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必修4三角函数和平面向量(上课用的)


一、角的有关概念
1、角的概念的推广

y

? 的终边
正角 零角
x

? ? (??,??)
? 的终边 2、角度与弧度的互化

o

负角

? ? 180?

180 1弧度 ? ( )?

? 57.30? ? 57?18, π π 1? ? 180

3.终边相同的角; {? | ? ? ? ? 2k? , k ? Z}

三、终边相同的角
1、终边相同的角与相等角的区别 终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。 2、象限角、象间角与区间角的区别

练习: 1. ? 765?表示成2k? + ? , k ? Z的形式, 把 7? ? ? 其中0 ? ? ? 2? 答案: 765 = ? 6? +
4

2.分别写出满足下列条件的角的集合 (1)终边在y轴上的角的集合 ? {? | ? ? ? k? , k ? Z } 2 (2)终边在象限角平分线上的角的集合 ? k? {? | ? ? ? , k ? Z} 4 2

3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相 垂直的两条直线上”的一般表示式

y

y

y

?
O

x

?
O

x

?
O

x

2k? ? ? ?k ? Z ?

k? ? ? ?k ? Z ?

k? ? ? ?k ? Z ? 2

4.写出终边在各图中阴影部分的角的集合
y
150? O 30?

y
30? -30?

y
150?

x

O

x

210?

O

x

5? S1 ? {? | ? 2k? ? ? ? ? 2k? , k ? Z } 6 6 ? ? S2 ? {? | ? ? 2k? ? ? ? ? 2k? , k ? Z} 6 6 5? 5? S3 ? {? | ? ? 2k? ? ? ? ? 2k? , k ? Z } 6 6

?

4.弧度制:

(1)1弧度的角: 长度等于半径的弧所对的圆心角.

360 = 2? rad ? 180 = ? rad
?

l ?= r

r O 1rad r

(2)弧长公式:

l= ? r

1 1 2 (3)扇形面积公式: S扇 = lr ? ? r 2 2

练习
已知一个扇形的周长是4cm,面积为1cm2, 则这个扇形的圆心角的弧度数为_____________

?
弧 度
sin ?

0

O

30

O

45

O

60

O

90

O

120

O

135O 150O 180O 270O 360O

0 0

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2
1

? 3
3 2 1 2

? 2
1

2? 3

3? 4

5? 6 1 2

?
0

3? 2? 2
-1

3 2

2 2

0
1

cos? 1
tan ? 0

3 2 3 3

0
不 存 在

1 2 3 ? ? ? -1 2 2 2

0
不 存 在

3

3 0 ? 3 -1 ? 3

0

5. 任意角的三角函数 (1) 定义:
y x y sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? r r x

y

P(x,y)

r
o



x
2 2

r? x ?y

当点P在单位圆上时,r =1 (2) 三角函数值的符号:
y y y

O

x

O

x

O

x

sin ?

cos?

tan ?

6. 同角三角函数的基本关系式 (1) 平方关系:sin ? ? cos ? ? 1 sin ? ? tan ? (2) 商的关系: cos ?
2 2

练习.已知tanα= ? 3,求sinα.cosα
方法指导:此类例题的结果可分为以下二种情况. (1)已知一个角的某三角函数值,又知角所在象限,有 一解. (2)已知一个角的某三角函数值,但不知角所在象限, 有两解.

典型例题
例1.若α是第三象限的角,问α/2是哪个象限的 角?2α是哪个象限的角?

各个象限的半角范围可以用下图记 忆,图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第 一、二、三、四象限角的半角范围;

练习
2sin ? ? 3cos ? (1)已知 tan ? ? 3求 sin ? ? 4cos ?

1 (2)已知 tan ? ? 3求 2 sin ? ? cos 2 ?

( 已知 tan? ? 3求2 sin2 ? ? 3cos2 ? 3)

诱导公式
公式一(k∈Z)
sin ?2k? ? ? ? ? sin ? cos?2k? ? ? ? ? cos? tan?2k? ? ? ? ? tan ?

sin ?? ? ? ? ? sin ?

公式二:

cos?? ? ? ? ? ? cos? tan?? ? ? ? ? ? tan ?

公式三: sin ?? ? ? ? ? sin ? cos?? ? ? ? cos? tan?? ? ? ? ? tan ?

公式四: sin ?? ? ? ? ? ? sin ? cos?? ? ? ? ? ? cos? tan?? ? ? ? ? tan ?

记忆方法:奇变偶不变,符号看象限

诱导公式
公式五: ? sin( ? ? ) ? cos?
2

公式六:
sin( ? ? ) ? cos? 2

?

