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高考数学导数题库


一、选择题
1.(2010 年广东卷.文)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 A. (??,2) 答案 D 解析 B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??) ( )

f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) ? e x ?? ? ( x ? 2)e x ,令 f ?( x) ? 0 ,

解得 x ? 2 ,故选 D
)

2.(2010 全国卷Ⅰ理) 已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为( A.1 答案 B 解:设切点 P( x0 , y0 ) ,则 y0 B. 2 C.-1 D.-2

? x0 ? 1, y0 ? ln( x0 ? a) ,又 y ' |x ? x0 ?
选B

1 ?1 x0 ? a

? x0 ? a ? 1? y0 ? 0, x 0 ? ?1?a ? 2 .故答案

3.(2010 安徽卷理)已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 ,则曲线

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是
A. y ? 2 x ? 1 答案 解析 A B. y ? x C. y ? 3x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3

(

)

由 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8x ? 8 得几何 f (2 ? x) ? 2 f ( x) ? (2 ? x) ? 8(2 ? x) ? 8 ,
2 2 2 2
/

即 2 f ( x) ? f (2 ? x) ? x ? 4 x ? 4 ,∴ f ( x) ? x ∴ f ( x) ? 2 x ,∴切线方程 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即

2x ? y ?1 ? 0 选 A
2 3 4.(2010 江西卷文)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax ?

15 x ? 9 都相切,则 a 等于 4
( ) D. ?

A. ?1 或 答案 解析 A

25 64

B. ?1 或

21 4

C. ?

7 25 或4 64

7 或7 4

设过 (1, 0) 的直线与 y ? x 相切于点 ( x0 , x03 ) ,所以切线方程为
3

y ? x03 ? 3x02 ( x ? x0 )

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1

3 , 2 25 15 2 x ? 9 相切可得 a ? ? , 当 x0 ? 0 时,由 y ? 0 与 y ? ax ? 64 4 3 27 27 15 2 x? x ? 9 相切可得 a ? ?1 ,所以选 A . 当 x0 ? ? 时,由 y ? 与 y ? ax ? 2 4 4 4
即 y ? 3x02 x ? 2 x03 ,又 (1, 0) 在切线上,则 x0 ? 0 或 x0 ? ? 5.(2010 江西卷理)设函数 f ( x) ? g ( x) ? x2 ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 , 则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为 A. 4 答案 A 解析 力。 6.(2009 全国卷Ⅱ理)曲线 y ? A. x ? y ? 2 ? 0 答案 B 解 由已知 g ?(1) ? 2 ,而 f ?( x) ? g ?( x) ? 2 x ,所以 f ?(1) ? g ?(1) ? 2 ?1 ? 4 故选 A B. ? ( )

1 4

C. 2

D. ?

1 2

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
C. x ? 4 y ? 5 ? 0

( D. x ? 4 y ? 5 ? 0

)

B. x ? y ? 2 ? 0

y? |x?1 ?

2x ?1 ? 2x 1 |x? 1? [? ] |x? 1 ? ?1 , 2 (2 x ? 1) (2 x ? 1) 2
故选 B.

故切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0

7.(2009 湖南卷文)若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是 y y y y ( )

o

a

b x

o

a

b x
B.

o

a

b x
C.

o

a

b x

A .

D.

解析 因为函数 y ? f ( x) 的导函数 ...y ? f ?( x) 在区间 [a, b] 上是增函数,即在区间 [a, b] 上各点处的斜率

k 是递增的,由图易知选 A.

注意 C 中 y? ? k 为常数噢.

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2

8.(2009 辽宁卷理)若 x1 满足 2x+ 2 =5, x2 满足 2x+2 log 2 (x-1)=5, x1 + x2 = A.

x

(

)

5 2

B.3

C.

7 2

D.4

答案 C 解析 由题意 2 x1 ? 2 x ? 5
1



2 x2 ? 2 l o2g x ( ? 2
1

?1 )

5 ②

所以 2x ? 5 ? 2 x1 , x1 ? log 2 (5 ? 2 x1 ) 即 2 x1 ? 2log 2 (5 ? 2 x1 ) 令 2x1=7-2t,代入上式得 7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1) ∴5-2t=2log2(t-1)与②式比较得 t=x2 于是 2x1=7-2x2 9.(2009 天津卷理)设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) 3

(

)

1 e 1 B 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点。 e 1 C 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点。 e 1 D 在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点。 e
A 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用,基础题。 解析 由 题 得 f `( x ) ?

1 1 x?3 ? ? , 令 f `( x ) ? 0 得 x ? 3 ; 令 f `( x ) ? 0 得 0 ? x ? 3 ; 3 x 3x

f `( x ) ? 0 得 x ? 3 ,故知函数 f ( x ) 在区间 (0,3) 上为减函数,在区间 ( 3,? ?)
为增函数,在点 x ? 3 处有极小值 1 ? ln 3 ? 0 ;又

f (1) ?

1 e 1 1 , f ?e ? ? ? 1 ? 0, f ( ) ? ? 1 ? 0 ,故选择 D。 3 3 e 3e

二、填空题 10.(2009 辽宁卷文)若函数 f ( x) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1

解析

f’(x)=

2 x( x ? 1) ? ( x 2 ? a) ( x ? 1)2

f’(1)= 答案 3

3? a =0 ? a=3 4

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3

11.若曲线 f ? x ? ? ax2 ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 解析 解析 由题意该函数的定义域 x ? 0 ,由 f
?

.

?

? x ? ? 2ax ?

1 。因为存在垂直于 y 轴的切线,故 x

此时斜率为 0 ,问题转化为 x ? 0 范围内导函数 f

? x ? ? 2ax ?

1 存在零点。 x

解法 1 (图像法) 再将之转化为 g ? x ? ? ?2ax 与 h ? x ? ?

1 存在交点。 当 a ? 0 不符合题意, 当 a ? 0 时, x

如图 1,数形结合可得显然没有交点,当 a ? 0 如图 2,此时正好有一个交点,故有 a ? 0 应填 ? ??,0 ? 或是 ?a | a ? 0? 。

解 法 2 ( 分 离 变 量 法 ) 上 述 也 可 等 价 于 方 程 2ax ?

1 ? 0 在 ? 0, ?? ? 内 有 解 , 显 然 可 得 x

a??

1 ? ? ??, 0 ? 2x2
. 考查利用导数判断函数的单调性。

12.(2009 江苏卷)函数 f ( x) ? x3 ?15x2 ? 33x ? 6 的单调减区间为 解析

f ?( x) ? 3 x 2 ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) ,
由 ( x ? 11)( x ? 1) ? 0 得单调减区间为 (?1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 13.(2009 江苏卷)在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x ?10x ? 3 上,且在第二象限内,已知
3

曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 解析 考查导数的几何意义和计算能力。

.

y? ? 3x2 ?10 ? 2 ? x ? ?2 ,又点 P 在第二象限内,? x ? ?2 点 P 的坐标为(-2,15)
答案 : a ? 1 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数 的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.

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4

14. (2009 福建卷理) 若曲线 f ( x) ? ax3 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线, 则实数 a 取值范围是_____________. 答案 解析

(??, 0)
由题意可知 f ( x) ? 2ax ?
' 2

1 ,又因为存在垂直于 y 轴的切线, x

所以 2ax ?
2

1 1 ? 0 ? a ? ? 3 ( x ? 0) ? a ? (??, 0) 。 x 2x

15.(2009 陕西卷理)设曲线 y ? x n?1 (n ? N * ) 在点 (1, 1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an ? lg xn , 则 a1 ? a2 ? 答案 -2

? a99 的值为

.

解析:点(1,1)在函数y ? x n ?1 (n ? N * )的图像上, ? (1,1)为切点, y ? x n ?1的导函数为y ' ? (n ? 1) x n ? y ' |x ?1 ? n ? 1 ? 切线是:y ? 1 ? (n ? 1)( x ? 1) 令y=0得切点的横坐标:xn ? n n ?1 1 2 98 99 1 a1 ? a2 ? ... ? a99 ? lg x1 x2 ...x99 ? lg ... ? lg ? ?2 2 3 99 100 100

16. (2009 四川卷文) 设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合, 对于映射 f : V ? V , a ?V , 记 a 的象为 f ( a ) 。 若映射 f : V ? V 满足:对所有 a、b ? V 及任意实数 ? , ? 都有 f (? a ? ?b) ? ? f (a) ? ? f (b) ,则 f 称 为平面 M 上的线性变换。现有下列命题: ①设 f 是平面 M 上的线性变换, a、b ? V ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ②若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ?V , 设f (a) ? a ? e ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ③对 a ?V , 设f (a) ? ?a ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换, a ?V ,则对任意实数 k 均有 f (ka) ? kf (a) 。 其中的真命题是 答案 ①③④ 解析 (写出所有真命题的编号)

①:令 ? ? ? ? 1 ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 故①是真命题

同理,④:令 ? ? k , ? ? 0 ,则 f (ka) ? kf (a) 故④是真命题 ③:∵ f (a) ? ?a ,则有 f (b) ? ?b

f (?a ? ?b) ? ?(?a ? ?b) ? ? ? (?a) ? ? ? (?b) ? ?f (a) ? ?f (b) 是线性变换,故③是真命题
②:由 f (a) ? a ? e ,则有 f (b) ? b ? e

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5

f (?a ? ?b) ? (?a ? ?b) ? e ? ? ? (a ? e) ? ? ? (b ? e) ? e ? ?f (a) ? ?f (b) ? e
∵ e 是单位向量, e ≠0,故②是假命题 【备考提示】本小题主要考查函数,对应及高等数学线性变换的相关知识,试题立意新颖, 突出创新能力和数学阅读能力,具有选拔性质。 17.(2009 宁夏海南卷文)曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为 答案 解析 三、解答题 18.(2009 全国卷Ⅰ理)本小题满分 12 分。 (注意:在试题卷上作答无效) ............. 设函数 f ? x ? ? x ? 3bx ? 3cx 在两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ?[?1 , 0], x2 ?[1, 2].
3 2



y ? 3x ? 1

y' ? e x ? xe x ? 2 ,斜率 k= e 0 ? 0 ? 2 =3,所以,y-1=3x,即 y ? 3x ? 1

(I)求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点 ? b, c ? 的区域; (II)证明: ?10 ? f ? x2 ? ? ?

