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陕西省西安市蓝田县2016届中考数学一模试题(含解析)


陕西省西安市蓝田县 2016 届中考数学一模试题
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.在﹣4,2,﹣1,3 这四个数中,比﹣2 小的数是( A.﹣4 B.2 C.﹣1 D.3 2.下列几何体中,正视图是矩形的是( ) )

A. B. C. D. 3.如图,AB∥CD,FE⊥DB,垂足为 E,∠1=50°,则∠2 的度数是





A.60° B.50° C.40° D.30°

4.若不等式组

无解,则 m 的取值范围是(



A.m>2 B.m<2 C.m≥2 D.m≤2 5.已知正比例函数 y=(m+1)x,y 随 x 的增大而减小,则 m 的取值范围是( ) A.m<﹣1 B.m>﹣1 C.m≥﹣1 D.m≤﹣1 6.如图,在四边形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,连接 AC,AE,若 AB=AC,AE=CD,AD=CE,则图中的全 等三角形有( )

A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对 7.如图,圆内接四边形 ABCD 的两组对边的延长线分别相较于点 E,F,若∠A=55°,∠E=30°,则 ∠F=( )

A.25° B.30° C.40° D.55° 8.若一次函数 y=kx+b 的图象经过(﹣1,1),(0,m),(1,﹣5)三点,则 m 的值为(



1

A.﹣1 B.﹣2 C.0 D. 9.如图,菱形 ABCD 的边长为 4,过点 A、C 作对角线 AC 的垂线,分别交 CB 和 AD 的延长线于点 E、 F,AE=3,则四边形 AECF 的周长为( )

A.22 B.18 C.14 D.11 2 10.如图,已知顶点为(﹣3,﹣6)的抛物线 y=ax +bx+c 经过点(﹣1,﹣4),则下列结论中错误 的是( )

A.b >4ac 2 B.ax +bx+c≥﹣6 C.若点(﹣2,m),(﹣5,n)在抛物线上,则 m>n 2 D.关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=﹣4 的两根为﹣5 和﹣1 二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,计 12 分) 11.﹣ ﹣ = .

2

12.如图,A、B 的坐标分别为(2,0)、(0,1),若将线段 AB 平移至 A1B1,A1、B1 的坐标分别为 (3,1)、(a,b),则 a+b 的值为 .

13 . 如 图 , 一 人 乘 雪 橇 沿 斜 坡 下 滑 AB=72 米 , 且 ∠ A=28° , 则 他 下 降 的 铅 直 高 度 BC 为 米.(用科学计算器计算,结果精确到 0.1)

14. 如图, △ABO 的面积为 3, 且 AO=AB, 反比例函数 y= 的图象经过点 A, 则 k 的值为



2

15.将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起,已知正方形的边长为 20cm,点 O 为正 方形的中心,AB=5cm,则 CD 的长为 cm.

三、解答题(共 11 小题,计 78 分,解答应写出过程) 16.计算: × ﹣|1﹣ |+ cos45°.

17.先化简,再求值:(

+1)÷

,其中 a= .

18. 如图, 已知线段 a 和 b, a>b, 求作直角三角形 ABC, 使直角三角形的斜边 AB=a, 直角边 AC=b. (用 尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法) 19.真情洒满校园,爱心传递温暖,西安市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心慈善捐款活动, 学校团总支为了了解本校学生的捐款情况,随机抽取了若干名学生的捐款数进行了统计、并绘制成 如图所示的不完整的扇形统计图:

(1)将条形统计图补充完整; (2)求抽取的这若干名同学捐款的平均数; (3)若该校有 600 名学生参与捐款,据此估计捐款 15 元的学生人数约为多少? 20.如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 AD,CD 上,且 AE=DF,连接 BE,AF.求证:BE=AF.

