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2015高考(理)二轮复习试题:第10章 圆锥曲线的综合问题


精品题库试题

理数 1. (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 16) 在棱长为 1 的正方体 中, 、 分别是 、 的中点.点 在正方体的表面上运 动,则总能使 的点 所构成的轨迹的周长等于________.



垂直

[答案] 1.

[解析] 1.作

r />
的中点分别为

,易证

, 过

做一个平面 ∥平面 .



正方体为一个与四边形

全等的矩形,此矩形就是 P 的轨迹,其周长为

2. (2014 广东,20,14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的一个焦点为(

,0),离心率为

. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程. [答案] 2.查看解析

[解析] 2.(1)由题意知 c= ∴a=3,b2=a2-c2=4,

,e=

=

,

故椭圆 C 的标准方程为 (2)设两切线为 l1,l2,

+

=1.

① 当 l1⊥x 轴或 l1∥x 轴时,l2∥x 轴或 l2⊥x 轴,可知 P(±3,±2).

② 当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设 l1 的斜率为 k,且 k≠0,则 l2 的斜率为-

,l1 的方程为

y-y0=k(x-x0),与

+

=1 联立,

整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0, ∵直线 l1 与椭圆相切,∴Δ=0,即 9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)· [(y0-kx0)2-4]=0,

∴(

-9)k2-2x0y0k+

-4=0,

∴k 是方程(

-9)x2-2x0y0x+

-4=0 的一个根,

同理,-

是方程(

-9)x2-2x0y0x+

-4=0 的另一个根,

∴k·

=

,整理得

+

=13,其中 x0≠±3,

∴点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13(x≠±3). 检验 P(±3,±2)满足上式. 综上,点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13.

3. (2014 江西,20,13 分)如图,已知双曲线 C:

-y2=1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的

两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点). (1)求双曲线 C 的方程;

(2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 于点 N.

-y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x=

相交

证明:当点 P 在 C 上移动时,

恒为定值,并求此定值.

[答案] 3.查看解析

[解析] 3.(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c=

,

直线 OB 的方程为 y=-

x,直线 BF 的方程为 y=

(x-c),解得 B

.

又直线 OA 的方程为 y=

x,则 A

,kAB=

=

.又因为 AB⊥OB,所以

·

=-1,解得 a 2=3,

故双曲线 C 的方程为

-y2=1.

(2)由(1)知 a=

,则直线 l 的方程为

-y0y=1(y0≠0),

即 y=

.

因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M

;

直线 l 与直线 x=

的交点为 N

,



=

=

=

·

.

因为 P(x0,y0)是 C 上一点,则

-

=1,代入上式得

=

·

=

·

=

,

所求定值为

=

=

.

4. (2014 湖北,21,14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离 多 1.记点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ )求轨迹 C 的方程; (Ⅱ )设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1).求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、 三个公共点时 k 的相应取值范围. [答案] 4.查看解析 [解析] 4.(Ⅰ )设点 M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,



=|x|+1,

化简整理得 y2=2(|x|+x).

故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2= (Ⅱ )在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y2=4x,C2:y=0(x<0), 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2).

由方程组

可得 ky2-4y+4(2k+1)=0.①

(1)当 k=0 时,此时 y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 x=

.

故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点 (2)当 k≠0 时,方程① 的判别式为 Δ=-16(2k2+k-1).② 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则

.

由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=-

.③

(i)若

由② ③ 解得 k<-1 或 k>

.

即当 k∈(-∞,-1)∪

时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点,

故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点.

(ii)若



则由② ③ 解得 k∈

或-

≤k<0.

即当 k∈

时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点.

当 k∈

时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点.

故当 k∈



时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点.

(iii)若

则由② ③ 解得-1<k<-

或 0<k<

.

即当 k∈



时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点,

故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点.

综合(1)(2)可知,当 k∈(-∞,-1)∪

∪*0+时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点;当

k∈



时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 k∈



时,直线 l

与轨迹 C 恰好有三个公共点. 5. (2014 湖北,19,12 分)如图 ,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,M,N 分别是棱 AB,AD,A1B1,A1D1 的中点,点 P,Q 分别在棱 DD1,BB1 上移动,且 DP=BQ= λ(0<λ<2). (Ⅰ )当 λ=1 时,证明:直线 BC1∥平面 EFPQ; (Ⅱ )是否存在 λ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出 λ 的值;若不存 在,说明理由.

