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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(82)


加试模拟训练题(82) (附详细答案) 1 如图,四边形 ABCD 内接于圆,AB,DC 延长线交于 E,AD、 BC 延长线交于 F,P 为圆上任意一点,PE,PF 分别交圆于 R, S. 若对角线 AC 与 BD 相交于 T. 求证:R,T,S 三点共线。 E B R C T D F A P S 2.对于每个实数 x1,由 xn+1=xn(xn+1/n) ,n≥1,

构成序列 x1,x2,?,证明:存 在唯一的 x1,使得 0<xn<xn+1<1(n=1,2,?) . 3.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为 2:3 的两个四边形. 证明: 这九条直线 中至少有三条经过同一点. 4. 已知 49 个正整数的集合 M , M 中的每个数的质因数不大于 10,证明: M 中有 4 个互 不相同的元素,它们的乘积等于某个整数的四次方。 加试模拟训练题(82) 1 如图,四边形 ABCD 内接于圆,AB,DC 延长线交于 E, AD、BC 延长线交于 F,P 为圆上任意一点,PE,PF 分别交圆 于 R,S. 若对角线 AC 与 BD 相交于 T. 求证:R,T,S 三点共 线。 先证两个引理。 引理 1: A1B1C1D1E1F1 为圆内接六边形,若 A1D1,B1E1,C1F1 交于 一点,则有 A1B1 C1D1 E1F1 ? ? ?1. B1C1 D1E1 F1 A1 A P S E B R C T D F 如图,设 A1D1,B1E1,C1F1 交于点 O,根据圆内接多边形 的性质易知 △ OA1B1∽△OE1D1,△OB1C1∽△OF1E1, △ OC1D1∽△OA1F1,从而有 △ A1 B1 B1O EF FO CD DO ? , 1 1 ? 1 , 1 1 ? 1 . D1 E1 D1O B1C1 B1O F1 A1 F1O 将上面三式相乘即得 A1B1 C1D1 E1F1 ? ? ?1, B1C1 D1E1 F1 A1 B1 A1 C1 O D1 E1 F1 引理 2: 圆内接六边形 A1B1C1D1E1F1,若满足 A1B1 C1D1 E1F1 ? ? ?1 B1C1 D1E1 F1 A1 则其三条对角线 A1D1,B1E1,C1F1 交于一点。 该引理与定理 2 的证明方法类似,留给读者。 例 11 之证明如图,连接 PD,AS,RC,BR,AP,SD. BR EB PA FP 由△EBR∽△EPA,△FDS∽△FPA,知 , . ? ? PA EP DS FD BR EB ? FP 两式相乘,得 . ① ? DS EP ? FD CR EC PD FP 又由△ECR∽△EPD, △FPD∽△FAS, 知 , . 两式相乘, ? ? PD EP AS FA CR EC ? FP 得 ② ? AS EP ? FA BR ? AS EB ? FA 由①,②得 . 故 ? DS ? CR EC ? FD BR CD SA EB AF DC . ③ ? ? ? ? ? RC DS AB BA FD CE EB AF DC 对△EAD 应用梅涅劳斯定理,有 ④ ? ? ?1 BA FD CE BR CD SA ? ? ? 1. RC DS AB 由引理 2 知 BD,RS,AC 交于一点,所以 R,T,S 三点共线。 由③,④得 2.对于每个实数 x1,由 xn+1=xn(xn+1/n) ,n≥1,构成序列 x1,x2,?,证明:存 在唯一的 x1,使得 0<xn<xn+1<1(n=1,2

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