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2013年永春一中自主招生数学试卷(一)


2013 年永春一中自主招生数学试卷(一)
7、一个定滑轮起重装置如图所示,滑轮的半径是 10cm,当重物上升 10cm 时,滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的角度约为(假设绳索与滑轮之间没有滑动,结果精确到 1°)( A.115° B.60° C.57° D.29° )

O

A 滑轮

考点: 弧长的计算. 分析: OA 旋转的角度为 n, 设 由于重物上升 10 cm, 则点 A 逆时针旋转的弧长为 10 cm, 根据弧长公式即可求出.解答:解:设 OA 旋转的角度为 n,由于重物上升 10 cm, 则点 A 逆时针旋转的弧长为 10 cm, 由弧长公式 l=nπ R180, 可求 n=180lπ R= 180×103.14×10≈57 度.点评:此题是典型的跨学科综合题,将物理知识与数学问题有机地结合在一起.

重物

16、 已知 a, c 满足 a+c=b, b, 4a+2b+c=0, 则关于 x 的二次函数 y=ax +bx+c a≠0) ( 的图象与 x 轴的两个交点间的距离为:

2



考点:抛物线与 x 轴的交点. 专题:计算题. 分析:根据 a+c=b,4a+2b+c=0 知抛物线分别与坐标轴的两交点坐标,然后可以求两交点之间的距离. 解答:解:∵a+c=b, ∴a-b+c=0, ∵4a+2b+c=0, ∴即抛物线 y=ax +bx+c 当 x=-1 时 y=0,当 x=2 时,y=0, ∴抛物线与 x 轴的两交点坐标为(-1,0)、(2,0), ∴两交点之间的距离为 3. 故答案为:3. 点评:本题考查了二次函数与横轴的交点坐标的相关知识,解决此题的关键是根据题目提供的条件求出抛物线与横轴的两交点, 进而求出两交点之间的距离.
2

17、正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置.点A1,A2,A3,…和点C1,C2,C3,…分别在直线 >0)和x轴上,已知点B1(1,1),B2(3,2),则B3和Bn的坐标分别是_________.

y ? kx ? b (k

y
A2 A1
分析:所有正方形的边长都是成倍增长的。 即:1, 2^0 2, 2^1 4, 2^2 8, 2^3 16 …… 2^4

A3

B3 B2

B1 C1 C2 C3 x

O

所以,第 N 个正方形的边长就是 2^(n-1)

那么点 An 的纵坐标为 2^(n-1)

另外,可以求得

A!A2A3 ……所在的直线的解析式为:y = x + 1

于是,X + 1 = 2^(n-1)

X = 2^(n-1) - 1

即:An 【2^(n-1) - 1 , 2^(n-1)】

由于,Bn 的纵坐标与 An 的相同,横坐标比 An 的多 2^(n-1),

即:2^(n-1) - 1 +2^(n-1) = 2*2^(n-1) -1 = 2^n - 1

所以,Bn【2^n - 1 , 2^(n-1)】



23、

如图,AB 是⊙O 的直径,AC 和 BD 是它的两条切线,CO 平分∠ACD (1)求证:CD 是⊙O 的切线 (2)若 AC=2,BD=3,求

AB 的长.

解:(1)∵AC 是切线, ∴OA⊥AC, ∵CO 平分∠ACD,OE⊥CD, ∴OA=OE,

∴CD 是⊙O 的切线.

(2)∵AC,CD,BD 都是切线, ∴AC=CE=2,BD=DE=3, ∴CD=CE+DE=5, ∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°, ∴四边形 ABFC 是矩形, ∴BF=AC=2,DF=BD-BF=1, 在 Rt△CDF 中,CF2=CD2-DF2=52-12=24, ∴AB=CF=26.

25、某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为 400 元时,可全部租出;当每 辆车的日租金每增加 50 元, 未租出的车将增加 1 辆;公司平均每日的各项支出共 4800 元.设公司每日租出 x 辆车时,日收益为 y 元.(日收益=日租金收 入一平均每日各项支出) (1)公司每日租出 x 辆车时,每辆车的日租金为

元(用含 x 的代数式表示); (2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元? (3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?解:(1)解:∵某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车.据统计,当每辆 车的日租金为 400 元时,可全部租出; 当每辆车的日租金每增加 50 元,未租出的车将增加 1 辆; ∴当全部未租出时,每辆租金为:400+20×50=1400 元, ∴公司每日租出 x 辆车时,每辆车的日租金为:1400﹣50x; 故答案为:1400﹣50x; (2)根据题意得出: y=x(﹣50x+1400)﹣4800, =﹣50x2+1400x﹣4800, =﹣50(x﹣14)2+5000. 当 x=14 时,在范围内,y 有最大值 5000. ∴当日租出 14 辆时,租赁公司日收益最大,最大值为 5000 元. (3)要使租赁公司日收益不盈也不亏,即:y=0. 即:50(x﹣14)2+5000=0, 解得 x1=24,xz=4, ∵x=24 不合题意,舍去. ∴当日租出 4 辆时,租赁公司日收益不盈也不亏.


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