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3.1.1公开课数系的扩充与复数的概念


数系的扩充

复数的概念

3.1.1

数系的扩充与复数的概念

数系的扩充

复数的概念

复习回顾

自然数

数 系 的 扩 充

负数

用图形表示包含关系:


整数
分数

有理数
无理数

R

Q

Z

N

实数

数系的扩充

复数的概念

知识引入

我们已经知道: 一元二次方程

x ?1 ? 0
2

没有实数根.

思考?

x ? ?1
2

我们能否将实数集进行扩充,使得在新的 数集中,该问题能得到圆满解决呢?

数系的扩充 问题解决

复数的概念

为了解决负数开平方问题,数学家大胆引入一个新

数 i , 把 i 叫做虚数单位,并且规定:

(1) i 2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算, 在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.

数系的扩充 知识引入

复数的概念

这样就会出现许多新的数,如 2i, -5i, bi, 2+i, 3-i, a+i, 2+3i,4-7i, a+bi

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数。
全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母 C表示 . 全体复数所成的集合 C 叫做复 数集. 即 C ? ?a ? bi a , b ? R?

新课

数系的扩充

复数的概念

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部

虚部

其中

i 称为虚数单位。

小练:说出下列复数的实部与虚部(课本P52 1)

讨 论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?

新课

数系的扩充

复数的概念

讨 论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?

? 复数 z ? a ? bi ? (a,b∈R) ?b ? 0 时, z ? a ? bi 叫做虚数. ?

? R C ? b ? 0 时, 是实数 . z ? a ?

当 a ? 0且b ? 0 时,z ? bi 叫做纯虚数.

复数的分类 ?实数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0,b ? 0) 复数a+bi? (a,b∈R)?虚数(b ? 0) ? ?非纯虚数(a ? 0,b ? 0) ?

数系的扩充

复数的概念

复数的发展史 虚数这种假设, 是需要勇气的 ,人们在当时是无法接受 的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚 数单位 i 的假设研究 :第一次认真讨论这种数的是文艺复兴 时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹,他是 1545 年开始讨 论这种数的,当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了 100 年, 笛卡尔才给这种 “虚幻之数” 取了一个名字——虚数. 但 是又过了 140 年,欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之 中” ,并用 i (imaginary,即虚幻的缩写)来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义, 但他们仍感到这种 数有点虚无缥缈,尽管他们也感到它的作用.1830 年,高 斯 详 细 论 述 了 用 直 角 坐 标 系 的 复 平 面 上 的点 表 示 复 数 a ? bi ,使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今 天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.

数系的扩充

复数的概念

1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚 数,哪些是纯虚数,并指出复数的实部与 虚部。

? ? i 1 ? 3 , 5 i ? 8 i , 3 ? 9 2i,
2

2 ? 7 , 0.618,
2 - 2i

2 i, 7

0

i

数系的扩充

复数的概念

新知应用

例1: 实数m取什么值时,复数

z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i
是(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即

m ? 1时,复数z 是实数. (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时,复数z 是虚数.

(3)当

?m(m ? 1) ? 0 ? ? m ?1 ? 0

即 m ? 0 时,复数z 是 纯虚数.

数系的扩充

复数的概念

新知应用

练习:当m为何实数时,复数

Z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2 2

是(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数?

(1)m= ? 1 (2)m ? ?1 (3)m=-2
m ? 1或m ? ?1
m ? 1且m ? ?1

数系的扩充

复数的概念

新课

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么 我们就说这两个复数相等.

设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d?R),
?a ? c 则 z1=z2? ?b ? d , ?
复数问题实数化

特别地,a+bi=0? a=b=0

注意:一般地,两个复数(若不全为实数)只能 说相等或不相等,而不能比较大小.

数系的扩充

复数的概念

新知应用

例2: 已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y )i



其中 x, y ? R, 求

x与 y .
5 解得 x ? , y ? 4 2

解:根据复数相等的定义,得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )

数系的扩充

复数的概念

新知应用

2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i =0,求x的 值.

x=2

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复数的概念

数系的扩充

复数的概念

作业:P59 A组1、2
练习册49页全部


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