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2010高中数学竞赛标准讲义:第十二章:立体几何


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2010 高中数学竞赛标准讲义:第十二章:立体几何 高中数学竞赛标准讲义:第十二章:
一,基础知识 公理 1 一条直线.上如果有两个不同的点在平面.内.则这条直线在这个平面内,记作: a a. 公理 2 两个平面如果有一个公共点,则有且只有一条通过这个点的公共直线,即若 P∈α∩ β,则存在唯一的直线 m,使得α∩β=m,且 P∈m. 公理 3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面.即不共线的三点确定一个平面. 推论 l 直线与直线外一点确定一个平面. 推论 2 两条相交直线确定一个平面. 推论 3 两条平行直线确定一个平面. 公理 4 在空间内,平行于同一直线的两条直线平行. 定义 1 异面直线及成角:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.过空间任意一 点分别作两条异面直线的平行线,这两条直线所成的角中,不超过 900 的角叫做两条异面直 线成角.与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线,公垂线夹在两条异面直 线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离. 定义 2 直线与平面的位置关系有两种;直线在平面内和直线在平面外.直线与平面相交和 直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外. 定义 3 直线与平面垂直:如果直线与平面内的每一条直线都垂直,则直线与这个平面垂直. 定理 1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直. 定理 2 两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行. 定理 3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也和这个平面垂直. 定理 4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离,若一条直线与平面平行, 则直线上每一点到平面的距离都相等,这个距离叫做直线与平面的距离. 定义 5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线.由斜线上每一点向平面引垂 线,垂足叫这个点在平面上的射影.所有这样的射影在一条直线上,这条直线叫做斜线在平 面内的射影.斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角. 结论 1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角. 定理 4 (三垂线定理)若 d 为平面.的一条斜线,b 为它在平面 a 内的射影,c 为平面 a 内的 一条直线,若 c ⊥ b,则 c ⊥ a.逆定理:若 c ⊥ a,则 c ⊥ b. 定理 5 直线 d 是平面 a 外一条直线,若它与平面内一条直线 b 平行,则它与平面 a 平行 定理 6 若直线.与平面α平行,平面β经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6,则 a//b. 结论 2 若直线.与平面α和平面β都平行,且平面α与平面β相交于 b,则 a//b. 定理 7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,则两个角相 等. 定义 6 平面与平面的位置关系有两种:平行或相交.没有公共点即平行,否则即相交. 定理 8 平面 a 内有两条相交直线 a,b 都与平面β平行,则α//β. 定理 9 平面α与平面β平行,平面γ∩α=a,γ∩β=b,则 a//b. 定义 7 (二面角),经过同一条直线 m 的两个半平面α,β(包括直线 m,称为二面角的棱)所 组成的图形叫二面角,记作α—m—β,也可记为 A—m 一 B,α—AB—β等.过棱上任意一 点 P 在两个半平面内分别作棱的垂线 AP,BP,则∠APB(≤900)叫做二面角的平面角. 它的取值范围是[0,π]. 特别地,若∠APB=900,则称为直二面角,此时平面与平面的位置关系称为垂直,即α ⊥ β. 定理 10 如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