3

21.如图,A、B 两点被池塘隔开,小吴为了测量 A,B 两点间的距离,他在 AB 外选一点 C,连接 AC 和 BC,延长 AC 到 D,使 CD= AC,延长 BC 到 E,使 CE= BC,连接 DE.若小吴测得 DE 的长为 400 米, 根据以上信息,请你求出 AB 的长.

22.谷歌人工智能 AlphaGo 机器人与李世石的围棋挑战赛引起人们的广泛关注,人工智能完胜李世 石,某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了 A,B 两种网上学习的月收费方式: 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min) A 7 25 0.6 B 10 50 0.8 设小明每月上网学习人工智能课程的时间为 x 小时,方案 A,B 的收费金额分别为 yA 元,yB 元. (1)当 x≥50 时,分别求出 yA,yB 与 x 之间的函数关系式; (2)若小明 3 月份上该网站学习的时间为 60 小时,则他选择哪种方式上网学习合算? 23.陕西汉中有百万亩油菜花,每年春天,盛开的油菜花与青山绿水相互掩映,构成一道亮丽的风 景,摄影爱好者小飞和小笑计划在油菜花节进行拍摄,但是由于油菜花海分布范围广泛,所以小飞 和小笑决定采用抽签的方式在 1﹣南郑,2﹣西乡,3﹣汉台,4﹣勉县,5﹣洋县这五个地方中选择 两个地方进行拍摄,抽签规则如下:把五个地点分别写在五张背面相同的卡片上,小飞先随机抽取 一张卡片,不放回,搅匀后,小笑再抽取一张. (1)小飞抽取到的地点是南郑的概率是多少? (2)请用树状图或列表的方法,求小飞和小笑在勉县和汉台这两个地方进行拍摄的概率. 24.如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 切⊙O 于点 D,AM⊥CD 于点 M,连接 AD,BD. (1)求证:∠ADC=∠ABD; (2)若 AD=2 ,⊙O 的半径为 3,求 MD 的长.

25.如图,已知正方形 OABC 的边长为 2,顶点 A,C 分别在 x 轴,y 轴的正半轴上,E 点是 BC 的中 点,F 是 AB 延长线上一点且 FB=1.

4

(1)求经过点 O、A、E 三点的抛物线解析式; (2)点 P 在抛物线上运动,当点 P 运动到什么位置时△OAP 的面积为 2,请求出点 P 的坐标; (3)在抛物线上是否存在一点 Q,使△AFQ 是等腰直角三角形?若存在直接写出点 Q 的坐标;若不 存在,请说明理由.

26.定义:数学活动课上,乐老师给出如下定义:有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形 叫做对等四边形. 理解:(1)如图 1,已知 A、B、C 在格点(小正方形的顶点)上,请在方格图中画出以格点为顶点, AB、BC 为边的两个对等四边形 ABCD; (2)如图 2,在圆内接四边形 ABCD 中,AB 是⊙O 的直径,AC=BD.求证:四边形 ABCD 是对等四边 形; (3)如图 3,在 Rt△PBC 中,∠PCB=90°,BC=11,tan∠PBC= ,点 A 在 BP 边上,且 AB=13.用 圆规在 PC 上找到符合条件的点 D,使四边形 ABCD 为对等四边形,并求出 CD 的长.

5

2016 年陕西省西安市蓝田县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.在﹣4,2,﹣1,3 这四个数中,比﹣2 小的数是( ) A.﹣4 B.2 C.﹣1 D.3 【考点】有理数大小比较. 【分析】根据有理数大小比较的法则直接求得结果,再判定正确选项. 【解答】解:∵正数和 0 大于负数, ∴排除 2 和 3. ∵|﹣2|=2,|﹣1|=1,|﹣4|=4, ∴4>2>1,即|﹣4|>|﹣2|>|﹣1|, ∴﹣4<﹣2<﹣1. 故选:A. 【点评】考查了有理数大小比较法则.正数大于 0,0 大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值 大的反而小. 2.下列几何体中,正视图是矩形的是( )

