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高二文科数学选修1-1综合复习试题(含答案)


高二文科数学选修 1-1 综合复习试题
一、选择题:1、已知 a 、 b 为实数,则 2 A.必要非充分条件 2、给出命题:若函数 真命题的个数是 3、已知命题 取值范围是 (
a

? 2 b 是 log 2 a ? log 2 b 的
C.充要条件

(

)

B.

充分非必要条件

D.既不充分也不必要条件

y ? f ( x) 是幂函数,则函数 y ? f ( x) 的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,
)A.0 B.1 C.2 D.3 是真命题,则实数 a 的

p :" ?x ? ?1, 2? , x 2 ? a ? 0" ,命题 q :" ?x ? R, x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0" ,若命题“ p ? q ”
( )A. ( ??, ?2] ? {1} B. ( ??, ?2] ? [1,2] C. [1, ?? ) ( D. [?2,1]

4、设函数

f ( x ) 在定义域内可导, y ? f ( x ) 的图象如左图所示,则导函数 y ? f ?( x) 可能为
y y y

)

y O A

y

O

x

x

O B

x

O C

x

O D

x

5、设 F1 和 F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, a 2 b2
B. 2 C.

若 F ,F2 , P(0, 2b) 是正三角形的三个顶点,则双曲线的 1

离心率为(

)

A.

3 2

5 2

D.3

6、设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 为( )A.

y 2 ? ax(a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△ OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程
C.

y2 ? ? 4x

B.

y 2 ? ? 8x

y2 ? 4x

D.

y 2 ? 8x
垂直于

7、如图,曲线

y ? f ( x) 上任一点 P 的切线 PQ 交 x 轴于 Q ,过 P 作 PT

x 轴于 T
D.

,若

?PTQ 的面积为
8、已知

1 ,则 y 与 y ? 的关系满足 2



)A.

y ? y? B. y ? ? y?

C.

y ? y ?2

y 2 ? y?

1 y ? f (x) 是奇函数,当 x ? (0,2) 时, f ( x ) ? ln x ? ax(a ? ) ,当 x ? ( ?2,0) 时, f (x) 2 1 1 1 的最小值为 1 ,则 a 的值等于 ( ) A. B. C. 3 4 2

D. 1

9、设函数

y ? f ( x ) 在 (a, b) 上的导函数为 f ?( x ) , f ?( x ) 在 (a, b) 上的导函数为 f ??( x ) ,若在 (a, b) 上, f ??( x) ? 0 恒成立,
f ( x ) 在 (a, b) 上为“凸函数”.已知当 m ? 2 时, f ( x ) ?
(

则称函数函数

1 3 1 2 x ? mx ? x 在 (?1,2) 上是“凸函数”.则 f ( x ) 在 6 2

(?1,2) 上

)A.既有极大值,也有极小值 B.既有极大值,也有最小值 C.有极大值,没有极小值 D.没有极大值,也没有极小值

二、 填空题: 10、 某物体运动时,其路程 S 与时间 t (单位: s )的函数关系是 S 11、设 P 为曲线 C :

? 2(1 ? t )2 ,则它在 t ? 2s 时的瞬时速度为

.

y ? x 2 ? x ? 1上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 [?1,3] ,则点 P 纵坐标的取值范围是 ...

1

12、已知椭圆

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 与双曲线 2 ? 2 ? 1 (m ? 0, n ? 0) 有相同的焦点 ( ? c, 0) 和 (c,0) ,若 c 是 a 、 a2 b m n
.

m 的等比中项, n 2 是 2m 2 与 c 2 的等差中项,则椭圆的离心率是
13、现有下列命题:①命题“ ?x ? R, x ②若
2

? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”;

A ? ? x | x ? 0? , B ? ? x | x ? ?1? ,则 A ? (?R B) = A ;③函数 f ( x) ? sin( x ? ? )( ? 0) 是偶函数的充要条件是 ? ?

? ? k ? ? (k ? Z) ;④若非零向量 a, b 满足 a = ? b, b = ? a ( ? ? R ),则 ? =1.
题的序号都填上) 三、 解答题: (12 分)设命题 p:不等式 14、

? 2

其中正确命题的序号有____.(把所有真命

1 2 x ? 1 ? x ? a 的解集是 {x ? ? x ? 3} ;命题 q:不等式 4 x ? 4ax 2 ? 1的解集是 ? , 3

若“p 或 q”为真命题,试求实数 a 的值取值范围.

15、(12 分)已知函数 立.