[答案] 5.查看解析 [解析] 5.解法一:(几何方法) (Ⅰ )证明:如图 1,连结 AD1,由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,知 BC1∥AD1. 当 λ=1 时,P 是 DD1 的中点,又 F 是 AD 的中点, 所以 FP∥AD1. 所以 BC1∥FP. 而 FP?平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ,故直线 BC1∥平面 EFPQ.

(Ⅱ )如图 2,连结 BD.因为 E,F 分别是 AB,AD 的中点,

所以 EF∥BD,且 EF=

BD.又 DP=BQ,DP∥BQ,

所以四边形 PQBD 是平行四边形,故 PQ∥BD,且 PQ=BD,

从而 EF∥PQ,且 EF=

PQ.

在 Rt△EBQ 和 Rt△FDP 中,因为 BQ=DP=λ,BE=DF=1,

于是 EQ=FP=

,所以四边形 EFPQ 是等腰梯形.

同理可证四边形 PQMN 是等腰梯形. 分别取 EF,PQ,MN 的中点为 H,O,G,连结 OH,OG, 则 GO⊥PQ,HO⊥PQ,而 GO∩HO=O, 故∠GOH 是面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角的平面角. 若存在 λ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°. 连结 EM,FN,则由 EF∥MN,且 EF=MN,知四边形 EFNM 是平行四边形. 连结 GH,因为 H,G 是 EF,MN 的中点,所以 GH=ME=2.

在△GOH 中,GH2=4,OH2=1+λ2-

=λ2+

,

OG2=1+(2-λ)2-

=(2-λ)2+

,

由 OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2+

+λ2+

=4,

解得 λ=1±

,

故存在 λ=1±

,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角.

解法二:(向量方法)

[来源:Zxxk.Com]

以 D 为原点,射线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴的正半轴建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D-xyz. 由已知得 B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).

=(-2,0,2),

=(-1,0,λ),

=(1,1,0).

(Ⅰ )证明:当 λ=1 时,

=(-1,0,1),

因为

=(-2,0,2),所以

=2

,即 BC1∥FP.

而 FP?平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ, 故直线 BC1∥平面 EFPQ. (Ⅱ )设平面 EFPQ 的一个法向量为 n=(x,y,z),

则由

可得

于是可取 n=(λ,-λ,1).

同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m=(λ-2,2-λ,1). 若存在 λ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角, 则 m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,

即 λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得 λ=1±

.

故存在 λ=1±

,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角.

6.(2014 山东,21,14 分)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点, 过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正三角形. (Ⅰ )求 C 的方程; (Ⅱ )若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E, (i)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ii)△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由. [答案] 6.查看解析

[解析] 6.(Ⅰ )由题意知 F

.

设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为 因为|FA|=|FD|,

.

由抛物线的定义知 3+

=

,

解得 t=3+p 或 t=-3(舍去).



=3,解得 p=2.

所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (Ⅱ )(i)由(Ⅰ )知 F(1,0),

设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0), 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1, 由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0).

故直线 AB 的斜率 kAB=因为直线 l1 和直线 AB 平行,

.

设直线 l1 的方程为 y=-

x+b,

代入抛物线方程得 y2+

y-

=0,

由题意 Δ=

+

=0,得 b=-

.

设 E(xE,yE),则 yE=-

,xE=

,



≠4 时,kAE=

=-

=

,

可得直线 AE 的方程为 y-y0=

(x-x0),



=4x0,

整理可得 y=

(x-1),

直线 AE 恒过点 F(1,0).



=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0),

所以直线 AE 过定点 F(1,0). (ii)由(i)知直线 AE 过焦点 F(1,0),

所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+ 设直线 AE 的方程为 x=my+1, 因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上,

=x0+

+2.

故 m= 设 B(x1,y1),

,

直线 AB 的方程为 y-y0=由于 y0≠0,

(x-x0),

可得 x=-

y+2+x0,

代入抛物线方程得 y2+

y-8-4x0=0.

所以 y0+y1=-

,

可求得 y1=-y0-

,x1=

+x0+4,

所以点 B 到直线 AE 的距离为

d=

=

=4

.