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定理 11 如果两个平面垂直,过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内. 定理 12 如果两个平面垂直,过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直. 定义 8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形,并且每相邻两个平行四边形的公共 边(称为侧棱)都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.两个互相平行的面叫做底 面.如果底面是平行四边形则叫做平行六面体;侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱;底面是正 多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是矩形的直棱柱叫做长方体.棱长都相等的正四棱柱叫正 方体. 定义 9 有一个面是多边形(这个面称为底面), 其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体 叫棱锥.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥. 定理 13 (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为 V,棱数为 E,面数为 F,则 V+F-E=2. 定义 10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面.球面所围成的几何体叫 做球.定长叫做球的半径,定点叫做球心. 定理 14 如果球心到平面的距离 d 小于半径 R,那么平面与球相交所得的截面是圆面,圆心 与球心的连线与截面垂直.设截面半径为 r,则 d2+r2=R2.过球心的截面圆周叫做球大圆.经 过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离. 定义 11 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线.纬线 上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度.用经过南极和北极的平面去 截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线,经线所在的平面与本初子午线所在的 半平面所成的二面角叫做经度,根据位置不同又分东经和西经. 定理 15 (祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面 所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 定理 16 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角.其中 任意两个角之和大于另一个,三个角之和小于 3600. 定理 17 (面积公式)若一个球的半径为 R,则它的表面积为 S 球面=4πR2.若一个圆锥的母 线长为 l,底面半径为 r,则它的侧面积 S 侧=πrl. 4 定理 18 (体积公式)半径为 R 的球的体积为 V 球= πR 3 ;若棱柱(或圆柱)的底面积为 s, 3 1 高 h,则它的体积为 V=sh;若棱锥(或圆锥)的底面积为 s,高为 h,则它的体积为 V= sh. 3 定理 19 如图 12-1 所示,四面体 ABCD 中,记∠BDC=α,∠ADC=β,∠ADB=γ,∠BAC=A, ∠ABC=B,∠ACB=C.DH ⊥ 平面 ABC 于 H. (1)射影定理:SΔABDcosФ=SΔABH,其中二面角 D—AB—H 为Ф. sin α sin β sin γ (2)正弦定理: = = . sin A sin B sin C (3)余弦定理:cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA. cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα. 1 (4)四面体的体积公式 V = DHSΔABC 3 1 = abc 1 cos 2 α cos 2 β cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ 6 1 = aa1 d sin (其中 d 是 a1, a 之间的距离, 是它们的夹角) 6

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2 SΔABDSΔACDsinθ(其中θ为二面角 B—AD—C 的平面角). 3a 二,方法与例题 1.公理的应用. 例 1 直线 a,b,c 都与直线 d 相交,且 a//b,c//b,求证:a,b,c,d 共面. [证明] 设 d 与 a,b,c 分别交于 A,B,C,因为 b 与 d 相交,两者确定一个平面,设为 a.又因为 a//b,所以两者也确定一个平面,记为β.因为 A∈α,所以 A∈β,因为 B∈b,所以 B∈β, 所以 d β.又过 b,d 的平面是唯一的,所以α,β是同一个平面,所以 a α.同理 c α. 即 a,b,c,d 共面. 例 2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件? [解] 充要条件.先证充分性,设图 12-2 中 PQRSTK 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 的正六边形 截面,延长 PQ,SR 设交点为 O,因为直线 SR 平面 CC1D1D,又 O∈直线 SR,所以 O∈平 面 CC1D1D,又因为直线 PQ 平面 A1B1C1D1,又 O∈直线 PQ,所以 O∈平面 A1B1C1D1.所以 O ∈直线 C1D1,由正六边形性质知,∠ORQ=∠OQR=600,所以ΔORQ 为正三角形,因为 CD//C1D1, =

所以

CR SR =1. 所以 R 是 CC1 中点, 同理 Q 是 B1C1 的中点, 又ΔORC1≌ΔOQC1, 所以 C1R=C1Q, = C1 R RO

同理 CD=CC1, 所以该长方体为正方体. 充分性得证. 必要性留给读者自己证明. 所以 CC1=C1B1, 2.异面直线的相关问题. 例 3 正方体的 12 条棱互为异面直线的有多少对? [解] 每条棱与另外的四条棱成异面直线,重复计数一共有异面直线 12×4=48 对,而每一对 48 异面直线被计算两次,因此一共有 = 24 对. 2 例 4 见图 12-3,正方体,ABCD—A1B1C1D1 棱长为 1,求面对角线 A1C1 与 AB1 所成的角. [解] 连结 AC,1C, B 因为 A1A // B1B // C1C, 所以 A1A // C1C, 所以 A1ACC1 为平行四边形, 所以 A1C1 // AC.
= = = =

