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北京市通州潞河中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题+Word版含解析


潞河中学 2016-2017-1 期中高二年级数学理科试题
一、选择题(共 8 道题,每个题 5 分,每题有且只有一个正确选项) 1.若 a ? R ,则“ a 2 ? a ”是“ a ? 1 ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B 【解析】 a 2 ? a ? a ? 0 或 a ? 1 ,所以“ a 2 ? a ”是“ a ? 1 ”的必要而不充分条件,故选 B . 2.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为( A. (0, 2) 【答案】D
?p ? 【解析】∵抛物线方程 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点坐标为 ? , 0 ? , ?2 ?

) . B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

) . C. (0,1) D. (1,0)

B. (2, 0)

∴抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标是 (1,0) .故选 D . 3.命题“若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ”的逆否命题是( A.若 a ? 1 ≤ b ,则 a ? b C.若 a ? 1 ≤ b ,则 a ≤ b 【答案】C 【解析】命题若“ p ”则“ q ”的逆命题是“ ?q ”则“ ?p ” , 所以“若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ”的逆否命题是: “若 a ? 1 ≤ b ,则 a ≤ b ” ,故选 C . 4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 值为( A. 15 B. 14 C. 7 D. 6 ) . ) .

B.若 a ? 1 ? b ,则 a ? b D.若 a ? 1 ? b ,则 a ? b

开始 a=1,S=1 a=2a S<10 否 输出S 结束
【答案】A 【解析】根据框图的循环结构,依次:
a ? 2 ?1 ? 2 , S ? 1 ? 2 ? 3 ;
a ? 2? 2 ? 4, S ? 3? 4 ? 7 ;

S=S+a 是

a ? 2 ? 4 ? 8 , S ? 8 ? 7 ? 15 ;跳出循环,

∴输出结果 S ? 15 ,故选 A . 5.命题 p : ?x ? R , x 2 ? ax ? a 2 ≥ 0 ;命题 q : ?x ? R? ,使得 x ? 命题的是( A. p ? q ) . B . ( ?p ) ? ( ? q ) C. p ? q D. (?p) ? q

1 ? 2 ,则下列命题中为真 x

【答案】C 【解析】 p : ?x ? R , x 2 ? ax ? a 2 ≥ 0 , 令 y ? x2 ? ax ? a 2 , ? ? a 2 ? 4a 2 = ?3a 2 ? 0 ,

1 ∴ p 是真命题, q : ?x ? R? , x ? ? 2 , x
1 1 ∵ x ? 0 ,∴ x ? ≥ 2 x ? ? 2 ,∴ q 是假命题, x x ∴ p ? q 是真命题.故选 C .

6.“ m ? 8 ”是“方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的是( ) . m ? 10 m ? 8 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线等价于 (m ? 10)(m ? 8) ? 0 , m ? 10 m ? 8

即 m ? 8 或 m ? 10 ,所以“ m ? 8 ”是“方程 的充分而不必要条件.故选 A . 7.下列极坐标方程表示圆的是( A. ? ? 【答案】D 【解析】 A 选项, ? ? ) .

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线” m ? 10 m ? 8

π 2

B. ? sin ? ? 1

C. ? (sin ? ? cos? ) ? 1

D. ? ? 1

π 化为直角坐标方程为 x ? 0( y ≥ 0) ,表示射线,故 A 不正确; 2 B 选项, ? sin ? 化为直角坐标方程是 y ? 1 ,表示直线,故 B 不正确;
2 2 D 选项, ? ? 1 化为直角坐标方程为 x ? y ? 1 ,表示圆,故 D 正确.

