 ,且 PF1 ? 2 QF1 ,求 PQ . 11. 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(0 ? b ? 2) 的左、 右焦点分别为 F1 ,F2 , 且经过点 (? 2,1) , 又 P, Q 是椭圆 C 4 b2

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴长为 2 . 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;[来源:学科网] (Ⅱ)已知点 P(0,2) ,过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点,直线 PA 交椭圆 C 于点 Q ,求△ ABQ 面 积的最大值.

4

2013 年最后阶段高三数学复习参考资料 文 题号 答案 题号 答案[来源: 学科网] 题号 答案 11 C 12 13 B 14 1 15 1 B 6 ①③ 科 2 C 7 3 C 8 2013 年 5 月 4 A 9 5

33π , 30 π
10 C

[0,8]

5,(

12 24 , ) 13 39

C

(? 3, 3)

a?

53 5

解答题部分: 1. 解:﹙Ⅰ﹚

f ( x) ? cos2 x ? 2 3sin x cos x ? sin2 x

? 3sin 2 x ? cos2 x
? 2sin(2 x ? ) 6
所以 T

?

? ? , f ( x ) ? [?2,2]

﹙Ⅱ﹚由

A A ? f ( ) ? 2 ,有 f ( ) ? 2sin( A ? ) ? 2 , 2 2 6

所以 sin( A ?

?
6

) ? 1. A?

因为 0 ? A ? ? ,所以 由余弦定理 a
2

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

.

? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 及 a 2 ? bc ,所以 (b ? c)2 ? 0 .

所以 b ? c , 所以 B ? C

?

?
3

.

所以 ?ABC 为等边三角形.

π π ,所以 ?POQ ? ?MOQ ? ?MOP ? ? ? . 3 3 2 2 1 π π 因为 sin ? ? ,且 ? ? ( ? , ) ,所以 cos ? ? . 3 3 2 2 π π π 2 2? 3 所以 cos ?POQ ? cos( ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? ? . 3 3 3 6
2. 解:依题意 ?MOQ ? (Ⅱ)由三角函数定义,得 P(cos ? ,sin ? ) ,从而 Q(cos? ,

3cos? )

5

所以

1 | cos? || 3cos? ? sin ? | 2 1 1 1 ? cos2? 1 ? | 3cos2 ? ? sin ? cos? |? | ? sin2? | 2 2 2 2 1 3 3 cos 2? 1 1 3 π ? | ? ? sin 2? |? | ? sin( ? 2? ) | 2 2 2 2 2 2 3 S?POQ ?
1 3 3 1 | ? 1 |? ? 2 2 4 2 π π π 因为 ? ? ( ? , ) ,所以当 ? ? ? 时,等号成立, 2 2 12 ?
所以 ?OPQ 面积的最大值为

3 1 ? . 4 2

3.解: (I) a ? ?2 (Ⅱ)因为

f ( x) ? cos2 x ? a cos x ? 1 ? 2cos2 x ? 2cos x

设 t ? cos x , 因为 x ? [0, π ], 所以 t ? [ ?1,1] 所以有

y ? 2t 2 ? 2t, t ? [ ?1,1] y ? 2t 2 ? 2t 的对称轴为 t ? ?

由二次函数的性质知道, 所以当

1 2

1 1 2π 1 时,函数取得最小值 ? t ? ? ,即 t ? cos x ? ? , x ? 2 3 2 2

当 t ? 1 ,即 t ? cos x ? 1 , x ? 0 时,函数取得最大小值 4

4.解: (I)因为 an

? kn ? b, 所以 an ? an?1 ? k

所以 {an } 是公差为 k 的等差数列,

又 S2

?k ? 2 ?k ? 2 ? 2a ? k ? 4 ? 4, S3 ? 9 ,所以 ? 1 ,解得 ? ,所以 ? ? b ? ?1 ? a1 ? 3 ?3a1 ? 3k ? 9

(Ⅱ)因为 k ? ?2, 且 S5

? 5a3 ? 5(3k ? b) ? 5( ?6 ? b)

