数列求和的基本方法和技巧( 数列求和的基本方法和技巧(一)
研究数列求和，首先要注意：数列的特征，认清是否是我们熟悉的数列： 研究数列求和，首先要注意：数列的特征，认清是否是我们熟悉的数列：等 差数列和等比数列 公式法： 一.公式法： 公式法 n(a1 + an ) n(n 1) 1、 等差数列求和公式： S n = = na1 + d 2 2
(q = 1) na1 n 2、等比数列求和公式： S n = a1 (1 q ) a1 a n q = (q ≠ 1) 1 q 1 q
3、 S n =
1 ∑ k = 2n(n + 1) k =1
n
4、 S n =
∑k
k =1
n
2
1 = n(n + 1)(2n + 1) 6
5、 S n =
∑k
k =1
n
3
1 = [ n(n + 1)]2 2 1 2 3 n ，求 x + x + x + + x + 的前 n 项和. log 2 3
1 1 log 3 x = log 3 2 x = log 2 3 2
[例 1] 已知 log 3 x = 例
解：由 log 3 x =
由等比数列求和公式得
Sn = x + x2 + x3 + + xn
（利
用常用公式）
1 1 (1 n ) x(1 x ) 2 2 ＝1－ 1 ＝ ＝ 1 1 x 2n 1 2
n
[例 2] 设 Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求 f ( n) = 例 解：由等差数列求和公式得 S n =
Sn 的最大值. (n + 32) S n +1
1 1 n(n + 1) ， S n = (n + 1)(n + 2) 2 2
（利
用常用公式）
∴ f ( n) =
Sn n ＝ 2 (n + 32) S n +1 n + 34n + 64
＝
1 n + 34 + 64 n
＝
( n
1 8 n
) 2 + 50
≤
1 50
∴ 当
n
8 1 ，即 n＝8 时， f ( n) max = 50 8
二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 {an bn}的前 n 项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
2 3 n 1
[例 3] 求和： S n = 1 + 3 x + 5 x + 7 x + + ( 2n 1) x 例 解：由题可知，{ ( 2n 1) x 通项之积 设
n 1
………………………①
n 1
}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ x
}的
xS n = 1x + 3 x 2 + 5 x 3 + 7 x 4 + + (2n 1) x n
……………………….
②
（设制错位）
① － ② 得
(1 x) S n = 1 + 2 x + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + + 2 x n1 (2n 1) x n
（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得： (1 x ) S n = 1 + 2 x
1 x n 1 (2n 1) x n 1 x
∴
Sn =
(2n 1) x n +1 (2n + 1) x n + (1 + x) (1 x) 2
[例 4] 求数列 例
2 4 6 2n , 2 , 3 , , n , 前 n 项的和. 2 2 2 2 2n 1 解：由题可知，{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n = + 2 + 3 + + n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n ……………………………… ② S n = 2 + 3 + 4 + + n +1 2 2 2 2 2
① － ② 得
（设制错位）
1 2 2 2 2 2 2n (1 ) S n = + 2 + 3 + 4 + + n n +1 2 2 2 2 2 2 2 1
n 1
（错位相减）
∴ 练习：
2 n+2 S n = 4 n1 2
= 2
2n 2 n +1
求：Sn=1+5x+9x2++(4n-3)xn-1
解：Sn=1+5x+9x2++(4n-3)xn-1 ①两边同乘以 x，得
x Sn=x+5 x2+9x3++(4n-3)xn
① ②
①-②得， （1-x）Sn=1+4（x+ x2+x3++ 当 x=1 时，Sn=1+5+9++（4n-3）=2n2-n 当 x≠1 时，Sn= 1-x [
1
x n ）-（4n-3）xn
4x(1-xn) +1-（4n-3）xn ] 1-x
三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ， 再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 (a1 + an ) . [例 5] 求证： C n + 3C n + 5C n + + ( 2n + 1)C n = ( n + 1) 2 例
0 1 2 n 0 1 2 n n
证明： 设 S n = C n + 3C n + 5C n + + ( 2n + 1)C n ………………………….. ① 把①式右边倒转过来得
n n 1 0 S n = (2n + 1)C n + (2n 1)C n 1 + + 3C n + C n
（反序）
又由 Cn = Cn
m nm
可得
0 1 n n S n = (2n + 1)C n + (2n 1)C n + + 3C n 1 + C n …………..…….. ② 0 1 n n 2 S n = (2n + 2)(C n + C n + + C n 1 + C n ) = 2(n + 1) 2 n
① + ② 得
（反序相加）
∴
2 2
S n = (n + 1) 2 n
2 2 2
[例 6] 求 sin 1 + sin 2 + sin 3 + + sin 88 + sin 89 的值 例 解：设 S = sin 1 + sin 2 + sin 3 + + sin 88 + sin 89 …………. ①
2 2 2 2 2
将①式右边反序得
S = sin 2 89 + sin 2 88 + + sin 2 3 + sin 2 2 + sin 2 1
（反序）
又因为 sin x = cos(90 x ), sin 2 x + cos 2 x = 1 ① + ②
…………..
②
得
（反序相加）
2 S = (sin 2 1 + cos 2 1 ) + (sin 2 2 + cos 2 2 ) + + (sin 2 89 + cos 2 89 ) ＝89
∴ S＝44.5 练习： 已知 lg(xy)=a，求 S，其中
n
S=
解: 将和式 S 中各项反序排列，得
y gl + + ) 2 y 2 n x (gl + ) y 1 n x (gl + n x gl
2S= lg( xy) n + lg(xy)n + + lg( xy) n (n+1)项 =n(n+1)lg(xy)
1
s = lg y n + lg( x n 1 y ) + lg( x n 2 y 2 ) + + lg x n
将此和式与原和式两边对应相加，得
∵ lg(xy)=a
∴ S= 2 n(n+1)a