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换元法求三角函数的最值


3 0  

数 学通 讯 —— 2 O 1 2年 第 9期 ( 上半月)  

? 辅教 导学 ?  

换 元 法 求三 角 函 数的 最值 
安振平  
( 陕 西 成 阳师 范 学 院 基 础 教 育课 程 研 究 中心 , 7 1 2 0 0 0 )  

文E l i

采用平方配凑、 待定系数、 均 值 不等 式  等 方法 , 探讨 了一类 三 角 函数 的最 值 问题.这 种方 


记  ( £ )一 t ( 4 一t   ) ( O≤ t ≤ 1 ) , 则 厂( £ )= 4  

法普 适 面较 广 , 应用价值较 大, 值 得 读 者重 视 . 对  这 类三 角 函数最 值 问 题 , 也 可 先采 用 局部 换 元 转 
化 为代 数 函数 , 再 利 用求 导方 法 解答 之 , 这 样 的化  归方法 自然 、 便捷 , 免 去 了配凑 系数 之 困扰 .本 文  介绍 换元 法求 三 角 函数 的最 值 的技 巧 和 途 径 , 供  读 者参考 .  

5 t 4由 ,   ( £ )= 0 , 得 £ 一 

∈ [ - 0 , 1 - 1 .  

当 o ≤ £ <   詈 时 , / ( £ ) > o , , ( £ ) 是 增 函 数 ;  
当   詈 < f ≤ 1 时 , / ( £ ) < 0 , 厂 ( £ ) 是 减 函 数 .   所 以 , 当£ 一  詈时 , 厂 ( £ ) 取 得 最 大 值  

例1   设0 ≤ ≤ 要, 求函数 Y一 7 s i n 0 +  
2 s i n 0 c o s 0 的最 大值 .  
解  令 t =c o s / ? , 则 0 ≤ t ≤ 1 ,  
Y  一 ( 1一 C O S  ) ( 7+ 2 c o s 0 ) 。  


㈤] m x   孵  一 萼 孵 
故当 s i n / ? 一 
√ 

时, Y取 得 最 大 值 Y   。  一  

( 1一 t 。 ) ( 7+ 2 t )   .  
5  

4 /  

记厂 ( £ )一 ( 1 一t   ) ( 7 +2 t ) 。 , 则 

5‘  

/( £ ) 一一2 t ( 7 十2 t )   +( 1 一t   ) ? [ 4 ( 7 +2 t ) - ]  
一 一

说明   用t 一周

去代换 , 起到了无理转化 

2 ( 4 t 一1 ) ( 2 t +7 ) ( £ +2 ) .  

为有 理 的作用 , 简化 了运 算 过程.   例3   已知 。为锐 角 , 求 函数  ’   一 
的最小值 .  
sl na 

令J r   (   ) =o , 得£ =÷∈[ o , 1 ] .   当 0 ≤£ <÷时 , ,   ( £ ) >0 , 厂 ( £ ) 是 增 函 数; 当  
÷<£ ≤1 时, /( £ ) <0 , 厂 ( £ ) 是减函数.  
所以, 当t 一÷时, , ( £ ) 取得最大值[ 厂 ( £ ) ]  

+ 

cos ̄ t  

解 令  s i  Ⅱ   一 ÷ +  
< 1 ) .  

(  

= = = , ( 丢 ) 一 菩 
故当 c o s 0=  A 时, Y 取 得 最 大 值 


记  ) = ÷ +  
一  

( 。 < £ < 1 ) , 则  
?  

十 

1 5 ̄ 厂  
—  



’  

令 /( £ ) =0 , 解得 £ 一   1∈ ( o , 1 )当 o <£ < 


说 明  平 方 的 目的是 为 了不 出现无 理 函数 ,  
免 去 了求导 之麻 烦.  

丢 时 , / ( £ ) < 0 , 此 时 函 数 厂 (   ) 是 减 函 数 ; 当 ÷ <  
t <1 时, /( £ ) >0 , 此时函数 ( £ ) 是增函数.  
所以, 当£ 一  1时 , ( £ )取得最 小值 [  ( £ ) ]   i  



例2   设0 ≤ ≤ 丁 c , 求 函数 Y= 周
C O S  )的最大值 .  

( 3 + 

解  令 t 一 ̄ / s i n   , 则 Y— t ( 4 一t   ) ( 0 ≤£ ≤ 
1 ) .  

, (   )一 8 .  

?

辅 教导学 ?  

数学通讯——2 O 1 2年 第 9期 ( 上半月 )  

3 1  

故 当 s i n a  1 即   一 詈时 ,   取 得 最 小 值   m i n  
一 8 .  