A. B. C. D. 【考点】简单几何体的三视图. 【分析】主视图是从物体正面看,所得到的图形. 【解答】解:A、球的正视图是圆,故此选项错误; B、圆柱的正视图是矩形,故此选项正确; C、圆锥的正视图是等腰三角形,故此选项错误; D、圆台的正视图是等腰梯形,故此选项错误; 故选:B. 【点评】本题考查了几何体的三种视图,掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图 中. 3.如图,AB∥CD,FE⊥DB,垂足为 E,∠1=50°,则∠2 的度数是( )

A.60° B.50° C.40° D.30° 【考点】平行线的性质. 【分析】先根据直角三角形的性质求出∠D 的度数,再由平行线的性质即可得出结论. 【解答】解:∵FE⊥DB,

6

∵∠DEF=90°. ∵∠1=50°, ∴∠D=90°﹣50°=40°. ∵AB∥CD, ∴∠2=∠D=40°. 故选 C. 【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,同位角相等.

4.若不等式组

无解,则 m 的取值范围是(



A.m>2 B.m<2 C.m≥2 D.m≤2 【考点】解一元一次不等式组. 【分析】求出两个不等式的解集,根据已知得出 m≤2,即可得出选项.

【解答】解: ∵解不等式①得:x>2, 不等式②的解集是 x<m,



又∵不等式组

无解,

∴m≤2, 故选 D. 【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组,关键是能根据已知得出关于 m 的不 等式. 5.已知正比例函数 y=(m+1)x,y 随 x 的增大而减小,则 m 的取值范围是( ) A.m<﹣1 B.m>﹣1 C.m≥﹣1 D.m≤﹣1 【考点】正比例函数的性质. 【分析】根据正比例函数图象与系数的关系列出关于 k 的不等式 k+3<0,然后解不等式即可. 【解答】解:∵正比例函数 y=(m+1)x 中,y 的值随自变量 x 的值增大而减小, ∴m+1<0, 解得,m<﹣1; 故选 A. 【点评】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与 k 的关系.解答本题注意理解:直线 y=kx 所在的位置与 k 的符号有直接的关系.k>0 时,直线必经过一、三象限,y 随 x 的增大而增大; k<0 时,直线必经过二、四象限,y 随 x 的增大而减小. 6.如图,在四边形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,连接 AC,AE,若 AB=AC,AE=CD,AD=CE,则图中的全 等三角形有( )

7

A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对 【考点】全等三角形的判定. 【分析】首先证明△ABE≌△AEC,再证明△AEC≌△ADC,△ABE≌△ADC. 【解答】解:在△ABE 和△AEC 中,

, ∴△ABE≌△AEC(SSS), 在△AEC 和△ADC 中,

, ∴△ABO≌△ADO(SSS), ∴△ABE≌△ADC, 故选 D 【点评】考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、 HL. 注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一 角对应相等时,角必须是两边的夹角. 7.如图,圆内接四边形 ABCD 的两组对边的延长线分别相较于点 E,F,若∠A=55°,∠E=30°,则 ∠F=( )

A.25° B.30° C.40° D.55° 【考点】圆内接四边形的性质. 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BCF,根据三角形的外角的性质求出∠CBF,根据三角形内 角和定理计算即可. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是圆内接四边形, ∴∠BCF=∠A=55°, ∵∠CBF 是△ABE 的一个外角,

8

∴∠CBF=∠A+∠E=85°, ∴∠F=180°﹣∠BCF﹣∠CBF=40°, 故选:C. 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和三角形的外角的性质,掌握圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角是解题的关键. 8.若一次函数 y=kx+b 的图象经过(﹣1,1),(0,m),(1,﹣5)三点,则 m 的值为( )

A.﹣1 B.﹣2 C.0 D. 【考点】一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】先利用待定系数法求出一次函数 y=kx+b 的解析式,再把(0,m)代入求出 m 的值即可. 【解答】解:∵点(﹣1,1),(1,﹣5)在一次函数 y=kx+b 的图象上,