所以 AC 与 AB1 所成的角即为 A1C1 与 AB1 所成的角,由正方体的性质 AB1=B1C=AC,所以 ∠B1AC=600.所以 A1C1 与 AB1 所成角为 600. 3.平行与垂直的论证. 例 5 A,B,C,D 是空间四点,且四边形 ABCD 四个角都是直角,求证:四边形 ABCD 是 矩形. [证明] 若 ABCD 是平行四边形,则它是矩形;若 ABCD 不共面,设过 A,B,C 的平面为 α,过 D 作 DD1 ⊥ α于 D1,见图 12-4,连结 AD1,CD1,因为 AB ⊥ AD1,又因为 DD1 ⊥ 平面α, 又 AB α,所以 DD1 ⊥ AB,所以 AB ⊥ 平面 ADD1,所以 AB ⊥ AD1.同理 BC ⊥ CD1,所以 ABCD1 为 矩形, 所以∠AD1C=900, AD1<AD,CD1<CD, 但 所以 AD2+CD2=AC2= AD12 + CD12 , AD12 + CD12 <AD2+CD2 与 矛盾.所以 ABCD 是平面四边形,所以它是矩形. 例 6 一个四面体有两个底面上的高线相交.证明:它的另两条高线也相交. [证明] 见图 12-5, 设四面体 ABCD 的高线 AE 与 BF 相交于 O, 因为 AE ⊥ 平面 BCD, 所以 AE ⊥ CD, BF ⊥ 平面 ACD, 所以 BF ⊥ CD, 所以 CD ⊥ 平面 ABO, 所以 CD ⊥ AB. 设四面体另两条高分别为 CM, DN, 连结 CN, 因为 DN ⊥ 平面 ABC, 所以 DN ⊥ AB, AB ⊥ CD, 又 所以 AB ⊥ 平面 CDN, 所以 AB ⊥ CN. 设 CN 交 AB 于 P, 连结 PD, CM ' ⊥ PD 于 M ' , 作 因为 AB ⊥ 平面 CDN, 所以 AB ⊥ CM ' , 所以 CM ' ⊥ 平面 ABD,即 CM ' 为四面体的高,所以 CM ' 与 CM 重合,所以 CM,DN 为ΔPCD 的两条高,所以 两者相交.

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例 7 在矩形 ABCD 中,AD=2AB,E 是 AD 中点,沿 BE 将ΔABE 折起,并使 AC=AD,见图 12-6. 求证:平面 ABE ⊥ 平面 BCDE. [证明] 取 BE 中点 O,CD 中点 M,连结 AO,OM,OD,OC,则 OM//BC,又 CD ⊥ BC,所以 OM ⊥ CD. 又因为 AC=AD,所以 AM ⊥ CD,所以 CD ⊥ 平面 AOM,所以 AO ⊥ CD.又因为 AB=AE,所以 AO ⊥ BE. 因为 ED≠BC,所以 BE 与 CD 不平行,所以 BE 与 CD 是两条相交直线.所以 AO ⊥ 平面 BC-DE. 又直线 AO 平面 ABE.所以平面 ABE ⊥ 平面 BCDE. 4.直线与平面成角问题. 例 8 见图 12-7,正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,CD 的中点,G 为 BF 的中点,将正方形沿 EF 折成 1200 的二面角,求 AG 和平面 EBCF 所成的角. 1 1 [解]设边长 AB=2,因为 EF // AD,又 AD ⊥ AB.所以 EF ⊥ AB,所以 BG= BF = 5 ,又 AE ⊥ EF, = 2 2 BE ⊥ EF, 所以∠AEB=1200. A 作 AM ⊥ BE 于 M, 过 则∠AEM=600, ME=
2

1 1 3 AM=AEsin600= . AE = , 2 2 2

2 3 5 1 9 5 3 3 5 2× × =2,所 由余弦定理 MG =BM +BG -2BMBGcos∠MBG= + × = + 2 3 5 4 4 2 2 2
2 2 2

以 MG= 2. 因为 EF ⊥ AE,EF ⊥ BE,所以 EF ⊥ 平面 AEB,所以 EF ⊥ AM,又 AM ⊥ BE,所以 AM ⊥ 平

3 6 面 BCE. 所以∠AGM 为 AG 与平面 EBCF 所成的角. tan∠AGM= 2 = 而 . 所以 AG 与平面 EBCF 4 2
所成的角为 arctan
6 . 4

