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北京市某高中2014届高三数学上学期开学摸底考试试题 文


2013-2014 学年度第一学期高三年级开学测试数学文科试卷
班级 姓名 学号 成绩 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分. 1.已知集合 A ? {x ? R | 0 ? x ? 1} , B ? {x ? R | (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A ? B ? ( (A) (0, ) (C) (??, ?1) ? (0,

) )

1 2

(B) ( ,1)

1 2

1 2

(D) (??, ?1) ? ( ,1)

1 2

2.复数

5i ?( 2?i

) (B) ?1 ? 2i (C) ?1 ? 2i (D) 1 ? 2i

(A) 1 ? 2i

3.已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d 等于 (A) 1 (B)

5 3

(C) 2

(D) 3

4. x ? 2 x ? 3 ? 0 成立”是“ x ? 3 成立”的 “
2

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? x ? 2 y ? 8, ? 2 x ? y ? 8, ? 5.已知 x , y 满足不等式组 ? 则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 ? x ? 0, ? y ? 0, ?
(A)

32 3

(B) 12

(C) 8

(D) 24

6.下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是( A. y ? ln x B. y ? x
2


?| x|

C. y ? cos x

D. y ? 2

1

7. 已知函数 f ( x ) ? ? A. f ( x ) 是奇函数

?sin x, sin x ? cos x, 则下面结论中正确的是 ?cos x, sin x ? cos x,
B. f ( x) 的值域是 [?1,1]

C. f ( x) 是偶函数

D. f ( x) 的值域是 [ ?
1 2

2 ,1] 2

8.给出下列命题:①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x , y ? x , y ? ( x ? 1)2 , y ? x3 中有三个
?1

是增函数;②若 log m 3 ? log n 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ;③若函数 f ( x) 是奇函数,则
x ④若函数 f ( x) ? 3 ? 2 x ? 3 , 则方程 f ( x) ? 0 有 2 f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0) 对称;

个实数根,其中正确命题的个数为 (A) 1 (B) 2

(C) 3

(D) 4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分. 9. 不等式 x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集为
2



10.若 sin ? ? ?

3 ,且 tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5
?log 2 x, x ? 0, 是奇函数,则 g (?8) ? ? g ( x), x ? 0



11.若函数 f ( x) ? ?



12.在 ?ABC 中,若 a ? 2 , ?B ? 60? , b ?

7 ,则 c ?



13.在等比数列 {a n } 中, a1 ?

1 , a4 ? ?4 ,则公比 q= 2




| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? ? | an |?

?a ? b, a ? b ? 0, ? 14. 任給实数 a, b, 定义 a ? b ? ? a 设函数 f ( x) ? ln x ? x , a ? b ? 0. ?b , ? 1 则 f (2) ? f ( ) = ;若 {a n } 是公比大于 0 的等比数列,且 a5 ? 1 , 2

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? f (a3 )? ? f (a7 ) ? f (a8)a1, 则 a1 ? [ =


2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分. 15.已知函数

f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [?

? ? , ] 上的最大值和最小值. 6 3

3

16.在△ ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos 2B ? cos B ? 0 . (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 b ?

7 , a ? c ? 5 ,求△ ABC 的面积.

4

* 17.已知 {an } 为等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2 ? a (n ? N ) .

n

(Ⅰ)求 a 的值及数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

5

? 18.已知函数 f ( x)

1 3 x ? mx 2 ? 3m 2 x ? 1 , m?R . 3

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f (x) 在区间 (?2,3) 上是减函数,求 m 的取值范围.

6

19.已知函数 f (x) ? ln x ? ax+1 , a ?R 是常数. (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的图象在点 P(1, f (1)) 处的切线 l 的方程; (Ⅱ)证明:函数 y ? f (x) (x ? 1) 的图象在直线 l 的下方; (Ⅲ)若函数 y ? f (x) 有零点,求实数 a 的取值范围.

7

20. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,若 y ? “一阶比增函数”.

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为 x

(Ⅰ) 若 f ( x ) ? ax 2 ? ax 是“一阶比增函数”,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 若 f ( x ) 是“一阶比增函数”,求证: ?x1 , x2 ? (0, ??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ; (Ⅲ)若 f ( x ) 是“一阶比增函数”,且 f ( x ) 有零点,求证: f ( x) ? 2013 有解.

8


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