则△ABE 的面积 S=

×4

≥16,

当且仅当

=x0,即 x0=1 时等号成立.

所以△ABE 的面积的最小值为 16. 7. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,20) 抛物线

C1:

的焦点与椭圆 C2:

的一个焦点相同. 设椭圆的右顶点为

A,C1, C2 在第一象限的交点为 B,O 为坐标原点,且 (1) 求椭圆 C2 的标准方程;

的面积为

.

(2) 过 A 点作直线 交 C1 于 C, D 两点, 连接 OC, OD 分别交 C2 于 E, F 两点, 记 的面积分别为 , . 问是否存在上述直线 使得



,若存在,求直线 的方程;若

不存在,请说明理由. [答案] 7.查看解析

[解析] 7. (1)∵

∴焦点





……………1 分

又∵



……………2 分

代入抛物线方程得

. 又 B 点在椭圆上得



∴椭圆 C2 的标准方程为

.

……………4 分

(2)设直线 的方程为

,由





,所以

……………6 分

又因为

直线

的斜率为

,故直线

的方程为







,同理

所以





……………10 分

所以



所以

,故不存在直线 使得

……………12 分

8. (2014 重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考,21) 已知点



分别为椭圆

的左、右焦点,点 最大值为 ,且 的最大面积为 1.

为椭圆上任意一点,

到焦点

的距离的

(Ⅰ )求椭圆

的方程;

(Ⅱ )点 于任意的

的坐标为

,过点

且斜率为 的直线 与椭圆

相交于



两点.对

, [答案] 8.查看解析

是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.

[解析] 8.(Ⅰ )依题意, ,



,因为

,所以



所以所求椭圆的标准方程为

. (5 分)

(Ⅱ )设直线 的方程为





,又



联立方程组

,消去



,(8 分)

所以



,因为





所以

. (12 分)

9. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测 (二) , 20) 已知动圆 且在 轴上截得弦长为 4. 设该动圆圆心的轨迹为曲线 .

过定点



(Ⅰ )求曲线

方程;

(Ⅱ ) 点

为直线 :

上任意一点, 过 的坐标.

作曲线

的切线, 切点分别为

、 ,

面积的最小值及此时点 [答案] 9.查看解析

[解析] 9.(Ⅰ )设动圆圆心坐标为

,根据题意得:

,化简得

. (4 分)

(Ⅱ )解法一:设直线

的方程为





消去







,则

,且

,(6 分)

以点

为切点的切线的斜率为



其切线方程为

,即



同理过点

的切线的方程为



设两条切线的交点为

在直线

上,

,解得

,即





,即

,(8 分)

代入





到直线

的距离为









时,

最小,其最小值为 ,此时点

的坐标为

. (12 分)

解法二:设

在直线

上,点

在抛物线

上,

则以点

为切点的切线的斜率为



其切线方程为

,即



同理以点

为切点的方程为

,(6 分)

设两条切线的均过点

,则







的坐标均满足方程



即直线

的方程为:

,(8 分)

代入抛物线方程

消去

可得:



直线

的距离为







时,

最小,其最小值为 ,此时点

的坐标为

. (12 分)

10. (2014 湖北黄冈高三 4 月模拟考试,21) 设 垂直于 轴的垂线段 , 为垂足, ,当点 是线段

是圆

上的任意一点,过



上的点,且满足 的轨迹是曲线 .

在圆上运动时,记点

(Ⅰ )求曲线

的方程;

(Ⅱ )过曲线

的左焦点

作斜率为

的直线 交曲线 ,使得点 在曲线





,点

满足 的值,若

,是否存在实数 不存在,请说明理由. [答案] 10.查看解析 [解析] 10.(Ⅰ )如图,

上,若存在,求出





,则由

可得



,即





,即为曲线 C 的方程.

(6 分)

(Ⅱ )设



,(8 分)







,即 P 点坐标为



点代入

,得

(负舍去)

存在当

时,

点在曲线 C 上

. (13 分)

11. (2014 北京东城高三第二学期教学检测,19) 椭圆



(

) 的离心

率为

,其左焦点到点

的距离为

.

