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湖南省首届大学生理论力学竞赛试题


湖南省首届大学生理论力学竞赛试题
一、选择填空(每小题 3 分,共 24 分) 1. 一 空 间 力 系 向 某 点 O 简 化 后 的 主 矢 和 主 矩 分 别 为 R? ? 0i ? 8 j ? 8k ,

MO ? 0i ? 0 j ? 24k ,则该力系可进一步简化的最简结果为
(A) 合力; (B) 合力偶; (C)力螺旋; (

D)平衡力系。



2. 刚体的平面运动可看成是平动和定轴转动组合而成。平动和定轴转动这两种刚体的 基本运动 。 (A) 都是刚体平面运动的特例; (B) 都不是刚体平面运动的特例; (C) 刚体平动必为刚体平面运动的特例,但刚体定轴转动不一定为刚体平面运动的特 例; (D) 刚体平动不一定为刚体平面运动的特例,但刚体定轴转动必定为刚体平面运动的 特例。 3. 对于刚体内任一点的惯性主轴数目 。 (A) 只可能有一根; (B) 只可能有两根; (C) 不可能少于三根; (D) 不可能多于三根。 4. 运动的描述与所取参考系有关。根据古典力学的相对性原则,运动质点对所有惯性 参考系来说 。 (A) 相对速度相同,而相对加速度可能不相同; (B) 相对加速度相同,相对速度可能不相同; (C) 相对速度、加速度都相同; (D) 相对速度、加速度都不相同。 5. 图 1 示平面机构中,已知 O2 B ? BC , O3O4 ? DE , O3 D ? O4 E ,则 A 和 E 点 虚位移之间的关系为

A

O1

?
O2 ?

C

?
B
图1
90?

O3

O4

P E

D

?rE (B) ?rE (C) ?rE (D) ?rE
(A)

? sin ? tan2? ? ?rA ; ? cos? tan2? ? ?rA ; ? cos? ? ?rA ; ? cos? tan? tan2? ? ?rA 。

? )、干扰力与初拾条件的关系为

6. 单自由度系统有阻尼强迫振动的振幅和相位差与振动系统本身的基本参量( K 与 。 (A) 与振动系统本身的基本参量与干扰力有关,与初始条件无关; (B) 与振动系统本身的基本参量与干扰力无关,与初始条件有关; (C) 与振动系统本身的基本参量、干扰力和初始条件都有关; (D) 与振动系统本身的基本参量、干扰力和初始条件都无关。

7. 如图 2 示当把均匀弹簧原长的中点 O 固定后, 系统固 有频率为原来频率的 倍。

1 (A) ; 2 (C) 2 ;
C 在转轴 O 上则它的撞击和心
(A) (B) (C) (D) 在转轴 O 上; 在转轴 O 上方; 在转轴 O 下方; 不存在。

k
O

(B) 2; (D) 4。

8. 图 3 示为一具有质量对称面的定轴转动刚体,其质心

图2
O(C )

二、证明题(每小题 6 分,共 12 分)

图3

1. 半径为 R ,重为 G 的均质轮,在轮心 O 上作用一水平力 P ,如图 4 所示。已知接 触面间静滑动摩擦系数为 f ;滚动摩擦系数为 ? 。试证明:为什么轮先滚动? 2. 证明若图 5 示曲面是一抛物面,则位于其上的运动质点将永远不会离开该表面。

R
O G

y

P

x
y ? ?x2

图4
三、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

图5

1. 分析下列空间力系的独立平衡方程的数目; (1)诸力作用线皆与一直线相交; (2) 诸力作用线都平行于某固定平面; (3)力系可分解为方向不同的两个平行力系; (4)力系

可分解为一个平面力系和一个方向平行于此平面的平行力系; (5)力系中诸力的作用线分 别汇交于两个固定点。 答:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) 。 2. 列车在北半球上自南向北行驶,试问列车施于两条轨道上的压力是否相等?两条轨 道磨损程度是否相同?如列车在南半球上仍自南向北行驶,其结果又是如何? 答: 。 3. 如图 6 示板条 P 的一端位于水平面上,其另一端放在光滑固定物块 D 的角 C 处。 若板条与水平面问的摩擦系数为 0.3,求不致使板条 P 在水平面上滑动的物块高度 H 的取 值范围是 。