1 2

分析(I)这一问主要考查了二次函数根的 分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。

f ? ? x ? ? 3x2 ? 6bx ? 3c 由 题 意 知 方 程
f ? ? x ? ? 0 有两个根 x1、x2
且x1 ?[?1 , 0], x2 ?[1, 2]. 则有 f ? ? ?1? ? 0,

f ? ? 0? ? 0, f ? ?1? ? 0,f ? ? 2? ? 0 故有
右图中阴影部分 即是满足这些条件 的点 ? b, c ? 的区域。

(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消 元的手段,消去目标 f ? x2 ? ? x2 ? 3bx2 ? 3cx2 中的 b , (如果消 c 会较繁琐)再利用 x2 的范围,并借
3 2

助(I)中的约束条件得 c ? [?2,0] 进而求解,有较强的技巧性。

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6

解析

由题意有 f ? ? x2 ? ? 3x22 ? 6bx2 ? 3c ? 0 . . . . . . . . . . . .①

又 f ? x2 ? ? x23 ? 3bx22 ? 3cx2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .② 消去 b 可得 f ? x2 ? ? ? 又

1 3 3c x2 ? x2 . 2 2

1 2 19.(2009 浙江文) (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .

x2 ?[1, 2] ,且 c ?[?2,0]

??1 0? f x (2 ? )?

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ... 解析 又?
2 (Ⅰ )由题意得 f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?
导函数 f ?( x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?( x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

(Ⅱ )函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) 2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1 20.(2009 北京文) (本小题共 14 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解 决问题的能力. (Ⅰ) f
'

? x? ? 3x2 ? 3a ,

∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,
' ? ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ?a ? 4, ? f ? 2? ? 0 ? ?? ?? ∴? ? ? f ? 2? ? 8 ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ?
' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 x ? a

?

? ? a ? 0? ,

当 a ? 0 时, f

'

? x? ? 0 ,函数 f ( x) 在 ? ??, ??? 上单调递增,

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7

此时函数 f ( x) 没有极值点. 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,

? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,
当 x ? ??, ? a 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,
' '

∴此时 x ? ? a 是 f ( x) 的极大值点, x ? 21.(2009 北京理) (本小题共 13 分) 设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0)

a 是 f ( x) 的极小值点.

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查 综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ) f
'

? x? ? ?1? kx? ekx , f ' ?0? ? 1, f ?0? ? 0 ,

曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? x . (Ⅱ)由 f
'

? x? ? ?1? kx? ekx ? 0 ,得 x ? ? k ? k ? 0 ? ,
? ? 1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, k?

1

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

当 x ?? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, ? k ? ? ? 1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, k?

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

当 x ?? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, ? k ?
1 ? ?1 , k

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 k ? 0 ,则当且仅当 ? 即 k ? 1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增,

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8

若 k ? 0 ,则当且仅当 ?

1 ? 1, k

即 k ? ?1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增, 综上可知,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增时, k 的取值范围是 ? ?1,0? 22.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

? 0,1? .

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(1)当 a , b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值? (2)已知 a ? 0 ,且 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围. 解: (1)由已知得 f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,
2

f ( x) 要取得极值,方程 ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,
所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 2

此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为
2

x1 ?

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a ?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a , x2 ? , ? ? 2a a 2a a

所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时, x f ’(x) f (x) (-∞,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 增函数

所以 f ( x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x f ’(x) f (x) (-∞,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) - 减函数

所以 f ( x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a , b 满足 b ? a 时, f ( x) 取得极值.
2

2 (2)要使 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.

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ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? ) max 2 2x 2 2x 1 2 a ( x ? ) ax 1 a 1 a ? 设 g ( x) ? ? , g '( x) ? ? ? 2 ? , 2 2x 2 2x 2 x2
即b ? ? 令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 1 或x?? (舍去), a a

当 a ? 1 时, 0 ?

1 ax 1 1 ? 1 ,当 x ? (0, 单调增函数; ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? a 2 2x a

当 x?(

ax 1 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a

所以当 x ?

1 1 )?? a. 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( a a

所以 b ? ? a 当 0 ? a ? 1 时,

ax 1 1 ? 1 , 此时 g '( x ) ? 0在区间 (0,1] 恒成立 ,所以 g ( x) ? ? ? 在区间 (0,1]上单调 2 2x a

递增,当 x ? 1 时 g ( x) 最大,最大值为 g (1) ? ? 综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2 a ?1 当 0 ? a ? 1 时, b ? ? 2

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为 单调函数,则导函数在该区间上的符号确定 ,从而转为不等式恒成立 ,再转为函数研究最值.运用函数与方 程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 22.设函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一问关键是通过分

析导函数,从而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值,由恒成立条件得出不等式条件从 而求出的范围。 解析 (I) f ?( x) ? x ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a)
2

由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (??,2) 是增函数;

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10

当 2 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (2,2a) 是减函数; 当 x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (2a,??) 是增函数。 综上,当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减函数。 (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

1 f (2a) ? (2a) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a 3 4 3 ? ? a ? 4a 2 ? 24 a 3
f (0) ? 24a
由假设知

?a ? 1 ? ? f (2a) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ? ?24a ? 0.

解得 1<a<6

故 a 的取值范围是(1,6)
23.( 2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值

m ? 1(m ? 0) .设 f ( x ) ?

g ( x) . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q (0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 解析
2 (1)依题可设 g ( x) ? a( x ? 1) ? m ? 1 ( a ? 0 ),则 g ' ( x) ? 2a( x ? 1) ? 2ax ? 2a ;

又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行

? 2a ? 2

a ?1

? g ( x) ? ( x ? 1) 2 ? m ? 1 ? x 2 ? 2x ? m , f ? x ? ?

g ? x? m ? x? ?2 , x x

2 2 2 2 设 P xo , yo ,则 | PQ | ? x0 ? ( y 0 ? 2) ? x0 ? ( x0 ?

?

?

m 2 ) x0

2 ? 2 x0 ?

m2 ? 2m ? 2 2m 2 ? 2m ? 2 2 | m | ?2m 2 x0

第 11 页 共 50 页

11

2 当且仅当 2 x0 ?

m2 时, | PQ | 2 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2 2 x0
2 2
解得 m ?

当 m ? 0 时, ( 2 2 ? 2) m ? 当 m ? 0 时, (?2 2 ? 2)m ?

2 ?1

解得 m ? ? 2 ? 1

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ?

m ? 2 ? 0 ( x ? 0 ),得 ?1? k ? x2 ? 2x ? m ? 0 x m m 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2
当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 若 m ? 0 , k ? 1?

?*?

1 , m

函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?

? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) ,即 2(1 ? k )

x?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) ; k ?1
1 , m

若 m ? 0 , k ? 1?

函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) ? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) ,即 x ? ; k ?1 2(1 ? k )
k ? 1? 1 , m

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ?

1 ? ?m k ?1 m ; 2

综上,当 k ? 1 时, 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? 当 k ? 1?

1 1 ( m ? 0 ),或 k ? 1 ? ( m ? 0 )时, m m

函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? 当 k ? 1?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) ; k ?1

1 1 ? ?m . 时,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? m k ?1

24.(2009 安徽卷理) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x

本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思想方法和运算 求解的能力。本小题满分 12 分。

第 12 页 共 50 页

12

解析

f ( x) 的定义域是(0,+ ? ), f ?( x) ? 1 ?

2 a x 2 ? ax ? 2 ? ? . x2 x x2
2

设 g ( x) ? x2 ? ax ? 2 ,二次方程 g ( x) ? 0 的判别式 ? ? a ? 8 . 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 时,对一切 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数。
2

①当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,仅对 x ?
2

2 有 f ?( x) ? 0 ,对其余的 x ? 0 都有

f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, ??) 上也是增函数。
① 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,
2

方程 g ( x) ? 0 有两个不同的实根 x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? , 0 ? x1 ? x2 . 2 2

x
f ?( x ) f ( x)

(0, x1 )
+ 单调递增

x1
0 极 大

( x1 , x2 )
_ 单调递 减

x2
0 极 小

( x 2 , ??)
+ 单调 递增

此 时 f ( x) 在 (0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上单调递增, 在 ( , ) 是上单调递减, 在 2 2 2

(

a ? a2 ? 8 , ??) 上单调递增. 2

25.(2009 安徽卷文) (本小题满分 14 分)

已知函数 (Ⅰ)讨论 的单调性; 在区间{1,

,a>0,

(Ⅱ)设 a=3,求

}上值域。期中 e=2.71828?是自然对数的底数。

【思路】由求导可判断得单调性,同时要注意对参数的讨论,即不能漏掉,也不能重复。第二问就根据
2 第一问中所涉及到的单调性来求函数 f ( x) 在 ? ?1, e ? ? 上的值域。

解析 令t ?

(1)由于 f ( x) ? 1 ?

2 a ? x2 x

1 得y ? 2t 2 ? at ? 1(t ? 0) x

第 13 页 共 50 页

13

①当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 时, f ( x) ? 0 恒成立.
2

? f ( x) 在(-∞,0)及(0,+∞)上都是增函数.
②当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时
2

由 2t ? at ? 1 ? 0 得 t ?
2

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 或t ? 4 4

?0 ? x ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 或x?0或x? 4 4

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 又由 2t ? at ? ? 0 得 ?t ? ? ?x? 4 4 2 2
2

综上①当 0 ? a ? 2 2 时, f ( x) 在 (??,0)及(0, ??) 上都是增函数. ②当 a ? 2 2 时, f ( x) 在 (

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) 上是减函数, 2 2

在 (??,0)(0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 )及( , ??) 上都是增函数. 2 2

(2)当 a ? 3 时,由(1)知 f ( x) 在 ?1, 2? 上是减函数.
2 在? ? 2, e ? ? 上是增函数.

