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2015-2016学年度南昌市高三第一轮复习训练题数学(15)(理科 空间向量)1


2015-2016 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题



学(理十五) (空间向量)
???? ? ???? ?

命题人: 学校: 审题人: 学校: 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 在正方体 ABCD ?

A M、 N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点, 则 sin ? CM , D1N ? 1B 1C1D 1 中, 的值为 A.

1 9

B.

4 5 9

C.

2 5 9

D.

2 3

2.如图所示,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于 a,点 E、F、G 分别为 AB、AD、DC 的中点,则 a2 等于

??? ? ???? ??? ? ??? ? CA C.2 FG ·
A.2 BA ·AC

??? ? ??? ? ? ???? ??? CB D.2 EF ·

B.2 AD · BD

3.设 A 在 x 轴上,它到点 P(0, 2,3) 的距离等于到点 Q (0,1, ?1) 的距离的两倍,那么 A 点的 坐标是 A.(1,0,0)和( -1,0,0) B.(2,0,0)和(-2,0,0)

1 1 2 2 ,0,0)和( ? ,0,0) D.( ? ,0,0)和( ,0,0) 2 2 2 2 AC 、 AB 所 成 角 均 为 60? , ?BAC ? 90? , 且 4 . 三 棱 柱 ABC? A 1与 1 B 1 C 1 中 , AA
C.(

AB ? AC? AA 1 ,则 A 1B 与 AC1 所成角的余弦值为
A.1 B.-1 C.

3 3
?

D.-

3 3
?

5.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,AC=2,BC= 3,D、E 分别是 AC1 和 BB1 的中 点,则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为 A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 6. A、 B 是直二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上的两点, 分别在 ? , ? 内作垂直于棱 l 的线段 AC, BD, 已知 AB=AC=BD=1,那么 CD 的长为 A.1 B.2 C. 2 D. 3 7.已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 内的射影为? ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为 A.
? ?

1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

8. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BCA=90° , M, N 分别是 A1B1, A1C1 的中点, BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为 A. 1

10

B. 2

5

C.

30 10

D.

2 2

9.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 成角的正弦值等于 2 3 2 1 A. B. C. D. 3 3 3 3 10.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,则平面 AB 1C 与平面 AC 1 1 D 间的距离 A.

3 6

B.

3 3

C .

2 3 3

D.

3 2

11. 已知在半径为 4 的球面上有 A、 B、 C、 D 四个点,且 AB=CD=4,则四面体 ABCD 体积最大值为

2 3 4 3 32 3 B. C. 4 3 D. 3 3 3 M 是 BC 的中点,P 是 12.正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面边长为 2 2 , AA 1 ? 2 ,点 PM ? 2 ,P 到 A1D1 和 AD 的距离相等,则点 P 的 平面 A 1BCD 1 内的一个动点,且满足
A. 轨迹的长度为 A. ? B.

2 ? 3

C. 2 2

D. 2 12

11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案 二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。 13.若 a ? (2,3, ?1) , b ? (?2,1,3) ,则 a , b 为邻边的平行四边形的面积为

?

?

? ?

? ? ? ? 14.已知向量 a ? (2, ?3, 0) , b ? (k ,0,3) ,若 a , b 成 1200 的角,则 k ?
?

. .

15. 在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? PB ? PC ? 12 ,?ACB ? 30 ,AB ? 6 , 则 PB 与平面 ABC 所成角的余弦值为 .. 16.正三棱锥 S ? ABC 中,侧棱与底面所成角的余弦值为

3 ,点 M , N 分别为棱 SC , SA 3

的中点,则异面直线 AM 与 BN 所成角的余弦值为_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 17.如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AC ? BC ?

1 AA1 , 2
A1

C1 B1

D 是棱 AA1 的中点, DC1 ? BD
(1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

D

C
A

B

18.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 底面 ABCD , E 是 PC 的 中点,已知 AB ? 2 , AD ? 2 2 , PA ? 2 ,求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小。

P

A
B

E

D

C

19 . 如 图 , 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , AC ? AB



AB ? 2 AA1 , M 是 AB 的中点,△ A1MC1 是等腰三角形, D 为 CC1 的中点, E 为 BC 上一点. CE (1)若 DE ∥平面 A1MC1 ,求 ; EB (2)求直线 BC 和平面 A1MC1 所成角的余弦值.

