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宁夏银川一中2016届高三上学期第一次月考数学试题(理科)


2015-2016 学年宁夏银川一中高三(上)第一次月考数学试卷(理 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x>1},B={0,1,2,4},则(CRA)∩B=( ) A.{0,1} B.{0} C.{2,4} D.? 2.下列命题中是假命题的是( A.?x

∈R,2 3. A.﹣1 B.0 C.1
x﹣1




>0

B.?x∈N , (x﹣1) >0 C.?x∈R,lgx<1 D.?x∈R,tanx=2 ,则 m 等于( D.2 ) )

2

4.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( A.y=cos2x B.y=log2|x| C. D.y=x +1
3

5.若 tanθ+ A. B.

=4,则 sin2θ=( C. D.



6.若 x∈(0,1) ,则下列结论正确的是( A. B.

) C. D.

7.已知 P、Q 是圆心在坐标原点 O 的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且 P 点的纵坐标为 ,Q 点的横坐标为 A. B. C.﹣ D.﹣
x

.则 cos∠POQ=(



8.现有四个函数:①y=x?sinx;②y=x?cosx;③y=x?|cosx|;④y=x?2 的图象(部分)如下:

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A.①④③② B.③④②① C.④①②③ D.①④②③ 9.设函数 1)的取值范围( A.[3,6] 10.函数 为 B. ) C. D. 的图象与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差 ) ,其中 ,则导数 f′(﹣

的等差数列,要得到函数 g(x)=Acosωx 的图象,只需将 f(x)的图象( 个单位 个单位 B.向右平移 D.向右平移 个单位 个单位

A.向左平移 C.向左平移

11.若函数 f(x)满足

,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(﹣1, )

1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是( A. B. C. (0,1) D.

12. 设函数 A.α>β B.α<β C.α+β>0

, 且 αsinα﹣βsinβ>0, 则下列不等式必定成立的是 ( D.α >β
2 2



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.如图,某港口一天 6 时到 18 时的水渠变化曲线近似满足函数 y=3sin( 函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 . x+φ)+k.据此

14.已知



,则

=



15.已知点 P 在曲线 y= 是 .

上,a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 a 的取值范围

16.给出下列四个命题: ①半径为 2,圆心角的弧度数为 的扇形面积为 ②若 α,β 为锐角, ③ ④函数 其中正确的命题是 ,则

是函数 y=sin(2x+φ)为偶函数的一个充分不必要条件 的一条对称轴是 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2015 秋?乌拉特前旗校级月考)某同学用五点法画函数 f(x)=Asin(ωx+?) , (ω>0,|?|< ωx+? x Asin(ωx+?) 0 5 ﹣5 0 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)若函数 f(x)的图象向左平移 最近的对称中心.
2

)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: 0 π 2π

个单位后对应的函数为 g(x) ,求 g(x)的图象离原点

18. (12 分) (2014?江西)已知函数 f(x)=(a+2cos x)cos(2x+θ)为奇函数,且 f( =0,其中 a∈R,θ∈(0,π) . (1)求 a,θ 的值; (2)若 f( )=﹣ ,α∈( ,π) ,求 sin(α+ )的值.



19. (12 分) (2012?佛山二模)某种产品每件成本为 6 元,每件售价为 x 元(x>6) ,年销量 为 u 万件,若已知 与 成正比,且售价为 10 元时,年销量为 28 万件.

(1)求年销售利润 y 关于 x 的函数关系式. (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润. 20. (12 分) (2014?天津模拟)已知函数 f(x)=x ﹣3ax +b(x∈R) ,其中 a≠0,b∈R.
3 2

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)设 a∈[ , ],函数 f(x)在区间[1,2]上的最大值为 M,最小值为 m,求 M﹣m 的取 值范围. 21. (12 分) (2015?大观区校级四模)已知函数 f(x)=ax+xlnx(a∈R) (1)若函数 f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 且 k∈z 时,不等式 k(x﹣1)<f(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立,求 k 的最大值.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分) (2015?金昌校级模拟)如图,AB 是⊙O 的一条切线,切点为 B,ADE、CFD 都 是⊙O 的割线,AC=AB,CE 交⊙O 于点 G. 2 (Ⅰ)证明:AC =AD?AE; (Ⅱ)证明:FG∥AC.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (2015?鹰潭一模)选修 4﹣4:坐标系与参数方程. 极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以原点为极点,以 x 轴正半轴为极轴,已知 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,曲线 C2 的参数方程为 射线 θ=φ,θ=φ+ ,θ=φ﹣ (t 为参数,0≤α<π) ,

与曲线 C1 交于(不包括极点 O)三点 A、B、C.