又 f (1) ? 0, f (2) ? 2 ? 3ln2 ? 0 f (e ) ? e ?
2 2

2 ?5 ? 0 e2

2 ? ? 2 2 ? 函数 f ( x) 在 ? ?1, e ? ? 上的值域为 ? 2 ? 3l n 2, e ? e2 ? 5? ? ?
26.(2009 江西卷文) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解析 (1) f ( x) ? 3x ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) ,
' 2 ' 2

因为 x ? (??, ??) , f ( x) ? m , 即 3x ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立,

第 14 页 共 50 页

14

所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4

(2) 因为 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ; 所以 当 x ? 1 时, f ( x) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? 27.(2009 江西卷理) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

5 . 2

ex x

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (1)若 k ? 0 ,求不等式 f ' ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ? 0 的解集. 解析 (1) f ( x) ? ?
'

1 x 1 x x ?1 x e ? e ? 2 e , 由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 . 2 x x x

' ' ' 因为 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;

(0,1] . 所以 f ( x) 的单调增区间是: [1, ??) ; 单调减区间是: (??, 0),
(2)由

f ' ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ?

x ? 1 ? kx ? kx 2 x ( x ? 1)( ? kx ? 1) x e ? 0, e ? x2 x2

得: ( x ? 1)(kx ? 1) ? 0 . 故:当 0 ? k ? 1 时, 解集是: {x 1 ? x ? } ; 当 k ? 1 时,解集是: ? ; 当 k ? 1 时, 解集是: {x

1 k

1 ? x ? 1} . k

28.(2009 天津卷文) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

1,f( 1 )) (Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率
(Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f ( x) 有三个互不相同的零点 0, x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。若对任意的

x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。

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15

答案 (1)1(2) f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。函数 f ( x)

2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 3 2 / 2 ' 解析 解析 当 m ? 1时, f ( x) ? x ? x , f ( x) ? x ? 2 x, 故f (1) ? 1 3
在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = 所以曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率为 1. 1,f( 1 )) (2)解析

f ' ( x) ? ? x 2 ? 2x ? m 2 ? 1,令 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m

因为 m ? 0, 所以 1? m ? 1? m 当 x 变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:
'

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0 极小值

(1 ? m,1 ? m)
-

1? m
0 极大值

(1 ? m,??)
+

f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。
2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 2 1 2 (3)解析 由题设, f ( x) ? x(? x ? x ? m ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3 1 2 4 2 2 所以方程 ? x ? x ? m ? 1 =0 由两个相异的实根 x1 , x 2 ,故 x1 ? x2 ? 3 , 且 ? ? 1 ? ( m ? 1) ? 0 , 3 3 1 1 解得 m ? ? (舍),m ? 2 2 3 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? ? 1 2 1 若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 3
函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = 若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0, 则 f ( x) ?? ?

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最小值为 0,于 3
2

是对任意的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) ? m ?

1 3 3 ? 0 ,解得 ? ?m? 3 3 3

第 16 页 共 50 页

16

综上,m 的取值范围是 ( ,

1 3 ) 2 3

【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义,导数的运算,以及函数与方程的根的关系解不等式等 基础知识,考查综合分析问题和解决问题的能力。 30.(2009 湖北卷理)(本小题满分 14 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 在 R 上定义运算 ? : p ? q ? ?

1 2 。记 f1 ? ? ? ? ? ? 2c , ? p ? c ?? q ? b ? ? 4bc ( b 、 c 为实常数) 3

f2 ? ? ? ? ? ? 2b , ? ? R .令 f ? ? ? ? f1 ? ? ? ? f 2 ? ? ? .

? ? ? 如果函数 f ? ? ? 在 ? ? 1 处有极什 ? 3 ,试确定 b、c 的值; ? ?? ? 求曲线 y ? f ? ? ? 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点;

4

? ??? ? 记 g ? x ? ?


c 恒成立, 试示 k 的最大值。 f ? ? x ? | ? ?1 ? x ? 1? 的最大值为 M .若 M ? k 对任意的 b、

当 b ?1 时,函数y ? f ?( x) 得对称轴 x=b 位于区间 [?1,1] 之外 此时 M ? max{g (?1), g (1), g (b)} 由 f ?(1) ? f ?(?1) ? 4b, 有f ?(b) ? f ?(?1) ? (b m1)2 ? 0 ①若 ?1 ? b ? 0, 则f?(1)? f?(-1)? f?(b), ?g(-1)? max{g (?1), g (b)} 于是 M ? max{ f ?(?1) , f ?(b) } ?

1 1 1 ( f ?(1) ? f ?(b) ) ? ( f ?(1) ? f ?(b) ) ? (b ? 1) 2 2 2 2

①若 0 ? b ? 1 ,则 f?(=1)? f?(1)? f?(b),?g(1)? max{g (?1), g (b)} 于是

1 1 1 1 M ? max{ f ?(?1) , f ?(b) } ? ( f ?(?1) ? f ?(b) ) ? ( f ?(?1) ? f ?(b) ) ? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2 1 综上,对任意的 b、c 都有 M ? 2
而当, b ? 0, c ?

1 1 1 2 时, g ( x) ? ? x ? 在区间 [?1,1] 上的最大值 M ? 2 2 2 1 2

故 M ? K 对任意的 b,c 恒成立的 k 的最大值为 31.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? x ? 2bx ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5x ? 10 。
3 2

(I)求函数 f ( x) 的解析式;

第 17 页 共 50 页

17

(II)设函数 g ( x) ? f ( x) ? 时对应的自变量 x 的值. 解析

1 mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 g ( x) 取得极值 3

(I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ??①

又 f ?( x) ? 3x2 ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ??② 联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x ? 2 (II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?
3 2

?????????????4 分

1 mx 3

令 g ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ?
2

1 m?0 3
2

当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3 x ? 4 x ? 1 ? 由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 . ①当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有实数 x ?

1 m ? 0 有实数解, 3

2 2 ,在 x ? 左右两侧均有 g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 无极值 3 3

②当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有两个实数根

1 1 x1 ? (2 ? 1 ? m ), x2 ? (2 ? 1 ? m ), g ?( x), g ( x) 情况如下表: 3 3 x x1 (??, x1 ) ( x1 , x2 ) x2

( x2 ? ?)
+ ↗

g ?( x)
g ( x)

+ ↗

0 极大值



0 极小值

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值; 当x?

1 1 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值; 3 3

?????????????12 分 32.(2009 全国卷Ⅱ理)(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2
2

(I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2 In2 4

第 18 页 共 50 页

18

解: (I) f ? ? x ? ? 2 x ?

a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) 1? x 1? x
1 。由题意知 x1、x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个均大于 ?1 的不 2

令 g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? a ,其对称轴为 x ? ? 相等的实根,其充要条件为 ?

?? ? 4 ? 8a ? 0 1 ,得 0 ? a ? 2 ? g (?1) ? a ? 0

⑴当 x ? (?1, x1 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 (?1, x1 ) 内为增函数; ⑵当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数; ⑶当 x ? ( x2, ? ?) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x2, ? ?) 内为增函数; (II)由(I) g (0) ? a ? 0,??

1 ? x2 ? 0 , a ? ?(2x22 +2x2 ) 2

? f ? x2 ? ? x22 ? aln ?1? x2 ? ? x22 ? (2x22 +2x2 )ln ?1 ? x2 ?
设 h ? x ? ? x ? (2 x ? 2 x)ln ?1 ? x ? ( x ? ? ) ,
2 2

1 2

则 h? ? x ? ? 2x ? 2(2x ?1)ln ?1 ? x ? ? 2x ? ?2(2x ?1)ln ?1 ? x ? ⑴当 x ? (?

1 1 , 0) 时, h? ? x ? ? 0,?h( x) 在 [? , 0) 单调递增; 2 2

⑵当 x ? (0, ??) 时, h? ? x ? ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 单调递减。

1 1 1 ? 2 ln 2 ?当x ? (? , 0)时, h ? x ? ? h(? ) ? 2 2 4 1 ? 2 In 2 故 f ? x2 ? ? h( x2 ) ? . 4
33.(2009 湖南卷文) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称.
3 2

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 在 x ? t 处取得最小值,记此极小值为 g (t ) ,求 g (t ) 的定义域和值域。
2 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2bx ? c .因为函数 f ?( x ) 的图象关于直线 x=2 对称,

所以 ?

2b ? 2 ,于是 b ? ?6. 6
3 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ? 6x ? cx , f ?( x) ? 3x ?12x ? c ? 3( x ? 2) ? c ?12 . (ⅰ)当 c ? 12 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 无极值。

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19

(ii)当 c<12 时, f ?( x) ? 0 有两个互异实根 x1 , x2 .不妨设 x1 < x2 ,则 x1 <2< x2 . 当 x< x1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (??, x1 ) 内为增函数; 当 x1 <x< x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 内为减函数; 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x2 , ??) 内为增函数. 所以 f ( x) 在 x ? x1 处取极大值,在 x ? x2 处取极小值. 因此,当且仅当 c ? 12 时,函数 f ( x) 在 x ? x2 处存在唯一极小值,所以 t ? x2 ? 2 . 于是 g (t ) 的定义域为 (2, ??) .由 f ?(t ) ? 3t 2 ?12t ? c ? 0 得 c ? ?3t ? 12t .
2

于是 g (t ) ? f (t ) ? t3 ? 6t2 ? ct ? ?2t3 ? 6t2 , t ? (2, ??). 当 t ? 2 时, g ?(t ) ? ?6t 2 ? 12t ? 6t (2 ? t ) ? 0, 所以函数 g (t ) 在区间 (2, ??) 内是减函数,故 g (t ) 的值域为 (??,8). 35.(2009 福建卷理) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ,且 f '(?1) ? 0 3

(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f ( x) 的单调区间; (2) 令 a ? ?1 ,设函数 f ( x) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值, 记点 M ( x1 , f ( x1 ) ), N( x2 , f ( x2 ) ), P( m, f ( m) ),

x1 ? m ? x2 ,请仔细观察曲线 f ( x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势,并解释以下问题:
(I)若对任意的 m ? ( x1 , x 2 ),线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点,试确定 t 的最小值,并证明 你的结论; (II)若存在点 Q(n ,f(n)), x ? n< m,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、Q 的公共点,请直接写出 m 的取值 范围(不必给出求解过程) 解法一: (Ⅰ)依题意,得 f '( x) ? x2 ? 2ax ? b 由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0得b ? 2a ? 1 .

