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09工科数分第二学期期末试题解答(A卷)


2009-2010 第二学期工科数学分析期末试题解答(A 卷)

一. 1. 2. 3.

11 ,

arccos
4

5 6

(2 分, 2 分) (2 分, 2 分)

(1,2,7),

?
?

5 , 2

{

1 5

,?

2 5

}

(2 分, 2 分)

4. 5. 6. 7.

(?1) n ? 4 n?1 ( x ? 1) n , n ?0

ln 4 ? ?

(?1) n?1 ( x ? 1) n n n ?1 n4
?

(2 分, 2 分)

dx ? 2dy ,
x y ln x ,
ln

{1,? 2}
4 3

(2 分, 2 分)

(2 分, 2 分) (1 分,1 分,1 分,1 分)

0,

4 ? 2? ? ,0, ? 1 3? 2

二.

I y ? ? x 2 ?dl
L

…………………….(2 分) ……………………(6 分) ……………………(9 分)

? ??
? ??

15 3
15 3

1 x 2 1 ? ( ) 2 dx x
x 1 ? x 2 dx ? 56 ? 3

三.

设 V 在第一卦限部分为 V1
I ? 6 ??? x 2 dV ? 48 ??? x 2 dV
V V1

……………(3 分) ……………..(6 分) ………………..(7 分) …………………(8 分) …………………(9 分)

? 48? x 2 dx?
0 1 0

1

1? x

0 1? x

dy?

1? x ? y

0

dz

? 48? x 2 dx?
1 0

0

(1 ? x ? y)dy

? 24? x 2 (1 ? x 2 )dx
? 4 5

1

四.



?z ? 2x ? 0 , ?x 1 , 4

?z ? 4y ?1 ? 0 ?y
1 得驻点 (0, ) , 4

………………(2 分) ………………..(3 分)

解得 x ? 0 , y ?

由 x 2 ? y 2 ? 1 ,得 x 2 ? 1 ? y 2 ,代入目标函数得

z ? y 2 ? y ? 6 (?1 ? y ? 1)


………………..(4 分)

1 3 3 1 dz ? 2 y ? 1 ? 0 ,得 y ? ,此时 x ? ? ,得两点 (? , ) ………..(6 分) 2 2 2 2 dy

当 y ? ?1 时, x ? 0 ,得两点 (0,?1)

………………..(7 分)

1 39 3 1 23 z (0, ) ? , z (? , ) ? , z(0,?1) ? 8 , z (0,1) ? 6 4 8 2 2 4 39 z min ? ……………..(9 分) z max ? 8 , 8

五.由题意,



?Y ?X ? ?x ?y

……………………….(1 分)

? 3( x ? y) ? ? ( y ? 3x)? ( x ? y) ? ?1 3( x ? y) ? ? (3 y ? 3)? ( x ? y) ? ?1 ? ( x ? y) 2? ( x ? y) 2?

3x ? 3 y ? ?x ? ?y ? 0 , ? ? 3

…….(3 分)

…………………….(4 分) …………………….(6 分)

u ( x, y) ? ?

( x, y )

(1,1)

3y ? x y ? 3x dx ? dy ? C1 3 ( x ? y) ( x ? y) 3

?? ?

x

1

y y ? 3x 3? x dx ? ? dy ? C1 3 1 ( x ? y) 3 ( x ? y)

……………………(8 分)

x? y ?C ( x ? y) 2

……………………(10 分)

注:没有加 C 不扣分。

2

六.



?nt
n ?1

?

1

n ?1

(1)

lim

a n ?1 n ? lim ?1, n ?? a n ?? n ? 1 n

得 (1) 的收敛半径 R ? 1

……………(1 分)

? ? (?1) n ?1 1 t ? 1 时,级数 ? 发散, t ? ?1 时,级数 ? 收敛, n n ?1 n n ?1

故级数 (1) 的收敛域为 t ? [?1,1) 由 ?1 ? 设
x?2 ? 1, 3

……………..(3 分) ………………..(4 分) …………………(6 分) …………………(8 分) ……………………..(9 分)

得原级数收敛域 ? 5 ? x ? 1

? ? 1 1 S (t ) ? ? t n , S ?(t ) ? ? t n ?1 ? 1? t n ?1 n n ?1

S (t ) ? ? l n1(? t )

?n(

1 x ? 2 n?1 x?2 x?2 ) ?? ln(1 ? ) 3 3 3 n ?1
?

? z ? 4 ? x2 ? y2 七.由 ? 2 ,消去 z 得 x 2 ? y 2 ? 3 2 2 ?x ? y ? z ? 2z
V1 ?

…………………(1)

x 2 ? y 2 ?3

?? [(4 ? x ?? (2 ? x
2

2

? y 2 ) ? (2 ? 4 ? x 2 ? y 2 )]dxdy

?
2

2

? y 2 ) ? 4 ? x 2 ? y 2 )dxdy

…………………(3)

x ? y ?3

??

2? 0

d? ?
3 0

3 0

(2 ? ? 2 ? 4 ? ? 2 ) ?d?

…………………(5)

? 2? ?
? 37 ? 6

(2? ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 )d?
…………………(7)

V2 ?

4 27 ? ? 2 3 ? V1 ? ? 3 6

…………………(8) …………………(9)

V2 27 ? V1 37

3

八.

(1) I ? ?? x 3 dydz ? y 3 dzdx ? z 3 dxdy
S

………………..(1 分)

(2)设曲面 S1 : z ? ?1 , x 2 ? y 2 ? 1
I?

S ? S1?

??

? ?? x 3 dydz ? y 3 dzdx ? z 3 dxdy
S1? 3 3

………………..(1 分)

S ? S1?

?? x dydz ? y dzdx ? z
3
V

dxdy

? ??? (3 x 2 ? 3 y 2 ? 3 z 2 )dV

……………..(4 分) ……………..(6 分) ….………….(7 分)

? ? d? ? ?d? ? (3? 2 ? 3z 2 )dz
0 0 ?1

2?

1

??

?

349 ? 30
S1?

? ?? x 3 dydz ? y 3 dzdx ? z 3 dxdy ? ?? z 3 dxdy ?
S1?

x 2 ? y 2 ?1

?? (?1)

3

dxdy ? ??

I?

9 1 ? ?? ? ? ? 10 10

……………..(9 分)

九. (1) | un?1 ? un |?| f (un ) ? f (un?1 ) |? k | un ? un?1 |

? k 2 | un?1 ? un?2 | ? ? ? k n?1 | u2 ? u1 | ? k n?1 | f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ) | ? k n?1 | b ? a |
由于 0 ? k ? 1 , ? k n ?1 (b ? a) 收敛,故 ? | u n ?1 ? u n | 收敛
n ?1 n ?1 ? ? ? ?

……………..(4 分) ……………..(5 分)

(2) 因为 ? | u n ?1 ? u n | 收敛,所以 ? u n ?1 ? u n) 收敛, ……………..(6 分) (
n ?1 n ?1

故其部分和 S n ? u n?1 ? u1 ? un?1 ? f ( x0 ) 有极限 所以 lim u n ?1 存在, 因而 lim u n 存在
n ?? n ??

……………..(8 分) ……………..(9 分)

4



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