(I)求证:|OB|+|OC|= (Ⅱ)当 φ=

|OA|;

时,B,C 两点在曲线 C2 上,求 m 与 α 的值.

选修 4-5:不等式选讲 24. (2015?鹰潭一模)已知函数 f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1| (1)解不等式 f(x)≥﹣2; (2)对任意 x∈[a,+∞) ,都有 f(x)≤x﹣a 成立,求实数 a 的取值范围.

2015-2016 学年宁夏银川一中高三(上)第一次月考数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x>1},B={0,1,2,4},则(CRA)∩B=( ) A.{0,1} B.{0} C.{2,4} D.? 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由集合 A={x|x>1},B={0,1,2,4},知 CRA={x≤1},由此能求出(CRA)∩B. 解答: 解:∵集合 A={x|x>1},B={0,1,2,4}, ∴CRA={x≤1}, ∴(CRA)∩B={0,1}. 故选 A. 点评: 本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解 答. 2.下列命题中是假命题的是(
x﹣1



2

A.?x∈R,2 >0 B.?x∈N , (x﹣1) >0 C.?x∈R,lgx<1 D.?x∈R,tanx=2 考点: 四种命题的真假关系. 专题: 简易逻辑. 分析: 本题考查全称命题和特称命题真假的判断,逐一判断即可. 解答: 解:B 中,x=1 时不成立,故选 B. 答案:B. 点评: 本题考查逻辑语言与指数函数、二次函数、对数函数、正切函数的值域,属容易题.

3. A.﹣1 考点: 专题: 分析:

,则 m 等于( B.0 C.1 D.2 定积分. 导数的概念及应用. 利用定积分的几何意义计算定积分.



解答: 解:y= 圆,圆的面积为 π, ∵ ∴ ∴m=0, 故选:B

,即(x+1) +y =1,表示以(﹣1,0)为圆心,以 1 为半径的

2

2

, 表示为圆的面积的二分之一,

点评: 本题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识,考查考查数形结 合思想.属于基础题. 4.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( A.y=cos2x B.y=log2|x| C. D.y=x +1
3



考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数奇偶性的定义及基本函数的单调性可作出判断. 解答: 解:函数 y=log2|x|的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,关于原点对称, 且 log2|﹣x|=log2|x|,∴函数 y=log2|x|为偶函数, 当 x>0 时,函数 y=log2|x|=log2x 为 R 上的增函数, 所以在(1,2)上也为增函数, 故选 B. 点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性,属基础题,定义是解决该类题目的基本方法.

5.若 tanθ+ A. B.

=4,则 sin2θ=( C. D.



考点: 二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先利用正弦的二倍角公式变形,然后除以 1,将 1 用同角三角函数关系代换,利用齐 次式的方法化简,可求出所求. 解答: 解:sin2θ=2sinθcosθ= = = = =

故选 D. 点评: 本题主要考查了二倍角公式,以及齐次式的应用,同时考查了计算能力,属于基础 题. 6.若 x∈(0,1) ,则下列结论正确的是( A. B. ) C. D.

考点: 不等式比较大小. 专题: 不等式. 分析: 根据指数函数幂函数对数函数的图象与性质,得到不等式与 0,1 的关系,即可比较 大小. 解答: 解:x∈(0,1) , x ∴lgx<0,2 >1,0< <1, x ∴2 > >lgx, 故选:C. 点评: 本题考查了不等式的大小比较,以及指数函数幂函数对数函数的图象与性质,属于 基础题. 7.已知 P、Q 是圆心在坐标原点 O 的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且 P 点的纵坐标为 ,Q 点的横坐标为 A. B. C.﹣ D.﹣ .则 cos∠POQ=( )

考点: 两角和与差的余弦函数;任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用直角三角形中的边角关系求得 sin∠xOP 和 cos∠xOQ 的值,利用同角三 角函数的基本关系求得 cos∠xOP 和 sin∠xOQ,再利用两角和的余弦公式求得 cos∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ )的值. 解答: 解:由题意可得,sin∠xOP= ,∴cos∠xOP= ; 再根据 cos∠xOQ= ,可得 sin∠xOQ= . ﹣