1 从而 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (2a ? 1) x, 故f '( x) ? ( x ? 1)( x ? 2a ? 1). 3
令 f '( x) ? 0, 得x ? ?1或x ? 1 ? 2a.

第 20 页 共 50 页

20

①当 a>1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x) 的变化情况如下表: x

(??,1 ? 2a)
+ 单调递增

(1 ? 2a, ?1)
- 单调递减

(?1, ??)
+ 单调递增

f '( x) f ( x)

由此得,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) 。 ②当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 此时有 f '( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 ,故函数 f ( x) 的单调 增区间为 R ③当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 同理可得,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间 为 (?1,1 ? 2a) 综上: 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) . (Ⅱ)由 a ? ?1 得 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3 x 令 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 3

由 (1) 得 f ( x) 增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) , 单调减区间为 (?1,3) , 所以函数 f ( x) 在处 x1 ? ?1, x2 ? 3 取得极值,故 M( ?1,

5 )N( 3, ?9 ) 。 3

观察 f ( x) 的图象,有如下现象: ①当 m 从-1(不含-1)变化到 3 时,线段 MP 的斜率与曲线 f ( x) 在点 P 处切线的斜率 f ( x) 之差 Kmp- f '(m) 的值由正连续变为负。 ②线段 MP 与曲线是否有异于 H,P 的公共点与 Kmp- f '(m) 的 m 正负有着密切的关联; ③Kmp- f '(m) =0 对应的位置可能是临界点,故推测:满足 Kmp- f '(m) 的 m 就是所求的 t 最小值,
2 下面给出证明并确定的 t 最小值.曲线 f ( x) 在点 P(m, f (m)) 处的切线斜率 f '(m) ? m ? 2m ? 3 ;

第 21 页 共 50 页

21

线段 MP 的斜率 Kmp ?

m 2 ? 4m ? 5 3

当 Kmp- f '(m) =0 时,解得 m ? ?1或m ? 2 直线 MP 的方程为 y ? (

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? ) 3 3

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? ) 令 g ( x) ? f ( x) ? ( 3 3
当 m ? 2 时,g '( x) ? x 2 ? 2 x 在 (?1, 2) 上只有一个零点 x ? 0 , 可判断 f ( x) 函数在 (?1, 0) 上单调递增, 在 (0, 2) 上单调递减, 又 g (?1) ? g (2) ? 0 , 所以 g ( x) 在 (?1, 2) 上没有零点, 即线段 MP 与曲线 f ( x) 没 有异于 M,P 的公共点。 当 m ? ? 2,3? 时, g (0) ? ?

m 2 ? 4m ? 0 . g (2) ? ?(m ? 2)2 ? 0 3

所以存在 m ? ? 0, 2? 使得 g (? ) ? 0 即当 m ? ? 2,3?时, MP 与曲线 f ( x) 有异于 M,P 的公共点 综上,t 的最小值为 2. (2)类似(1)于中的观察,可得 m 的取值范围为 ?1,3? 解法二: (1)同解法一. (2)由 a ? ?1 得 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ,令 f '( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 3

由(1)得的 f ( x) 单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函数在处取得极值。故 M( ?1,

5 ).N( 3, ?9 ) 3
m2 ? 4m ? 5 m2 ? 4m x? . 3 3

(Ⅰ) 直线 MP 的方程为 y ?

? m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m y ? x ? ? ? 3 3 由? ? y ? 1 x3 ? x 2 ? 3x ? 3 ?

得 x3 ? 3x2 ? (m2 ? 4m ? 4) x ? m2 ? 4m ? 0 线段 MP 与曲线 f ( x) 有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数
g ( x) ? x3 ? 3x2 ? (m2 ? 4m ? 4) x ? m2 ? 4m在(-1,m)上有零点.

第 22 页 共 50 页

22

因为函数 g ( x) 为三次函数,所以 g ( x) 至多有三个零点,两个极值点. 又 g (?1) ? g (m) ? 0 . 因此 , g ( x) 在 (?1, m) 上有零点等价于 g ( x) 在 (?1, m) 内恰有一个极大值点和一个极小 值点,即 g '( x) ? 3x2 ? 6 x ? (m2 ? 4m ? 4) ? 0在(1, m) 内有两不相等的实数根.
??=36 ? 12 (m2 ? 4m ? 4)>0 ? 2 2 ?3(?1) ? 6 ? (m ? 4m ? 4) ? 0 等价于 ? 2 2 ?3m ? 6m ? (m ? 4m ? 4) ? 0 ?m ? 1 ?
??1 ? m ? 5 ? 即 ?m ? 2或m ? ?1, 解得2 ? m ? 5 ?m ? 1 ?

又因为 ?1 ? m ? 3 ,所以 m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的 r 的最小值为 2. 36.(2009 辽宁卷文) (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? e x (ax 2 ? x ? 1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行。 (2)求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性; (1)证明:当 ? ? [0, 解析

?
2

]时, f( cos ? ) ? f(sin? ) ? 2

(Ⅰ) f '( x) ? e x (ax2 ? x ? 1 ? 2ax ? 1) .有条件知, ???2 分 于是

1. f '(1) ? 0 , 故 a ? 3 ? 2a ? 0 ? a ? ?

f '(x )? ex ? ( x2 ? x ? 2? ) ?ex x( ?

2 x)? ( . 1)

故当 x ? (??, ?2) ? (1, ??) 时, f '( x) <0; 当 x ? (?2,1) 时, f '( x) >0. 从而 f ( x) 在 (??, ?2) , (1, ??) 单调减少,在 (?2,1) 单调增加. ???6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) 在 [0,1] 单调增加,故 f ( x) 在 [0,1] 的最大值为 f (1) ? e , 最小值为 f (0) ? 1 . 从而对任意 x1 , x2 ? [0,1] ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ? 2 . 而当 ? ? [0, 从而 ???10 分

?
2

] 时, cos ? ,sin ? ? [0,1] .
???12 分

f (cos? ) ? f (sin? ) ? 2
1 2 x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 。 2

37.(2009 辽宁卷理) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性;

第 23 页 共 50 页

23

(2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x 1 ,x 2 ? (0, ??) ,x 1 ? x 2 ,有 解析 (1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) 。

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 。 x1 ? x2

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? 2分 x x x

(i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则

( x ? 1) 2 f ( x) ? x
'

故 f ( x) 在 (0, ??) 单调增加。 (ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ( x) ? 0 ;
'

当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0
'

故 f ( x) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加。 (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,同理可得 f ( x) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调增加. (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x

?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x 2

则 g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a ?1 a ?1 ? 2 xg ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 x x

由于 1<a<5, 故 g ?( x) ? 0 ,即 g(x)在 (4, + ∞ ) 单调增加,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0
f( x ?) f2 ( ? x1 ? x2
1





f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 x1 ? x2





0 ? x1 ? x2







x )? 2 f ( x )1 f( x) ? ?1· · · · · · · · ·12 分 ? x2 x1

38.(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2 ?x

(1)如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x) 的单调区间; (1)若 f ( x) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明

第 24 页 共 50 页

24

? ? ? <6.
(21)解析 (Ⅰ)当 a ? b ? ?3 时, f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e? x ,故

f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e? x ? (3x2 ? 6x ? 3)e? x ? ?e? x ( x?3 ? 9 x) ? ? x( x ? 3)( x ? 3)e? x
当 x ? ?3或 0 ? x ? 3时,f '( x) ? 0; 当 ?3 ? x ? 0或x ? 3时,f '( x) ? 0. 从而 f ( x)在(??, ?3),(0,3)单调增加,在(? 3, 单调减少. 0),(3, ? ?) (Ⅱ) f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x ? (3x2 ? 6x ? a)e? x ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? b ? a]. 由条件得: f '(2) ? 0,即23 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, 从而

f '( x) ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a].
因为 f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以

x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? ) ? ( x ? 2)( x2 ? (? ? ? ) x ? ?? ).
将右边展开,与左边比较系数得, ? ? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故

? ? ? ? ( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .
又 (? ? 2)(? ? 2) ? 0,即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6. 于是 ? ? ? ? 6. 39.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ?1, a ? 0
3

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间;
直线 y=my 与 y ? ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,

f ( x) 的图象有三个不同的交点, 求 m 的取值范围。

第 25 页 共 50 页

25

解析

(1) f ' ( x) ? 3x2 ? 3a ? 3( x2 ? a),

当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ' ( x) ? 0, 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (??, ??) 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ? 由 f ' ( x) ? 0 解得 ? a ? x ?

a;

a,

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (??, ? a ),( a , ??) ; f ( x) 的单调减区间为 (? a , a ) 。 (2)因为 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值, 所以 f ' (?1) ? 3? (?1)2 ? 3a ? 0,?a ? 1. 所以 f ( x) ? x3 ? 3x ?1, f ' ( x) ? 3x2 ? 3, 由 f ( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。
'

由(1)中 f ( x) 的单调性可知, f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1 , 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 。 因为直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点,又 f (?3) ? ?19 ? ?3 , f (3) ? 17 ? 1 , 结合 f ( x) 的单调性可知, m 的取值范围是 (?3,1) 。 40.(2009 陕西卷理)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

1? x , x ? 0 ,其中 a ? 0 1? x

? ? ? 若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; ? ?? ? 求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅲ)若 f ( x) 的最小值为 1,求 a 的取值范围。

a 2 ax 2 ? a ? 2 解(Ⅰ) f '( x) ? ? ? , ax ? 1 (1 ? x)2 (ax ? 1)(1 ? x)2
2 ∵ f ( x) 在 x=1 处取得极值,∴ f '(1) ? 0,即a 1 ? a ? 2 ? 0, 解得 a ? 1.