C 选项, ? (sin ? ? cos? ) ? 1 化为直角坐标方程为 x ? y ? 1 ,表示直线,故 C 不正确;

综上,故选 D . 8.已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0) , A(1,0) , B (1,1) ,C (0,1) , D , E 分别在线段 OC ,

AB 上运动,且 OD ? BE ,设 AD 与 OE ,设 AD 与 OE 交于点 G ,则点 G 的轨迹方程是 ( ) . A. y ? x(1 ? x)(0 ≤ x ≤1) B. x ? y(1 ? y)(0 ≤ y ≤1)
C. y ? x2 (0 ≤ x ≤1) D. y ? 1 ? x2 (0 ≤ y ≤1)

【答案】A 【解析】设 D(0, m)(0 ≤ m ≤1) ,则 E (1,1 ? m) ,

y ? 1, m 直线 DE 的方程为: y ? (1 ? m) x ,设 G ( x, y ) ,则由
所以直线 AD 的方程为 x ?

y ? ?x ? m ?x ? ? 1 m ,可得 ? , ? ? y ? (1 ? m)m ? y ? (1 ? m ) x ? 消去 m 可得 y ? (1 ? x) x(0 ≤ x ≤1) .故选 A .
二、填空题(共 6 道题,每个题 5 分,请把答案直接填在答题纸上) 9.命题“若 m ? 0 ,则圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? m ? 0 过原点”的否命题 是___________. ... 【答案】若 m ? 0 ,则圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? m ? 0 不过原点 【解析】∵若 p 则 q 的否命题是若 ?p 则 ?q , 所 以 “ 若 m ? 0 , 则 圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? m ? 0 过 原 点 的 否 命 题 ” 是 “ 若 m ? 0 , 则 圆

C : x2 ? y 2 ? 2x ? m ? 0 不过原点” .
10.椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 4 的离心率是___________. 【答案】
3 2

【解析】将 x2 ? 4 y 2 ? 4 化为标准方程 ∴ a ? 2 ,b ?1,c ? 3 , ∴离心率 e ?
c 3 ? . a 2

x2 ? y2 ? 1 , 4

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点和虚轴端点,若线段 FB 的 a 2 b2 中点在双曲线 C 上,则双曲线 C 的渐近线方程为___________. 【答案】 y ? ?2 x
11.已知点 F , B 分别为双曲线 C :
?c b? 【解析】设 F (c,0) , B(0, b) ,则线段 FB 的中点是 ? , ? , ?2 2?

?c? ?b? c2 ? ? ? ?5, 代入双曲线方程得: ? ,解得: ? 2 ? ? ? 2 ? ?1 a2 2 2 a b


2

2

a 2 ? b2 ? 5 ,∴ b ? 2a , a2

故双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ?2 x . 12.已知 M 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点, F 为抛物线焦点,过点 M 作准线 l 的垂线, 垂足为 E .若 EO ? MF ,点 M 的横坐标为 3 ,则 p ? ___________.

【答案】 3

p 【解析】根据题意,可知 M (3, ? 6 p ) , E(? , ? 6 p ) , 2 ∵ | OE |?| MF | ,
p ? p? ∴ ? ? ? ? (? 6 p ) 2 ? 3 ? , 2 2 ? ?

2

p2 p2 ,解得: p ? 3 . ? 6 p ? 9 ? 3p ? 4 4

? 2 t ?x ? ? x ? cos ? ? 2 ? 2 13. 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 圆 C 的参数方程为 ? (? ? y ? sin ? ?y ?1? 2 t ? ? 2

为参数) ,则圆心 C 到直线 l 的距离为___________. 【答案】
3 2 2

【解析】将直线的参数方程化为普通方程是: x ? y ? 1 ? 0 , 将圆的参数方程化为普通方程是: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 , ∴圆心 (2, 0) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?
3 2 ? 3 2 . 2

14.定义:如果对于实数 m ,使得命题“ ?P ? 曲线 C ,点 P 到直线 l 的距离 d ≤ m ”为真命 题,就把满足条件的 m 的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1 : y ? x 2 ? a 到直线
l : y ? x 的距离等于曲线 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 2 到直线 l : y ? x 的距离, 则实数 a ? ___________.