∴cos∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ )=cos∠xOP?cos∠xOQ﹣sin∠xOP?sin∠xOQ= =﹣ ,

故选:D. 点评: 本题主要考查直角三角形中的边角关系,同角三角函数的基本关系,两角和的余弦 公式的应用,属于基础题. 8.现有四个函数:①y=x?sinx;②y=x?cosx;③y=x?|cosx|;④y=x?2 的图象(部分)如下:
x

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A.①④③② B.③④②① C.④①②③ D.①④②③ 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 从左到右依次分析四个图象可知,第一个图象关于 Y 轴对称,是一个偶函数,第二 个图象不关于原点对称,也不关于 Y 轴对称,是一个非奇非偶函数;第三、四个图象关于原 点对称,是奇函数,但第四个图象在 Y 轴左侧,图象都在 x 轴的下方,再结合函数的解析式, 进而得到答案. 解答: 解:分析函数的解析式,可得: ①y=x?sinx 为偶函数; ②y=x?cosx 为奇函数; ③y=x?|cosx|为奇函数, x ④y=x?2 为非奇非偶函数 且当 x<0 时,③y=x?|cosx|≤0 恒成立; 则从左到右图象对应的函数序号应为:①④②③ 故选:D. 点评: 本题考点是考查了函数图象及函数图象变化的特点,解决此类问题有借助两个方面 的知识进行研究,一是函数的性质,二是函数图象要过的特殊点.

9.设函数 1)的取值范围( )

,其中

,则导数 f′(﹣

A.[3,6] B. C. D. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数的值域. 分析: 先对原函数进行求导可得到 f′(x)的解析式,将 x=﹣1 代入可求取值范围. 解答: 解:∵ ∴ ∴ ∵ ∴ =2sin( ∴sin )+4

∴f′(﹣1)∈[3,6] 故选 A. 点评: 本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题.这两个方面都是高考中必考内容, 难度不大.

10.函数 为

的图象与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差 )

的等差数列,要得到函数 g(x)=Acosωx 的图象,只需将 f(x)的图象( 个单位 个单位 B.向右平移 D.向右平移 个单位 个单位

A.向左平移 C.向左平移

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 由题意可得, 函数的周期为 π, 由此求得 ω=2, 由g (x) =Acosωx=sin[2 (x+ 根据 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律得出结论. 解答: 解:由题意可得,函数的周期为 π,故 要得到函数 g(x)=Acosωx=sin[2(x+ 只需将 f(x)= )+ =π,∴ω=2. ]的图象, 个单位即可,

) +

],

的图象向左平移

故选 A. 点评: 本题主要考查 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,y=Asin(ωx+?)的周期性,属于中 档题. 11.若函数 f(x)满足 ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(﹣1, )

1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是( A. B. C. (0,1) D.

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)满足 ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,求出 x∈(﹣

1,0)时,f(x)的解析式,由在区间(﹣1,1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点, 转化为两函数图象的交点,利用图象直接的结论. 解答: 解:函数 f(x)满足 ∴x∈(﹣1,0)时,f(x)+1= = ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x, ,f(x)= .

因为 g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点, 所以 y=f(x)与 y=mx+m 的图象有两个交点, 函数图象如图所示,由图象可得,当 0<m≤ 时,两函数有两个交点, 故选 D.

点评: 此题是个中档题.本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求 函数解析式,体现了转化的思想,以及利用函数图象解决问题的能力,体现了数形结合的思 想.也考查了学生创造性分析解决问题的能力,属于中档题.

12. 设函数

, 且 αsinα﹣βsinβ>0, 则下列不等式必定成立的是 (
2 2



A.α>β B.α<β C.α+β>0 D.α >β 考点: 正弦函数的单调性. 专题: 综合题. 分析: 构造函数 f(x)=xsinx,x∈

,利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性, ]与 x∈[﹣ ,0]上的单调性,从而可

利用 f′(x)=sinx+xcosx 可判断 f(x)=xsinx,x∈[0, 选出正确答案. 解答: 解:令 f(x)=xsinx,x∈ ∵f(﹣x)=﹣x?sin(﹣x)=x?sinx=f(x) , ∴f(x)=xsinx,x∈ 又 f′(x)=sinx+xcosx, ∴当 x∈[0, 为偶函数. ,

],f′(x)>0,即 f(x)=xsinx 在 x∈[0, ,0]单调递减;

]单调递增;

同理可证偶函数 f(x)=xsinx 在 x∈[﹣ ∴当 0≤|β|<|α|≤ 故选 D.