(Ⅰ )求椭圆

的标准方程;

(Ⅱ )若直线 为直径的圆过椭圆 [答案] 11.查看解析

与椭圆

相交于



两点(

不是左右顶点),且以

的右顶点. 求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标.

[解析] 11.(Ⅰ )由题: .

; 左焦点

到点

的距离为:

所以

.

所以所求椭圆 C 的方程为:

. (5 分)

(Ⅱ )设

,由







.



为直径的圆过椭圆的右顶点











解得

,且满足

.



时,

,直线过定点

与已知矛盾;



时,

,直线过定点

综上可知,直线 过定点,定点坐标为

(14 分)

12. (2014 黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试,20) 若点 上一点,经过点 的直线 与抛物线

是抛物线

交于

两点.

(Ⅰ )求证:

为定值;

(Ⅱ )若点

与点

不重合,问

的面积是否存在最大值? 若存在,求出最大

值; 若不存在,请说明理由. [答案] 12.查看解析

[解析] 12.解析 (Ⅰ )因为点

在抛物线

上,

所以

,有

,那么抛物线

.

若直线 的斜率不存在,直线

:

,此时

, (3 分)

若直线 的斜率存在,设直线

:

,点



,有

那么,

为定值. (7 分)

(Ⅱ )若直线 的斜率不存在,直线

,此时







.

若直线 的斜率存在时,

,(9 分)



到直线

的距离











所以

没有最大值. (12 分) 已知椭圆

13.(2014 江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,20)

的离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程;

, 椭圆 C 过点



(2)过点 点) 的面积为 [答案] 13.查看解析 [解析] 13.

作圆 , 将

的切线 交椭圆

于 A,B 两点, 记 的最大值.

为坐标原

表示为 m 的函数,并求

(2)由题意知,

.

易知切线 的斜率存在, 设切线 的方程为





设 A、B 两点的坐标分别为

,则

………………………6 分

,

(当且仅当

时取等号)

所以当

时,

的最大值为 1.

………………………13 分

14.(2014 江西红色六校高三第二次联考理数试题,20)如图,F1,F2 是离心率为

的椭

圆 C: 度之比为 1:3.

(a>b>0)的左、右焦点,直线 l:x=﹣

将线段 F1F2 分成两段,其长

设 A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中垂线与 C 交于 P,Q 两点, 线段 AB 的中点 M 在直线 l 上.

(Ⅰ ) 求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ ) 求

的取值范围.

[答案] 14.查看解析

[解析] 14. (Ⅰ )设 F2(c,0),则

= ,所以 c=1.

因为离心率 e=

,所以 a=

,所以 b=1

所以椭圆 C 的方程为

.----------------------4 分

(Ⅱ )当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=﹣ ,

此时 P(

,0)、Q(

,0),

.------6 分

当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,

M(﹣ ,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).



得(x1+x2)+2(y1+y2)

=0,

则﹣1+4mk=0,∴k=

.-----------------------------------8 分

此时,直线 PQ 斜率为 k1=﹣4m,PQ 的直线方程为 即 y=﹣4mx﹣m.



联立

消去 y,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2﹣2=0.

所以



. -------------------------10 分

[来源:学+科+网]

于是

=(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=x1x2﹣(x1+x2)+1+(4 mx1+m)(4mx2+m)

=

=

=



令 t=1+32m2,由

得 1<t<29,则



又 1<t<29,所以



综上,

的取值范围为[﹣1,

).-------------------------------13 分

15.(2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟,20)已知椭圆 C:

经过



,离心率

,直线 的方程为

.

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦 (不经过点 P) , 设直线 的斜率分别为 若不存在,说明理由. ,问:是否存在常数 ,使得 与 l 相交于点 M, 记 PA, PB, PM ?若存在,求出 的值,

[答案] 15.查看解析

[解析] 15.(1)由点

在椭圆上得,





由 ① ② 得

,故椭圆

的方程为

…………………….. 4 分

(2)假设存在常数 ,使得

.

由题意可设



代入椭圆方程

并整理得



,则有

④……………6 分

在方程③ 中,令

得,

,从而

. 又因为

共线,则有



即有

所以

=



将④ 代入⑤ 得

,又



所以

故存在常数

符合题意……………………………………………………………12 分

16.(2014 河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 20) 如图, 已知点 F 为抛物线 的焦点,过点 F 任作两条互相垂直的直线 ,

分别交抛物线

于 A,C,B,D 四点,E,G 分别为 AC,BD 的中点.

