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07数分B第一学期期末试题(B)解答


数学分析 B 第一学期期末试题(B)解答(2008.1) 1 f ?( ) x dx (没有 dx 扣 1 分) 一. 1. ? 1 x2 f ( ) x 2. 2 3.

y ? 3ex ? 2e 2

4. ? 16 5. 4 6. 7. 8. 9.
y ?? ? 2 y ? ? y ? 0
3? 8

1, ? 2 , 4
128 ? 5
2

(1 分, 1 分, 1 分)

10. y ? Ce ? 2 x ? 二.

1 2

(没写 y 扣 1 分) (只写出通解公式没算出积分给 1 分)
?

?

?
0

x?

?
2

sin d x ? 2( x ?
0

?

? x) s i n d x ? ? ( x ? ) s i n d x ……….(2 分) x ? x 2 2 2
?

?

?

? ? ? 2 ( ? x) d c o x ? ? ? ( x ? ) d c o x s s 0 2 2 2
? ?(

?

?

?

………….(3 分)

?
2

? x) cos x 02 ? ?
?

?

?
2 0

cos xdx ? ( x ?

?
2

) cos x ? ? ? ? cos xdx ?
2 2

?

.………..(6 分)

?
2

?1?

?
2

?1 ? ? ? 2

…….……………(8 分)

三.

f ?( x) ?

2(2 x ? 2) 3( x ? 2 x)
2 1 3

?

4( x ? 1) 3( x ? 2 x)
2 1 3

…………………………(2 分)

令 f ?( x) ? 0 , 当

得 x ?1 ………………………….(5 分)

x ? 0 , x ? 2 时, f ?(x) 不存在

f (0) ? 0

f (2) ? 0

f (1) ? 1

f (3) ? 3 9
M ?4

f (?2) ? 4
m?0

……………………………(8 分)
1

四.

f ?( x) ? ax2 ? 4x
f ??( x) ? 2ax ? 4 f ??(?1) ? ?2a ? 4 ? 0
a ? ?2

.. …………………………(1 分) …………………………..(2 分) .………………………..(.4 分)

2 f ( x) ? ? f ?( x)dx ? ? (?2 x 2 ? 4 x)dx ? ? x 3 ? 2 x 2 ? C ……………(6 分) 3 2 8 由 f (?1) ? ? 2 ? C ? 得C ? 4 3 3 2 f ( x) ? ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 ……………………………(8 分) 3

五.

设 t 时刻物体表面温度为 T ? T (t ) , 则
dT ? ?k (T ? 20) dt dT ? ?k d t T ? 20

……………………………(2 分) …………………………….(3 分)

ln T ? 20 ? ?kt ? C1
T ? 20 ? Ce ? kt

……………………………(4 分)



T (0) ? 100



C ? 80

T ? 20 ? 80e ? kt

……………………………(6 分)
e
?k



T (20) ? 60


80 2
t 20

1 ? ( ) 20 2

1

T ? 20 ?

….…………………………(8 分)

2

六.

x? f (t )dt ? ? tf (t )dt ? xe x ? f ( x)
0 0

x

x

.……………………….(1 分) ………………………..(2 分)

?

x 0

f (t )dt ? e x ? xe x ? f ?( x)

f ( x) ? e x ? e x ? xe x ? f ??( x) f ??( x) ? f ( x) ? (2 ? x)e x
f (0) ? 0 f ?(0) ? 1
r ? ?i

………………………..(3 分) .………………………...(5 分) …………………………..(7 分) .…………………………..(8 分) ………………………….(9 分)
1 2

r 2 ?1 ? 0

f ( x) ? C1 c o x ? C2 s i n s x


f * ( x) ? ( Ax ? B)e x
A? 1 2 B?

代入微分方程得
f * ( x) ?

1 ( x ? 1)e x 2

…..………………..(11 分)
1 ( x ? 1)e x .………………….(12 分) 2

通解为 f ( x) ? C1 cos x ? C2 sin x ? 由初始条件得
C1 ? ? 1 2

C2 ? 0
...……………………(14 分)

1 1 f ( x) ? ? c o s ? ( x ? 1)e x x 2 2

七.

对任意 x ? (??,??) 由于 f (x) 在 x ? 0 处连续, lim f (?x) ? f (0)
?x ?0

………………….(2 分) …………………..(4 分) …….……………..(6 分) ……….……………(7 分) .…………………….(8 分)

?x ?0

lim f ( x ? ?x) ? lim [ f ( x) ? f (?x)]
?x ?0
?x ?0

? f ( x) ? lim f (?x) ? f ( x) ? f (0)

? f ( x ? 0) ? f ( x)

故 f (x) 在 x 处连续, 因此在 (??,??) 连续

3

八.

由题设
f ( x) g ( x)
x2

lim
x ?0

f ( x) ?1 g ( x)

………………………..(1 分)



lim
x? 0

x 2 ln( ? t ln(1 ? t 2 k ) 1 2k ) dt dt ?0 ?0 t t ? lim ? lim x ?0 x ?0 1 2 1 2 a a(? x ) ? x ? x4 2 2 4

…….…….……..(3 分)

l n1 ? x 4 k ) ( 2x 2 l n1(? x 4 k ) x2 ?lim ?lim x ?0 x ?0 ? ax 3 ? ax4

……………………(5 分)

2 x 4k ?lim x ?0 ? ax 4

….…………………(6 分)

故 得

2 ? ?a a ? ?2

4k ? 4 k ?1

….………………….(8 分)

九.

?
?

a 0

f ( x)dx ? af (a)

?

a 0

f ( x)dx ? ? f (a)dx ?
0

a

?

a 0

( f ( x) ? f (a))dx

……………….(2 分)

?

?

a 0

f ?(? )(x ? a)dx

(? ? (0, a))

……………………(4 分)

? ? f ?(? )(x ? a) dx
0

a

……………………….(5 分) …….………………...(6 分) …….…………………(7 分) …….………………….(8 分)

? M ? x ? a dx
0

a

? M ? (a ? x)dx
0

a

?

Ma 2 2

4



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