(Ⅱ) f '( x) ?

ax 2 ? a ? 2 , (ax ? 1)(1 ? x)2

第 26 页 共 50 页

26

∵ x ? 0, a ? 0,

∴ ax ? 1 ? 0.

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '( x) ? 0, ∴ f ( x) 的单调增区间为 (0, ??). ②当 0 ? a ? 2 时, 由 f '( x) ? 0解得x ?

2?a 2?a ,由f '( x) ? 0解得x ? , a a 2-a 2-a ), 单调增区间为( , ? ?). a a

∴ f ( x)的单调减区间为(0,

(Ⅲ)当 a ? 2 时,由(Ⅱ)①知, f ( x)的最小值为f (0) ? 1; 当 0 ? a ? 2 时,由(Ⅱ)②知, f ( x) 在 x ?

2?a 2?a 处取得最小值 f ( ) ? f (0) ? 1, a a

综上可知,若 f ( x) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??). 41.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5x ? 10 。 (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)设函数 g ( x) ? f ( x) ? 时对应的自变量 x 的值. 解析 (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ??①

1 mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 g ( x) 取得极值 3

2 又 f ?( x) ? 3x ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ??②

联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2
3 2

?????????????4 分

(II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?
3 2

1 mx 3

令 g ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ?
2

1 m?0 3
2

当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3 x ? 4 x ? 1 ? 由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 . ①当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有实数 x ?

1 m ? 0 有实数解, 3

2 2 ,在 x ? 左右两侧均有 g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 无极值 3 3

第 27 页 共 50 页

27

②当 m ? 1 时, g ?( x ) ? 0 有两个实数根 x1 ? 表:

1 1 (2 ? 1 ? m ), x2 ? (2 ? 1 ? m ), g ?( x), g ( x) 情况如下 3 3

x
g ?( x)
g ( x)

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )


x2
0 极小值

( x2 ? ?)
+ ↗

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值; 当x?

1 1 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值; 3 3

?????????????12 分 42.(2009 湖北卷文) (本小题满分 14 分) 已知关于 x 的函数 f(x)=

1 x3 +bx2+cx+bc,其导函数为 f+(x).令 g(x)=∣f+(x) ∣, 3 4 ,试确定 b、c 的值: 3

记函数 g(x)在区间[-1、1]上的最大值为 M. (Ⅰ)如果函数 f(x)在 x=1 处有极值-

(Ⅱ)若∣b∣>1,证明对任意的 c,都有 M>2: (Ⅲ)若 M≧K 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值。 本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识,考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想(满分 14 分) (I)解析

f '( x) ? ? x2 ? 2bx ? c ,由 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ?

4 3

? f '(1) ? ?1 ? 2b ? c ? 0 ? 可得 ? 1 4 f (1) ? ? ? b ? c ? bc ? ? ? 3 3 ?
解得 ?

?b ? 1 ?b ? ?1 ,或? ?c ? ?1 ?c ? 3

2 2 若 b ? 1, c ? ?1 ,则 f '( x) ? ? x ? 2x ?1 ? ?( x ?1) ? 0 ,此时 f ( x) 没有极值;

若 b ? ?1, c ? 3 ,则 f '( x) ? ? x ? 2x ? 3 ? ?( x ? 1)( x ?1)
2

当 x 变化时, f ( x) , f '( x) 的变化情况如下表:

x

(??, ?3)

?3

(?3,1)

1

(1, ??)

第 28 页 共 50 页

28

f '( x) f ( x)

?

0 极小值

+

0 极大值

?

?12

?

4 3

4 ? 当 x ? 1 时, f ( x) 有极大值 ? ,故 b ? ?1 , c ? 3 即为所求。 3
(Ⅱ)证法 1: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b)2 ? b2 ? c | 当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1.1] 之外。

? f '( x) 在 [?1,1] 上的最值在两端点处取得
故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个

? 2M ? g (1) ? g (?1) ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c |?| 4b |? 4, 即 M ? 2
证法 2(反证法) :因为 | b |? 1 ,所以函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之外,

? f '( x) 在 [?1,1] 上的最值在两端点处取得。
故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个 假设 M ? 2 ,则

g (?1) ?| ?1 ? 2b ? c |? 2 g (1) ?| ?1 ? 2b ? c |? 2
将上述两式相加得:

4 ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c |? 4 | b |? 4 ,导致矛盾,? M ? 2
(Ⅲ)解法 1: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b) ? b ? c |
2 2

(1)当 | b |? 1 时,由(Ⅱ)可知 M ? 2 ; (2)当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x )的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 内, 此时 M ? max ?g (?1), g (1), g (b)?
2 由 f '(1) ? f '(?1) ? 4b, 有 f '(b) ? f '(?1) ? b( 1) ? 0

①若 ?1 ? b ? 0, 则 f '(1) ? f '(?1) ? f '(b), ? g (?1) ? max ?g (1), g (b)? , 于是 M ? max ?| f '(1),| f '(b) |? ?

1 1 1 1 (| f '(1) | ? f '(b) |) ? | f '(1) ? f '(b) |? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2

第 29 页 共 50 页

29

②若 0 ? b ? 1 ,则 f '(?1) ? f '(1) ? f '(b), ? g (1) ? max ?g (?1), g (b)? 于是 M ? max ?| f '(?1) |,| f '(b) |? ? 综上,对任意的 b 、 c 都有 M ? 而当 b ? 0, c ?

1 1 1 1 (| f '(?1) | ? | f '(b) |) ? | f '( ?1) ? f '(b) |? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2

1 2

1 1 1 2 时, g ( x) ? ? x ? 在区间 [?1,1] 上的最大值 M ? 2 2 2
1 。 2

故 M ? k 对任意的 b 、 c 恒成立的 k 的最大值为 解法 2: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b)2 ? b2 ? c | (1)当 | b |? 1 时,由(Ⅱ)可知 M ? 2 ;

(2)当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 内, 此时 M ? max ?g (?1), g (1), g (b)?

4M ? g (?1) ? g (1) ? 2g (h) ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c | ?2 | b2 ? c | ?| ?1 ? 2b ? c ? (?1 ? 2b ? c) ? 2(b2 ? c) |?| 2b2 ? 2 |? 2 ,即 M ?
下同解法 1 43.(2009 宁夏海南卷文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 9a x ? a .
3 2 2 3

1 2

(1) 设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值; (2) 若 a ?

1 ' ,且当 x ??1, 4a? 时, f ( x ) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 4

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 (21)解析 (Ⅰ)当 a=1 时,对函数 f ( x) 求导数,得

f ' ( x) ? 3x2 ? 6x ? 9.
令 f ( x) ? 0, 解得x1 ? ?1, x2 ? 3.
'

列表讨论 f ( x), f ( x) 的变化情况:

'

第 30 页 共 50 页

30

x
f ' ( x)

(??, ?1)
+

?1
0 极大值 6

(-1,3) —

3 0 极小值 -26

(3, ??)
+

f ( x)

所以, f ( x) 的极大值是 f (?1) ? 6 ,极小值是 f (3) ? ?26. (Ⅱ) f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 9a 2 的图像是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称. 若

1 ? a ? 1, 则f ' ( x)在[1,4a]上是增函数,从而 4

f ' ( x)在[1,4a]上的最小值是 f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 , 最大值是 f ' (4a) ? 15a 2 .
由 | f ' ( x) |? 12a, 得 ?12a ? 3x2 ? 6ax ? 9a2 ? 12a, 于是有

f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 ? ?12a, 且f ' (4a) ? 15a2 ? 12a.
1 4 ? a ? 1,由f ' (4a) ? 12a得0 ? a ? . 3 5 1 1 4 1 4 所以 a ? ( ,1] [? ,1] [0, ], 即a ? ( , ]. 4 3 5 4 5
由 f (1) ? ?12a得 ?
'

若 a>1,则 | f (a) |? 12a ? 12a.故当x ?[1, 4a]时 | f ( x) |? 12a 不恒成立.
' 2 ' ' 所以使 | f ( x) |? 12a( x ?[1, 4a]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ].

1 4 4 5

44.(2009 天津卷理) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3a)e ( x ? R), 其中 a ? R
2 2 x

(1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (2)当 a ?

2 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值。 3

本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运 算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。 (I)解析

当a ? 0时,f ( x) ? x 2 e x ,f ' ( x) ? ( x 2 ? 2x)e x,故f ' (1) ? 3e.

所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 3e.
(II) 解:f ' ( x) ? x ? (a ? 2) x ? 2a ? 4a e .
2 2 x

?

?

令f ' ( x) ? 0,解得 x ? ?2a,或 x ? a ? 2.由a ?

2 知, ? 2a ? a ? 2. 3

第 31 页 共 50 页

31

以下分两种情况讨论。 (1) 若a >

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
? 2a

x

?? ?, ? 2a ?
+ ↗

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2

?a ? 2, ? ??
+ ↗

0 极 大值

0 极 小值

所以f ( x)在(??, ? 2a), (a ? 2, ? ?)内是增函数,在 (?2a,a ? 2)内是减函数 .