( I) 直线 EG 是否过定点?若过,求出该定点;若不过,说明理由;

(Ⅱ ) 设直线 EG 交抛物线

于 M,N 两点,试求

的最小值.

[答案] 16.查看解析 [解析] 16.

17.(2014 湖北八市高三下学期 3 月联考,21) 己知⊙O:x2 +y2=6,P 为⊙O 上动点,过 P 作 PM⊥x 轴于 M,N 为 PM 上一点,且 (I)求点 N 的轨迹 C 的方程; (II)若 A(2,1) ,B(3,0) ,过 B 的直线与曲线 C 相交于 D、E 两点,则 kAD+kAE 是否为 定值?若是,求出该值;若不是,说明理由. [答案] 17.查看解析 .

[解析] 17. (Ⅰ ) 设

,

, 则

,

,



, 得

,

………………………………………3 分

由于点

在圆

上, 则有

, 即

.



的轨迹

的方程为

. …………………………………………………………6 分

(Ⅱ ) 设

,

, 过点

的直线

的方程为

,



消去

得:

, 其中

; …………………………………………………………8 分

……………………………………………10 分

是定值

. ……………………… ………………………………………………………13 分 的距离是它到点 的

18. (2014 周宁、政和一中第四次联考,16) 已知动点 到点 距离的 倍.

(Ⅰ )试求点 的轨迹方程 ; (Ⅱ )已知直线 经过点 [答案] 18.查看解析 [解析] 18. (Ⅰ )设点 , 且与点 的轨迹相切,试求直线 的方程.

由题意得

两边平方整理得

.

故点 的轨迹是一个圆,其方程为

.

(6 分)

(Ⅱ )由(Ⅰ )得圆心为

,半径

.

(i) 若直线 的斜率不存在,则方程为 故该直线与圆不相切;

,圆心到直线的距离



(ii ) 若直线 的斜率存在,设为 ,则直线 的方程为

.

由直线和圆相切得: 整理得 ,解得 或 或

, . . (13 分 )

故所求直线的方程为

19. (2014 湖南株洲高三教学质量检测(一),20) 已知椭圆 , , 为坐标原点,过点 过点 且不垂直于 轴的动直线 与椭圆

的左右焦点分别为 相交于 、 两点,

的直线与椭圆交于另一点 .

(Ⅰ )若 (Ⅱ ) 求

,求 面积的最大值.

的直线的方程;

[答案] 19.查看解析

[解析] 19. (Ⅰ )设 C(x, y), 则





(3 分)

又 C 点在椭圆上,有: 联立① ② 解得 所以 或 , .



的直线的方程为

(6 分)

(Ⅱ ) 设直线的方程为:,



联立直线与椭圆方程得:

满足



(8 分)

弦长



又点 到直线 的距离为



所以







.

(13 分)

20. (2014 江苏苏北四市高三期末统考, 23) 已知点 (Ⅰ )求动点 的轨迹 的方程; (Ⅱ )在直线 :



,动点 满足

.

上取一点 ,过点 作轨迹 的两条切线,切点分别为 // ?若存在,求出点 的坐标;若不存在,

. 问:是否存在点 ,使得直线 请说明理由. [答案] 20.查看解析

[解析] 20.

解析 (Ⅰ )设

,则









,得

,化简得

.

故动点 的轨迹 的方程

. (5 分) ,设 , , .

(Ⅱ )直线 方程为

过点 的切线方程设为

,代入

,得





,得

, ,(7 分) . 所以 直线 MN 的方程为 ,

所以过点 的切线方程为 同理过点 的切线方程为



// ,所以

,得

,而



故点 的坐标为

. (10 分) 满足 , ,

21.(2014 江苏苏北四市高三期末统考, 20) 已知数列 , 是数列 (Ⅰ )若数列 为等差数列. 的前 项和.

(ⅰ )求数列的通项 ;

(ⅱ )若数列

满足

,数列

满足

,试比较数列

前 项和 与 (Ⅱ )若对任意

前 项和 的大小; , 恒成立,求实数 的取值范围.