2.13m 3.96 m

B

C 3

250mm

B
C
4
A

375 mm O 125mm

P
A

D

H

图6

图7
2

4. 在图 7 示位置, 物块 C 具有向右的速度 500mm s 和向左的加速度 750mm s 。 若 轮子只滚不滑,则轮子的角加速度为 。 四、计算题 1. 图 8 示均质箱体 A 的宽度 b ? 1m ,高 h ? 2m , 重 WA ? 200kN 。放在倾角 ? ? 20 的斜面上。箱体与
?

b

C

D
30
?

斜面之间的摩擦系数 f ? 0.2 。今在箱体的 C 点系一软

a E
A

绳,方向如图示,绳的另一端通过滑轮 O 挂一重物 E ; 已知 BC ? a ? 1.8m ,绳重、滑轮重及绳与滑轮之间的 摩镶均不计。 试问 E 多重, 才能保证箱体处于平衡状态。 (15 分)

h

?
图8

2. 图 9 示机构在同一铅垂面内运动, 在某瞬时达到图示位置, 1 B 杆水平, 、 O B

B
O1

E
A

D 、O 三点在同一铅垂线上,杆 BCH 的 CH 段水平, EC ? CH , A 、 B 、C 处 均为铰链连接,杆 ECH 通过套筒 A 与三 角 形 ABD 相 连 。 轮 O 的 半 径 为 r , BD ? AB ? AD ? 2 r , O1 B ? r 。轮沿 地面只滚不滑, 轮心速度为 vO ? 常数。 求 此瞬时 ECH 杆的速度和加速度。 (14 分)

D
O

C

H

vO

O1

图9

4. 图 10 示半径均为 r 的两个圆柱 l、 2, 用不可伸长的绳子相连,绳子一端与圆柱 1 的中心连接, 另一端多圈缠绕在圆柱 2 上(绳 与滑轮 A 的重量不计)。1 为均质实心圆柱, 其质量为 m1 ,2 为均质空心薄壁圆柱,质 量为 m2 。设圆拄 2 铅直下降.圆柱 l 沿水 平面只滚不滑,且滚动摩擦不计。试求, (a) 两个圆柱质心的加速度。 (b) 圆柱 1 沿水平面只滚不滑时,其与 支承面之间的滑动摩擦系数 f 应为多少? (15 分)

1

r
O
A

r
C

2

图10

湖南省第六届大学生力学竞赛试题——材料力学

(竞赛时间:180 分钟)

题 得

号 分

















总分

评卷人 复核人 请将答案写在相应横线上,答案正确给全分,答案不正确给零分。 一、刚性横梁 AB 由四根长为 li (i ? 1, 2,3, 4) 的钢丝悬挂,每根钢丝的拉伸刚度均 为 EA ,第 i 根钢丝距 A 端的距离为 ai ,在未受力时横梁 AB 处于水平位置,今 在 AB 上作用载荷 P 。则: (1)结构的静不定度为 ( 2 ) 用 各 杆 轴 力 (4 分) ; (3)今欲使刚性横梁仍保持水平,则 P 力距 A 端的距离 x = (4 分) 。 (2 分) ; Ni (i ? 1, 2,3, 4) 表 示 的 变 形 协 调 条 件 为

1

2

3

4

l1
A

l2

l3

l4
B
45°

a b

M0

a1 a2
P

x
a3 a4
题一图

x

题二图

二、左端固定的圆截面轴由两种材料组成,并且内、外两轴紧密接合,截面尺 寸及材料性质见下表。

直径(mm) 外轴 内轴 D=100,d=50 d=50

弹性模量 E (MPa) 切变模量 G(MPa) 0.7× 5 10 2.1× 5 10 2.62× 4 10 7.86× 4 10

泊松比 μ 0.33 0.33

今在轴表面沿与母线成 45° 方向焊上一直径为 1mm 的细铜丝 ab(把铜丝拉直, 在两端焊牢,且无初始应力) ,铜的弹性模量为 E0=8× 4MPa。在轴的右端加上 10 力偶矩 m0=1.2kN· m。则: (1)内轴扭矩 T(x) = (2)外轴扭矩 T(x) = (3)细铜丝横截面上的应力 σ= (3 分) ; (3 分) ; (6 分) ;

