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2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第7章§7.3


§7.3 圆的方程

双基研习?面对高考 § 7.3 圆 的 方 程

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理
1.圆的概念及圆的标准方程 (1)圆:平面上,到一定点O的距离等于定长r(r>0) |PO|=r(r>0) , 的点P的集合(轨迹)叫作圆.其特征是___________

圆的位置 , 其中O叫圆心,r叫半径.圆心决定___________
圆的大小 . 半径决定_________

(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) ,圆心 (2)圆的标准方程是_______________________ (a,b) ,确定圆的标准方程,只需知道圆心和半 是_______ 待定系数法 . 径即可,常采用的方法是____________ (3)点和圆的位置关系有三种:点在圆上,满足的条 等于 半径;点在圆内,满足 件是点到圆心的距离______

小于 半径;点在圆外, 的条件是点到圆心的距离______
大于半径. 满足的条件是点到圆心的距离_____

2.圆的一般方程 (1)圆的一般方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其应满 D2+E2-4F>0 ,圆心坐标是 足的条件是________________

D2+E2-4F D E r = 2 (- ,- ),半径为_______________. 2 2 (2)对于方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,当 _________________ D2+E2-4F=0 时,不表示圆,而表示一个点 D E D2+E2-4F<0时, (- , - ), 当_____________ 不表示任何图形. 2 2

(3)当已知圆心坐标和半径求圆的方程时,一般设
2+(y-b)2=r2(r>0) ( x - a ) 为标准方程________________________,当已知

圆上三点时一般设为一般方程x2+y2+Dx+Ey+F =0(D2+E2-4F>0),当已知圆的直径的两个端点 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)· (y-y2)=0 时,一般设为______________________________.

思考感悟
方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的充

要条件是什么?
提示:方程 Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0 表 示圆,当且仅当:(1)A=B≠0;(2)C=0; D 2 E 2 4F (3)(A) +(A) - A >0 即 D2+E2-4AF>0.

3.点 M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系 点 M(x0, y0)的位 置 点 M 在圆外 点 M 在圆上 点 M 在圆内 (x0-a)2+(y0-b)2 与 r2 的关系 2 (x0-a)2+(y0-b)2__ r > (x0-a)2+(y0-b)2= __r2 2 (x0-a)2+(y0-b)2__ r <

答案:A

课前热身
1. (原创题)圆 x2+y2-2x+4y+3=0 的圆心到 直线 x-y=1 的距离是( ) 2 A.2 B. 2 C.1 D. 2

答案:D

2.若原点(0,0)在圆(x-m)2+(y+m)2=2 的内 部,则实数 m 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(-1,1) C.(- 2, 2) D.[-1,1]

答案:B

3.圆x2+y2-2x-1=0关于直线y=x对称的圆
的方程是( ) B.(x-1)2+y2=2 D.x2+(y-1)2=2

A.(x-1)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=4 答案:D

4.(教材习题改编)过点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2) 的圆的方程为________. 答案:x2+y2-8x+6y=0

5.(2009年高考广东卷)以点(2,-1)为圆心且与
直线x+y=6相切的圆的方程是________.

25 答案:(x-2) +(y+1) = 2
2 2

考点探究?挑战高考

考点突破 二元二次方程与圆

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件
是D2+E2-4F>0,在解决与圆的一般方程有

关的问题时,必须注意这一隐含的条件.

例1 已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4

+9=0(t∈R)的图形是圆.
(1)求t的取值范围;

(2)求其中面积最大的圆的方程;
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内,求t的取值范围. 【思路点拨】 把一般方程化为标准方程.

【解】 (1)方程即(x-t-3)2+(y+1-4t2)2 =(t+3)2+(1-4t2)2-16t4-9, ∴r2=-7t2+6t+1>0, 1 ∴- <t<1. 7 3 2 16 2 (2)∵r= -7t +6t+1= -7?t- ? + , 7 7 3 1 4 ∴当 t= ∈(- ,1)时,rmax= 7. 7 7 7 24 2 13 2 16 此时圆的方程为:(x- ) +(y+ ) = . 7 49 7

(3) 当且仅当 32 + (4t2)2 - 2(t + 3)×3 + 2(1 - 4t2)×4t2+16t4+9<0 时,点 P 在圆内, 3 2 ∴8t -6t<0,即 0<t< . 4
【规律小结】 判断点与圆的位置关系时,一

般可从代数特征(将点的坐标代入圆的方程进行 检验)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系 )去考虑,其中用几何特征较为简捷、实用.

求圆的方程 无论是圆的标准方程还是圆的一般方程,都有三 个待定系数,因此求圆的方程,应用三个条件来 求.一般地,已知圆心或半径的条件,选用圆的

标准式,否则选用一般式.另外,还可用几何法
来求圆的方程.要充分利用圆的有关几何性质,

如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径、
弦心距、弦长的一半构成直角三角形”等.