例 9 见图 12-8,OA 是平面α的一条斜角,AB ⊥ α于 B,C 在α内,且 AC ⊥ OC,∠AOC=α,∠ AOB=β,∠BOC=γ.证明:cosα=cosβcosγ. [证明] 因为 AB ⊥ α,AC ⊥ OC,所以由三垂线定理,BC ⊥ OC,所以 OAcosβ=OB,OBcosγ=OC, 又 RtΔOAC 中,OAcosα=OC,所以 OAcosβcosγ=OAcosα,所以 cosα=cosβcosγ. 5.二面角问题. 例 10 见图 12-9,设 S 为平面 ABC 外一点,∠ASB=450,∠CSB=600,二面角 A—SB—C 为直角 二面角,求∠ASC 的余弦值. [解] 作 CM ⊥ SB 于 M,MN ⊥ AS 于 N,连结 CN,因为二面角 A—SB—C 为直二面角,所以平面 ASB ⊥ 平面 BSC.又 CM ⊥ SB,所以 CM ⊥ 平面 ASB,又 MN ⊥ AS,所以由三垂线定理的逆定理有 CN ⊥ AS,所以 SCcos∠CSN=SN=SCcos∠CSMcos∠ASB,所以 cos∠ASC=cos450cos600= 例 11
2 . 4

见图 12-10,已知直角ΔABC 的两条直角边 AC=2,BC=3,P 为斜边 AB 上一点,沿 CP

将此三角形折成直二面角 A—CP—B,当 AB= 7 时,求二面角 P—AC—B 的大小. [解] 过 P 作 PD ⊥ AC 于 D,作 PE ⊥ CP 交 BC 于 E,连结 DE,因为 A—CP—B 为直二面角,即 平面 ACP ⊥ 平面 CPB,所以 PE ⊥ 平面 ACP,又 PD ⊥ CA,所以由三垂线定理知 DE ⊥ AC,所以∠ PDE 为二面角 P—AC—B 的平面角.设∠BCP=θ,则 cos∠ECD=cosθcos(900-θ)=sinθcos

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2 2 + 32 7 1 1 θ,由余弦定理 cos∠ACB= = ,所以 sinθcosθ= ,所以 sin2θ=1.又 0<2 2× 2×3 2 2
θ<π,所以θ=

π
4

,设 CP=a,则 PD=

2 PE a,PE=a.所以 tan∠PDE= = 2. 2 PD

所以二面角 P—AC—B 的大小为 arctan 2 . 6.距离问题. 例 12 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,求对角线 AC 与 BC1 的距离. [解] 以 B 为原点,建立直角坐标系如图 12-11 所示.设 P,Q 分别是 BC1,CA 上的点,且 1 1 BP = BC1 , CQ = CA ,各点,各向量的坐标分别为 A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0), 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 PQ = BQ BP = BC + CA BC1 = BC + BA BC BC BB1 = BC + BA BB1 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 3 1 1 1 = ( a, a, a ) ,所以 | PQ |= a ,所以 PQ BC1 = a×a+ a×a=0, PQ CA = a× 3 3 3 3 3 3 3 1 3 a- a×a=0.所以 PQ ⊥ BC1 , PQ ⊥ CA . 所以 PQ 为 AC 与 BC1 的公垂线段, 所以两者距离为 a. 3 3

例 13

如图 12-12 所示,在三棱维 S—ABC 中,底面是边长为 4 2 的正三角形,棱 SC 的长为

2,且垂直于底面,E,D 分别是 BC,AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离. [分析] 取 BD 中点 F,则 EF//CD,从而 CD//平面 SEF,要求 CD 与 SE 间的距离就转化为求点 C 到平面 SEF 间的距离. [解] 设此距离为 h,则由体积公式 1 1 SC S CEF = VS CEF = h S SEF . 3 3 计算可得 SΔSEF=3, S CEF = 3. 所以 h =
2 3 . 3

7.凸多面体的欧拉公式. 例 14 一个凸多面体有 32 个面,每个面或是三角形或是五边形,对于 V 个顶点每个顶点均 有 T 个三角形面和 P 个五边形面相交,求 100P+10T+V. [解] 因 F=32,所以 32-E+V=2,所以 E=V+30.因为 T+P 个面相交于每个顶点,每个顶点出 发有 T+P 条棱,所以 2E=V(T+P). 由此得 V(T+P)=2(V+30),即 V(T+P-2)=60. 由于每个三角 VT VP 形面有三条棱,故三角形面有 个,类似地,五边形有 个,又因为每个面或者是三角形 3 5
T P 或者是五边形,所以 V + =32,由此可得 3T+5P=16,它的唯一正整数解为 T=P=2,代入 3 5

V(T+P-2)=60 得 V=30,所以 100P+10T+V250. 8.与球有关的问题.