公式八: 3? 3? 符号看象限 ? ? ) ? ? cos? sin( sin( ? ? ) ? - cos? 公式七:
2 3? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) (把α看成锐角)sin ? ? sin ? 2 2

?

?

记忆方法:奇变偶不变,符号看象限

2 3? cos( ? ? ) ? sin ? 2

利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数,一般按下面步骤进行:
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数

用公式一
锐角的三角 用公式二或 0~2π的角 函数 四或五或六 的三角函数 可概括为:“负化正,大化小,化到锐角为终了”

解题分析
1.在利用诱导公式求三角函数的值时,一定要注意符号 2。三角变换一般技巧有 ①切化弦, ②降次, ③变角, ④化单一函数, ⑤妙用1, ⑥分子分母同乘除,

方法不当就会很繁,只能通过总结积累解题经验, 选择出最佳方法.

练习
1,求值:

sin(?1740? ) ? cos(1470? ) ? cos(?660? ) ? sin 750? ? tan 405?

cos( ? ? )sin ? -?) (2 2.已知角? 终边上一点P(-4,3),求 的值 11? 9? cos( ? ? )sin( ? ? ) 2 2

?

两角和与差的余弦、正弦和正切公式
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

两角和与差的正切公式的变形
tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
tan? ? tan? (1 ? tanαtanβ)= tan(? ? ? )

当两角和差公式中α=β时就得到二倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos? cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan ?
2 2 2 2 2

与二倍角公式相关的公式变形
1 sin ? cos? ? sin 2? 2 1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos? ) 1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos? )
2 2
2

2

1 ? cos 2? cos ? ? 2 1 ? cos 2? sin ? ? 2
2 2

辅 助 ac os x? bs inx ? a ? b s in(? ? x ) ? 角 ? 其 中 tan ? a 、 c os? ? b 、 s in? ? ? b a ?b ? 公 式
2 2

?

? ? ? a2 ? b2 ? a

练习
1 1 1. 已知cos? ? cos ? ? , ? ? sin ? ? , sin 2 3 求 cos(? ? ? )的值.

? 4 为钝角, 求 cos 2.已知 cos(? ? ) ? , ? 3 5

?

2 ?0 ? ? ? ? ?, 3.已知sin ?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? ? 4 求 cos?2? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ?的值。

y ? sin x, x ?[0, 2? ]
最高点:
1-

y

(

?
2

,1)

(0,0)
-

与x轴的交点: (2? ,0) (? ,0)
?
2

-1

o
-1 -

? 6

?
3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

最低点: 3? ,?1) (
2

作图时 3? ? 的五个 (0,0) ( ,1) (? ,0) ( ,?1) (2? ,0) 2 2 关键点 想一想:如何画y ? Asin(?x ? ? )的图像?

y ? cos x, x ?[0, 2? ]
与x轴的交点: 最高点: -(0,1) ? 1 3?
y
-

(2? ,1)
5? 3 11? 6

(

2
?
2

,0 )
2? 3

(

2
4? 3

,0 )
3? 2

-1

o
-1 -

? 6

?
3

5? 6

?

最低点: (? ,?1)

作图时 3? ? (0,1) ( ,0)(? ,?1) ( ,0) ( 2? ,1) 的五个 2 2 关键点 想一想:如何画y ? A cos(?x ? ? )的图像?

-

7? 6

2?

x

三角函数图象变换 y=sinx
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平行移动 | ? | 个单位长度 横坐标缩短(?>1)或 伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变 纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变

y=sin(x+?)

y=sinx y=sinx

y=sin?x y=Asinx

y=sinx

y=Asin(?x+ ?)

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法1:按先平移后变周期的顺序变换
向左?>0 (向右?<0)

y=sinx

y=sin(x+?)

平移|?|个单位

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin(?x+?)

横坐标不变

y=Asin(?x+?)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法2:按先变周期后平移顺序变换
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

y=sinx

纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0) 平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x ? )? ? sin( ?x ? ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变 纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

总结: y ? A sin(? x ? ? ) ? b.
1 A ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 2 1 b ? ? f ?x ?max ? f ?x ?min ? 2 2? 利用 T ? ,求得?

?

y

y ? sin x
1

y

y ? cos x
1
?

y ? tan x
3? 2

y
?

图像 定义域 值域 最值

?? 2

0
-1

? 2

?

3? 2

2?

5? 2

x

??

0
-1

? 2

?

3? 2

2? 5?
2

x

? 2

?
?