函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . 函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 .
(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
a?2

x

?? ?,a ? 2?
+ ↗

?a ? 2, ? 2a ?
— ↘

? 2a

?? 2a, ? ??
+ ↗

0 极 大值

0 极 小值

所以f ( x)在(??,a ? 2), (?2a, ? ?)内是增函数,在 (a ? 2, ? 2a)内是减函数。

函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . 函数f ( x)在x ? ?2a处取得极小值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a .
45.(2009 四川卷理) (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0, 且a ? 1 函数 f ( x) ? loga (1 ? a x ) 。 (I)求函数 f ( x) 的定义域,并判断 f ( x) 的单调性; (II)若 n ? N , 求 lim
*

a f (n) ; n ??? a n ? a
f ( x)

(III)当 a ? e ( e 为自然对数的底数)时,设 h( x) ? (1 ? e 求实数 m 的取值范围以及函数 h( x) 的极值。

)( x2 ? m ? 1) ,若函数 h( x) 的极值存在,

本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。 解析 (Ⅰ)由题意知 1 ? a ? 0
x

当 0 ? a ?1 时,f ( x)的定义域是(0, ? ?);当a ? 1时,f ( x)的定义域是(? ?, 0)

第 32 页 共 50 页

32

f?(x)=

-a x ln a ax g log e ? a 1 ? ax ax ? 1

当 0 ? a ?1 时,x ? (0, ??).因为a x ?1 ? 0, a x ? 0, 故f?(x)<0,所以f(x)是减函数 当 a ?1 时,x ? (??,0),因为a x ?1 ? 0, a x ? 0, 故f ?( x) ? 0, 所以f ( x)是减函数 ….(4 分) (Ⅱ)因为 f (n) ? loga (1 ? an ), 所以a f ( n) ? 1 ? an 由函数定义域知 1 ? a >0,因为 n 是正整数,故 0<a<1.
n

所以 lim

a f (n) 1 ? an 1 ? lim ? n ?? a n ? a n ?? a n ? a a

(Ⅲ) ( h x) ? ex ( x2 ? m ? 1)( x ? 0), 所以h?( x) ? e x ( x2 ? 2x ? m ? 1) 令 h?( x) ? 0,即x2 ? 2 x ? m ? 1 ? 0,由题意应有? ? 0,即m ? 0 ① 当 m=0 时, h?( x) ? 0 有实根 x ? ?1 ,在 x ? ?1 点左右两侧均有 h?( x) ? 0 故无极值 ② 当 0 ? m ? 1 时, h?( x) ? 0 有两个实根 x1 ? ?1 ? m, x2 ? ?1 ? m 当 x 变化时, h?( x) 、 h( x) 的变化情况如下表所示:

x
h?( x) h( x )

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )

m

x2
0 极小值

( x2 ,0)
+ ↗

? h( x) 的极大值为 2e?1? m (1 ? m ) , h( x) 的极小值为 2e?1?

(1 ? m )

③ 当 m ? 1 时, h?( x) ? 0 在定义域内有一个实根, x ? ?1 ? m 同上可得 h( x) 的极大值为 2e?1?
m

(1 ? m )

(0, ? ?) 综上所述, m ? 时,函数 h( x) 有极值;
当 0 ? m ? 1 时 h( x) 的极大值为 2e?1? 当 m ? 1 时, h( x) 的极大值为 2e?1?
m m

(1 ? m ) , h( x) 的极小值为 2e?1? m (1 ? m )

(1 ? m )

46.(2009 福建卷文) (本小题满分 12 分)

第 33 页 共 50 页

33

1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f '(?1) ? 0 3 (I)试用含 a 的代数式表示 b ;
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)令 a ? ?1 ,设函数 f ( x) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值,记点 M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) ,证明: 线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点; 解法一: (I)依题意,得 f '( x) ? x2 ? 2ax ? b 由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 得 b ? 2a ? 1 (Ⅱ)由(I)得 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (2a ? 1) x ( 3

故 f '( x) ? x2 ? 2ax ? 2a ?1 ? ( x ? 1)( x ? 2a ?1) 令 f '*( x) ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a ①当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(??,1 ? 2a)
+ 单调递增

(?2a, ?1)
— 单调递减

(?1 ? ?)
+ 单调递增

由此得,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ②由 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 ,此时, f '( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 ,故函数 f ( x) 的单 调区间为 R ③当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 ,同理可得函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间 为 (?1,1 ? 2a) 综上: 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a)

第 34 页 共 50 页

34

(Ⅲ)当 a ? ?1 时,得 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

由 f '( x) ? x3 ? 2x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 由(Ⅱ)得 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) 所以函数 f ( x) 在 x1 ? ?1.x2 ? 3 处取得极值。 故 M (?1, ).N (3, ?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ?1 3

1 ? y ? x 2 ? x 2 ? 3x ? ? 3 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
令 F ( x) ? x3 ? 3x2 ? x ? 3 易得 F (0) ? 3 ? 0, F (2) ? ?3 ? 0 ,而 F ( x) 的图像在 (0, 2) 内是一条连续不断的曲线, 故 F ( x) 在 (0, 2) 内存在零点 x0 ,这表明线段 MN 与曲线 f ( x) 有异于 M , N 的公共点 解法二: (I)同解法一 (Ⅱ)同解法一。 (Ⅲ)当 a ? ?1 时,得 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ,由 f '( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 3x

由 ( Ⅱ ) 得 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 (??, ?1) 和 (3, ??) , 单 调 减 区 间 为 (?1,3) , 所 以 函 数 f ( x) 在

x1 ? ?1, x2 ? 3 处取得极值,
故 M (?1, ), N (3, ?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ?1 3

1 ? y ? x3 ? x 2 ? 3x ? ? 3 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
解得 x1 ? ?1, x2 ? 1.x3 ? 3

第 35 页 共 50 页

35

? x1 ? ?1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 3 ? ? ?? 5 ? 11 ? y1 ? , ? y2 ? ? , ? y3 ? ?9 ? 3 ? 3 ?
所以线段 MN 与曲线 f ( x) 有异于 M , N 的公共点 (1, ?

11 ) 3

47.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 48.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分。 (1) . . . . . .16 分

49.(2009 重庆卷理) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 8 分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于直 线 x ? 2 y ?1 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ?

ex ,讨论 g ( x) 的单调性. f ( x)

解(Ⅰ)因 f ( x) ? ax2 ? bx ? k (k ? 0), 故f ?( x) ? 2ax ? b 又 f ( x) 在 x=0 处取得极限值,故 f ?( x) ? 0, 从而 b ? 0 由曲线 y= f ( x) 在(1,f(1) )处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相互垂直可知 该切线斜率为 2,即 f ?(1) ? 2, 有2a=2,从而a=1

ex (k ? 0) (Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x) ? 2 x ?k

g ?( x) ?

ex ( x2 ? 2x ? k ) (k ? 0) ( x 2 ? k )2
2

令 g ?( x) ? 0, 有x ? 2 x ? k ? 0 (1)当 ? ? 4 ? 4k ? 0, 即当k>1时,g?(x)>0在R上恒成立,

故函数g(x)在R上为增函数
(2)当 ? ? 4 ? 4k ? 0, 即当k=1时, g ?( x) ?

e x ( x ? 1)2 ? 0( x ? 0) ( x 2 ? k )2

第 36 页 共 50 页

36

K=1 时,g(x)在 R 上为增函数 (3) ? ? 4 ? 4k ? 0,即当0<k<1时, 方程 x ? 2 x ? k ? 0 有两个不相等实根
2

x1 ? 1? 1? k , x2 ? 1? 1? k
当 x ? (??,1 ? 1 ? k )是g?( x) ? 0, 故g ( x)在(? ?,1 ? 1 ? k )上为增 函数 当 x? 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( 上为减函数 ( 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( 上为增函数 x? ( 1 ? 1 ? k,+?) 1 ? 1 ? k,+?) 50.(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 5 分) 已知 f ( x) ? x2 ? bx ? c 为偶函数,曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) , g ( x) ? ( x ? a) f ( x) . (Ⅰ)求曲线 y ? g ( x) 有斜率为 0 的切线,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若当 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,确定 y ? g ( x) 的单调区间. 解: (Ⅰ)

f ( x) ? x2 ? bx ? c 为偶函数,故 f (? x) ? f ( x) 即有

(? x)2 ? b(? x) ? c ? x2 ? bx ? c 解得 b ? 0
2 又曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) ,得 2 ? c ? 5, 有 c ? 1

g ( x) ? ( x ? a) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? a 从而 g ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 , 曲线 y ? g ( x) 有斜率为 0 的
' 切线,故有 g ( x) ? 0 有实数解.即 3x ? 2ax ? 1 ? 0 有实数解.此时有 ? 4a ? 12 ≥ 0 解得
2 2

? a ? ??, ? 3 ? ? ? ? 3, ??

?
'

?

所以实数 a 的取值范围: a ? ??, ? 3 ? ? ? 3, ??

?

?

?

?

' (Ⅱ)因 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,故有 g (?1) ? 0 即 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 2

又 g ( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ? (3x ? 1)( x ? 1)
2 '

' 令 g ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? ?

1 3

当 x ? (??, ?1) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (??, ?1) 上为增函数
' 当 x ? ( ?1, ? ) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ( ?1, ? ) 上为减函数 ' 当 x ? (? , ??) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ( ? , ??) 上为增函数

1 3

1 3

1 3

1 3

第 37 页 共 50 页

37

B 组 ? 2005—2008 年高考题
一、选择题
1.(2008 年全国一 7)设曲线 则a ? A.2 答案 D B.

y? 1 2

x ?1 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直, 在点 (3, x ?1
( C. ? )

1 2

D. ?2

2.(2008 年 湖北卷 7)若 范围是 A. C. 答案

1 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值 2
( )

[?1, ??) (??, ?1]
C

B. D.

(?1, ??) (??, ?1)

3.(2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象 可能是 ( )

答案

D

4.(2008 年辽宁卷 6)设 P 为曲线 C:

y ? x2 ? 2x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾
( )

斜角的取值范围为

? ?? 0, ,则点 P 横坐标的取值范围为 ? ? 4? ?
B.

A.

1? ? ?1, ? ? ? 2? ?
A

0? ??1,

C.

1? ?0,

D.

?1 ? , 1 ? ?2 ? ?

答案

5.(2007 年福建理 11 文)已知对任意实数 x ,有 时,

f (? x) ? ? f ( x),g (? x) ? g ( x) ,且 x ? 0
( )

f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 时

第 38 页 共 50 页

38

A. C.

f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0
B

B. D.

f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

答案

6.(2007 年海南理 10)曲线 为 A. 答案

y ? e2

1

x

在点 (4 ,e

2

) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积
( ) D. e
2

9 2 e 2
D

B. 4e

2

C. 2e

2

7. (2007 年江苏 9) 已知二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 ,
( )



f (1) 的最小值为 f '(0)
A. 3 B. C

5 2

C. 2

D.

