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2013高中数学精讲精练(新人教A版)第06章 不等式1


第六章 不等式
第1课
【考点导读】 1. 能用基本不等式证明其他的不等式,能用基本不等式求解简单的最值问题。 2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。 【基础练习】 1.“a>b>0”是“ab<

基本不等式

a2 ? b2 ”的______ (填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既 2
2 2 2

不充分也不必要条件) 2. a ? b ? 1, b ? c ? 2, c ? a ? 2, 则ab ? bc ? ca 的最小值为______
2 2 2

3.已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为______ 4.已知 lg x ? lg y ? 1 ,则 【范例导析】 例 1.已知 x ?

?

5 2 ? 的最小值是______ x y

5 1 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值. 4 4x ? 5
a b + = 1 ,求 x+y 的最小值。 x y

例 2.(1)已知 a,b 为正常数,x、y 为正实数,且

(2) 已知 x ? 0,y ? 0 ,且 x ? 2 y ? xy ? 30 ,求 xy 的最大值. 【反馈练习】 1.设 a>1,且 m ? log a (a ? 1), n ? log a (a ? 1), p ? log a (2a) ,则 m, n, p 的大小关系为 ______
2

2.已知下列四个结论: ①若 a, b ? R, 则 b ? a ? 2 b ? a ? 2 ;
a b a b
? ? ②若 x, y ? R ,则 lg x ? lg y ? 2 lg x lg y ; ?

③若 x ? R , 则 x ? 4 ? ?2 x ? 4 ? ?4 ; ④若 x ? R , 则 2 x ? 2 ? x ? 2 2 x ? 2 ? x ? 2 。
x x

其中正确的是______ 3.已知不等式 ( x ? y )( ?

1 x

a ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为______ y
x2 ? y2 ? 2 2 ,并且求等号成立的条件. x? y

4.(1)已知: x ? y ? 0 ,且: xy ? 1 ,求证:

(2)设实数 x,y 满足 y+x2=0,0<a<1,求证: log a a +a
x

?

y

? ≤ log

a

1 2? 。 8

第2课

一元二次不等式
第 1 页共 5 页

【考点导读】 1. 会解一元二次不等式,了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。 2. 能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题. 【基础练习】 1.解不等式: (1) ?3x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 (3) ? x ? 1?? x ? 3? ? 2 x ? x ? 2
2

1 2 3 x ?x? ?0 2 2 1 3 (4) ? 4 ? ? x 2 ? x ? ? ?2 2 2
(2)

2. 函数 y ?

log 1 ( x 2 ? 1) 的定义域为 ______
2

3..二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:

x y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则不等式 ax2+bx+c>0 的解集是______
2 4.若不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集是 {x x ? 3或x ? ?1} ,则 b=______ c=______.

【范例导析】例.解关于x的不等式

a( x ? 1) ? 1(a ? 1) x?2
2

【反馈练习】1.若关于 x 的不等式 ax ? ax ? a ? 1 ? 0, 的解集为 R,则 a 的取值范围是 ______ 2.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 解集为 ?
2

1 1 ? x ? ,则 ab 值分别为______ 2 3

3.若函数 f(x) =

2x

2

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为______

4.已知 M 是关于 x 的不等式 2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0 解集,且 M 中的一个元素是 0,求实数 a 的取值范 围,并用 a 表示出该不等式的解集.

第3课
【考点导读】

线性规划

1. 会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域,能由给定的平面区域确定所 对应的二元一次不等式、二元一次不等式组. 2. 能利用图解法解决简单的线性规划问题,并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数问题的思 想. 【基础练习】1.原点(0,0)和点 P(1,1)在直线 x ? y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是______ 2. 设集合 A=?( x, y ) | x, y,1 ? x ? y是三角形的三边长? , A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分) 则 是( )

第 2 页共 5 页

1

y

1

y
1 y

1

y

1 2

1 2

1 2

1 2

o

1 2

1

x

o

1 2

1

x

o

1 2

1

x

o

1 2

1

x

A 3.下面给出四个点中,位于 ? A. (0, 2)

B

C )

D

? x ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域内的点是( ?x ? y ?1 ? 0
C. (0, 2) ? D. (2, 0)

B. (?2, 0)

4.由直线 x+y+2=0,x+2y+1=0,2x+y+1=0 围成的三角形区域(不含边界)用不等式表示为 ______ 5.在坐标平面上,不等式组 ?