3? 2

O

x

x?R

x?R

? ? x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] x?[?? ? 2k? , 2k? ] (? ? k? , ? k? ), k ? Z 递增区间 2 2 2 2 ? 递减区间 x?[? ? 2k? , 32 ? 2k? ] x?[2k? , ? ? 2k? ] 无 2

无最大值 x ? ? ? ? 2k? 时, ? ?1 x ? ? ? 2k? 时, ? ?1 无最小值 ymin ymin 2

y ?[?1,1] y ?[?1,1] x ? ? ? 2k? 时,max ? 1 x ? 2k? 时,ymax ? 1 y 2

? ? ? x x ? ? k? , k ? Z ? ? 2 ? ?

y?R

奇偶性 周期 对称轴 对称中心

奇函数
x ? ? ? k? , k ? Z 2 (k? ,0) k ? Z

偶函数
T=2π
x ? k? , k ? Z ( ? ? k? , 0) k ? Z 2
(

奇函数
T=π

T=2π

k? ,0), k ? Z 2



求函数

的单调递增区间:
?? ? 1 y ? sin ? ? x ? ? 3? ? 2

1 ? y ? sin( ? x ? ) 2 3
增 增

sin( ?? ) ? ? sin ?

?? ?1 y ? ? sin ? x ? ? 3? ?2

cos( ?? ) ? cos ?

y ? ? sin z 增

y ? sin z 减

练习

1 ? 求函数y ? 2 sin( ? x ? )的最值、单调区间 3 6 以及它的图像是由y ? sin x的图像如何变化得到的?

三角函数常规求值域问题
1 3 1.求函数f ( x) ? ? cos 2 x ? 2sin x ? 的值域 2 2
2

2.求函数y ? 2 sin x ? 2 3 sin x cos x ? 1的值域

向量的概念: 既有大小又有方向的量叫向量 向量的表示方法:
(1)几何表示法: 用有向线段表示 (2)代数表示法: A(起点) B(终点)

a

AB 或 向量的长度(或模):

零向量的概念: 长度(模)为0的向量,记作 0

? ? ?? ? a 与非零向量a共线的单位向量a0 ? ? ? |a|
平行向量的定义: 方向相同或相反的非零向量 规定:零向量与任一向量平行

单位向量概念: 长度(模)为1个单位长度的向量

相等向量的定义: 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 共线向量与平行向量的关系: 任一组平行向量都可移到同一条直线上 所以平行向量也叫共线向量

1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相接
C

2.向量加法平行四边形法则:
B

? a
? ? ? a?b b

C 特点:共起点

? ? a?b
A

? b

? b

? a

B

O

? a

A

? a ? b

3.向量减法三角形法则:

? b

B

O

? a

A

??? ? ? ? BA ? a ? b

特点:共起点,连终点,方向指向被减数

? ?a,它的长度和方向规定 如下:

? 实数?与向量a的积是一个向量,记作

? ? ?1? ?a ? ? a
? ? ?2?当? ? 0时,a的方向与a的方向相同; ? ? ? 当? ? 0时,a的方向与a的方向相反; ? ? ? ? ? 特别地, ? ? 0或a ? 0时,a ? 0 . 当 ?

共线向量基本定理:
向量

b 与非零向量 a 共线当且仅当 有唯一一个实数 ? ,使得 b ? ? a
定理 (1)有关向量共线问题: 的应 (2)证明三点共线的问题: 用: ?

AB ? ? BC(BC ? 0) ? A、B、C三点共线 (3)证明两直线平行的问题:

AB ? ? CD ? AB // CD ? ? ? ? 直线AB // 直线CD ? AB与CD不在同一直线上 ?

平面向量基本定理:
如果 e1、 是同一平面内的两个不共线 e2 向量,那么对于这一平面内的任一向 量 a 有且只有一对实数 ?1、?2 ,使

a ? ?1 e1 ? ?2 e2
其中e , 叫做表示这一平面内 e
1 2

所有向量的一组基底.

向量的夹角: b ? ? ??? ? ? ? 两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a , O a ??? ? ?
?

B

?

? ? 叫做向量 a 和 b

,则?AOB ? ? (0? ? ? ? 180? ) OB ? b

A

? O b B

夹角的范围:0 0 ,180 ? a
A
?

?

的夹角. 注意:两向量必须 是同起点的 0

?

? ? a 与 b 同向

? ?0

? B b

? a
O A

? ? a 与 b 反向

? ? 180?

? ? ? ? 90 ? ? 记作 a 与 b 垂直, a ? b
?

B ? b ? ? a O A

? 向量 a

一一对应

坐标(x,y)

??? ? A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段的终点的坐标减去起点的坐标.

a ? b ? x1 ? x2且y1 ? y2

重 已知O、A、B三点不共线, 要 若点 P 在直线 AB 上, 结 则 OP ? mOA ? nOB, O 论 且 m ? n ? 1.