3 2

答案

8.(2007 年江西理 9)设

? ?) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的 p : f ( x) ? ex ? ln x ? 2x2 ? mx ? 1 在 (0,
( )

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 B

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9.(2007 年辽宁理 12)已知 当x

f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的连续函数,如果 f ( x) 与 g ( x) 仅
( )

? 0 时的函数值为 0,且 f ( x) ≥ g ( x) ,那么下列情形不可能 出现的是 ...

A.0 是 B.0 是 C.0 是 D.0 是 答案

f ( x) 的极大值,也是 g ( x) 的极大值 f ( x) 的极小值,也是 g ( x) 的极小值 f ( x) 的极大值,但不是 g ( x) 的极值 f ( x) 的极小值,但不是 g ( x) 的极值
C

10.(2006 年天津卷)函数

f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象

第 39 页 共 50 页

39

如图所示,则函数

f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点
y





y ? f ?( x)

b

a
A.1 个 答案 解析 函数 A 函数 B.2 个

O
C.3 个

x
D. 4 个

f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,

f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值

为由负到正的点,只有 1 个,选 A. 二、填空题 11.(2008 年全国二 14)设曲线 答案 2

1) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? y ? eax 在点 (0,



12.(2008 年江苏卷 8)直线 答案 ln2-1.

y?

1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0? 的一条切线,则实数 b= 2
y



14.(2008 年北京卷 12)如图,函数 其中

f ( x) 的图象是折线段 ABC ,

A,B,C 的坐标分别为 (0,,,,, 4) (2 0) (6 4) ,则
?x ?0

f ( f (0)) ? 2; lim
答案 -2

f (1 ? ?x) ? f (1) ? ?x

4 3 2 1 O

A

C

. (用数字作答)

B 1 2 3 4 5 6

x

14.(2007 年广东文 12)函数

f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是____.

答案

?1 ? , ?? ? ? ?e ?

15.(2007 年江苏 13)已知函数 为 M , m ,则 M 答案 32

f ( x) ? x3 ?12x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别


?m ?

16.(2007 年湖北文 13)已知函数

y ? f ( x) 的图象在点 M (1,f (1)) 处的切线方程是


y?
答案

1 x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) ? 2
3

第 40 页 共 50 页

40

17.(2007 年湖南理 13)函数 答案

3] 上的最小值是 f ( x) ? 12x ? x3 在区间 [?3,



?16

18.(2007 年浙江文 15)曲线 答案

? 3) 处的切线方程是 y ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 2 在点 (1,



5x ? y ? 2 ? 0
2

19.(2006 年湖北卷)半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r ,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0, +∞)上的变量,则 (?r 2 )? =2 ? r ①,

①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 1 的式子: 对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○ ② ②式可以用语言叙述为: 答案 。 2 式可填 ( 故○

V 球=

4 4 ? =4? R 2 ? R 3 ,又 ( ? R 3) 3 3
3

4 ? =4? R 2 ,用语言叙述为“球的体积函数的 ? R 3) 3

导数等于球的表面积函数。 ” 20.(2005 年重庆卷)曲线 y=x 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形的面积为__________。 答案 三、解答题 21.(2008 年全国一 19)已知函数 (Ⅰ)讨论函数 8/3

f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R .

f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)设函数

? 2 1? f ( x) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? 3 3?

解析 当a
2

(1)

f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增 ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
?a ? a 2 ? 3 3

当a

2



? ? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? f ( x) 在 ? ??, , 递增, ? ? ? 递减, ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增 ? ? ? 3 ? ?

第 41 页 共 50 页

41

? ?a ? ? ? (2) ? ? ?a ? ? ?

a2 ? 3 2 ≤? 3 3 a2 ? 3 1 ≥? 3 3

,且 a

2

? 3 解得: a ≥

7 4

22.(2008 年北京卷 18)已知函数

f ( x) ?

2x ? b ( x ? 1)2

,求导函数

f ?( x ) ,并确定 f ( x) 的单调

区间. 解析

f ?( x) ?

2( x ? 1) 2 ? (2 x ? b) ? 2( x ? 1) ( x ? 1) 4

?

?2 x ? 2b ? 2 ( x ? 1)3 2[ x ? (b ? 1)] . ( x ? 1)3

??


f ?( x) ? 0 ,得 x ? b ? 1 .
? 2 时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

当 b ? 1 ? 1 ,即 b

x
f ?( x )
当 b ? 1 ? 1 ,即 b

(??,b ? 1)

b ?1
0

(b ?11) ,

(1, ? ?)

?

?

?

? 2 时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
所以,当 b

(??, 1)

(1,b ?1)

b ?1
0

(b ? 1, ? ?)

?

?

?

? 2 时,函数 f ( x) 在 (??,b ? 1) 上单调递减,在 (b ?11) , 上单调递增,

, ? ?) 上单调递减. 在 (1
当b

? 2 时,函数 f ( x) 在 (??, 1) 上单调递减,在 (1,b ?1) 上单调递增,在 (b ? 1, ? ?)



单调递减. 当 b ? 1 ? 1 ,即 b

? 2 时, f ( x ) ?

2 1) 上单调递减,在 (1, ? ?) 上单调递减. ,所以函数 f ( x ) 在 (??, x ?1

23.(2008 年天津卷 21) (本小题满分 14 分) 已知函数 ,其中 a, b ? R . f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2x2 ? b ( x ? R )

第 42 页 共 50 页

42

(Ⅰ)当 a

??

10 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; 3

(Ⅱ)若函数

f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围;

(Ⅲ)若对于任意的 a ? [?2, 2] ,不等式

f ? x ? ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,求 b 的取值范围.

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能 力.满分 14 分. (Ⅰ)解析 当a 令

f ?( x) ? 4x3 ? 3ax2 ? 4x ? x(4x2 ? 3ax ? 4) .

10 2 时, f ?( x) ? x(4 x ?10 x ? 4) ? 2 x(2 x ?1)( x ? 2) . 3 1 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? , x3 ? 2 . 2 ??

当 x 变化时,

f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表: (??, 0)
- ↘ 0

x
f ?( x ) f ( x)
所以

1 (0, ) 2
+ ↗

1 2
0 极大 值

1 ( , 2) 2
- ↘

2

(2, ??)
+ ↗

0 极 小值

0 极小 值

1 1 f ( x) 在 (0, ) , (2, ??) 内是增函数,在 (??, 0) , ( , 2) 内是减函数. 2 2

(Ⅱ)解析

f ?( x) ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根.

24.(2005 年安徽卷)设函数 函数。 (Ⅰ)求 b 、 c 的值。

f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇

(Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间与极值。 解 (Ⅰ)∵

f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3x2 ? 2bx ? c .从而

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? (3x2 ? 2bx ? c) = x3 ? (b ? 3) x2 ? (c ? 2b) x ? c 是一个奇函数,所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; 3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3x ? 6 ,由此可知,

(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间; (? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;
g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,极小值为 ?4 2 。
25.( 2005 年全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角 分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积 是多少? 解
3

设容器的高为 x,容器的体积为 V,1 分 5分
2

则 V=(90-2x)(48-2x)x,(0<V<24) =4x -276x +4320x

第 43 页 共 50 页

43

∵V′=12x -552x+4320??
2

2

7分

由 V′=12x -552x+4320=0 得 x1=10,x2=36 ∵x<10 时,V′>0, 10<x<36 时,V′<0, x>36 时,V′>0, 所以,当 x=10,V 有极大值 V(10)=1960???????????????????10 分 又 V(0)=0,V(24)=0, ??????????????????????????11 分 所以当 x=10,V 有最大值 V(10)=1960 ???????????????????12 分

第 44 页 共 50 页

44

第二部分 三年联考汇编
A 组 ? 2009 年联考题 一、选择题
1.(2009 威海二模)右图是函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象,则 函数 g ( x) ? ln x ? A. ( C. ( 答案
2

f '( x) 的零点所在的区间是
B. (1, 2) D. (2,3)





1 1 , ) 4 2

1 ,1) 2
C

2.(2009 天津重点学校二模)已知函数

y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0)
若a

时不等式

f ( x) ? xf ' ( x) ? 0 成立,

? 30.3 f (30.3 ) , b ? (log? 3) f (log? 3),
( )

1 1 c ? (log 3 ) f (log 3 ) ,则 a, b, c 的大小关系是 9 9
A. a 答案

?b?c
C

B. c

?b?a

C. c

?a?b

D. a

?c?b

3.(2009 嘉兴一中一模)下列图像中有一个是函数

f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? 1 3
( )

(a ? R, a ? 0) 的导数 f ?( x)

的图像,则

f (?1) ?

A. 答案

1 3
B

B. ?

1 3

C.

7 3

D. ?

1 5 或 3 3
)

4.(2009 年乐陵一中)图中,阴影部分的面积是 A.16 C.20 答案 二、填空题 B B.18 D.22

(

y?x?4
4 -2
y 2 ? 2x

5.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测理)已知函数 f(x)的定义域为[-2, +∞), 部分对应值如下表, 为 f(x)的导函数, 函数

f ?( x )


y ? f ?( x) 的图象如右图所示, 若两正数 a, b 满足 f (2a ? b) ? 1 , 则

b?3 的取值范围是 a?3

y -2 O 第 45 页 共 50 页 x

45

答案

?3 7? ? , ? ?5 3?
1 1 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx 3 3

6.(湖北省黄冈市 2009 年 3 月份高三年级质量检测文)设函数 (c<0)单调递增区间是 .

答案 三、解答题

?1 ? ,1. ? ?3 ? ?

7.(2009 厦门北师大海沧附属实验中学)已知函数 (Ⅰ) 若 (Ⅱ)若 解

f ?x? ? x3 ? 3ax2 ? bx ,其中 a , b 为实数.

f ?x ? 在 x ? 1 处取得的极值为 2 ,求 a , b 的值;
f ?x ? 在区间 ?? 1, 2? 上为减函数,且 b ? 9a ,求 a 的取值范围.
?????? 2 分

(Ⅰ)由题设可知:

f ??1? ? 0 且 f ?1? ? 2 ,
即?

?3 ? 6a ? b ? 0 4 ,解得 a ? , b ? ?5. 3 ?1 ? 3a ? b ? 2
f ??x? ? 3x 2 ? 6ax ? b ? 3x 2 ? 6ax ? 9a ,
f ?x ? 在 ?? 1, 2? 上为减函数,

??????

