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2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷


2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
考生注意:1.本试卷共两大题(14 小题) ,全卷满分 150 分,考试时间:120 分钟. 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3.解题书写不要超出装订线. 4.不能使用计算器. 一、填空题(本题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分.要求直接将答案写在横线上.) 1.若关于 x 的不等式 | x ? a |? b 的

解集为 {x | 2 ? x ? 4} ,则 ab 的值是________. 2.从 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 中任取两个不同的数,则取出的两数之和为偶数的概率是______. 3.已知函数 f ( x ) 是周期为 4 的奇函数, 且当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? x2 ?16x ? 60 ,则 f (2 10) 的值是_______. 4.已知直线 l 是函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 图像的切线,当 l 的斜率最小时,l 的方程是_____. 5.在平面直角坐标系 xOy 中,如果直线 l 将圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 平分,且不经过第四象 限,那么 l 的斜率的取值范围是______________. 6.已知等边 ?ABC 的边长为 2, 若 AP ? 是_________. 7.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,点 P 在棱 BC 上,点 Q 为棱 CC1 的中点,若 过点 A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形,则 BP 的取值范围为_______. 8.已知数列 {an } 的奇数项依次构成公差为 d1 的等差数列, 偶数项依次构成公差为 d2 的等差 数列, 且对任意 n ? N * , 都有 an ? an?1 , 若 a1 ? 1, a2 ? 2 , 且数列 {an } 的前 10 项和 S10 =75, 则 a8 ? __________. 9.已知正实数 x, y 满足

??? ?

? ???? ???? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ( AB ? AC ), AQ ? AP ? BC , 则 ?APQ 的面积 3 2

( x ? 2)2 ( y ? 2)2 ? ? 16 ,则 x ? y ? ________. y x

10.设 M 表示满足下列条件的正整数 n 的和:n 整除 20162,且 2016 整除 n,那么 M 的所有 不同正因子的个数为_______.

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)
11.已知

1 1 35 ? ? ? , ? ? (0, ) ,求 tan ? sin ? cos ? 12 2

12.如图,点 P 在 ?ABC 的边 AB 上,且 AB ? 4 AP ,过点 P 的直线 MN 与 ?ABC 的外接圆 交于点 M , N , 且点 A 是弧 MN 的中点,求证: (1) ?ABN ∽ ?ANP ; (2) BM ? BN ? 2MN .
A N M

B

C

(第12题图)

13.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F,过点 F 的直线 l 与双 a 2 b2

曲线 C 交于 A, B 两点,若 OF ?AB ? FA?FB ,求双曲线 C 的离心率 e .

14.已知凸九边形的任意 5 个内角的正弦与其余 4 个内角的余弦之和都等于某个常数值 ? .若 九个内角中有一个角等于 120? ,试求常数 ? 的值


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