时,f(α)>f(β) ,即 αsinα﹣βsinβ>0,反之也成立;

点评: 本题考查正弦函数的单调性,难点在于构造函数 f(x)=xsinx,x∈ 通过研究函数 f(x)=xsinx,的奇偶性与单调性解决问题,属于难题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.如图,某港口一天 6 时到 18 时的水渠变化曲线近似满足函数 y=3sin( 函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 8 .



x+φ)+k.据此

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由图象观察可得:ymin=﹣3+k=2,从而可求 k 的值,从而可求 ymax=3+k=3+5=8. 解答: 解:∵由题意可得:ymin=﹣3+k=2, ∴可解得:k=5, ∴ymax=3+k=3+5=8, 故答案为:8. 点评: 本题主要考查了正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.

14.已知



,则

=



考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 利用辅助角公式 sinα+cosα= α+ ∈( , sin(α+ ) ,可求得 sin(α+ ) ,结合 α 的范围,可 )的值.

) ,利用同角的三角函数关系可求 cos(α+ sin(α+ )=﹣ ,

) ,tan(α+

解答: 解:∵sinα+cosα= ∴sin(α+ ∵α∈( ∴α+ )=﹣ ,π) , ∈( , )=﹣ ) , ,

∴cos(α+

=﹣



∴tan(α+

)=

= .

故答案为: . 点评: 本题考查同角三角函数间的基本关系,考查了计算能力,属于基础题. 15.已知点 P 在曲线 y= . 上,a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 a 的取值范围是

考点: 导数的几何意义. 专题: 计算题;数形结合.

分析: 由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值, 结合函数的值域的求法利用基本不等式求出 k 的范围,再根据 k=tanα,结合正切函数的图象 求出角 α 的范围. 解答: 解:根据题意得 f′(x)=﹣ ,





且 k<0 则曲线 y=f(x)上切点处的切线的斜率 k≥﹣1, 又∵k=tanα,结合正切函数的图象 由图可得 α∈ 故答案为: , .

点评: 本题考查了导数的几何意义,以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识,考查 运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想. 16.给出下列四个命题: ①半径为 2,圆心角的弧度数为 的扇形面积为 ②若 α,β 为锐角, ③ ④函数 ,则

是函数 y=sin(2x+φ)为偶函数的一个充分不必要条件 的一条对称轴是

其中正确的命题是 ②③④ . 考点: 命题的真假判断与应用;两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: ①利用弧度制的定义可得公式:s 扇形= Lr,L=αr,求解即可;

②tan(α+2β)=tan(α+β+β)= ③考查了周期函数,

=1,再判断 α+2β<180°,得出答案;

+2kπ 都能使函数 y=sin(2x+φ)为偶函数, 代入得:y=cosπ=

④考查三角函数对称轴的特征:过余弦函数的最值点都是对称轴,把 ﹣1,是对称轴, 解答: 解:①s 扇形= Lr,L=αr ∴s=1,故错误; ②tan(α+2β)=tan(α+β+β)= ∵α,β 为锐角, ∴α+2β<180° ∴ ③ ④把 ,故②正确; +2kπ 都能使函数 y=sin(2x+φ)为偶函数,故③正确; 代入得:y=cosπ=﹣1,是对称轴,故正确; , =1

故答案为:②③④. 点评: 考查了弧度制的定义和三角函数的周期性,对称轴和和角公式,属于基础题型,应 熟练掌握. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2015 秋?乌拉特前旗校级月考)某同学用五点法画函数 f(x)=Asin(ωx+?) , (ω>0,|?|< ωx+? x Asin(ωx+?) 0 5 ﹣5 0 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)若函数 f(x)的图象向左平移 最近的对称中心. 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由表中已知数据易得 ,可得表格和解析式; 个单位后对应的函数为 g(x) ,求 g(x)的图象离原点 )在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: 0 π 2π

(2)由函数图象变换可得 g(x)的解析式,可得对称中心.