4分

(Ⅱ)? 又

??????

5分

? f ?? x ? ? 0 对 x ? ?? 1, 2? 恒成立,
即 3x
2

?????? 6 分

? 6ax ? 9a ? 0 对 x ? ?? 1, 2? 恒成立.
?????? 10 分

? f ??? 1? ? 0 且 f ?2? ? 0 ,
?a ? 1 ?3 ? 6a ? 9a ? 0 ? 即? ?? 3 ? a ? 1, ?12 ? 12a ? 9a ? 0 ?a ? 7 ?

? a 的取值范围是 a ? 1.
8.(2009 厦门大同中学)设函数 (1)求函数 (2)若 x ?

??????

12 分

1 f ( x) ? ? x3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? 1, 0 ? a ? 1. 3

f ( x) 的极大值;
, ?1? a,1? a? 时,恒有 ?a ? f ?( x) ? a 成立(其中 f ? ? x? 是函数 f ? x ? 的导函数)

试确定实数 a 的取值范围. 解 当 ∴ (1)∵

f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ,且 0 ? a ? 1 ,????????????1 分

f ?( x) ? 0 时,得 a ? x ? 3a ;当 f ?( x) ? 0 时,得 x ? a或x ? 3a ;
f ( x) 的单调递增区间为 (a,3a) ;

第 46 页 共 50 页

46

f ( x) 的单调递减区间为 (??, a ) 和 (3a,??) .?????????????3 分
故当 x (2)∵ 当0 ? ∴ ∴

? 3a 时, f ( x) 有极大值,其极大值为 f ?3a ? ? 1.

???????4 分

f ? ? x ? ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? ? ? x ? 2a ? ? a 2 ,
2

a?

1 时, 1 ? a ? 2a , 3

f ?( x) 在区间 ?1 ? a,1 ? a? 内是单调递减.????????????????6 分

? x) ? x) ? f( ?max ? f ? ?1-a? ? ?8a2 ? 6a ?1, ? f( ?min ? f ? ?1+a ? ? 2a ?1.

∵ ?a ?

??8a2 ? 6a ? 1 ? a, f ?( x) ? a ,∴ ? ?2a ? 1 ? ?a.

此时, a ?? .????????????????????????????9 分 当

1 ? a ? 1 时, ? f( ? x) ?max ? f ? ? 2a? ?a2 . 3

? ?0 ? a ? 1, ? a 2 ? a, ? 1 ? ? ∵ ?a ? f ?( x) ? a ,∴ ? 2a ? 1 ? ? a, 即 ?a ? , 3 ? ?8a 2 ? 6a ? 1 ? ? a. ? ? ? 7 ? 17 7 ? 17 ?a? . ? 16 ? 16
此时,

??11 分

1 7 ? 17 ?a? .???????????????????????13 分 3 16
? 1 7 ? 17 ? , ? .????????????? 3 16 ? ?
14 分

综上可知,实数 a 的取值范围为 ?

第 47 页 共 50 页

47

B 组 ? 2007—2008 年联考题 一、选择题
1.(江苏省启东中学 2008 年高三综合测试一)函数 y=2x -3x -12x+5 在区间[0,3]上最大值与最小值分别 是 A. 5,-15 答案 A
x ?0
3 2

( B. 5,-4 C. -4,-15 D. 5,-16

)w.

2.(安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)若 lim 能为 A. x ; 答案 B
2

f ( x)( x ? 1) 存在,则 f ( x ) 不可 x2 ? x
( )

B. |

x |;

C. x ;

D. ? x ;

3.(江西省五校 2008 届高三开学联考)设函数

f ( x) ? sin(?x ?

?
6

) ? 1(? ? 0)的导数 f ?( x)
( )

的最大值为 3,则 f(x)的图象的一条对称轴的方程是 A. x C. x 答案

? ?
C

? ?
9 3

B. x D. x

? ?

? ?
6 2

4.(江西省五校 2008 届高三开学联考)已知 A.-4 答案 B B.8

f ? 3? ? 2, f ? ? 3? ? ?2, 则 lim
C.0

2x ? 3 f ? x ? x ?3 x ?3

(

)

D.不存在

5.(湖南省株洲市 2008 届高三第二次质检)已知函数 A.函数 f ( x ) 有 1 个极大值点,1 个极小值点 B.函数 f ( x ) 有 2 个极大值点,2 个极小值点 C.函数 答案 二、填空题 6.(2008 年高考数学各校月考)定积分 答案 3

y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图像如下,则
y





f ( x) 有 3 个极大值点,1 个极小值点 D.函数 f ( x ) 有 1 个极大值点,3 个极小值点
A
3? 2 0

?

| sin x | dx 的值是

.

? x 1

? x2

? x3 O

? x 4

x

o 3 2 2 7.(四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)已知函数 f ( x) ? x ? 3mx ? nx ? m O 在
x=-1 时有极值 0,则 m=_________;n=_________; 本题主要考查函数、导数、极值等基本概念和性质 0 答案 解析 m=2,n=9.

f ?( x ) =3x2+6mx+n

y

第 48 页 共 50 页

- 3

o

3

x

48

由题意,

f ?(?1) =3-6m+n=0
2

f(-1)=-1+3m-n+m =0 解得 ?

?m ? 1 ? m ? 2 或? ?n ? 3 ? n ? 9
f ?( x ) =3x +6x+3=3(x+1)2≥0 恒成立
2

但 m=1,n=3 时,

即 x=-1 时不是 f(x)的极值点,应舍去 8.(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)如图为函数

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象,
______.

f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数,则不等式 x ? f '( x) ? 0 的解集为______
答案 三、解答题

(??, ? 3) ? (0, 3)
3

8.(2007 年江苏省淮安市)已知函数 F(x)=|2x-t|-x +x+1(x∈R,t 为常数,t∈R) (1)写出此函数 F(x)在 R 上的单调区间; (2)若方程 F(x)-m=0 恰有两解,求实数 m 的值。

t t ? 3 ? ? 3 x 2 ? 3, x ? ? x ? 3x ? 1 ? t , x ? ? ? 3 2 ∴ F ' ( x) ? 2 解 (1) F ( x ) ?| 2 x ? t | ? x ? x ? 1 ? ? ? t t 2 3 ? ? 3 x ? 1, x ? ? ? x ? x ?1? t x ? 2 2 ? ?
由-3x +3=0 得 x1=-1,x2=1,而-3x -1<0 恒成立 ∴ i) 当
2 2

t <-1 时,F(x)在区间(-∞,-1)上是减函数 2 t t ≥-1 时,F(x)在区间(-∞, )上是减函数 2 2

在区间(-1,1)上是增函数,在区间(1,+∞)上是减函数 ii) 当 1> 在区间( iii)

t ,1)上是增函数,在区间(1,+∞)上是减函数 2 t 当 ≥1 时,F(x)在(-∞,+∞)上是减函数 2 t <-1 时,F(x)在 x=-1 处取得极小值-1-t, 2

(2)由(1)可知 i) 当

在 x=1 处取得极大值 3-t,若方程 F(x)-m=0 恰有两解, 此时 m=-1-t 或 m=3-t ii) 当-1≤

t3 t t t ? ?1, <1,F(x)在 x= 处取值为 ? 8 2 2 2

在 x=1 处取得极大值 3-t,若方程 F(x)-m=0 恰有两解, 此时 m= ?

t3 t ? ? 1 或 m=3-t 8 2

9.(2008 年四川省成都市一诊)已知函数

y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,其图像均在 x 轴

第 49 页 共 50 页

49

的上方, 对任意的 m、n ?[0, ??) , 都有 恒成立。 (Ⅰ)求 f(0)、f(-1)的值;

4 f (m ? n) ? [ f (m)]n ,且 f (2) ?

, 又当 x

? 0 时,其导函数 f ?( x) ? 0

? kx ? 2 ? ) ? ? 2 ,其中 k ? (?1,1). (Ⅱ)解关于 x 的不等式: ? f ( 2 ? 2 x ?4 ?
解 (1)由 f(m·n)=[f(m)] 得:f(0)=f(0×0)=[f(0)]
n 0

2

∵ 函数 f(x)的图象均在 x 轴的上方,∴ f(0)>0,∴ f(0)=1

……………………………3 分 …………………3 分

∵ f(2)=f(1× 2)=[f(1)]2=4,又 f(x)>0∴ f(1)=2,f(-1)=f(1)=2
2

? ? kx ? 2 ?? ? kx ? 2 ? ? kx ? 2 ? ? | kx ? 2 | ? ? 2? ? 2 ? f ? 2 (2) ? f ? ?? ? 2 ? f ? ? ? f (?1) ? f ? 2 ? ? f (1) 2 2 ?2 x ?4 ? ? x ?4? ? x ?4? ? ? 2 x ? 4 ??
又当 x

? 0 时,其导函数 f ' ? x ? ? 0 恒成立,∴ y ? f ? x ? 在区间 ?0, ?? ? 上为单调递增函数



kx ? 2 x ?4
2

? 1 ? kx ? 2 ? x2 ? 4 ? ? k 2 ? 1? x2 ? 4kx ? 0

①当 k

? 0 时, x ??0? ;

②当 ?1 ?

4k ? 4k ? ? 4k ? k ? 0 时, x ? x ? , 0? ; ?0? ? x ? 0 ,∴ x ? ? 2 ? 2 2 1? k ?1 ? k ? ? 1? k ?
,∴ x ?

③当 0 ?

4k ? 4k ? k ? 1 时, x ? x ? ?0?0? x? 2 ? 1? k 2 ? 1? k ?

4k ? ? 0, 2 ? ? 1? k ? ?

综上所述:当 k

? 4k ? ? 0 时, x ??0? ;当 ?1 ? k ? 0 时, x ? ? , 0? ; 2 ?1 ? k ?

当0 ?

4k ? ? k ? 1 时, x ? ?0, 。 2 ? 1? k ? ?

第 50 页 共 50 页

50


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