1 1 f ( x) ? ax3 ? x 2 ? cx ? d ( a 、 c 、 d ?R )满足 f (0) ? 0, f ' (1) ? 0 且 f ' ( x) ? 0 在 R 上恒成 3 4 3 2 b 1 (1)求 a 、 c 、 d 的值; (2)若 h( x) ? x ? bx ? ? ,解不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 4 2 4
·

O2

16.(12 分)如图所示,已知圆 O1 与圆 O2 外切,它们的半径分别为 3、1, 圆 C 与圆 O1、圆 O2 外切. (1)建立适当 的坐标系,求圆 C 的圆心的轨迹方程;(2)在(1)的坐标系中,若圆 C 的半径为 1,求圆 C 的方程.

O1

17、(12 分)某工厂有一段旧墙长 14m,现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为 126m2 的厂房,工程条件是: ①建 1m 新墙的费用为 a 元;②修 1m 旧墙的费用为

a a 元;③拆去 1m 的旧墙,用可得的建材建 1m 的新墙的费用为 元,经讨论有两 4 2

种方案:(1)利用旧墙一段 x m(0<x<14)为矩形一边;(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长 x≥14;问如何利用旧墙建墙费用最省?试比较 (1)(2)两种方案哪个更好.

y2 x2 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、 下焦点,其中 F1 也是抛物线 C2 : x ? 4 y 的焦点,点 M a 2 b2 5 2 2 2 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且 | MF |? .(1)求椭圆 C1 的方程;(2)已知点 P(1,3) 和圆 O : x ? y ? b ,过点 P 的动 1 3 y ??? ? ??? ???? ? ??? ? 直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A, B ,在线段 AB 上取一点 Q ,满足: AP ? ?? PB , AQ ? ? QB ,( ? ? 0 且 ? ? ?1 ). 求证:点 Q 总在某定直线上.
18、 分)已知 F1 、F2 分别为椭圆 C1 : (12

M

F1 O

·
x

19、(14 分)已知函数

f ( x ) ? ax ? bx ? c (其中 a, b, c 均为常数, x ?R ).当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 的极植为
3 2


2

?3 ? c .(1)试确定 a, b 的值;(2)求 f ( x ) 的单调区间;(3)若对于任意 x ? 0 ,不等式 f ( x ) ? ?2c 2 恒成立,求 c 的取值范围.

2

选修 1-1 综合测试题参考答案 1.A

2a ? 2b ? a ? b ,当 a ? 0 或 b ? 0 时,不能得到 log 2 a ? log 2 b ,反之成立.
p?q”

2.B 原命题为真,其逆命题为假,∴否命题为假,逆否命题为真. 3.A “ 为真,得

p 、 q 为真,∴ a ? ( x 2 ) min ? 1 ;△ 4a 2 ? 4(2 ? a ) ? 0 .

得 a ? ?2 或 a 4.D 当 x

?1.

? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x ) 的符号变化依次为+、-、+.

5B 由 tan

?
6

?

c 3 c 2 2 2 2 ? 有 3c ? 4b ? 4(c ? a ) ,则 e ? ? 2 ,故选 B. 2b 3 a

a a y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) ,则直线 l 的方程为 y ? 2( x ? ) , 4 2 a 1 a a 它与 y 轴的交点为 A (0, ? ) ,所以△ OAF 的面积为 | | ? | |? 4 , 2 2 4 2
6B 抛物线 解得 a ? ?8 .所以抛物线方程为

y 2 ? ? 8x .

7D

1 1 1 1 S?PTQ ? ? y ? QT ? ,∴ QT ? , Q( x ? , 0) ,根据导数的几何意义, y y 2 2

k PQ ?

y?0 1 x ? (x ? ) y

? y ? ,∴ y 2 ? y ? .

8.D ∵

f ( x ) 是奇函数,∴ f ( x ) 在 (0, 2) 上的最大值为 ?1 ,

1 1 1 1 ? a ,令 f '( x) ? 0 得 x ? ,又 a ? ,∴ 0 ? ? 2 . a 2 x a 1 1 令 f '( x) ? 0 时 , x ? , f ( x ) 在 (0, ) 上 递 增 ; 令 f '( x ) ? 0 时 a a 1 1 1 1 减;∴ f ( x ) max ? f ( ) ? ln ? a ? ? ?1 ,∴ ln ? 0 ,得 a ? 1 . a a a a 1 2 9C 得 f ?( x ) ? x ? mx ? 1 , f ??( x ) ? x ? m ? 0 对于 x ? ( ?1, 2) 恒成立. 2
当 x ? (0,2) 时,

f '( x ) ?

,

x?

1 a

,

f ( x)



1 ( , 2) a

上 递

∴m 于是

? ( x ) max ? 2 ,又当 m ? 2 时也成立,有 m ? 2 .而 m ? 2 ,∴ m ? 2 .

f ?( x ) ?

1 2 x ? 2 x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 ? 3 或 x ? 2 ? 3 (舍去), 2

f ( x ) 在 ( ?1, 2 ? 3) 上递增,在 (2 ? 3, 2) 上递减,只有 C 正确.
10. 4 11. [

S ? ? ?4(1 ? t ) ,∴所求的瞬时速度为 ?4(1 ? 2) ? 4 .