所以 ?6 ? b ? 0 ,得到 b ? 6

6

3 5.证明: (I)在已知式中,当 n ? 1 时, a1

? a12

因为 a1

? 0 ,所以 a1 ? 1 ,
3

所以 1 ? a2

? (1 ? a2 )2 ,解得 a2 ? 2
2 ? Sn

3 3 3 3 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an



3 3 3 3 2 ② a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? Sn ?1

当 n ? 2 时, a1

3

3 3 3 2 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn



3 3 3 3 2 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ② ?1 ? Sn ?1

①-②得, an 因为 an 即 an
2

3

? an (2a1 ? 2a2 ? ? ? 2an?1 ? an )
所以 an
2

?0

? 2a1 ? 2a2 ??? 2an-1 ? an ,
? 1 适合上式

? 2Sn-an
2

因为 a1

所以 an

? 2Sn-an (n∈N+)
2

(Ⅲ)由(I)知 an 当 n ? 2 时,
2

? 2Sn -an (n ? N ? ) ③
2 an ④ ?1 ? 2 Sn ?1 ? an ?1

③-④得 an - an -1 因为

2

? 2( Sn -Sn -1 )-an ? an -1 ? 2an -an ? an -1 ? an ? an -1

an ? an -1 ? 0 ,所以 an -an -1 ? 1
?n

所以数列 ?an ? 是等差数列,首项为 1,公差为 1,可得 an

6.

证明:因为在正三角形 ACE 中, O 为 AC 中点,

所以 EO ? AC 又平面 ACE

? 平面 ABCD ,且平面 ACE ? 平面 ABCD ? AC ,[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

所以 EO ? 平面 ABCD ,所以 EO ? CF 在 Rt ?ACD 中, tan ?FCO

?

2 2 , tan ?ODC ? 2 2

所以可以得到 ?FCO ? ?ODC ,所以 ?FCD ? ?ODC 即 CF ? DO ,又 DO ? OE

? 90? ,

?O

7

所 以 CF ? 平面 DOE ,所以 CF ? DE 7.证明: (Ⅰ)因为 PA ⊥底面 ABCD, 所以 PA ? BC . 又 AB ? BC , PA ?

AB ? A ,

所以 BC ⊥平面 PAB . 又 BC

? 平面 PCB ,

所以平面 PAB ⊥平面 PCB . (Ⅱ)因为 PA ⊥底面 ABCD ,所以 PA ? AD 又 PC ? AD ,且 PA ? PC

?P
P

所以 AD ? 平面 PAC ,所以 AC ? AD . 在梯形 ABCD 中,由 AB ? BC,AB ? BC ,得 ?BAC 所以 ?DCA ? ?BAC

?

?
4



N H

?

?
4



A
D M

E B

又 AC ? AD ,故 ?DAC 为等腰直角三角形. 所以 DC ?

2 AC ? 2

?

2 AB ? 2 AB .

?

C

连接 BD ,交 AC 于点 M ,则 在 ?BPD 中,

DM DC ? ? 2. MB AB

PE DM ? ? 2, EB MB

所以 PD / / EM 又 PD

? 平面 EAC , EM ? 平面 EAC ,

所以 PD ∥平面 EAC .

8.解(I)因为

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? a 2 x (a ? 0) ,所以 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? a 2 (a ? 0)

依题意有 ?

2 ? ? f ?( ?1) ? 0 ?3a ? 2b ? a ? 0 ,所以 ? (a ? 0) . 2 12 a ? 4 b ? a ? 0 ? f ?(2) ? 0 ? ?

解得 ?

?a ? 6 3 2 ,所以 f ( x ) ? 6 x ? 9 x ? 36 x . . b ? ? 9 ?
f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? a 2 (a ? 0) ,

(Ⅱ)因为

8

依题意, x1 , x2 是方程

f ?( x ) ? 0 的两个根,且 | x1 | ? | x2 |? 2 2 ,
2

所以 ( x1 ? x2 ) 所以 ( ? 因为 b 设
2

? 2 x1 x2 ? 2 | x1 x2 |? 8 .