三、如图所示一根足够长的钢筋,放置在两刚性平台上,在 CD 中点 K 处作用 载荷 F。钢筋单位长度的重量为 q,抗弯刚度为 EI。则 (1)C、D 处刚好脱离桌面时,F= (2)当 F=2qa 时,K 点的位移为 (3) F=0 时, 截面的弯矩与 a 的关系为 当 K (5 分) ; 分) (4 。 分) (3 ;

A 2a/3 h M a/3 M B C D a

?

题三图

题四图

四、图示梁杆系统,梁 CD 与杆 AB 间存在一微小间隙 ? ,M- M 为与杆 AB 连接 的不变形刚体。一重量为 P 的环状物体从高度 h ? a / 3 处自由下落冲击刚体 MM。设冲击过程发生在线弹性范围内,且不计梁和杆的质量,也不考虑杆的压
EA 缩稳定性。已知梁的弯曲刚度为 EI,杆的拉压刚度为 EA,且 EI ?a 2 。试求:

(1)当 ? =0,即 AB 的 B 端可看作铰接于 C 点时,梁 C 截面处的最大动位移

? d1 ?

(4 分) ;

( 2 ) 当 ? ? 0 , 且 杆 B 端 与 梁 C 端 刚 好 接 触 时 , 环 状 物 体 重 量 P0= (3 分) ; (3)当 ? ? 0 时,且 P>P0,梁 C 截面处的最大动位移 ? d1 ? 分) 。

(6

五、图示长度为 l 的三根等刚度杆组成正三角形钢架,各杆弯曲刚度为 EI,则 各杆中点截面的剪力= (2 分) ,轴力= (3 分) ,弯矩= (6

(4 分) 各杆中点距三角形中心距离的改变量?= , 分) 。

A

C

K
下部加热升温 t
0

D

B

C
a

a

a

a

题五图

题六图

六、图示矩形截面杆件 AB,两端可以自由伸缩,但不能产生转角。材料的线膨 胀系数为 ? ,弹性模量为 E,矩形截面高度为 h,当杆件下部加热使下部温度均 匀升高 t 0 C , 而上部温度保持不变, 并假设温度沿杆件截面高度呈线性规律变化。 试针对下列两种情形进行计算(设挠度取向上为正) : (1) 当矩形截面杆件宽度 b 为常量时, 端的弯矩为 M B ? B 分) ,跨度中点 K 处的挠度为 wK ? (4 分) 。 (3

(2)当矩形截面杆件 AC 段和 DB 段宽度为 b,而 CKD 段宽度为 2b 时,B 端 的 弯 矩 为 (4 分) 。
F q A 2m B 2m C 2m (a) D 2m G 2m E G D 18 E

MB ?

(3 分) 跨度中点 K 处的挠度为 wK ? ,

七、图 2(a)所示结构,BC 段上作用有均布荷载 q, 梁 AE 的弯曲刚度为 EI,吊杆 BF 和 DG 的拉压刚度 EA=EI/4。 现已知梁 AE 上 BD 段的弯矩图如图 2 (b) 所示(单位:kN·m) ,试求: (1)均布荷载 q = (2) 吊杆 BF 的轴力 NBF = kN/m(5 分) ; kN 分) (4 ;
B A

F

(3)在图(b)上补全 AE 梁的弯矩图(3 分) ;

18

+
58 (b)

题七图 八、已知矩形截面简支梁的横截面宽度为 b,高度为 h,材料的弹性模量为 E,泊松比为? 。现有一竖直向下的载荷 F 在梁上距支座 为 l/8 的 BC 区间内移动,试将 4 个完全相同的电阻应变片全部粘贴在梁上,当 载荷 F 在梁上 BC 区间移动时,采用最优的电桥接线方式,由应变仪的读数 ? 仪 实现对移动载荷 F 的大小的测定。

题八图 设在测量中应变仪的读数为 ? 仪 ,试问 (1) 应变片应粘贴在梁上的什么位置?绘出布片图(5 分) :