20.如图:在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F,M,N 分别是棱 AB,AD,A1B1, A1D1 的中点,点 P,Q 分别在棱 DD1,BB1 上移动,且 DP=BQ=λ(0<λ<2). (1)当 λ=1 时,证明:直线 BC1∥平面 EFPQ. (2)是否存在 λ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出 λ 的值; 若不存在,说明理由.

21.如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 ,

?ABC ? ?DBC ? 1200 ,E、F 分别为 AC、DC 的中点.
(1)求证: EF ? BC ; (2)求二面角 E ? BF ? C 的正弦值.

A

E B
C



D

F

22.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 4 , AB ? 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、 AC 为直径的球面交 PD 于点 M ,交 PC 于点 N . (Ⅰ)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (Ⅱ)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值; (Ⅲ)求点 N 到平面 ACM 的距离.

2015-2016 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(理十五)参考答案
一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1 2 3 4 5 6 7 题号 B B A C C D B 答案 二.填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分 13. 6 5 14. ? 39 15. 8 C 9 A 10 B 11 D 12 D

1 2

16.

1 6

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 17.解: (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC 得: ?ADC ? 45? ? ? 同理: ?A 1DC1 ? 45 ? ?CDC1 ? 90 得: DC1 ? DC, DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A 1 ? BC ? AC 取 A1B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H ,连接 C1O, C1H
A1

C1 B1

AC 1 1 ?B 1C1 ? C1O ? A 1B 1 ,面 A 1B 1C1 ? 面 A 1BD ? C1O ? 面 A 1BD OH ? BD ? C1H ? BD 得:点 H 与点 D 重合 且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角
2a ? 设 AC ? a ,则 C1O ? , C1D ? 2a ? 2C1O ? ?C1DO ? 30 2 ? 所以二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30

D

C
A

B

18.解: (1)∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥CD,又∵CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PD, 又∵ PD ?

2 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 3 ,CD=2, 1 ∴△PCD 的面积为 ? 2 ? 2 3 ? 2 3 。 2
如图所示,建立空间直角坐标系,

P

z

2 2 ,0),E(1, 2 ,1),∴ AE =(1, 2 ,1), 则 B(2,0,0),C(2,

BC =(0, 2 2 ,0),设 AE 与 BC 的夹角为 ? ,则 ??? ? ??? ? AE ? BC 4 2 ,, cos ? ? ??? ? ? ??? ? = 2 AE BC 2 ? 2 2

A B

E

D y

? ? 又∵0< ? ≤ ,∴ ? = 。 2 4 19.解: (1)因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, ∴ AA1 ^ 平面 ABC ,又 AC ? AB

x

C

z

∴以 A 为坐标原点, x, y, z 轴,建立如图空间直角坐标系. 分别以 AB, AA 1 , AC 所在直线为 设 AB ? 2 AA 1 ? 2 ,又三角形 A 1MC1 是
高三数学(理十五)第 7 页 共 6 页

y

x

2 易得 A1 (0,1,0) , M (1,0,0) , C1 (0,1, 2) , uuuu r uuuu r 所以有 A1M = (1, - 1,0) , AC 1 1 = (0,0, 2) r uuuu r ì ? ì x- y = 0 r ? n ? A M 0 ? 1 设平面 A1MC1 的一个法向量为 n = ( x, y, z) ,则有 í r uuuu ,即 ? , í r ? ? 2 z = 0 ? ? ? ? ? n ?A1C1 0 r CE 1 2? 2 ? ? , E( 令 x = 1 ,有 n = (1,1,0) 设 , 0, ) ,又 D (0, , 2) , EB 2 1? ? 1? ? uuu r r ???? 2? 1 2 ∴ DE ? ( ,? , ? 2) 若 DE ∥平面 A1MC1 ,则 n ^ DE , 1? ? 2 1? ? CE 1 2? 1 1 ? ? ?0, 所以有 解得 ? ? ,∴ EB 3 1? ? 2 3 r (2)由(1)可知平面 A1MC1 的一个法向量是 n = (1,1,0) , ??? ? B(2, 0, 0) , C(0,0, 2) ,求得 BC ? (?2,0, 2) ? 设直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角为 ? , ? ? [0, ] , 2 ? ???? ? 6 | n ? BC | 2 3 ??? ? ? 则 sin ? ? ? , 所以 cos q = ? 3 3 | n | ? | BC | 2? 6
等腰三角形,所以 A 1M = AC 1 1= ∴直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角的余弦值为