[答案] 21.查看解析

[解析] 21. 即

解析 (Ⅰ )(ⅰ )因为

,所以



,又

,所以



又因为数列

成等差数列,所以

,即

,解得



所以



(ⅱ )因为

,所以

,其前 项和



又因为

,(5 分)

所以其前 项和

,所以







时,

;当



时,





时,

. ( 9 分)

(Ⅱ )由





两式作差,得



所以 所以,当 时, ;

, 作差得

, (11 分)



时,





时,





时,



因为对任意



恒成立,所以





所以

,解得,

,故实数 的取值范围为

. (16 分)

22. (2014 江苏苏北四市高三期末统考, 19) 已知函数 象是曲线 . (Ⅰ )当 (Ⅱ )设函数 时,求函数 的导函数为 的单调减区间; ,若存在唯一的实数 ,使得



为常数),其图



同时成立,求实数 的取值范围; (Ⅲ )已知点 为曲线 上的动点,在点 处作曲线 的切线 与曲线 交于另一 点 ,在点 处作曲线 的切线 ,设切线 ,使得 的斜率分别为 . 问:是否存在常数

?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.

[答案] 22.查看解析 [解析] 22. .

解析 (Ⅰ )当

时,



,解得

,所以 f(x) 的单调减区间为

. (4 分)

(Ⅱ )

,由题意知

消去 ,



有唯一解.



,则



所以

在区间



上是增函数,在

上是减函数,







故实数 的取值范围是 (Ⅲ )设

. (10 分) ,

,则点 处切线方程为

与曲线 :

联立方程组,得

,即



所以 点的横坐标

. (12 分)

由题意知,





若存在常数 ,使得

,则



即存在常数 ,使得



所以

解得



.



时,存在常数

,使



时,不存在常数 ,使 的三个顶点

. (16 分) , , ,其

23. (2014 江苏苏北四市高三期末统考, 18) 已知 外接圆为 . (Ⅰ )若直线 过点 ,且被 (Ⅱ )对于线段 使得点 是线段 [答案] 23.查看解析 [解析] 23. 解析 (Ⅰ )线段 , 的垂直平分线方程为

截得的弦长为 2,求直线 的方程; ,

上的任意一点 ,若在以 为圆心的圆上都存在不同的两点 的中点,求 的半径 的取值范围.

,线段

的垂直平分线方程为

所以

外接圆圆心

,半径



圆 的方程为

. (4 分)

设圆心 到直线 的距离为 ,因为直线 被圆 截得的弦长为 2,

所以

. 为所求; ,则

当直线 垂直于 轴时,显然符合题意,即 当直线 不垂直于 轴时,设直线方程为

,解得

, 或 ,设 . (8 分) ,

综上,直线 的方程为 (Ⅱ )直线 的方程为

因为点 是线段

的中点,所以

,又

都在半径为 的圆 上,

所以 因为该关于

即 的方程组有解,即以 为圆心, 为半径的圆与以 , (12 分) 对 ]成立. 为圆心, 为半

径的圆有公共点,所以 又 ,所以



在[0,1]上的值域为[,10],所以



.

又线 段

与圆 无公共点,所以



成立,即

.

故圆 的半径 的取值范围为

. (16 分)

24. (2014 吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 21) 已知抛物线 : 为 ,焦点为 , ,交 于点 ,交 (Ⅰ ) 求

的准线

的圆心在 轴的正半轴上,且与 轴相切,过原点作倾斜角为 的直线 于另一点 ,且

和抛物线 的方程;

(Ⅱ ) 过 上的动点 作 的切线,切点为 、 ,求当坐标原点 到直线 最大值时,四边形 的面积.

的距离取得

[答案] 24.查看解析

[解析] 24. (Ⅰ )准线 交 轴于

,在





所以

, 所以

,抛物线方程是



(3 分)



中有

, 所以



所以⊙

方程是:

.

(6 分)

(Ⅱ )解法一:设



所以切线

;切线

, (8 分)

因为



交于 点,所以 ,

和 (10 分)

成立 ,

所以 ST 方程:

所以原点到

距离

,当

,即 在 y 轴上时 有最大值,

此时直线 ST 方程是



所以



所以此时四边形

的面积

.