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例 15 圆柱直径为 4R,高为 22R,问圆柱内最多能装半径为 R 的球多少个? [解] 最底层恰好能放两个球,设为球 O1 和球 O2,两者相切,同时与圆柱相切,在球 O1 与 球 O2 上放球 O3 与球 O4,使 O1O2 与 O3O4 相垂直,且这 4 个球任两个相外切,同样在球 O3 与球 O4 上放球 O5 与球 O6,……直到不能再放为止. 先计算过 O3O4 与过 O1O2 的两平行面与圆柱底面的截面间距离为 ( 3R) 2 R 2 = 2 R .设共 装 K 层,则(22- 2 )R< 2 R(K-1)+2R≤22R,解得 K=15,因此最多装 30 个. 9.四面体中的问题. 例 16 已知三棱锥 S—ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是ΔSBC 的垂 心,二面角 H—AB—C 的平面角等于 300,SA= 2 3 .求三棱锥 S—ABC 的体积.
[解] 由题设, ⊥ 平面 SBC,作 BH ⊥ SC 于 E,由三垂线定理可知 SC ⊥ AE,SC ⊥ AB,故 SC ⊥ 平 AH 面 ABE.设 S 在平面 ABC 内射影为 O,则 SO ⊥ 平面 ABC,由三垂线定理的逆定理知,CO ⊥ AB 于 F.同理,BO ⊥ AC,所以 O 为ΔABC 垂心.又因为ΔABC 是等边三角形,故 O 为ΔABC 的中

心,从而 SA=SB=SC= 2 3 ,因为 CF ⊥ AB,CF 是 EF 在平面 ABC 上的射影,又由三垂线定理知, EF ⊥ AB,所以∠EFC 是二面角 H—AB—C 的平面角,故∠EFC=300,所以 OC=SCcos600= 2 3 ×
1 3 0 AB,所以 AB= 3 OC=3.所以 VS— = 3 ,SO= 3 tan60 =3,又 OC= 2 3

ABC

1 3 9 = × ×32×3= 3. 3 4 4

例 17 设 d 是任意四面体的相对棱间距离的最小值,h 是四面体的最小高的长,求证:2d>h. [证明] 不妨设 A 到面 BCD 的高线长 AH=h, 与 BD 间的距离为 d, AF ⊥ BD 于点 F, ⊥ BD AC 作 CN 于点 N,则 CN//HF,在面 BCD 内作矩形 CNFE,连 AE,因为 BD//CE,所以 BD//平面 ACE,所 以 BD 到面 ACE 的距离为 BD 与 AC 间的距离 d.在ΔAEF 中,AH 为边 EF 上的高,AE 边上的高 FG=d,作 EM ⊥ AF 于 M,则由 EC//平面 ABD 知,EM 为点 C 到面 ABD 的距离(因 EM ⊥ 面 ABD), 于是 EM≥AH=h.在 RtΔEMF 与 RtΔAHF 中,由 EM≥AH 得 EF≥AF.又因为ΔAEH∽ΔFEG,所 h AH AE AF + EF 以 = ≤2.所以 2d>h. = < d FG EF EF 注:在前面例题中除用到教材中的公理,定理外,还用到了向量法,体积法,射影法,请读 者在解题中认真总结. 三,基础训练题 1.正三角形 ABC 的边长为 4,到 A,B,C 的距离都是 1 的平面有__________个. 2.空间中有四个点 E,F,G,H,命题甲:E,F,G,H 不共面;命题乙:直线 EF 和 GH 不相 交,则甲是乙的__________条件. 3.动点 P 从棱长为 a 的正方体的一个顶点出发,沿棱运动,每条棱至多经过一次,则点 P 运 动的最大距离为__________. 4.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是面 ADD1A1,面 ABCD 的中心,G 为棱 CC1 中点,直线 C1E,GF 与 AB 所成的角分别是α,β.则α+β=__________. 5.若 a,b 为两条异面直线,过空间一点 O 与 a,b 都平行的平面有__________个.

