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2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题及答案


2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛
安徽省预赛的命题工作是由安徽省数学会负责,预赛试题所涉及的知识范围,完 全参考了《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求,但在方法 的要求上有所提高, 主要考查学生对所学的基本知识和基本技能的掌握情况,以及灵活 运用知识的综合能力. 试题包括 8 道填空题,4 道解答题,满分 150 分,考试时间为 2 小时.

印制试卷严格按照联赛的要求,秘密印卷,采用大包 30 份,小包 10 份的包装,通 过保密渠道,在 9 月 9 日左右寄达各市教研室. 各市教研员在收到试题后派专人保管, 并在考前 5 分钟拆封. 安徽省预赛于 2011 年 9 月 10 日举行,在这个值得庆贺日子“教师节” ,我省 17 各地市的高中数学老师都在认真地监考. 共有 31078 名学生在各地、县中学参加考试. 初赛结束后,各地教研员认真组织改卷、初评和复评工作,坚持公开、公正、公平的原 则,最终复评后确定了 1130 人有参加 10 月 16 日到中国科学技术大学参加全国高中数 学复赛的资格.


一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)



1.以 X 表示集合 X 的元素个数 . 若有限集合 A, B, C 满足 A ? B ? 20 , B ? C ? 30 ,

C ? A ? 40 ,则 A ? B ? C 的最大可能值为

.

2.设 a 是正实数. 若 f ( x) ? x 2 ? 6ax ? 10 a 2 ? x 2 ? 2ax ? 5a 2 ,x ? R 的最小值为 10, 则a ? .

3 .已知实系数多项式 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 满 足 f (1) ? 2 , f (2) ? 4 , f (3) ? 6 ,则 f (0) ? f (4) 的 所有可能值集合为 .

4 .设展开式 (5x ? 1) n ? a0 ? a1 x ? ? ? an x n,n ? 2 0 1 1 . 若 a2011 ? max(a0 , a1 ,?, an ) ,则 n ? .
第5题

5.在如图所示的长方体 ABCD ? EFGH 中,设 P 是矩 形 EFGH 的中心, 线段 AP 交平面 BDE 于点 Q . 若
AB ? 3 , AD ? 2 , AE ? 1 ,则 PQ ?

.
第6题

6.平面上一个半径 r 的动圆沿边长 a 的正三角形的外 侧滚动,其扫过区域的面积为 .

7.设直角坐标平面上的点 ( x, y ) 与复数 x ? y i 一一对应 . 若点 A, B 分别对应复数 z, z ?1 ( z?R ) ,则直线 AB 与 x 轴的交点对应复数 (用 z 表示).

8.设 n 是大于 4 的偶数. 随机选取正 n 边形的 4 个顶点构造四边形,得到矩形的概率 为 .

二、解答题(第 9—10 题每题 22 分,第 11—12 题每题 21 分,共 86 分) 9.已知数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 1 , a n ? 1 ?
a1 ? ? ? a n ? 2 (n ? 3) ,求 an 的通项公式. 4

10.已知正整数 a1 , a2 ,?, an 都是合数,并且两两互素,求证:

1 1 1 1 ? ??? ? . a1 a 2 an 2

11.设 f ( x) ? ax3 ? bx ? c ( a, b, c 是实数) ,当 0 ? x ? 1 时, 0 ? f ( x) ? 1. 求 b 的最大可 能值.

12. 设点 A(?1,0),B(1,0),C (2,0) ,D 在双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左支上,D ? A , 直线 CD 交 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右支于点 E . 求证:直线 AD 与 BE 的交点 P 在直线 x ?
1 上. 2

本文档选自华东师范大学出版社的《高中数学联 赛备考手册(2012) (预赛试题集锦) 》 ,该书收录 了 2011 年各省市预赛试题和优秀解答。 预赛命题人 员大多为各省市数学会成员,试题在遵循现行教学 大纲,体现新课标精神的同时,在方法的要求上有 所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题工 作,试题对高考有一定的指导作用,本书架起了联赛与高考的桥梁,是一 本不可或缺的备考手册。

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解答
1. 10. 2. 2. 3. {32}. 4. 2413. 5. 6. 7. 8.
17 . 4
6ar ? 4 π r 2 .

z?z . 1 ? zz

3 . (n ? 1)(n ? 3)
a1 ? ? an ? 2 a ? an ?1 ? n ? 2 4 4

9. an ? 1 ?

? an ?

an?1 1 ? a ? ? ? an?1 ? n?2 ? ? 2 2? 2 ?

?

1 2n?1
n 2 n ?1

? 2 n ?1 a n ? 2 n ? 2 a n ?1 ? 1 ? ? ? n ? a n ?

.

2 10.设 ak 的最小素因子 p k ,因为 ak 不是素数,所以 ak ? pk . 于是

?a ?? p
k ?1 k k ?1

n

1

n

1
2 k

?

1 n 1 ?? 4 k ? 2 (2k ? 1) 2

1 n 1 ? ?? 4 k ? 2 (2k ? 1) 2 ? 1 1 1 1 ? ? ? 2 4n 2
? f (0) ? c ? ? 11.由 ? f (1) ? a ? b ? c ? a b 1 ? ? f ( 3) ? 3 3 ? 3 ?c

可知

2b ? 3 3 f (

1 3

) ? f (1) ? (3 3 ? 1) f (0) ? 3 3

f ( x) ? 3 23 ( x ? x 3 ) 满足题设, b 的最大可能值为 3 2 3 .

12.设 D( x1 , y1 ),E( x2 , y 2 ),P( x, y) ,直线 CD 的方程 y ? k ( x ? 2) ,则

x2 ? k 2 ( x ? 2)2 ? 1 ,所以
x1 ? x2 ? ?4k 2 1 ? 4k 2 5 , x x ? ? ? ?1 ? ( x1 ? x2 ) , ① 1 2 2 2 1? k 1? k 4

y1 y ( x ? 1) ? y ? 2 ( x ? 1) , x1 ? 1 x2 ? 1

所以
y2 y ? 1 x ? 1 x1 ? 1 x? 2 ? y2 y ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 2 x1 ? 2 ? x2 ? 1 x1 ? 1 2 x1 x2 ? 3x1 ? x2 ? 。 x2 ? 2 x1 ? 2 3x2 ? x1 ? 4 ? x2 ? 1 x1 ? 1

把①代入上式,得 x ?

1 . 2


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