3 1 3 3 ,3] 设 P( x0 , y0 ) , y? ? 2 x ? 1,∴ ?1 ? 2 x0 ? 1 ? 3 ? 0 ? x0 ? 2 ,有 y0 ? ( x0 ? )2 ? ? [ ,3] . 4 2 4 4 1 12. 本题考查椭圆、双曲线的定义和标准方程,双曲线的离心率.由题意得 2
3

c 2 ? a 2 ? b2 ? m 2 ? n 2

①, c

2

? am

②, 2n

2

? 2m2 ? c2

③,将①代入③得

2n 2 ? 3m2 ? n 2 ,∴ n ? 3m ,代入③得 c ? 2m ,再代入②得 a ? 4m ,得 e ?
13 .②③ 将 b = ?

c 1 ? . a 2

a 代入 a = ? b 得( ? 2 ?1 ) a =0,∴ ? 2 ? 1 ,有 ? ? ?1 ,④错.

14 .

1 ? ?a ? 1 ?? ?a ? 1 ? 解:由 2 x ? 1 ? x ? a 得 ? x ? a ? 1 ,由题意得 ? 3 3?a ?2. 3 ?a ? 1 ? 3 ?

∴命题 p: a

? 2.
2

由 4x

? 4ax 2 ? 1的解集是 ? ,得 4ax 2 ? 4 x ? 1 ? 0 无解,

即对 ?x ? R , 4ax

?a ? 0 ,得 a ? 1 .∴命题 q: a ? 1 . ? 4 x ? 1 ? 0 恒成立,∴ ? 2 ? ? ? ( ?4) ? 4 ? 4a ? 1 ? 0

由“p 或 q”为真命题,得 p、q 中至少有一个真命题. 当 p、q 均为假命题,则 ?

?a ? 2 ? {a a ? 1} ,而 ?R {a a ? 1} ? {a a ? 1} .∴实数 a 的值取值范围是 (1, ??) . ?a ? 1

15.解:(1)

?d ? 0 ?d ? 0 1 ? ? ,即 ? , f '( x) ? ax ? x ? c ,? f (0) ? 0, f '(1) ? 0 ,? ? 1 1 2 ?a ? 2 ? c ? 0 ?c ? 2 ? a ? ?
2

从而

?a ? 0 1 1 ? , f '( x) ? ax ? x ? ? a .? f '( x) ? 0 在 R 上恒成立,? ? 1 1 2 2 ? ? ? 4 ? 4a ( 2 ? a ) ? 0 ?
2

?a ? 0 1 1 ? ,解得 a ? , c ? , d ? 0 , 即? ? 1 2 4 4 ?( a ? 4 ) ? 0 ?

1 2 1 1 3 b 1 x ? x ? ,? h( x) ? x 2 ? bx ? ? , 4 2 4 4 2 4 1 2 1 1 3 2 b 1 ∴不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 化为 4 x ? 2 x ? 4 ? 4 x ? bx ? 2 ? 4 ? 0 , 1 b 1 2 即 x ? ( ? b) x ? ? 0 ,∴ ( x ? )( x ? b) ? 0 , 2 2 2
(2)由(1)知,

f '( x) ?

①若 b

?

1 1 1 ,则所求不等式的解为 ? x ? b ;②若 b ? ,则所求不等式的解为空集; 2 2 2 1 1 ,则所求不等式的解为 b ? x ? . 2 2
1 1 1 1 1 时,所求不等式的解为 ( , b) ;当 b ? 时,所求不等式的解为 ? ;当 b ? 时,所求不等式的解为 (b, ) . 2 2 2 2 2

③若 b ?

综上所述,当 b ?

16..解:(1)如图,以 O1O2 所在的直线为 x 轴,以 O1O2 的中垂线 所在的直线为

y 轴,建立平面直角坐标系.设圆 C 的圆心

y C
4
·

O O2 x

O1

为 C ( x, y ) ,半径为 r ,由

CO1 ? CO2 ? (r ? 3) ?(r ? 1) ? 2 ,

得圆 C 的圆心的轨迹是以 O1 (?2, 0) , O2 (2, 0) 为焦点,

定长为 2 的双曲线,设它的方程为

x2 y2 ? ? 1 .由 2a ? 2 ,得 a ? 1 , a 2 b2

又c

? 2 ,∴ b2 ? c2 ? a 2 ? 3 .又点 (1, 0) 不合题意,且 CO1 ? CO2 ? 2 ? 0 ,知 x ? 1 .
∴圆 C 的圆心的轨迹方程是 x
2

?

