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高中数学奥林匹克竞赛训练题(2)


高中数学奥林匹克竞赛训练题(02) 第一试 一,选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.(训练题 07)十个元素组成的集合.的所有非空子集记为,每一非空子集中所有元素的乘 积记为.则(C) . (A)0 (B)1 (C) -1 (D)以上都不对 2.(训练题 07)△ABC 的三个内角依次成等差数列,三条边上的高也依次成等差数列.则为 (B) (A)等腰但不等边三角形 (B)等边三角形 (C)直角三角形 (D)钝角非等腰三角 形 3.(训练题 07)对一切实数,不等式恒成立.则的取值范围是(A) (A) (B) (C) (D) 4.(训练题 07)若空间四点满足,则这样的三棱锥共有(A)个. (A)0 (B)1 (C)2 (D)多于 2 5.(训练题 07)已知不等式时恒成立,则的取值范围是(B) (A) (B) (C) (D) 6.(训练题 07)方程在复数集内根的个数为.则(C) (A)最大是 2 (B)最大是 4 (C)最大是 6 (D)最大是 8 二,填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.(训练题 07)函数的值域是________ 2.(训练题 07)已知椭圆,焦点为, ,为椭圆上任意一点(但点不在 x 轴上) ,的内心为,过 作平行于轴的直线交于.则________. 3.(训练题 07)为的三个内角, 且.则_____. 4.(训练题 07)实数满足.则的最小值是____. 5.(训练题 07)在一次足球冠军赛中,要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛,每 场比赛胜队得 2 分,平局各得 1 分,败队得 0 分.已知有一队得分最多,但它胜的场次比任 何一队都少.若至少有队参赛,则=__6____. 6.(训练题 07)若是一个完全平方数,则自然数 14 . 三,(训练题 07)(本题满分 20 分)若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为 4,求这个正三棱锥的体积的最大值.(18) 四,(训练题 07)(本题满分 20 分)一个点在轴上运动的速度为 2 米/秒,在平面其它地方速 度为 1 米/秒.试求该点由原点出发在 1 秒钟内所能达到的区域的边界线. 五,(训练题 07)(本题满分 20 分)已知为虚数,且是方程的实根.求实数的取值范围.() 第二试 一,(训练题 07)(本题满分 20 分)在中,为边上的任一点,于,于,交于. 求证: .

二,(训练题 07)(本题满分 35 分)用个数(允许重复)组成一个长为的数列,且.证明:可

在这个数列中找出若干个连续的项,它们的乘积是一个完全平方数. 三,(训练题 07)(本题满分 35 分)空间中有 100 个点,其中每四点都不在同一平面上,每 三点都不在同一条直线上,每一点都与其它 33 点连红线,与另 33 点连黄线,与最后的 33 点连蓝线.证明:一定会出现一个三边均不同色的三角形.

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