2b 2 a a ) ? 2 ? (? ) ? 2 | ? |? 8 ,所以 b2 ? 3a 2 (6 ? a ) . 3a 3 3
≥ 0 ,所以 0 ? a ≤ 6 .

p(a) ? 3a 2 (6 ? a) ,则 p?(a ) ? ?9a 2 ? 36a .


p?(a ) ? 0 得 0 ? a ? 4 ,由 p?(a ) ? 0 得 a ? 4 . p ( a ) 在区间 (0,4] 上是增函数,在区间 [4,6] 上是减函数, p ( a ) 有极大值为 96,所以 p ( a ) 在 (0,6] 上的最大值是 96,

即函数

所以当 a ? 4 时,

所以 b 的最大值为 4

6.

9. 解: (Ⅰ)因为 a ? ?1 , 所以 令

f ( x) ? x 2 ? 2ln x ? 5 , f '( x) ? 2 x ?

2 x

.

f '( x ) ? 0 ,即 2 x ?

2 ? 0. x

因为 函数

f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

所以 x ? 1 . 因为 当 0 ? x ? 1 时, 所以 函数

f '( x) ? 0 ;当 x > 1 时, f '( x) ? 0 ,

f ( x ) 在 x ? 1 时取得极 小值 6.

(Ⅱ)由题意可得 由于函数

f '( x) ? 2 x ?

2a 2( x ? 1)( x ? a ) ? 2(a ? 1) ? . x x

f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

所以 当 0 < 令

a < 1时,令 f '( x) ? 0 ,解得 0 < x < a 或 x > 1 ;

f '( x) ? 0 ,解得 a < x < 1 ;
0 时,令 f '( x) ? 0 ,解得 x > 1 ;令 f '( x) ? 0 ,解得 0 < x < 1 ;
1 时,令 f '( x) ? 0 ,解得 0 < x < 1 或 x > a ;令 f '( x) ? 0 ,解得 1 < x < a ;

当a?

当a > 当a

= 1 时, f '( x) ? 0 . a < 1时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, a ) , (1, + ? ) ,

所以 当 0 <

9

单调递减区间是 ( a,1) ; 当a? 当a> 当a

0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (1, + ? ) ,单调递减区间是 (0,1) ;
1 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0,1) , (a, + ? ) ,单调递减区间是 (1, a) ; = 1 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, + ? )

10. 解: (Ⅰ)因为 点 (?

2,1) 在椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 上, 4 b2

2 1 ? ?1. 4 b2 1 1 所以 2 ? . b 2
所以 所以 椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)因为

x2 y2 ? ? 1. 4 2

F1 (? 2,0) .

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,得
2 2 2 2 x1 ? 2 y1 ? 4 , x2 ? 2 y2 ?4.

因为直线 PQ 过 F1 ,且 所以 所以

PF1 = 2 QF1



???? ???? . PF1 ? 2FQ 1 (? 2 ? x1, ? y1 ) ? 2( 2 ? x2 , y2 ) .

所以

? ? y1 ? ?2 y2 , ? ? ? x1 ? ?3 2 ? 2 x2 .
2 2 18 + 12 2x2 + 4x2 + 8 y2 = 4.

所以 所以

12 2x2 = - 30 .
x2 ? ? 5 2 . [来源:学&科&网 Z&X&X&K] 4
2 x2 ? 4 2 x2 ? 8 9 ? . 2 4

所以

所以

PQ ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 3

10

11. 解: (Ⅰ)椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)设直线 由 ? ? 144k 所以
2

x2 ? y2 ? 1. 3

AQ 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 ,
? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 ,得 k 2 ? 1 ,

xA ? xQ ? ?

12k 9 , x A xQ ? . 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

因为 O 是 所以

AB 的中点,

1 S?ABQ ? 2S?AOQ ? 2 S?POQ ? S?poa ? 2 ? ? 2 ? xA ? xQ ? 2 x A ? xQ . 2 12 k 2 36 36( k 2 ? 1) 2 2 ) ? ? 由 ( x A ? xQ ) ? ( x A ? xQ ) ? 4 x A xQ ? ( ? , 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
设k
2

? 1 ? t (t ? 0) ,
2

则 ( x A ? xQ )

?

36t 36 36 3 ? ? ? , 2 16 (3t ? 4) 9t ? ? 24 2 9t ? 16 ? 24 4 t t

当且仅当 9t

?

16 4 , t ? 时等号成立,此时△ ABQ 面积取最大值,最大值为 3 . t 3

11


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