【答案】

9 4

【解析】圆 x2 ? ( y ? 4)2 ? 2 的圆心为 (0, ?4) ,半径为 2 , 圆心到直线 y ? x 的距离为

4 2

?2 2 ,

∴曲线 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 2 到直线 l : y ? x 的距离为 2 2 ? 2 ? 2 , 则曲线 C1 : y ? ? 2 ? a 到直线 l : y ? x 的距离等于 2 . 令 y1 ? 2 x ? 1 解得 x ?

1 ?1 1 ? ,故切点为 ? , ? a ? , 2 4 2 ? ?

切点到直线 y ? x 的距离为 2 ,

1 ?1 ? ? ? ? a? 即 2 ?4 ? 2

? 2

,解得 a ?

7 9 或a ?? . 4 4

7 ∵当 a ? ? 时,直线 y ? x 与曲线 C1 : y ? x 2 ? a 相交,故不符合题意. 4 9 综上所述, a ? . 4

三、解答题(共 6 道题,每道题都要写出必要、规范的解答过程) 15. (本题满分 13 分) 已知椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 4 上每一点的横坐标构成集合 A ,双曲线 x2 ? 2 y 2 ? m2 (m ? 0) 实轴上任 一点的横坐标构成集合 B .命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B . (Ⅰ)若命题 p 是命题 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. (Ⅱ)当 m ? 4 时,若命题 p ? q 为假命题,命题 p ? q 为真命题,求实数 x 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ) A{x | ?2 ≤ x ≤ 2} , B ? {x | x ≤ ? | m | 或 x ≥| m |} , 若 p 是 q 的充分不必要条件,则 A ? B , 则: | m |≤ ?2 或 ? | m |≥ 2 , m 无解, 故 m ?? . (Ⅱ)当 m ? 4 时, A{x | ?2 ≤ x ≤ 2} , B ? {x | x ≤ ?4 或 x ≥ 4} , 若命题 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,则 p 真 q 假或 p 假 q 真, 当 p 真 q 假时, x ? A ? (?R B) ? {x | ?2 ≤ x ≤ 2} ? {x | ?4 ? x ? 4}
? {x | ?2 ≤ x ≤ 2} ,

当 p 假 q 真时, x ? (?R A) ? B ? {x | x ? ?2 或 x ? 2} ? {x | x ≤ ?4 或 x ≥ 4}
? {x | x ≤ ?4 或 x ≥ 4} .

综上所述,实数 x 的取值范围是 ? ??, ?4? ? ? ?2,2? ? ?2, ?? ? . 16. (本题满分 13 分) 已知直线 l : x ? y ? 4 与 x 、 y 轴交于 A 、 B 两点. (Ⅰ)若点 A 、 B 分别是双曲线 E 的虚轴、实轴的一个端点,试在平面上找两点 C 、 D , 使得双曲线 E 上任意一点到 C 、 D 这两点距离差的绝对值是定值. (Ⅱ)若以原点 O 为圆心的圆 O 截直线 l 所得弦长是 2 ,求圆 O 的方程以及这条弦的中点. 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)∵直线 l 与 x 轴, y 轴交于 A , B 两点, ∴ A(4,0) , B(0, 4) , 又 A 、 B 分别是双曲线 E 的虚轴,实轴的一个端点, ∴双曲线中 a ? 4 , b ? 4 , c ? 4 2 , 由题可知 C , D 是双曲线的焦点, ∴ C (?4 2,0) , D(4 2,0) 或 C (0, ?4 2) , D(0,4 2) . (Ⅱ)圆心 (0, 0) 到直线 l : x ? y ? 4 的距离 d ?
AB ? ∴ r ? d2 ?? ? ? ?3, ? 2 ?
2

4 2

?2 2 ,

∴圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 9 , 设 AB 的中点为 ( m, n) 则:

?m ?m ? 2 ? ?1 ,解 ? , ?n ?n ? 2 ? m ? n ? 4 ? 即弦 AB 的中点为 (2, 2) .
17. (本题满分 13 分) 如图是一段圆锥曲线,曲线与两个坐标轴的交点分别是 A( ?2, 0) , B(2,0) , C 0,3) . (Ⅰ)若该曲线表示一个椭圆,设直线 l 过点 A 且斜率是 1 ,求直线 l 与这个椭圆的公共点 的坐标. (Ⅱ)若该曲线表示一段抛物线,求该抛物线的方程.