(12 分)

25. (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 20 ) 已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 ,椭圆的离心率为 ,且椭圆经过点 (Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; .

(Ⅱ ) 线段

是椭圆过点 的弦,且

,求

内切圆面积最大时实数 的值.

[答案] 25.查看解析

[解析] 25.:(Ⅰ )

,又

. (4 分) (Ⅱ ) 显然直线 不与 轴重合

当直线 当直线

与 轴垂直时,|

|=3, :



; 代入椭圆 C 的标准方程,

不与 轴垂直时,设直线

整理,得

,(7 分)





所以



由上,得



所以当直线

与 轴垂直时

最大,且最大面积为 3,



内切圆半径 ,则



,此时直线

与 轴垂直,

内切圆面积最大,

所以,

. (12 分)

26. (2014 广州高三调研测试, 21) 如图 7,已知椭圆 的方程为 的两条渐近线为 . 过椭圆 的右焦点 作直线 ,使

,双曲线 ,又 与 交于点 ,设

与椭圆 的两个交点由上至下依次为 , . (1)若 与 的夹角为 60° ,且双曲线的焦距为 4,求椭圆 的方程;

(2)求

的最大值.

[答案] 26.查看解析

[解析] 26. (1)因为双曲线方程为



所以双曲线的渐近线方程为

.

因为两渐近线的夹角为



,所以

.

[来源:学*科*网]

所以

.

所以 因为

. ,所以 ,

所以



.

所以椭圆 的方程为

.

(4 分)

(2)因为

,所以直线 与的方程为

,其中

.

因为直线 的方程为



联立直线 与 的方程解得点

.



,则

.

因为点

,设点



则有

.

解得



.

(8 分)

因为点

在椭圆

上,

所以

.



.

等式两边同除以 得







,即

时, 取最大值

.



的最大值为

.

(14 分)

27.(2014 兰州高三第一次诊断考试, 20) 设椭圆 ,直线 : [答案] 27.查看解析 [解析] 27. (Ⅰ )试求椭圆的方程; 交 轴于点 ,且 .

的焦点分别为



(Ⅱ )

过 、 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 、 、 面积的最大值和最小值.

、 四点(如图所

示), 试求四边形

解析 (Ⅰ )由题 意, 即:椭圆方程为 (3 分)



的中点

(Ⅱ)当直线

与 轴垂直时,

,此时

,四边形



面积

.同理当

与 轴垂直时,也有四边形

的面积

. 当直线



均与 轴不垂直时,设

:

,代入消去 得:



(6 分)

所以,

,所以,



同理

(9 分)

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

所以四边形的面积



因为



,且 S 是以 u 为自变量的增函数,所以



综上可知,

.故四边形

面积的最大值为 4,最小值为

. (12 分)

28. (本题满分 13 分)如图,在平面直角坐标系 , 连结 、

中,已知抛物线

,设点

, 为抛物线 上的动点(异于顶点),连结 并延长交抛物线 于点 , 并分别延长交抛物线 于点 、 ,连结 ,设 、 的斜率存在且分别

为 、 .

(1)若





,求 ;

(2)是否存在与 无关的常数 ,是的 若不存在请说明理由.

恒成立,若存在,请将 用 、 表示出来;

[答案] 28.查看解析

[解析] 28.(1) 直线

,设

. (2)设

(5 分)

则直线

的方程为:

,代入抛物线方程



整理得,

,即

从而

,故点

同理,点 三点共线

.

[来源:学科网 ZXXK]



整理得

所以,



.

(12 分)

29. (2014 北京东城高三 12 月教学质量调研) 已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两 个焦点,A、B 为过 F1 的直线与椭圆的交点,且△F2AB 的周长为 4 (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; .

(Ⅱ )判断 [答案] 29.查看解析

是否为定值,若是求出这个值,若不是说明理由,.

[解析] 29.解:(Ⅰ )由椭圆定义可知,

4,



所以



=

.

所以椭圆方程为 (Ⅱ )设 ,

. ,

(5 分)

(1)当直线斜率不存在时,有







.

(7 分) 代入椭圆方程,

(2)当直线斜率存在时,设直线方程为

并整理得:



所以



(或求出 x1,x2 的值),

所以

(10 分)



所以

.

(14 分)


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