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6.CD 是直角ΔABC 斜边 AB 上的高,BD=2AD,将ΔACD 绕 CD 旋转使二面角 A—CD—B 为 60 , 则异面直线 AC 与 BD 所成的角为__________. 1 7.已知 PA ⊥ 平面 ABC,AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上一点且 AC= AB,则二面角 A—PC—B 的 2 大小为__________. 8.平面α上有一个ΔABC,∠ABC=1050,AC= 2( 6 + 2 ) ,平面α两侧各有一点 S,T,使得 SA=SB=SC= 41 ,TA=TB=TC=5,则 ST=_____________. 9.在三棱锥 S—ABC 中,SA ⊥ 底面 ABC,二面角 A—SB—C 为直二面角,若∠BSC=45 ,SB=a, 则经过 A,B,C,S 的球的半径为_____________. 10.空间某点到棱长为 1 的正四面体顶点距离之和的最小值为_____________. 11.异面直线 a,b 满足 a//α,b//β,b//α,a//β,求证:α//β. 12.四面体 SABC 中,SA,SB,SC 两两垂直,S0,S1,S2,S3 分别表示ΔABC,ΔSBC,ΔSCA,
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ΔSAB 的面积,求证: S 02 = S12 + S 22 + S 32 . 13.正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E 在棱 BB1 上,截面 A1EC ⊥ 侧面 AA1C1C, (1)求证:BE=EB1; (2) 若 AA1=A1B1,求二面角 EC-A1-B1C1 的平面角. 四,高考水平训练题 1.三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 为 A1B1 的中点,N 为 B1C 与 BC1 的交点,平面 AMN 交 B1C1 于 P,则

B1 P =_____________. PC1
2.空间四边形 ABCD 中,AD=1,BC= 3 ,且 AD ⊥ BC,BD= 为_____________. 3. 平面α ⊥ 平面β, ∩ β=直线 AB, C∈α, D∈β, α 点 点 ∠BAC=450, ∠BAD=600, CD ⊥ AB, 且 则直线 AB 与平面 ACD 所成的角为_____________. 4.单位正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,二面角 A—BD1—B1 大小为_____________. 5.如图 12-13 所示,平行四边形 ABCD 的顶点 A 在二面角α—MN—β的棱 MN 上,点 B,C,D 都在α上,且 AB=2AD,∠DAN=450,∠BAD=600,若◇ABCD 在半平面β上射影为为菜,则二面 角α—MN—β=_____________. 6.已知异面直线 a,b 成角为θ,点 M,A 在 a 上,点 N,B 在 b 上,MN 为公垂线,且 MN=d, MA=m,NB=n.则 AB 的长度为_____________. 7.已知正三棱锥 S—ABC 侧棱长为 4,∠ASB=450,过点 A 作截面与侧棱 SB,SC 分别交于 M, N,则截面ΔAMN 周长的最小值为_____________. 8.l1 与 l2 为两条异面直线,l1 上两点 A,B 到 l2 的距离分别为 a,b,二面角 A—l2—B 大小为 θ,则 l1 与 l2 之间的距离为_____________. 9. 在半径为 R 的球 O 上一点 P 引三条两两垂直的弦 PA, PC, PA2+PB2+PC2=_____________. PB, 则 10.过ΔABC 的顶点向平面α引垂线 AA1,BB1,CC1,点 A1,B1,C1∈α,则∠BAC 与∠B1A1C1 的大小关系是_____________.
13 3 ,AC= ,则 AC 与 BD 所成的角 2 2