解答: 解: (1)根据表中已知数据,解得 数据补全如下表: ωx+? x Asin(ωx+?) 0 5 0 ﹣5 ; 个单位后对应的函数是 ) , ﹣ ,k∈Z, 0 0 π 2π

∴函数的解析式为 (2)函数 f(x)图象向左平移 g(x)=5sin[2(x+ )﹣

]=5sin(2x+ =kπ,即 x=

其对称中心的横坐标满足 2x+ ∴离原点最近的对称中心是

点评: 本题考查三角函数解析式的确定和函数图象变换,涉及三角函数的对称性,属基础 题.
2

18. (12 分) (2014?江西)已知函数 f(x)=(a+2cos x)cos(2x+θ)为奇函数,且 f( =0,其中 a∈R,θ∈(0,π) . (1)求 a,θ 的值; (2)若 f( )=﹣ ,α∈( ,π) ,求 sin(α+ )的值.



考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数奇偶性的性质. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)把 x= 代入函数解析式可求得 a 的值,进而根据函数为奇函数推断出 f(0)

=0,进而求得 cosθ,则 θ 的值可得. (2)利用 f( )=﹣ 和函数的解析式可求得 sin ,进而求得 cos ,进而利用二倍角公

式分别求得 sinα,cosα,最后利用两角和与差的正弦公式求得答案. 解答: 解: (1)f( )=﹣(a+1)sinθ=0,

∵θ∈(0,π) . ∴sinθ≠0, ∴a+1=0,即 a=﹣1 ∵f(x)为奇函数, ∴f(0)=(a+2)cosθ=0,

∴cosθ=0,θ=


2

(2)由(1)知 f(x)=(﹣1+2cos x)cos(2x+ ∴f( )=﹣ sinα=﹣ ,

)=cos2x?(﹣sin2x)=﹣



∴sinα= , ∵α∈( ∴cosα= ∴sin(α+ ,π) , =﹣ , )=sinαcos +cosαsin = .

点评: 本题主要考查了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,函数奇偶性问题.综 合运用了所学知识解决问题的能力. 19. (12 分) (2012?佛山二模)某种产品每件成本为 6 元,每件售价为 x 元(x>6) ,年销量 为 u 万件,若已知 与 成正比,且售价为 10 元时,年销量为 28 万件.

(1)求年销售利润 y 关于 x 的函数关系式. (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)根据题中条件:“若已知 与 成正比”可设

,再依据售价为 10 元时,年销量为 28 万件求得 k 值,从而得出年销 售利润 y 关于 x 的函数关系式. (2)利用导数研究函数的最值,先求出 y 的导数,根据 y′>0 求得的区间是单调增区间,y′ <0 求得的区间是单调减区间,从而求出极值进而得出最值即可. 解答: 解: (1)设 ∵售价为 10 元时,年销量为 28 万件; ∴ ∴
2



,解得 k=2. =﹣2x +21x+18.
3 2 2

∴y=(﹣2x +21x+18) (x﹣6)=﹣2x +33x ﹣108x﹣108. 2 2 (2)y'=﹣6x +66x﹣108=﹣6(x ﹣11x+18)=﹣6(x﹣2) (x﹣9) 令 y'=0 得 x=2(∵x>6,舍去)或 x=9 显然,当 x∈(6,9)时,y'>0 当 x∈(9,+∞)时,y'<0 3 2 ∴函数 y=﹣2x +33x ﹣108x﹣108 在(6,9)上是关于 x 的增函数;

在(9,+∞)上是关于 x 的减函数. ∴当 x=9 时,y 取最大值,且 ymax=135. ∴售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元. 点评: 本小题主要考查根据实际问题建立数学模型,以及运用函数、导数的知识解决实际 问题的能力.属于基础题. 20. (12 分) (2014?天津模拟)已知函数 f(x)=x ﹣3ax +b(x∈R) ,其中 a≠0,b∈R. (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)设 a∈[ , ],函数 f(x)在区间[1,2]上的最大值为 M,最小值为 m,求 M﹣m 的取 值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)对于含参数的函数 f(x)的单调区间的求法,需要进行分类讨论,然后利用 导数求出函数的单调性; (Ⅱ)求出 f(x)在[1,2a]内是减函数,在[2a,2]内是增函数,设 g(a)=4a ﹣12a+8,求 出 g(a)在[ ]内是减函数,问题得以解决.
2 3 3 2