,解得



∴一次函数的解析式为 y=﹣3x﹣2. ∵点(0,m)在此函数图象上, ∴m=﹣2. 故选 B. 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此 函数的解析式是解答此题的关键. 9.如图,菱形 ABCD 的边长为 4,过点 A、C 作对角线 AC 的垂线,分别交 CB 和 AD 的延长线于点 E、 F,AE=3,则四边形 AECF 的周长为( )

A.22 B.18 C.14 D.11 【考点】菱形的性质;平行四边形的判定与性质. 【专题】几何图形问题. 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BAC=∠BCA,再根据等角的余角相等求出∠BAE=∠E, 根据等角对等边可得 BE=AB,然后求出 EC,同理可得 AF,然后判断出四边形 AECF 是平行四边形, 再根据周长的定义列式计算即可得解. 【解答】解:在菱形 ABCD 中,∠BAC=∠BCA, ∵AE⊥AC, ∴∠BAC+∠BAE=∠BCA+∠E=90°, ∴∠BAE=∠E, ∴BE=AB=4, ∴EC=BE+BC=4+4=8, 同理可得 AF=8, ∵AD∥BC, ∴四边形 AECF 是平行四边形,

9

∴四边形 AECF 的周长=2(AE+EC)=2(3+8)=22. 故选:A. 【点评】本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质,等角的余角相等的性质,平行四边形的判 定与性质,熟记性质并求出 EC 的长度是解题的关键. 10.如图,已知顶点为(﹣3,﹣6)的抛物线 y=ax +bx+c 经过点(﹣1,﹣4),则下列结论中错误 的是( )
2

A.b >4ac 2 B.ax +bx+c≥﹣6 C.若点(﹣2,m),(﹣5,n)在抛物线上,则 m>n 2 D.关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=﹣4 的两根为﹣5 和﹣1 【考点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象上点的坐标特征;抛物线与 x 轴的交点;二次 函数与不等式(组). 【分析】由抛物线与 x 轴有两个交点则可对 A 进行判断;由于抛物线开口向上,有最小值则可对 B 进行判断;根据抛物线上的点离对称轴的远近,则可对 C 进行判断;根据二次函数的对称性可对 D 进行判断. 2 2 【解答】解:A、图象与 x 轴有两个交点,方程 ax +bx+c=0 有两个不相等的实数根,b ﹣4ac>0 所 2 以 b >4ac,故 A 选项正确; 2 B、抛物线的开口向上,函数有最小值,因为抛物线的最小值为﹣6,所以 ax +bx+c≥﹣6,故 B 选项 正确; C、抛物线的对称轴为直线 x=﹣3,因为﹣5 离对称轴的距离大于﹣2 离对称轴的距离,所以 m<n, 故 C 选项错误; D、根据抛物线的对称性可知,(﹣1,﹣4)关于对称轴的对称点为(﹣5,﹣4),所以关于 x 的一 2 元二次方程 ax +bx+c=﹣4 的两根为﹣5 和﹣1,故 D 选项正确. 故选 C. 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征,抛物线与 x 轴的 交点远近二次函数与不等式的关系. 二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,计 12 分) 11.﹣ ﹣ = ﹣3 .

2

【考点】二次根式的加减法. 【专题】计算题. 【分析】原式化简后,合并即可得到结果. 【解答】解:原式=﹣2 故答案为:﹣3
10



=﹣3



【点评】此题考查了二次根式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 12.如图,A、B 的坐标分别为(2,0)、(0,1),若将线段 AB 平移至 A1B1,A1、B1 的坐标分别为 (3,1)、(a,b),则 a+b 的值为 3 .