y C

A

O

B x

【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)若该曲线表示一个椭圆,则椭圆方程为 ∵直线 l 过 A( ?2, 0) 且斜率为 l , ∴直线 l 的方程为: y ? x ? 2 ,

y 2 x2 ? ?1, 9 4

y 2 x2 ( x ? 2)2 x2 ? ? 1 ,得 ? ?1, 9 4 9 4 10 化简得: 13x 2 ? 16 x ? 20 ? 0 ,解得 x ? ?2 或 x ? , 13 10 36 将 x ? 代入 y ? x ? 2 ,得 y ? . 13 13
将 y ? x ? 2 ,代入
? 10 36 ? 故直线 l 与椭圆的公共点的坐标为 (?2,0) , ? , ? . ? 13 13 ?

(Ⅱ)若该曲线是一段抛物线,则可设抛物线方程为: y ? a( x ? 2)( x ? 2) ,

3 将 (0,3) 代入得 ?4 a ? 3 ,解得: a ? ? , 4 3 ∴抛物线的方程为 y ? ? ( x ? 2)( x ? 2) , 4 3 2 即 y ? ? x ? 3. 4
18. (本题满分 13 分) 已知椭圆 G :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a > b > 0) 的右焦点为 (2 2,0) ,离心率为 .设直线 l 的斜率是 1 , 2 3 a b

且 l 与椭圆 G 交于 A , B 两点.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程. (Ⅱ)若直线 l 在 y 轴上的截距是 m ,求实数 m 的取值范围. (Ⅲ)以 AB 为底作等腰三角形,顶点为 P ( ?3, 2) ,求 △PAB 的面积. 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)由已知得 c ? 2 2 ,
c 6 ? , a 3

解得: a ? 2 3 ,又 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ,

x2 y 2 ? ?1. 12 4 (Ⅱ)若直线 l 在 y 轴上的截距是 m ,
∴椭圆的标准方程为 则可设直线 l 的方程为 y ? x ? m , 将 y ? x ? m 代入

x2 y 2 ? ? 1 得: 12 4

4 x 2 ? 6mx ? 3m2 ? 12 ? 0 ,

? ? 36m2 ? 16(3m2 ? 12) ? 0 ,解得: ?4 ? m ? 4 ,
故实数 m 的取值范围是: (?4, 4) . (Ⅲ)设 A 、 B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , AB 的中点为 E ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

3m m , y1 ? y2 ? , 2 2 3m m x0 ? ? , y0 ? , 4 4

因为 AB 是等腰 △PAB 的底边, 所以 PE ⊥ AB ,∴ k PE ? ?1 ,

m 4 ? ?1 ∴ ,解得: m ? 2 , 3m ?3 ? 4 2?
2 ∴ | AB |? (1 ? k 2 ) ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? ?3 2,

3? ? 1? 3 2 ? , | PE |? ? ?3 ? ? ? ? 2 ? ? ? 2? ? 2? 2 ?
∴ S△ PAB ?
1 1 3 2 9 | AB || PE |? ? 3 2 ? ? . 2 2 2 2

2

2

19. (本题满分 14 分) 已知曲线 E : x2 ? ny 2 ? n2 ,直线 l : y ? kx ? m (其中 k ≤ (Ⅰ)若 n ? R ,试判断曲线 E 的形状. (Ⅱ)若 n ? 2 ,以线段 OA 、 OB 为邻边作平行四边形 OAPB ,其中顶点 P 在曲线 E 上, O 为坐标原点,求 OP 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)当 n ? 0 时, x 2 ? 0 , x ? 0 ,曲线 E 的形状为直线 x ? 0 ;
2 )与曲线 E 相交于 A 、 B 两点. 2