解答: 解: (Ⅰ)f'(x)=3x ﹣6ax=3x(x﹣2a) ,令 f'(x)=0,则 x1=0,x2=2a, (1)当 a>0 时,0<2a,当 x 变化时,f'(x) ,f(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,0) 0 (0,2a) 2a (2a,+∞) f'(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴函数 f(x)在区间(﹣∞,0)和(2a,+∞)内是增函数,在区间(0,2a)内是减函数. (2)当 a<0 时,2a<0,当 x 变化时,f'(x) ,f(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,2a) 2a (2a,0) 0 (0,+∞) f'(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴函数 f(x)在区间(﹣∞,2a)和(0,+∞)内是增函数,在区间(2a,0)内是减函数. (Ⅱ)由 及(Ⅰ) ,f(x)在[1,2a]内是减函数,在[2a,2]内是增函数,

又 f(2)﹣f(1)=(8﹣12a+b)﹣(1﹣3a+b)=7﹣9a>0, 3 3 3 ∴M=f(2) ,m=f(2a)=8a ﹣12a +b=b﹣4a , 3 3 ∴M﹣m=(8﹣12a+b)﹣(b﹣4a )=4a ﹣12a+8, 3 设 g(a)=4a ﹣12a+8, ∴g'(a)=12a ﹣12=12(a+1) (a﹣1)<0(a∈[ ∴g(a)在[ ]内是减函数,
2

]) ,

故 g(a)max=g( )=2+ = ,g(a)min=g( )=﹣1+4×

=





≤M﹣m≤ .

点评: 本题考查利用导数研究函数的极值和单调性,涉及构造函数的方法,属中档题. 21. (12 分) (2015?大观区校级四模)已知函数 f(x)=ax+xlnx(a∈R) (1)若函数 f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 且 k∈z 时,不等式 k(x﹣1)<f(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立,求 k 的最大值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 综合题;导数的概念及应用. 分析: (1)易求 f′(x)=a+1+lnx,依题意知,当 x≥e 时,a+1+lnx≥0 恒成立,即 x≥e 时,a≥ (﹣1﹣lnx)max,从而可得 a 的取值范围; (2)依题意, 对任意 x>1 恒成立,令 则

,再令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1) ,易知 h(x)在(1,+∞)上单增, 从而可求得 g(x)min=x0∈(3,4) ,而 k∈z,从而可得 k 的最大值. 解答: 解: (1)∵f(x)=ax+xlnx, ∴f′(x)=a+1+lnx,又函数 f(x)在区间[e,+∞)上为增函数, ∴当 x≥e 时,a+1+lnx≥0 恒成立, ∴a≥(﹣1﹣lnx)max=﹣1﹣lne=﹣2,即 a 的取值范围为[﹣2,+∞) ; (2)当 x>1 时,x﹣1>0,故不等式 k(x﹣1)<f(x)?k< 即 对任意 x>1 恒成立. ,







令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1) , 则 在(1,+∞)上单增.

∵h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣ln4>0, ∴存在 x0∈(3,4)使 h(x0)=0, 即当 1<x<x0 时,h(x)<0,即 g′(x)<0, 当 x>x0 时,h(x)>0,即 g′(x)>0,∴g(x)在(1,x0)上单减,在(x0,+∞)上单增. 令 h(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,即 lnx0=x0﹣2, =x0∈(3,4) , ∴k<g(x)min=x0 且 k∈Z, 即 kmax=3.

点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值,着重考查 等价转化思想与函数恒成立问题,属于难题. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分) (2015?金昌校级模拟)如图,AB 是⊙O 的一条切线,切点为 B,ADE、CFD 都 是⊙O 的割线,AC=AB,CE 交⊙O 于点 G. (Ⅰ)证明:AC =AD?AE; (Ⅱ)证明:FG∥AC.
2

考点: 与圆有关的比例线段;圆內接多边形的性质与判定. 专题: 选作题;立体几何. 分析: (Ⅰ)利用切线长与割线长的关系及 AB=AC 进行证明. (Ⅱ)利用成比例的线段证明角相等、三角形相似,得到同位角角相等,从而两直线平行. 解答: 证明: (Ⅱ)∵AB 是⊙O 的一条切线,切点为 B,ADE,CFD,CGE 都是⊙O 的割 线, 2 ∴AB =AD?AE, ∵AB=AC, ∴AD?AE=AC . (Ⅱ)由(Ⅱ)有 ,
2