【考点】坐标与图形变化-平移. 【分析】 先利用点 A 平移都 A1 得到平移的规律,再按此规律平移 B 点得到 B1,从而得到 B1 点的坐标, 于是可求出 a、b 的值,然后计算 a+b 即可. 【解答】解:∵点 A(2,0)先向上平移 1 个单位,再向右平移 1 个单位得到点 A1(3,1), ∴线段 AB 先向上平移 1 个单位,再向右平移 1 个单位得到线段 A1B1, ∴点 B(0,1)先向上平移 1 个单位,再向右平移 1 个单位得到点 B1, ∴a=0+1=1,1+1=b, ∴a+b=1+2=3. 故答案为:3. 【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征.在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的 平移相同.平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减. 13. 如图, 一人乘雪橇沿斜坡下滑 AB=72 米, 且∠A=28°, 则他下降的铅直高度 BC 为 33.8 米. (用 科学计算器计算,结果精确到 0.1)

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【分析】根据正弦的概念列出算式,计算即可. 【解答】解:sinA= , 则 BC=AB?sinA=72×sin28°≈33.6, 则他下降的铅直高度 BC 为 33.6 米, 故答案为:33.8. 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,掌握坡度是坡面的铅直高度 h 和水平 宽度 l 的比和锐角三角函数的定义是解题的关键.

14.如图,△ABO 的面积为 3,且 AO=AB,反比例函数 y= 的图象经过点 A,则 k 的值为 3 .

11

【考点】反比例函数系数 k 的几何意义. 【分析】过点 A 作 OB 的垂线,垂足为点 C,根据等腰三角形的性质得 OC=BC,再根据三角形的面积 公式得到 OB?AC=3,易得 OC?AC=3,设 A 点坐标为(x,y),即可得到 k=xy=OC?AC=3. 【解答】解:过点 A 作 OB 的垂线,垂足为点 C,如图, ∵AO=AB, ∴OC=BC= OB, ∵△ABO 的面积为 3, ∴ OB?AC=3, ∴OC?AC=3. 设 A 点坐标为(x,y),而点 A 在反比例函数 y= (k>0)的图象上, ∴k=xy=OC?AC=3. 故答案为:3.

【点评】本题考查的是反比例函数比例系数 k 的几何意义:在反比例函数的图象上任意一点象坐标 轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|,且保持不变.同时考查了等 腰三角形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征. 15.将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起,已知正方形的边长为 20cm,点 O 为正 方形的中心,AB=5cm,则 CD 的长为 20 cm.

12

【考点】正方形的性质;相似三角形的判定与性质. 【分析】根据题意四边形 BOCE 是正方形,且边长等于大正方形的边长的一半,等于 10cm,再根据 △DCE 和△DOA 相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可. 【解答】解:如图, ∵点 O 为正方形的中心, ∴四边形 BOCE 是正方形,边长=20÷2=10cm, ∵CE∥AO, ∴△DCE∽△DOA, ∴ ,

即 , 解得 DC=20cm. 故答案为:20.

【点评】本题主要考查正方形各边都相等,每个角都是直角的性质和相似三角形对应边成比例的性 质,需要熟练掌握并灵活运用. 三、解答题(共 11 小题,计 78 分,解答应写出过程) 16.计算: × ﹣|1﹣ |+ cos45°.

【考点】二次根式的混合运算;特殊角的三角函数值. 【专题】计算题. 【分析】根据特殊角的三角函数值和绝对值的意义得到原式=3 进行二次根式的乘法运算后合并即可. 【解答】解:原式=3 =9 =8 +1﹣ +2. +1 × +(1﹣ )+ × × +(1﹣ )+ × ,然后

【点评】本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除 运算,然后合并同类二次根式.

17.先化简,再求值:(

+1)÷

,其中 a= .

【考点】分式的化简求值. 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把 a 的值代入进行计算即可.

13

【解答】解:原式=

?

=

?

= =a﹣2,

?

当 a= 时,原式= ﹣2=﹣ . 【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 18. 如图, 已知线段 a 和 b, a>b, 求作直角三角形 ABC, 使直角三角形的斜边 AB=a, 直角边 AC=b. (用 尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法) 【考点】作图—复杂作图. 【专题】作图题. 【分析】先作线段 AC=b,再过点 C 作 AC 的垂线,接着以点 A 为圆心,a 为半径画弧交此垂线于 B, 则△ABC 为所求. 【解答】解:如图, △ABC 为所求作的直角三角形.