当 n ? 0 时, 当 n ? 0 时,

x2 y 2 ? ? 1 ,表示以焦点在 x 轴上,以 2 n 为实轴,以 2 n2 ? n 为焦距的双曲线; n 2 ?n

x2 y 2 ? ?1, n2 n

当 n2 ? n ,即 n ? 1 时,表示焦点在 x 轴上,以 2 n 为长轴,以 2 n2 ? n 为焦距的椭圆; 当 n2 ? n ,即 0 ? n ? 1 时,表示焦点在 y 轴上,以 2 n 为长轴,以 2 n2 ? n 为焦距的椭圆; 当 n2 ? n ,即 n ? 1 时,表示圆心在原点,以 1 为半径的圆. (Ⅱ)当 n ? 2 时,曲线方程为:

x2 y 2 ? ?1, 4 2
2 ,∴ | OP |? 2 , 2

当 k ? 0 时, P(0, 2m) 在椭圆 C 上,计算得出 m ? ?
? y ? kx ? m ? 当 k ? 0 时,则 ? x 2 y 2 ,消去 y 化简整理得: ?1 ? ? ?4 2

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 4 ? 0 , ? ? 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 4) ? 8(4k 2 ? m2 ? 2) ? 0 ①,
设 A , B , P 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x0 , y0 ) , 则 x0 ? x1 ? x2 ? ?

4km 2m , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 x0 y2 ? 0 ?1, 4 2

因为点 P 在椭圆 C 上,所以

4k 2 m 2 2m 2 ? ? 1 ,化简得: 2m2 ? 1 ? 2k 2 , 从而 (1 ? 2k 2 ) 2 (1 ? 2k 2 ) 2

经检验满足①式,
2 2 又 | OP |? x0 ? y0 ? 4 ?

2 , 1 ? 2k 2

∵ 0 ?| k |? ∴ 1≤

2 ,∴ 1 ? 1 ? 2k 2 ≤ 2 , 2

2 ?2, 1 ? 2k 2

∴ 2 ?| OP |≤ 3 ,

? 综上, | OP | 的取值范围是 ? ? 2, 3 ? .
20. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 ( m 是大于 1 的常数)的左、右顶点分别为 A 、 B ,点 P 是椭圆上 2 m

位于 x 轴上方的动点,直线 PA 、 PB 与直线 l : x ? m2 分别交于 M 、 N 两点(设直线 PA 的斜 率为正数) . (Ⅰ)设直线 PA 、 PB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,求证 k1 ? k2 为定值. (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值. (Ⅲ) 判断“ m ? 2 ”是“存在点 P , 使得 △ PMN 是等边三角形”的什么条件? (直接写出结果)

y P A O B

l M x N

【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)设 P( x0 , y0 ) ,则 ∴直线 PA 的斜率 k1 ? ∴ k1k2 ?
2 x0 2 2 2 ? m2 y0 ? m2 , ? y0 ? 1 ,即 x0 2 m

y0 y0 ,直线 PB 的斜率 k2 ? , x0 ? m x0 ? m

2 y0 y0 y2 y0 1 ? ? 2 0 2 ? ?? 2 , 2 2 x0 ? m x0 ? m x0 ? m ?m y0 m

故 k1k 2 为定值 ?

1 . m2

(Ⅱ)直线 PA 方程为 y ? k1 ( x ? m) ,∴ M 点坐标 (m2 , k1 (m2 ? m)) , 直线 PB 方程为 y ? k2 ( x ? m) ,∴ N 点坐标 (m2 , k2 (m2 ? m)) , ∴ MN ? k1 (m2 ? m) ? k2 (m2 ? m) ,
2 ∴ MN ? k1 (m ? m) ?

1 (m 2 ? m) k1m 2

? k1 (m2 ? m) ?

1? 1? 1? 1? 2 2 ?1 ? ? ≥ 2 k1 (m ? m) ? ?1 ? ? ? 2 m ? 1 . k1 ? m ? k1 ? m ?

故线段 MN 长度的最小值为 2 m2 ? 1 . (Ⅲ) “ m ? 2 ”是“存在点 P ,使得 △ PMN 是等边三角形”的既不充分也不必要条件.


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