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2014-2015学年(人教A版必修一)高中数学模块综合检测卷及答案


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数学· 必修 1(人教 A 版)

模块综合检测卷
(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列四个命题中,设 U 为全集,则错误命题是( ) A.A∩B=??(?UA

)∪?UB)=U B.A∩B=??A=B=? C.A∪B=U?(?UA)∩(?UB)=? 答案:B 2.(2013· 陕西卷)设全集为 R,函数 f(x)= 1-x2的定义域为 M, 则?RM 为( ) A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) 答案:D D.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.A∪B=??A=B=?

3.已知函数 f(x)的图象如右图所示,则 f(x)等于( A. x2-2|x|+1 B.x2-2|x|+1 C.|x2-1|

)

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D. x2-2x+1 解析:A 中 x2-2|x|+1= ?|x|-1?2=||x|-1|,画图知选 A.B、 C、D 均错. 答案:A x-1 ,x∈(0,1)的值域是( ) x+1 A.[1,0) B.(-1,0] C.(-1,0) D.[-1,0] 4.函数 y= x-1 ,x∈(0,1)上为单调增函数, x+1 故所求其值域为(-1,0). 答案:C 解析:因 y=

5.在下列各图中,能表示从集合 A=[0,3]到集合 B=[0,2]的函 数的是( )

答案: .B
? ? ? ?1? 6.已知集合 A={y|y=log2x,x>1},B=?y?y=?2?x,x>1 ?, ? ? ? ? ?

则 A∩B=(

) ? ? 1 ? A.?y?0<y<2 ? ? ? ? 答案:A

? ?1 ? B.{y|0<y<1} C.?y?2<y<1 ? D.? ? ? ?

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7.若偶函数 f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系中成立 的是( ) ? 3? ? 3? A.f?-2?<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f?-2?<f(2) ? ? ? ? ? 3? ? 3? C.f(2)<f(-1)<?-2? D.f(2)<f?-2?<f(-1) ? ? ? ? 答案:D 1 + 4-x2的定义域为( ln?x+1? A.[-2,0)∪(0,2] B.(-1,0)∪(0,2] 8.函数 f(x)= C.[-2,2] D.(-1,2]

)

x+1>0, ? ? 解析:由?ln?x+1?≠0, ? ?4-x2≥0, 得-1<x≤2,且 x≠0. 答案:B

9.(2013· 辽宁卷)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B=( ) A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2] 答案:D

10.函数 y=1- 答案:A

1 的图象是( 1+x

)

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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答 案填写在题中的横线上) ? ? b 11. 设 a, b∈R 集合{1, a+b, a}=?0,a,b?, 则 b-a=________. ? ? 答案:2

12.若函数 f(x)= 范围是________.

x-4 的定义域为 R,则实数 m 的取值 mx +4mx+3
2

解析:①当 m=0 时, x-4 f(x)= . 3 显然其定义域为 R. ②当 m≠0,Δ=(4m)2-4m×3<0, 3 解得 0<m< . 4 3 综合①②知 0≤m< . 4 ? 3? 答案:?0,4? ? ?

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13.我国 2001 年底的人口总数为 M,要实现到 2011 年底我国 人口总数不超过 N(其中 M<N),则人口的年平均自然增长率 p 的最 大值是______. 10 N M-1

答案:

14.当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值 范围是________. 解析:x∈(1,2)时,x2+mx+4<0 恒成立. ∵x2+mx+4<0, 4 ∴m<-x-x. 4 ∵y=-x-x在 x∈(1,2)上是单调增函数, ∴y>-5,∴m≤-5. 答案:m≤-5

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知集合 A={x|3≤x≤7}, B={x|2<x<10},C={x|x<a}. (1)求 A∪B; (2)求(?RA)∩B; (3)若 A C,求 a 的取值范围. 解析:(1)A={x|3≤x≤7} B={x|2<x<10} ∴A∪B={x|2<x<10}. (2)∵A={x|3≤x≤7}, ∴?RA={x|x<3 或>7} (?RA)∩B={x|x<3 或 x>7}∩{x|2<x<10}={x|2<x<3 或 7<x <10}.
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(3)∵A C,∴a>7.