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合 了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图 形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也 19.真情洒满校园,爱心传递温暖,西安市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心慈善捐款活动, 学校团总支为了了解本校学生的捐款情况,随机抽取了若干名学生的捐款数进行了统计、并绘制成 如图所示的不完整的扇形统计图:

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(1)将条形统计图补充完整; (2)求抽取的这若干名同学捐款的平均数; (3)若该校有 600 名学生参与捐款,据此估计捐款 15 元的学生人数约为多少? 【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图;加权平均数. 【分析】(1)利用捐款 20 元的 6 人除以所占的百分比求得总人数,进一步求得捐款 5 元和 15 元的 人数,补全条形统计图即可; (2)利用求平均数的方法得出答案即可; (3)求得捐款 15 元的学生人数所占的百分比,乘学校人数即可得出答案. 【解答】解:(1)6÷15%=40(人) 40×25%=10(人) 40﹣10﹣16﹣6=8(人) 条形统计图如下:

(2)抽取的这若干名同学捐款的平均数=(10×5+16×10+8×15+6×20)÷40=11.25(元); (3)600× =120(人) 答:估计捐款 15 元的学生人数约为 120 人. 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到 必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映 部分占总体的百分比大小. 20.如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 AD,CD 上,且 AE=DF,连接 BE,AF.求证:BE=AF.

【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质. 【专题】证明题. 【分析】根据正方形的四条边都相等可得 AB=AD,每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°,然后利

15

用“边角边”证明△ABE 和△ADF 全等,根据全等三角形对应边相等证明即可. 【解答】证明:在正方形 ABCD 中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°, 在△ABE 和△ADF 中,

, ∴△ABE≌△ADF(SAS), ∴BE=AF. 【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,掌握三角形全等的判定方法与正方 形的性质是解题的关键. 21.如图,A、B 两点被池塘隔开,小吴为了测量 A,B 两点间的距离,他在 AB 外选一点 C,连接 AC 和 BC,延长 AC 到 D,使 CD= AC,延长 BC 到 E,使 CE= BC,连接 DE.若小吴测得 DE 的长为 400 米, 根据以上信息,请你求出 AB 的长.

【考点】相似三角形的应用. 【分析】根据题意结合相似三角形的判定方法得出,△ABC∽△DEC,进而求出 AB 的长. 【解答】解:∵CD= AC,CE= BC, ∴ = = , ∵∠ACB=∠ECD, ∴△ABC∽△DEC, ∴ = = , ∴AB=800, 答:AB 的长为 800m. 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用,正确得出△ABC∽△DEC 是解题关键. 22.谷歌人工智能 AlphaGo 机器人与李世石的围棋挑战赛引起人们的广泛关注,人工智能完胜李世 石,某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了 A,B 两种网上学习的月收费方式: 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min) A 7 25 0.6 B 10 50 0.8 设小明每月上网学习人工智能课程的时间为 x 小时,方案 A,B 的收费金额分别为 yA 元,yB 元. (1)当 x≥50 时,分别求出 yA,yB 与 x 之间的函数关系式;