∵∠EAC=∠DAC, ∴△ADC∽△ACE, ∴∠ADC=∠ACE, ∵圆的内接四边形对角互补, ∴∠ADC=∠EGF, ∴∠EGF=∠ACE, ∴FG∥AC. 点评: 本题考查圆的切线、割线长的关系,平面的基本性质.解决这类问题的常用方法是 利用成比例的线段证明角相等、三角形相似等知识. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (2015?鹰潭一模)选修 4﹣4:坐标系与参数方程.

极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以原点为极点,以 x 轴正半轴为极轴,已知 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,曲线 C2 的参数方程为 射线 θ=φ,θ=φ+ ,θ=φ﹣ (t 为参数,0≤α<π) ,

与曲线 C1 交于(不包括极点 O)三点 A、B、C.

(I)求证:|OB|+|OC|= (Ⅱ)当 φ=

|OA|;

时,B,C 两点在曲线 C2 上,求 m 与 α 的值.

考点: 简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)依题意,|OA|=4cosφ,|OB|=4cos(φ+ 等变换化简|OB|+|OC|为 4 (Ⅱ)当 φ= cosφ,= ) ,|OC|=4cos(φ﹣ ) ,利用三角恒

|OA|,命题得证. ) , (2 ,﹣ ) .再把它们化为直角

时,B,C 两点的极坐标分别为(2,

坐标,根据 C2 是经过点(m,0) ,倾斜角为 α 的直线,又经过点 B,C 的直线方程为 y=﹣ (x﹣2) ,由此可得 m 及直线的斜率,从而求得 α 的值. 解答: 解: (Ⅰ)依题意,|OA|=4cosφ,|OB|=4cos(φ+ 则|OB|+|OC|=4cos (φ+ = |OA|.…(5 分) 时,B,C 两点的极坐标分别为(2, ) , (2 ,﹣ ) . ) +4cos (φ﹣ ) =2 ) ,|OC|=4cos(φ﹣ ) ,…(2 分) cosφ,

(cosφ﹣sinφ) +2

(cosφ+sinφ) =4

(Ⅱ)当 φ=

化为直角坐标为 B(1, ) ,C(3,﹣ ) .…(7 分) C2 是经过点(m,0) ,倾斜角为 α 的直线, 又经过点 B,C 的直线方程为 y=﹣ (x﹣2) ,故直线的斜率为﹣ 所以 m=2,α= .…(10 分)

,…(9 分)

点评: 本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程,把点的极坐标化为直角坐标,直线的 倾斜角和斜率,属于基础题. 选修 4-5:不等式选讲 24. (2015?鹰潭一模)已知函数 f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1| (1)解不等式 f(x)≥﹣2; (2)对任意 x∈[a,+∞) ,都有 f(x)≤x﹣a 成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;绝对值不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用;直线与圆. 分析: (1)通过对 x≤﹣2,﹣2<x<1 与 x≥1 三类讨论,去掉绝对值符号,解相应的一次 不等式,最后取其并集即可;

(2)在坐标系中,作出

的图象,对任意 x∈[a,+∞) ,都有 f(x)

≤x﹣a 成立,分﹣a≥2 与﹣a<2 讨论,即可求得实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2, 当 x≤﹣2 时,x﹣4≥﹣2,即 x≥2,∴x∈?; 当﹣2<x<1 时,3x≥﹣2,即 x≥﹣ ,∴ ﹣≤x≤1; 当 x≥1 时,﹣x+4≥﹣2,即 x≤6,∴1≤x≤6; 综上,不等式 f(x)≥﹣2 的解集为:{x|﹣ ≤x≤6} …(5 分)

(2)



函数 f(x)的图象如图所示:

令 y=x﹣a,﹣a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,﹣a=2; ∴当﹣a≥2,即 a≤﹣2 时成立;…(8 分) 当﹣a<2,即 a>﹣2 时,令﹣x+4=x﹣a,得 x=2+ , ∴a≥2+ ,即 a≥4 时成立, 综上 a≤﹣2 或 a≥4.…(10 分) 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,考查分段函数的性质及应用,考查等价转化思想与 作图分析能力,突出恒成立问题的考查,属于难题.


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