?y ? x ?1 所表示的平面区域的面积为______ ? y ? ?3 x ? 1

? x ? 4 y ? ?3 ? 【范例导析】例 1.设 x,y 满足约束条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求目标函数 z=6x+10y 的最大值,最小值。 ? x ?1 ?

? x? y?2?0 y ? 2 2 例 2.已知 ? x ? y ? 4 ? 0 , z ? x ? 2 y 的最大和最小值。 z ? 的取值范围。 求 求 (3) 求 z ? x ? y 的 x ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
最大和最小值。 例 3. 本公司计划 2008 年在甲、 乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告, 广告总费用不超过 9 万元, 甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的 每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的 广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元? 【反馈练习】

? x ? y ? 5 ≥ ?, ? 1.不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是______ ?0 ≤ x ≤ 2 ? ? x ? 2 ? 0, ? 2.已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上运动,则 z=x-y 的取值范围是______ ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
? x ? y ? 5, ?3 x ? 2 y ? 12, ? 3.设 x 、 y 满足约束条件 ? 则使得目标函数 z ? 6 x ? 5 y 的最大的点 ( x, y ) 是______ 0 ? x ? 3, ? ?0 ? y ? 4. ?

第 3 页共 5 页

? x ? y ≥ 2, ? 4.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ≤ 2,则 z ? 2 x ? y 的取值范围是 ______ ?0 ≤ y ≤ 3, ?
5.画出以 A(3,-1) 、B(-1,1) 、C(1,3)为顶点的△ABC 的区域(包括各边) ,写出该区域所表示 的二元一次不等式组,并求以该区域为可行域的目标函数 z=3x-2y 的最大值和最小值.

第4课
【考点导读】

不等式综合

能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题,如最值问题、恒成立问 题、最优化问题等. 【基础练习】

1 1 1.若函数 f ? x ? ? x ? ? x ? 2? , g ? x ? ? ? ? ? ? x?2 ?2?
2.函数 f ? x ? ? 2 ? a

x2 ? 2

? x ? 0 ? ,则 f ? x ? 与 g ? x ? 的大小关系是______

?

2

? x ? a 在区间 ? 0,1? 上恒为正,则 a 的取值范围是______
x y

3.当点 ? x, y ? 在直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 上移动时, z ? 3 ? 27 ? 1 的最小值是______ 4.对于 0≤m≤4 的 m,不等式 x2+mx>4x+m-3 恒成立,则 x 的取值范围是______ 【范例导析】 例 1、已知集合 P ? ? ,2? ,函数 y ? log 2 ax ? 2 x ? 2 的定义域为 Q ?2 ?
2

?1 ?

?

?

(1)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围。 (2)若方程 log 2 ax ? 2 x ? 2 ? 2 在 ? ,2? 内有解,求实数 a 的取值范围。 2
2

?

?

?1 ? ? ?

例 2.甲、乙两地相距 s km ,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不超过 c km/h ,已知汽车每小时的运输成 ....... 本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v km/h 的平方成正比,且比例系数为 b ; . 固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y 元表示为速度 v km/h 的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 【反馈练习】 1.设 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a (a
2
2x

? 2a x ? 2) ,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是______

2.如果函数 y ? log 1 ( x ? 2 x ? 3) 的单调递增区间是(-∞,a],那么实数 a 的取值范围是_______
3

3.若关于 x 的不等式 x 2 ? 4 x ? m 对任意 x ? [0,1] 恒成立,则实数 m 的取值范围为______

第 4 页共 5 页

4 已知二次函数 f (x)= ax ? bx ? 1?a, b ? R, 且a ? 0? ,设方程 f (x)=x 的两个实根为 x1 和 x2. 如果 x1<2<x2<4,
2

且函数 f (x)的对称轴为 x=x0,求证:x0>—1.

第 5 页共 5 页



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