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(2)若小明 3 月份上该网站学习的时间为 60 小时,则他选择哪种方式上网学习合算? 【考点】一次函数的应用. 【分析】(1)根据收取费用=月使用费+超时单价×超过时间,可找出 yA、yB 关于 x 的函数关系式; (2)将 x=60 分别代入 yA、yB 的表达式中得出 y 值进行比较,即可得出结论. 【解答】解:(1)当 x≥50 时,yA 与 x 之间的函数关系式为: yA=7+(x﹣25)×0.6=0.6x﹣8, 当 x≥50 时,yB 与 x 之间的函数关系式为: yB=10+(x﹣50)×0.8=0.8x﹣30. (2)当 x=60 时,yA=0.6×60﹣8=28,yB=0.8×60﹣30=18, ∴yA>yB. 故选择 B 方式上网学习合算. 【点评】本题考查了一次函数的应用,解题的关键是根据数量关系列出函数的表达式.本题属于基 础题,难度很小,解决该题型题目时,寻找数量关系是关键. 23.陕西汉中有百万亩油菜花,每年春天,盛开的油菜花与青山绿水相互掩映,构成一道亮丽的风 景,摄影爱好者小飞和小笑计划在油菜花节进行拍摄,但是由于油菜花海分布范围广泛,所以小飞 和小笑决定采用抽签的方式在 1﹣南郑,2﹣西乡,3﹣汉台,4﹣勉县,5﹣洋县这五个地方中选择 两个地方进行拍摄,抽签规则如下:把五个地点分别写在五张背面相同的卡片上,小飞先随机抽取 一张卡片,不放回,搅匀后,小笑再抽取一张. (1)小飞抽取到的地点是南郑的概率是多少? (2)请用树状图或列表的方法,求小飞和小笑在勉县和汉台这两个地方进行拍摄的概率. 【考点】列表法与树状图法. 【分析】(1)由共五个地方:1﹣南郑,2﹣西乡,3﹣汉台,4﹣勉县,5﹣洋县,直接利用概率公 式求解即可求得答案; (2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与小飞和小笑在勉县和汉台这 两个地方进行拍摄的情况,再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解:(1)∵共五个地方:1﹣南郑,2﹣西乡,3﹣汉台,4﹣勉县,5﹣洋县, ∴小飞抽取到的地点是南郑的概率是: ; (2)画树状图得:

∵共有 20 种等可能的结果,小飞和小笑在勉县和汉台这两个地方进行拍摄的有 2 种情况, ∴小飞和小笑在勉县和汉台这两个地方进行拍摄的概率为: = . 【点评】 此题考查了列表法或树状图法求概率. 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比. 24.如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 切⊙O 于点 D,AM⊥CD 于点 M,连接 AD,BD. (1)求证:∠ADC=∠ABD; (2)若 AD=2 ,⊙O 的半径为 3,求 MD 的长.
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【考点】切线的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质. 【分析】(1)连接 OD,由切线的性质和圆周角定理即可得到结果; (2)由已知条件证得△ADM∽△ABD,即可得到结论.

【解答】证明:(1)连接 OD,如图: ∵直线 CD 切⊙O 于点 D, ∴∠CDO=90°, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠ADC+∠ADO=∠ADO+∠ODB=90°, ∴∠ADC=∠ODB, ∵OB=OD, ∴∠ODB=∠ADB, ∴∠ADC=∠ABD; (2)∵⊙O 的半径为 3,AB=6, ∵∠ADB=90°, ∴DB═ ∵∠AMD=∠ADB=90°,∠ADC=∠ABD, ∴△ADM∽△ABD, ,

∴ ∴DM=2

,即 .

【点评】本题考查了圆的切线性质,等腰三角形的性质,圆周角定理,解直角三角形的知识.运用 切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有 关问题. 25.如图,已知正方形 OABC 的边长为 2,顶点 A,C 分别在 x 轴,y 轴的正半轴上,E 点是 BC 的中 点,F 是 AB 延长线上一点且 FB=1. (1)求经过点 O、A、E 三点的抛物线解析式; (2)点 P 在抛物线上运动,当点 P 运动到什么位置时△OAP 的面积为 2,请求出点 P 的坐标; (3)在抛物线上是否存在一点 Q,使△AFQ 是等腰直角三角形?若存在直接写出点 Q 的坐标;若不

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存在,请说明理由.

