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2014全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷


2014 年全国高中数学联赛

陕 西 省 赛 区 预 赛 试 卷
(4 月 20 上午 8:30----11:00)

第一试
填空题(每小题 5 分,共 50 分) 1.不等式 1<|x-2|<4 所有整数解的和为________; an 2n-1 Sn 2.已知数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为

Sn、Tn 且对于一切正整数 n,都有 = ,则 bn 3n+1 Tn =__________. 3.函数 f(x)= 2x2-x+3 + x2-x 的最小值是_________. 1 4.已知 sinθ 和 cosθ 的等差中项为 sinα、等比中项为 sinβ,则 cos2α- cos2β 的值为________. 2 5.若正方体 A1A2A3A4-B1B2B3B4 的棱长为 1, 则集合{x|x=A1B1 ?AiBj ,i∈{1,2,3,4}, j∈{1,2,3,4}} 中元素的个数为___________. 6.将一颗均匀的正方体骰子连续掷两次, 先后出现的点数分别为 a、 b, 则关于 x 的方程 x2+ax+b=0 有实根的概率为___________(用最简分数作答) 7.若实数 a、b、c 满足 a+2b+3c=6,a2+4b2+9c2=12,则 abc 的值为_________. 8.在△ABC 中,BC=2 3 ,AB、AC 边上的中线之和为 6,以直线 BC 为 x 轴、边 BC 的垂直平 分线为 y 轴建立直角坐标系,则顶点 A 的轨迹方程为__________. 9.已知三棱锥 P-ABC 的底面是边长为 4 3 的正三角形,PA=3,PB=4,PC=5。若 O 为△ABC 的中心,则 PO 的长为________. 10. 设 [m] 表示不超过实数 m 的最大整数,则集合 {x ∈ R|9x2 -30[x]+20=0} 中所有元素的和为 _________.





第二试
一、 (本题满分 15 分) 如图, A 是两条平行直线 l1、 l2 之间的一个定点, 且点 A 到 l1、 l2 的距离分别为 AM=1, AN= 3 。 AB AC 设△ABC 的另两个顶点 B、C 分别在 l1、l2 上运动,且满足 AB<AC, = . cosB cosC (1)试判断△ABC 的形状,并证明你的结论; 1 3 (2)求 + 的最大值。 AB AC

N

C

l1

A

l2

M B
二、 (本题满分 15 分) 已知数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且对任意 n∈N+,都有
2 Sn ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 。

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

3 2 (n ? N ? ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn。证明: Tn ? (n ? N ? ) 。 4 (n ? 2)an

三、 (本题满分 15 分) ⌒ 上任意一点, 如图, 圆 O1 与圆 O2 相交于 P、 Q 两点, 且圆 O2 经过圆心 O1。 A 是圆 O1 的优弧PQ AP、AQ 的延长线与圆 O2 分别交于点 B、C。求证:O1 为△ABC 的垂心。

B P

O2 O1
A

Q

C

四、 (本题满分 15 分) 如图,已知圆 O:x2+y2=1 与 x 轴交于 A、B 两点、与 y 轴交于点 C,M 是圆 O 上任意一点(除 去圆 O 与两坐标轴的交点) 。 直线 AM 与 BC 交于点 P, 直线 CM 与 x 轴交于点 N, 设直线 PM、 PN 的斜率分别为 m、n,求证:m-2n 为定值。

P

y

C
M B

N

A

O

x

五、 (本题满分 20 分) 设 f ( x ) ? ln x ?

1 2 ax - 2 x ,其中 a<0,且函数 f ( x) 存在单调递减区间。 2

(1)求 a 的取值范围; (2)若对满足条件的 a 的任意值, f ( x) <b 在 (0,1] 上恒成立,求实数 b 的取值范围。

六、 (本题满分 20 分) 设 a1 , a2 ,?, an 均为正实数, n ? N ? 。证明:
n k2 k ? 4 ? ? k ?1 a1 ? a2 ? ? ? an k ?1 ak n


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