例2 (1)(2010 年高考广东卷)已知圆心在 x 轴上,

半径为 2的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y =0 相切,则圆 O 的方程是________. (2)(2010 年高考课标全国卷)过点 A(4,1)的圆 C 与 直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方 程为________.

【思路点拨】 系数法求解.

设出圆的方程,利用待定

|a | 【解析】 (1)设圆心为 (a,0)(a<0),则 = 2, 2 解得 a=-2,故圆 O 的方程为(x+2)2+y2=2. (2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意 知:
??4-a?2+?1-b?2=r2 ? ?b-1 ? =-1 ?a-2 ? ?|a-b-1| =r ? 2 ?



解之得:a=3,b=0,r= 2,所以圆的方程 2 2 是:(x-3) +y =2.

【答案】

(1)(x+2)2+y2=2

(2)(x-3)2+y2=2

变式训练1

(2009年高考宁夏、海南卷)已知圆

C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x

-y-1=0对称,则圆C2的方程为(
A.(x+2)2+(y-2)2=1

)

B.(x-2)2+(y+2)2=1
C.(x+2)2+(y+2)2=1

D.(x-2)2+(y-2)2=1

解析:选B.因为圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1, 所以圆C1是以(-1,1)为圆心,1为半径的圆. 又因为点(-1,1)关于直线x-y-1=0的对称点为 (2,-2), 所以圆C2:(x-2)2+(y+2)2=1,故选B.

与圆有关的轨迹问题 解决轨迹问题,应注意以下几点: (1)求方程前必须建立平面直角坐标系(若题目

中有点的坐标,就无需建系),否则曲线就不
可转化为方程.

(2)一般地,设点时,将动点坐标设为(x,y), 其他与此相关的点设为(x0,y0)等.

(3)求轨迹与求轨迹方程是不同的,求轨迹
方程得出方程即可,而求轨迹在得出方程

后还要指出方程的曲线是什么图形.

例3

(2009年高考上海卷)点P(4,-2)与圆x2+y2=

4上任一点连线的中点轨迹方程是(
A.(x-2)2+(y+1)2=1

)

B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4

D.(x+2)2+(y-1)2=1
【思路点拨】 把所求轨迹上任一点坐标转化为圆

上点坐标,代入圆的方程即可得出结论.

【解析】 设所求轨迹上任一点坐标为(x,y),圆 上对应点的坐标为 (x0 , y0) ,由中点坐标公式知
? ?x=4+x0 ? 2 ? -2+y0 ? y= ? 2 ?



?x0=2x-4 解得? , ?y0=2y+2

2 2 2 又 x2 + y = 4 ,∴ (2 x - 4) + (2 y + 2) =4, 0 0 整理得(x-2)2+(y+1)2=1,故选 A.

【答案】

A

【规律小结】 本题求轨迹方程的方法叫相关点 法.用相关点法求轨迹方程的基本步骤: (1)设所求点的坐标为P(x,y)(若x、y与题中已知的 字母有冲突,则将这些已知字母全部替换成其他 字母),与P相应的符合某已知曲线的点的坐标设 为Q(x0,y0); (2)建立二者之间的等量关系,从而求得x0=f(x, y),y0=g(x,y); (3)将Q(x0,y0)的坐标代入点Q满足的方程进行求 解,等价化简得所求轨迹方程.

与圆有关的最值问题

求与圆有关的最值问题多采用几何法,就是利 用一些代数式的几何意义进行转化.如: y-b (1)形如m= 的最值问题,可转化为动直 x-a 线斜率的最值问题; (2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为直线在 y轴上的截距的最值问题; (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转 化为两点间的距离平方的最值问题.

例4 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.

y (1)求 的最大值和最小值; x

(2)求y-x的最大值和最小值; (3)求x2+y2的最大值和最小值. 【思路点拨】 根据代数式的几何意义,借助

平面几何知识,数形结合求解.

【解】 (1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示 y 以(2,0)为圆心, 3为半径的圆, 的几何意义是 x y 圆上一点与原点连线的斜率,所以设 =k,即 x y=kx. 当直线 y=kx 与圆相切时,斜率 k 取最大值或 |2k-0| 最小值,此时 2 = 3,解得 k=± 3. k +1 y 所以x的最大值为 3,最小值为- 3.

(2)y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距, 当 直线 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值或 |2-0+b| 最小值,此时 = 3,解得 b=-2± 6. 2 所以 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6. 2 2 (3)x +y 表示圆上的一点与原点的距离的平方,由 平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交 点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为 ?2-0?2+?0-0?2=2, 所以 x2+y2 的最大值是(2+ 3)2=7+4 3, x2+y2 的最小值是(2- 3)2=7-4 3.

【误区警示】 (3)小题在解答过程中易出现数 据错误, 而得最大值为 2+ 3, 最小值为 2- 3, 导致错误的原因是没有弄明白 x2+y2 表示的几 何意义或最后忘记了平方.