P

B
A

平面向量数量积
? ? ? ? a ? b ? a ? b ? cos ?
B
b

?
O a

B1

A

作OA ? a, ? b ,过点B作BB1 OB

垂直于直线OA,垂足为 B1 ,则 OB1 ? | b | cosθ | b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影. 平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向 上的投影 |b|cos ? 的乘积

? ? ? ? a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? a , b 非零向量

?

?

?1?向量的模(长度公式):
2

?a ? b ? x1x2 ? y1 y2

设a ? ( x, y ),则 a ? x 2 ? y 2 , 或 a ? x 2 ? y 2

?2?两点间的距离公式: 设A?x1 , y1 ?、B?x2 , y2 ?, 则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ?
AB ?

?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

? ? ? ? a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? a , b 非零向量

?

?

(1)垂直:

a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
(2)平行:

a // b ? b ? ? a ? x y ? x y
1 2 2

1

cos? ?

a ?b a .b

?

x1 x2 ? y1 y2 x ?y . x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2

已知 a =(4,3) ,求与 a 垂直的单位向量 b . 解:设所求向量为(x, y), 则

3 ? 3 ? ?4 x ? 3 y ? 0 ? x ? x?? 5 或? 5 ? 2 2 ?? ? ? x ? y ? 1 ?y ? ? 4 ? y ? 4 5 ? 5 ? 3 4 3 4 ? b ? ( ,? )或b ? (? , ) 5 5 5 5

练习
B

C

练习
D

5. 1 6.

23 3

m=-2

练习
7. A

8.

已知a ? (1,2), ? ?? 3,2 ?, ?1?求 2a ? 4b b

?2?若k a ? 2b与2a ? 4b平行, 求k的值?3?若k a ? 2b与
2a ? 4b的夹角为钝角,求实数k的取值范围

(1) ? 2a ? 4b ? (14,?4) ? 2a ? 4b ? 2 53

(2) ? k a ? 2b ? (k ? 6,2k ? 4)且(k a ? 2b) ∥ 2a ? 4b) (

?14 2k ? 4) ? ?4(k ? 6) ,即32k ? ?32 ? k ? ?1 ( (3) ? k a ? 2b ? (k ? 6,2k ? 4)且(k a ? 2b)与(2a ? 4b)

的夹角为钝角? (k a ? 2b)(2a ? 4b) 0且k ? ?1, ? ? 50 即14(k ? 6) ? 4(2k ? 4) ? 0且k ? ?1? k ? 且k ? ?1 3

已知a ? ?1, sin ? ?, b ? ?1, cos? ?,? ? R.

?1?若a ? b ? ?2,0?, 求 sin ? ? 2 sin ? cos?的值;
2

? 1? ?2?若a ? b ? ? 0, ?,? ? ?? ,2? ?, 求 sin ? ? cos?的值 ? 5? ?1?? a ? b ? ?2,0??sin ? ? cos? ? 0 ?sin ? ? ? cos?
? sin ? ? 2 sin ? cos? ? ? cos ?
2 2 2

又 ? sin ? ? cos ? ? 1
2 2

1 ? 1? ? sin ? ? 2 sin ? cos? ? ? ?2?? a ? b ? ? 0, ? 2 ? 5? 1 1 sin ? ? cos? ? ?1 ? 2 sin ? cos? ? 5 25 24 3? ? 2 sin ? cos? ? ? 0 ?? ? (? , ) 25 2 49 7 ? sin ? ? cos? ? ? 1 ? 2 sin ? cos? ? ? ?? 25 5

已知a ? ?2 cos x,1?, b ? ?sin x, 2 ?, f ? x ? ? a ? b 2 ?? ? ?1?若f (? ? ) ? , 求 cos? ? 2? ?的值; 6 3 ?6 ?

?

?1? f ( x) ? a ? b ? 2 sin x cos x ? 2 ? sin 2 x ? 2
? ? 2 ? 2 2 ? f (? ? ) ? sin( 2? ? ) ? 2 ? ?sin( 2? ? ) ? ? 6 3 3 3 3 ? ? ? ? ? 2 2 又? 2? ? ? ? 2?) ( ? ? cos( ? 2? ) ? sin( 2? ? ) ? ? 3 6 2 6 3 3

?2?若a ∥ b, 求 tan x及f ( x)的值

(2) ? a ∥ b ? 2 2 cos x ? sin x ? tan x ? 2 2

13 2 f ( x) ? 9


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