说明  将 三 角 函数 的 名称化 同 、 归一, 便 于局 

部 的代 数 换元 , 利 于 转 化为 代数 函数 , 这 是 核 心 所 
在, 请 留意 之 .   例6 ( 《 数学通报 ) ) 2 0 1 2年 第 4期 问题 2 0 5 8  

说 明  这是 一个 经典 的题 目, 一般 的形式 是 :  

已知 口> 0 , b> 0 , 0< z<  , 求证 : 。   + 

题) 求函数 Y:   1 十c o S a   , 口 ∈( 0 , 要) Z  的最大值.  
解  显然  > 0 , 令 = 1 +C O  ̄ a ' , t ∈( 1 , 2 ) ,   则有 3 r 。一  二  .  

≥  



 

例4   设 0≤  ≤ 7 c , 试 求三 角 函数 Y一 ( 1 一  s i n x ) s i n x ( 1 +s i n x )的最大 值.   解  令 t —s i n x, 则 Y: = =( 1 ~s i n 。 x ) s i n x— t  


t 。 ( 0≤ £ ≤ 1 ) .  

记, ( £ ) =t —t 。 ( o ≤t ≤1 ) , 则 /( £ ) 一1 —  

i g   f ( £ ) 一  _   = 一 t 。 + 4   + 孚 一   5 , 则 / ( £ ) 一 一 2 £ + 4 一 吾一 一 吾 ( £ 一 1 ) ( £ 一  
~  

3 t z . 令 / ∽  得 £ 一 譬 ; 当 0 ≤ £ < ‘ - ‘ g - ’  ̄ , / ∽  
>o , 此时 函数 厂 ( £ ) 是 增 函数 ; 当  < £ ≤ 1时 ,   ( £ ) < 0 , 此 时 函数 厂(   ) 是 减 函数 .  

) .  

注意 到 t∈ ( 1 , 2 ) , 令 /( £ )一 0 , 得 t一   2   I 当1 <£ < 
厂 ( £ ) 为增函数 ; 当L 
时 函数 厂 ( £ )为减 函数 .   时, 厂 ( £ )取 得 最 大 值 

时, /∽ > 。 ’ 此时函数 
<£ <2 时 厂( £ ) <o , 此 


所以 , 当£ :  时 , , ( £ ) 取 得最 大值 [ , ( £ ) ]  

: : : , c 争一 学.   所 以 ,当 £=  故 当 S i M 一  帅 取 得 最 大 值  一 学  E f (   … 一  (  
说明: 换 元 转化 为 三次 函数 , 自然 是人 们 更熟 

)= 

.  

悉 的知 识 .看 来 , 换 元 的 简 化 功 能 是 不 可 以轻 
视 的.  

于是 , 当c o s 口一 
二  2  

时,  取 得最 大值 一 

例5   已知 0 ≤ ≤  7 I " , 求 函数  = s i n x s i n 2 x   的 最大 值.  
解  令 t = C O S X , 则 0≤ t ≤ 1 ,  
Y= 2 s i n 。 X C O S X= 2 ( 1一 C O S 。 z) C O S X  




 

。  

说 明  用 t 一1 +e O S I I  ̄ 去代换 , 消去 了分母 里  的运算 符 号 , 简化 了求 导 的运 算 过程 , 值得 关 注与 
反思 .  

2 c o s  ̄ : 一 2c o s 。   = 2 t一 2 t 。 .  

变元 处 理之 “ 换 元”技 巧 , 具 有 神 奇 的 转 化 功  能, 它能 化 陌 生 为 熟 悉 、 化复杂为简单、 化 无 理 为 
有理、 化 分式 为整式 , 值 得不 断学 习与 思考.  

记 ( £ ) 一2 t 一2 t 。 ( o ≤t ≤1 ) , 则 /( £ )一 2  


6 £   ( O≤ t ≤ 1 ) .  

令 /( £ ) =0 , 得£ 一   ∈E o , 1 ] ; 当0 ≤£ < 
√3 

参 考 文献 :  

√ 时, /(   ) >0 , 此时函数 厂 ( £ ) 为增函数 ; 当   < 
3   √ 3  

[ 1 ]   黄 兆麟 . 平 方 配凑 法 求 三 角 函数 的最 值 . 数 
学 通讯 ( 上 半月 ) , 2 0 1 2 ( 4 ) .   ( 收稿 日期 - 2 0 1 2 一O 6 —2 8 )  

t ≤ 1时 ,  ( £ ) <0 , 此 时函数 厂 (   )为减 函数 .  
于是 , 当£ =  , 即c 0 s z=  时 ,  取得 最大 
√ 3   √3  

值   …  厂 (   ) 一 竽.  


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