互动探究 2 y 在例 4 中 的最大值和最小值又为何值? x+1

y-0 y 解:∵ = , x+1 x-?-1? y ∴ 表示过点 P(-1,0)与圆(x-2)2+y2=3 上 x+1 的点(x,y)的直线的斜率. y 由图像知 的最大值和最小值分别是过 P 与 x+1 圆相切的直线 PA、PB 的斜率.

|CA| 3 2 又∵kPA= = = , |PA| 6 2 |CB| 3 2 kPB=- =- =- . |PB| 2 6 2 2 y 即 的最大值为 ,最小值为- . 2 2 x+1

方法感悟
方法技巧 1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选 形式、定参数”是求圆的方程的基本方法:是指 根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确 定其中的三个参数.(如例2) 2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用 圆的几何性质,简化运算.(如例4) 3.在求圆的方程时,常用到圆的以下几个性质: (如例2(1)) (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;

(2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三 点共线.

失误防范
求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是

设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立
方程.

考向瞭望?把脉高考

考情分析 圆的方程是每年高考必考的知识点之一,考查重 点是求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半 径等,题型既有选择题、填空题,又有解答题; 客观题突出了“小而巧”,主要考查圆的标准方程、 一般方程,主观题往往在知识交汇处命题,除考 查圆的方程外,还考查待定系数法、方程思想 等. 预测2012年高考仍将以求圆的方程为主要考点, 重点考查运算能力以及逻辑推理能力.

真题透析


(2010年高考湖南卷)若不同两点P,Q的坐

标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直 平分线l的斜率为________;圆(x-2)2+(y-3)2=

1关于直线l对称的圆的方程为_______________.

3-a-b 【解析】 由题可知,kPQ= =1, 3-b-a 又 kl· kPQ=-1, ∴kl=-1. 3-b+a 3-a+b ∵PQ 中点 M( , ), 2 2 3-a+b 3-b+a ∴l 的方程为 y- =-(x- ), 2 2 即 y=-x+3. 设所求圆的圆心为(m,n),则依题意,

? n-3 ? =1 ?m-2 有? ?m+2 n+3 + -3=0 ? 2 ? 2 ?m=0 解得? . ?n=1



故圆的方程为 x2+(y-1)2=1.
【答案】 -1 x2+(y-1)2=1

【名师点评】 (1)本题易失误的是:一是列 错两点关于一条直线对称的条件,如把这两 点的中心坐标代入对称轴方程时忽视了中点 坐标公式中的分母2,两点连线的斜率与对称 轴的斜率之积写成1等;二是计算出错.在解 决关于轴对称问题时一定要把条件用对,细 心运算. (2)两个圆关于一条直线对称,其实质是求圆 心关于这条直线的对称点,这是解析几何的 基础类问题.本题在教材及过去的高考试题 中都不乏其例.

(3)两点关于一条直线对称满足两个条件:一 是这两点连线的中点在这条直线上;二是这 两点的连线和这条直线垂直.本题就是根据 这两条列出方程组解决问题的,方程思想在 解析几何里应用广泛,要注意体会. (4)点(m,n)关于直线y=x+b对称点的坐标是 (n-b,m+b),其规律是把点(m,n)的横坐 标代入方程y=x+b解得的y值为其对称点的 纵坐标,把(m,n)的纵坐标代入方程y=x+b 解得的x值为其对称点的横坐标.(关于y=-x +b有同样的规律).

名师预测 1.以点(2,-1)为圆心,与直线3x-4y+5= 0相切的圆的方程为( ) A.(x-2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y-1)2=3 C.(x-2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y-1)2=9 解析:选 C.由于直线 3x-4y+5=0 与圆相切,所 以圆的半径就是圆心到直线 3x-4y+5=0 的距离, |3×2-4×?-1?+5| 即 r= =3. 2 2 3 +4 由此可得圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9, 故选 C.

2.设圆x2+y2-2x+6y+1=0上有关于直线
2x+y+c=0对称的两点,则c的值为( )

A.2
C.-2

B.1
D.-1

解析:选B.依题意,直线过圆心(1,-3),
故c=1.

3.二次方程x2+y2-2mx+2m2-2=0表示不 经过第一象限的圆,则实数m的取值范围是 ________.

解析:(x-m)2+y2=2-m2,若表示圆,则 2- m2>0?- 2<m< 2, 由题意可知圆心应在 x 轴 负半轴且过原点时有 2-m2=|m|, 取 m=-1, 结合图形知- 2<m≤-1.

答案:- 2<m≤-1

4.已知圆C经过两点A(4,2)和B(-1,3),且在两
坐标轴上的四个截距之和为2,则圆C的方程为

________.

解析:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将 ?4D+2E+F+20=0 ? A(4,2)和 B(-1,3)代入得, , ?-D+3E+F+10=0 设圆在两坐标轴上的四个截距分别为 x1,x2,y1, y2,令 x=0,则 y2+Ey+F=0,y1+y2=-E,同 理, x1+x2=-D, 故 x1+x2+y1+y2=-E-D=2, 解方程组得,D=-2,E=0,F=-12,圆的方程 为 x2+y2-2x-12=0.
答案:x2+y2-2x-12=0

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