6 . 3

20.解:以 D 为原点,射线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴的正 半轴建立如图③所示的空间直角坐标系. 由已知得 B(2, 2, 0), C1(0, 2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ). → BC1=(-2,0,2),FP=(-1,0,λ),FE=(1,1,0). → (1)证明:当 λ=1 时,FP=(-1,0,1),因为BC1=(-2,0,2), → → 所以BC1=2FP,即 BC1∥FP. 而 FP?平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ,故直线 BC1∥平面 EFPQ. (2)设平面 EFPQ 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ? ? ?FE·n=0, ?x+y=0, 则由? 可得? ?-x+λz=0. → ? ? n=0 ?FP· 于是可取 n=(λ,-λ,1). 同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m=(λ-2,2-λ,1). 若存在 λ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角, 则 m· n=(λ-2,2-λ,1)· (λ,-λ,1)=0, 2 即 λ(λ-2)-λ (2-λ)+1=0,解得 λ=1± . 2 2 故存在 λ=1± ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角. 2 21.解:(1)? BC ? BD, DF ? FC, 且?CBD ? 120??ΔBCF 为RT 三角形, BF ? FC
高三数学(理十五)第 8 页 共 6 页

同理 ? BC ? BA, AE ? EC, 且?ABC ? 120??ΔBCE为RT 三角形, BE ? EC 1 ? ΔBCF 与ΔBCE全等,设H 在BC上,且FH ? BC, 则EH ? BC, BH ? 2 ? FH ? BC, EH ? BC, FH ? EH ? H ? BC ? 面EFH ? BC ? EF 所以,EF ? BC
(2) 由()知 1 , EH ? HC ? HF ?分别以HC, HF, EH为x, y, z轴建立坐标系.BE ? BF ? 2

?? 显然,面BCF的一个法向量n1 ? (0,0,1) ??? ? 1 ? 1 3 3 3 1 3 ??? E (0,0, ), F (0, ,0), B(- ,0,0), BE ? ( ,0, ), BF ? ( , ,0) 2 2 2 2 2 2 2 ?? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? 1 3 1 3 面BEF的法向量n2 ? ( x, y, z )满足: n2 BE ? n2 BF ? 0,即 x ? 0 ? z? x? y ?0?0 2 2 2 2 ?? ? 解出一个法向量n2 ? (- 3,1,1) ???? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 n2 0 ? 0 ?1 5 2 5 ? ? ? cos ? n1, n2 ?? ?? ?? ? , sin ? n1, n2 ?? 5 | n1 || n2 | 0 ? 0 ?1 3 ?1?1 5
所以,二面角E -BF -CD的正弦值sinθ ? 2 5 5

22.解: (Ⅰ)依题设知,AC 是所作球面的直径,则 AM⊥MC。又因为 P A⊥平面 ABCD,则 PA⊥CD,又 CD⊥AD, 所以 CD⊥平面PAD,则 CD⊥AM, 所以 A M⊥平面 PCD, 所以平面 ABM⊥平面 PCD z (Ⅱ)如图所示,建立空间直角坐标系, P 则 A(0,0,0) , P(0,0, 4) , B(2,0,0) ,

C (2,4,0) , D(0,4,0) , M (0,2,2) ; ? 设平面 ACM 的一个法向量 n ? ( x, y, z) , ? ??? ? ? ???? ? ?2 x ? 4 y ? 0 由 n ? AC, n ? AM 可得: ? , ?2 y ? 2 z ? 0 ? 令 z ? 1 ,则 n ? (2, ?1,1) . ??? ? ? CD ? n 6 ? ? ? 设所求角为 ? ,则 sin ? ? ??? . 3 CD n
(Ⅲ)由条件可得, AN ? NC .
2 在 Rt ?PAC 中, PA ? PN ? PC ,所以 PN ?

N

M

A

D

y
O

B

C

x

8 10 NC 5 ? , , 则 NC ? PC ? PN ? , 3 3 PC 9 5 所以所求距离等于点 P 到平面 ACM 距离的 , 9 ??? ? ? AP ? n 2 6 5 10 6 ? ? 设点 P 到平面 ACM 距离为 h 则 h ? , 所以所求距离为 h ? . 3 9 27 n

高三数学(理十五)第 9 页 共 6 页


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