【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)首先确定 A 和 E 的坐标,利用待定系数法即可求得函数解析式; (2)根据三角形的面积公式即可求得 P 的纵坐标,进而求得 P 的坐标; (3)分成 A 是直角顶点,F 是直角顶点,Q 是直角顶点三种情况进行讨论,确定若构成等腰直角三 角形时,Q 是否在抛物线上即可. 【解答】解:(1)A 的坐标是(2,0),E 的坐标是(1,2). 2 设抛物线的解析式是 y=ax +bx+c,

根据题意得:



解得:


2

则抛物线的解析式是 y=﹣2x +4x; (2)当△OAP 的面积是 2 时,P 的纵坐标是 2 或﹣2. 2 当﹣2x +4x=2 时,解得:x=1,则 P 的坐标是(1,2); 当﹣2x +4x=﹣2 时,解得:x=1± 此时 P 的坐标是(1+
2

, ,﹣2);

,﹣2)或(1﹣

(3)AF=AB+BF=2+1=3. OA=2,则 A 是直角顶点时,Q 不可能在抛物线上; 当 F 是直角顶点时,Q 不可能在抛物线上; 当 Q 是直角顶点时,Q 到 AF 的距离是 AF= ,若 Q 存在,则 Q 的坐标是(2﹣ , ),即( , ), 在抛物线上; 综上,抛物线上存在 Q 点满足题目要求.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,正确对等腰直角三角形进行讨论是本题的关 键. 26.定义:数学活动课上,乐老师给出如下定义:有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形

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叫做对等四边形. 理解:(1)如图 1,已知 A、B、C 在格点(小正方形的顶点)上,请在方格图中画出以格点为顶点, AB、BC 为边的两个对等四边形 ABCD; (2)如图 2,在圆内接四边形 ABCD 中,AB 是⊙O 的直径,AC=BD.求证:四边形 ABCD 是对等四边 形; (3)如图 3,在 Rt△PBC 中,∠PCB=90°,BC=11,tan∠PBC= ,点 A 在 BP 边上,且 AB=13.用 圆规在 PC 上找到符合条件的点 D,使四边形 ABCD 为对等四边形,并求出 CD 的长.

【考点】四边形综合题. 【专题】新定义. 【分析】(1)根据对等四边形的定义,进行画图即可; (2)连接 AC,BD,证明 Rt△ADB≌Rt△ACB,得到 AD=BC,又 AB 是⊙O 的直径,所以 AB≠CD,即可 解答; (3)根据对等四边形的定义,分两种情况:①若 CD=AB,此时点 D 在 D1 的位置,CD1=AB=13;②若 AD=BC=11,此时点 D 在 D2、D3 的位置,AD2=AD3=BC=11;利用勾股定理和矩形的性质,求出相关相关 线段的长度,即可解答. 【解答】解:(1)如图 1 所示(画 2 个即可).

(2)如图 2,连接 AC,BD,

∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=∠ACB=90°, 在 Rt△ADB 和 Rt△ACB 中,

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∴Rt△ADB≌Rt△ACB, ∴AD=BC, 又∵AB 是⊙O 的直径, ∴AB≠CD, ∴四边形 ABCD 是对等四边形. (3)如图 3,点 D 的位置如图所示:

①若 CD=AB,此时点 D 在 D1 的位置,CD1=AB=13; ②若 AD=BC=11,此时点 D 在 D2、D3 的位置,AD2=AD3=BC=11, 过点 A 分别作 AE⊥BC,AF⊥PC,垂足为 E,F, 设 BE=x, ∵tan∠PBC= ,

∴AE= , 2 2 2 在 Rt△ABE 中,AE +BE =AB , 即 , 解得:x1=5,x2=﹣5(舍去), ∴BE=5,AE=12, ∴CE=BC﹣BE=6, 由四边形 AECF 为矩形,可得 AF=CE=6,CF=AE=12, 在 Rt△AFD2 中, ∴ , 或 12+ . , ,

综上所述,CD 的长度为 13、12﹣

【点评】本题主要考查了四边形的综合题,解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概 念.在(3)中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用.

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