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11.三棱锥 A—BCD 中∠ACB=∠ADB=90 ,∠ABC=60 ,∠BAD=45 ,二面角 A—CD—B 为直角二 面角.(1)求直线 AC 与平面 ABD 所成的角;(2)若 M 为 BC 中点,E 为 BD 中点,求 AM 与 CE 所成的角;(3)二面角 M—AE—B 的大小. 12.四棱锥 P—ABCD 底面是边长为 4 的正方形,PD ⊥ 底面 ABCD,PD=6,M,N 分别是 PB,AB 的中点,(1)求二面角 M—DN—C 的大小;(2)求异面直线 CD 与 MN 的距离. 13.三棱锥 S—ABC 中,侧棱 SA,SB,SC 两两互相垂直,M 为ΔABC 的重心,D 为 AB 中点, 作与 SC 平行的直线 DP,证明:(1)DP 与 SM 相交;(2)设 DP 与 SM 的交点为 D ' ,则 D ' 为 三棱锥 S—ABC 外接球球心. 五,联赛一试水平训练题 1.现有边长分别为 3,4,5 的三角形两个,边长分别为 4,5, 41 的三角形四个,边长分 别为
5 2 ,4,5 的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成_________个四面体. 6 2.一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这两个多面体的 m 内切球的半径之比是一个既约分数 ,那么 mn=_________. n

π 3.已知三个平面α,β,γ每两个平面之间的夹角都是 θ 0 < θ ≤ ,且 2
α ∩ β =a, β ∩ γ = b, γ ∩ α = c ,命题甲: θ >

π
3

;命题乙:a,b,c 相交于一点.则甲是乙的

_________条件. 4.棱锥 M—ABCD 的底面是正方形,且 MA ⊥ AB,如果ΔAMD 的面积为 1,则能放入这个棱锥的 最大球的半径为_________. 5.将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六面体, 并且该六面体的最短棱长为 2,则最远两个顶点间距离为_________. 6.空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有_________条. 7.一个球与正四面体的六条棱都相切,正四面体棱长为 a,这个球的体积为_________. 8.由曲线 x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1,满足 2 2 2 2 2 2 x +y ≤16,x +(y-2) ≥4,x +(y+2) ≥4 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体 积为 V2,则

V1 = _________. V2

9.顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆围上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆圆心,AB ⊥ OB,垂足为 B,OH ⊥ PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则当三棱 锥 C—HPC 体积最大时,OB=_________. 10.OA, OB, OC 是三个互相垂直的单位向量,π是过点 O 的一个平面, A' , B ' , C ' 分别是 A,B, C 在π上的射影,对任意的平面π,由 OA' 2 + OB ' 2 +OC ' 2 构成的集合为_________. 11.设空间被分为 5 个不交的非空集合,证明:一定有一个平面,它至少与其中的四个集合 有公共点. 12.在四面体 ABCD 中,∠BDC=900,D 到平面 ABC 的垂线的垂足 S 是ΔABC 的垂心,试证: (AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2),并说明等号成立时是一个什么四面体?

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13.过正四面体 ABCD 的高 AH 作一平面,与四面体的三个侧面交于三条直线,这三条直线与 2 2 2 四面体的底面夹角为α,β,γ,求 tan α+tan β+tan γ之值. 六,联赛二试水平训练题 1. 能否在棱长为 1 的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为 1 的正四 面体? 1 2.P,Q 是正四面体 A—BCD 内任意两点,求证: cos ∠PAQ > . 2 3.P,A,B,C,D 是空间五个不同的点,∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ,这里θ为已知锐角, 试确定∠APC+∠BPD 的最大值和最小值. 4.空间是否存在有限点集 M,使得对 M 中的任意两点 A,B,可以在 M 中另取两点 C,D,使 直线 AB 和 CD 互相平行但不重合. 5.四面体 ABCD 的四条高 AA1,BB1,CC1,DD1 相交于 H 点(A1,B1,C1,D1 分别为垂足).三条 高上的内点 A2,B2,C2 满足 AA2:AA=BB2:B2B1=CC2:C2C1=2:1.证明:H,A2,B2,C2,D1 在同 一个球面上. 6.设平面α,β,γ,δ与四面体 ABCD 的外接球面分别切于点 A,B,C,D.证明:如果平 面α与β的交线与直线 CD 共面,则γ与δ的交线与直线 AB 共面.


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