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2011年广西高二数学竞赛初赛题试卷


2011 年广西高二数学竞赛初赛试卷
考试时间:2011 年 9 月 18 日(星期日)8:30-10:30

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 使不等式 (1? | x |)(1 ? x) ? 0 成立的充分而不必要的条件是( (A) {x | x ? ?1或x ? 1} (C) {x | x ? ?1且x ? 1} (B) {x

| ?1 ? x ? 1} (D) {x | x ? 1且x ? ?1} ) )

2. 下列条件中,能确定三点 A, B, P 不共线 的是( ... (A) MP ? sin 2 20?MA ? cos2 20?MB (C) MP ? csc2 31?MA ? cot2 31?MB

(B) MP ? sec2 20?MA ? tan2 20?MB (D) MP ? sin 2 20?MA ? cos2 70?MB )

3. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( x) ? f ( x ? 3) ? 13, f (1) ? 2 ,则 f (34) ? ( (A)
13 2

(B)13

(C)2

(D)

34 3

4. 已知非零实数 x, y, z 成等差数列, x ? 1, y, z 与 x, y, z ? 2 分别成等比数列,则 y 的 值是( (A)8 ) (B) 16 (C)12 (D)20

5. 已知函数 f ( x) ? alg(3?ax ) (a ? 0, a ? 1) 在定义域 x ?[?1,1] 上是减函数,则实数 a 的取 值范围是( (A) a ? 1 ) (B) a ? 3 (C) a ? 3 (D) 1 ? a ? 3
1 2

6. 设 n 为正整数, 在 n ? x ? n ? 1 的范围内,x( x ? ) 取整数值的个数记为 an , 那么 an 等于( (A) n ) (B) n ? 1 (C) 2n (D) 2n ? 1

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 10n ? n2 ,又 bn ?| an | ,则数列 {bn } 的前 20 项和 T20 = ____________.
1

2 . 已 知

A ? {x | x2 ? 4x ? 3 ? 0, x ? R}



B ? {x | x2 ? 2(a ? 7) x ? 5 ? 0, x ? R}



C ? {x | 21? x ? a ? 0, x ? R} ,若 A ? B ? C ,则实数 a 的取值范围是____________.

3.把函数 y ? 2 x2 ? 4 x ? 5 的图像按向量 a 平移后,得到 y ? 2x2 的图象,且 a ? b ,
c ? (1, ?1) , b ? c ? 4 ,则 b = ____________.

4.设数列 an ? ____________.

19n ? 93n (其中 n!? n ? (n ? 1)?3 ? 2 ?1 ),则当 an 取得最大值时 n 的值是 n !

5.方程 ( x ? 6)2011 ? x2011 ? 2 x ? 6 ? 0 的所有实数解是____________.
f ( f ( f ? f ( x))) ? 1024 x ? 1023 , 则 f ( x) 的解析 式为 6 . 已知 f ( x) 是一 次函数 ,且 ? ?? ??? ?
10 个f

____________. 三、 (20 分)在 ?ABC 中,满足 c2 ? a(a ? b) , a ? c ? 2b cos ,求角 B。
A 2

2

四、 (20 分)若方程 x2 ? 5x ? m ? 0 与 x2 ? 10 x ? n ? 0 的四个实根适当排列后,恰好组 成一个首项为 1 的等比数列,求 的值。
m n

3

五、 (20 分)设 P( x ? a, y1 ), Q( x, y2 ), R(2 ? a, y3 ) 是函数 f ( x) ? a ? 2x 的反函数图像上不 同的三点. 如果使 y1 , y2 , y3 成等差数列的实数 x 有且只有一个,试求实数 a 的取值 范围.

4


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