y2 ? 1 ( x ? 1 ). 3

(2)令 C ( x, y ) ,由圆 C 与圆 O1 、 O2 相切得 | CO1

|? 4 , | CO2 |? 2 ,

?( x ? 2) 2 ? y 2 ? 16 3 15 3 15 2 ) ,∴圆 C 的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) ? 1. 故? ,解得 C ( ,? 2 2 2 2 2 2 ? ( x ? 2) ? y ? 4

a 2 2 ?126 x 36 其余新墙费用: (2 x ? ? 14)a ∴总费用 y ? 7a( ? ? 1) x 4 x
17..解:(1)方案:修旧墙费用为 x· 元,拆旧墙造新墙费用为(4-x)· , ∴

a 4

(0<x<14)

y ? 7a(

x 6 2 ? ) ? 35a ≥35a,当 x=12 时,ymin=35a. 2 x

a 7a 252 (元),建新墙费用为 (2 x ? ? 16)a (元) 2 2 x 126 21 总费用为: y ? 2a ( x ? ) ? a (x≥14) x 2
(2)方案,利用旧墙费用为 14· = 设

126 x 2 ? 126 126 ,则 f '( x ) ? 1 ? 2 ? , f ( x) ? x ? ( x ? 14) x x2 x

当 x ? 14 时,

f '( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数,∴ f ( x )max ? f (14) ? 35.5a .

由 35a ? 35.5a 知,采用(1)方案更好些.

答:采用(1)方案更好些. 18.解:(1)由 C2 故 x0
2

: x 2 ? 4 y 知 F1 (0,1) ,设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) ,因 M

在抛物线 C2 上,

? 4 y0 …①

5 又 | MF |? 1 3

,则

5 y0 ? 1 ? 3
又c

……②,

2 6 2 由①②解得 x0 ? ? , y0 ? .而点 M 3 3

2 2 6 2 ( )2 ( ) 3 ? 3 ?1即 椭圆上,故有 a2 b2

4 8 ? 2 ? 1 …③, 2 9a 3b
由③④可解得 a
2

? 1 ,则 b 2 ? a 2 ? 1…④
y 2 x2 ? ? 1. 4 3

? 4 , b2 ? 3 ,∴椭圆 C1 的方程为

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , Q( x, y ) , 5



??? ? ??? ? ? x1 ? ? x2 ? 1 ? ? AP ? ?? PB 可得: (1 ? x1 ,3 ? y1 ) ? ?? ( x2 ? 1, y2 ? 3) ,即 ? ? y1 ? ? y2 ? 3(1 ? ? )
???? ??? ? ? x1 ? ? x2 ? (1 ? ? ) x AQ ? ? QB 可得: ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y ) ,即 ? ? y1 ? ? y2 ? (1 ? ? ) y
2



⑤ ? ⑦得: x1

? ? 2 x2 2 ? (1 ? ? 2 ) x
2

⑥ ? ⑧得:

y12 ? ? 2 y2 2 ? 3 y (1 ? ? 2 )

两式相加得 ( x1 又点

? y12 ) ? ? 2 ( x2 2 ? y2 2 ) ? (1 ? ? 2 )( x ? 3 y)

A, B 在圆 x 2 ? y 2 ? 3 上,且 ? ? ?1 ,所以 x12 ? y12 ? 3 , x2 2 ? y2 2 ? 3

即 x ? 3y 19 解:(1)由 当x

? 3 ,∴点 Q 总在定直线 x ? 3 y ? 3 上.

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? c ,得 f '( x ) ? 3ax 2 ? 2bx ,

? 1 时, f (x) 的极值为 ? 3 ? c ,
f '(1) ? 0
,得 ?

∴?

?

?

3a ? 2b ? 0

? f (1) ? ?3 ? c

?a ? b ? c ? ?3 ? c

,∴ ?

?a?6 , ?b ? ?9



f ( x) ? 6 x 3 ? 9 x 2 ? c . f ( x) ? 6 x 3 ? 9 x 2 ? c ,∴ f '( x ) ? 18 x 2 ? 18 x ? 18 x( x ? 1) ,

(2)∵ 令

f '( x) ? 0 ,得 x=0 或 x=1.

当x

? 0 或 x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增;当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减;
f (x) 的单调递增区间是 ?? ?,0 ? 和 ?1,??? ,单调递减区间是 [0,1] .

∴函数

(3)∵

f ( x) ? ?2c 2 对任意 x ? 0 恒成立,∴ ? 6 x 3 ? 9 x 2 ? c ? ?2c 2 对任意 x ? 0 恒成立,

∵当 x=1 时, ∴c

f ( x) min ? ?3 ? c ,∴ ? 3 ? c ? ?2c 2 ,得 2c 2 ? c ? 3 ? 0 ,

? ?1 或 c ?

3 . 2

∴ c 的取值范围是 ( ??, ?1] ? [

3 , ??) . 2

6


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