16.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=loga(1-x)+loga(x+3) (a>0 且 a≠1). (1)求函数 f(x)的定义域和值域; (2)若函数 f(x)有最小值为-2,求 a 的值.
? ?1-x>0, 解析:(1)由? 得-3<x<1, ?x+3>0, ? 所以函数的定义域{x|-3<x<1}, f(x)=loga(1-x)(x+3), 设 t=(1-x)(x+3)=4-(x+1)2, 所以 t≤4,又 t>0,则 0<t≤4. 当 a>1 时,y≤loga4,值域为{y|y≤loga4}. 当 0<a<1 时,y≥loga4,值域为{y|y≥loga4}. (2)由(1)知:当 0<a<1 时,函数有最小值,所以 loga4=-2, 1 解得 a= . 2

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17.(本小题满分 14 分)某自来水厂的蓄水池有 400 吨水,水厂每 小时可向蓄水池中注水 60 吨, 同时蓄水池又向居民小区不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6t吨,其中 0≤t≤24. (1) 从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量 是多少吨? (2) 若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请 问:在一天的 24 小时内,有几小时出现供水紧张现象?

解析:设供水 t 小时,水池中存水 y 吨. (1)y=400+60t-120 6t=60( t- 6)2+40(1≤t≤24). 当 t=6 时,ymin=40(吨), 故从供水开始到第 6 小时,蓄水池中的存水量最少,最少水量 40 吨.
2 ? ?60? t- 6? +40<80, (2)依条件知? ? ?1≤t≤24,

8 32 32 8 解得 <t< ,即 - =8. 3 3 3 3 答:一天 24 小时内有 8 小时出现供水紧张.

18.(本小题满分 14 分)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x).当年产量不足 80 千件 1 时,C(x)= x2+10x(万元);当年产量不小于 80 千件时,C(x)=51x 3 10 000 + x -1 450(万元).通过市场分析,若每件售价为 500 元时,该 厂年内生产的商品能全部售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式.
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(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最 大? 解析:(1)当 0<x<80,x∈N*时, 500×1 000x 1 2 1 L(x)= - x -10x-250=- x2+ 10 000 3 3 40x-250. 当 x≥80,x∈N*时, 500×1 000x 10 000 L(x) = - 51x - x + 1 450 - 250 = 1 200 - 10 000 ? 10 000? ?x+ ? x ?. ? 1 2 * ? - ? 3x +40x-250?0<x<80,x∈N ?, ∴L(x)=? ? 10 000? * ?x+ ? ? 1 200 - ? x ?x≥80,x∈N ?.
? ?

(2)当 0<x<80,x∈N*时, 1 L(x)=- (x-60)2+950, 3 ∴当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950(万元). 当 x≥80,x∈N*时, ? 100? ? 10 000? L(x)=1 200-?x+ x ?=1 200-? x- ?2-200≤1 000. ? ? x? ? 100 故当 x= ,即 x=100 时,L(x)取得最大值 1 000 万元,即生 x 产量为 100 千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.

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a 19.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x2+x(x≠0),常数 a∈R. (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围. 解析:(1)当 a=0 时,f(x)=x2, 对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞), f(-x)=(-x)2=x2=f(x), ∴f(x)为偶函数. 当 a≠0 时, a f(x)=x2+x(a≠0,x≠0), 取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0, f(-1)-f(1)=-2a≠0, ∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1), ∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)设 2≤x1≤x2, a a ?x1-x2? 2 f(x1)-f(x2)=x2 · [x1x2(x1+x2)-a], 1+ -x2- = x1 x2 x1x2 要使函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,必须 f(x1)-f(x2)<0 恒成立. ∵x1-x2<0,x1x2>4, 即 a<x1x2(x1+x2)恒成立. 又∵x1+x2>4, ∴x1x2(x1+x2)>16. ∴a 的取值范围是(-∞,16].

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20.(本小题满分 14 分)函数 f(x)定义在区间(0,+∞)上,且对 任意的 x∈R+,y∈R 都有 f(xy)=yf(x). (1)求 f(1)的值; ?1? (2)若 f?2?<0,求证:f(x)在(0,+∞)上为增函数. ? ? (1)解析:令 x=1,y=2,则有 f(12)=2f(1), 则 f(1)=0. (2)证明:对任意 0<x1<x2,存在 s、t 使得 ?1? ?1? ?1? x1=?2?s,x2=?2?t,且 s>t,f?2?<0, ? ? ? ? ? ? ??1? ? ??1? ? ?1? 则 f(x1)-f(x2)=f??2?s?-f??2?t?=(s-t)f?2?<0, ?? ? ? ?? ? ? ? ? 即 f(x1)<f(x2), 故函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

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