(2)绘出电桥接线图(3 分) :

(3)写出用应变仪的读数 ? 仪 表示移动载荷 F 大小的表达式:

F=

。 ? 仪 (4 分)

材料力学部分答案
一、 (1)2; (2) (3) x ? ?
i ?1 4

N l ? N jl j N 2 l2 ? N1l1 N 3l3 ? N1l1 N 4 l4 ? N1l1 或 ii ? ? ? Const ; a2 ? a1 a3 ? a1 a4 ? a1 aj ? aj

ai li ? (1 li )
i ?1 4

二、 (1)0.2kN· (2)1kN·m; m; (3)σ= _8.26MPa

三、 (1) F ?

? 12 Ma ? 2qa 3 ? 4qa 4 ; (2)9qa /(128EI); (3) q ? ? 2qa 2 ? 4 M ? 0 2 ? 3 ? 34 M ? qa ?

2 P ? (2 P)2 ? 16 Phk1 Pa ? 6 EAh ? 3EA? 2 ? 四、 (1) ? d1 ? (2) P ? ?1 ? 1 ? ?; 0 8k1 6 EA ? Pa ? 4a ? h ? ? ? ? ?
( 3 ) ? d1 ?

(2 P ? 2k1? ) ? (2 P ? 2k1? ) 2 ? 8k1 (2 Ph ? k1? 2 ) 1 (? d ? ? ) ? ,式中 2 8k1

k1 ?

EA 3EA ? 2a 3 2a
ql

ql 2 ql 4 五、 (1)0; (2) FN ? ; (3) M ? ? ; (4) ? ? ; 24 384 EI 2 3
六、 (1) M B ? m ?

Ebh 2? t Ebh 2? t ? ta 2 , wK ? 0 ; (2) M B ? m ? , wK ? ? ; 12 9 3h
F 48.75 B A 18 58 D 18 E G 48.75

七、 (1)20; (2)6.625; (3)

八、 (1)

(2)

(3)

Ebh ? 3(1 ? ? ) 仪

湖南省首届大学生理论力学竞赛试题答案
一、选择填空(每小题 3 分,共 24 分) 1. (C); 2. (D);3. (C);4. (C);5. (B);6. (A);7. (B);8. (D)。 二、证明题(每小题 6 分,共 12 分) 1. 取轮为研究对象,受力图如图所示。 当轮处于滚动的临界状态时

M ? M max ? ?N


y

ΣX ? 0; P ? F ? 0 ΣY ? 0; N ? G ? 0 Σm A ? 0; M ? RP ? 0 F ? P, N ? G, M ? RP
求出滚动临界状态时所需水平力:

R
O G
A

P
m x

N F


P?

N G ? ? ? R R

当轮处于滑动的临界状态时: 将 F ? P 代入,便求得滑动临界状态所需的水平力为:

F ? Fmax ? fN ? fG

P ? fG



比较式①,②得;

G ? ? fG R
即滑动时所需力 P 大于滚动时所需的力 F ,故轮先滚动。 2. 提示:只需证明法向反力永不为零即可。先算出

??
然后将此代入方程 Fn ? m

[1 ? ( y ?) 2 ]3 2 (1 ? 4 x 2 ) 3 2 ? y ?? 2
,并且注意到动能定理: W ? ?T 。

? s2

?

三、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 答:(1) 5 ;(2) 5 ;(3) 5 ;(4) 4 ;(5) 5 。

2. 答:当列车在北半球自南向北行驶时,对右侧的轨道压力增大,而左侧减小,故磨 损程度也会不相同,即右侧磨损大于左侧磨损。 当列车在南半球球上仍自南向北行驶时,其哥氏加速度方向指向东方(即右侧) 。故对 左侧轨道的压力增大,而右侧减小,这时的磨损程度左侧大于右侧,这与北半球的情况正 好相反。 3. H ? 0.37 m 或 H ? 3.67 m 。 4. 3.75 rad s 。 四、计算题 1. (15 分) 解:本题中箱体 A 在力系作用下应有四种可能的运动趋势:向下滑动,向上 滑动,向下绕左下角倾翻和向上绕右下角倾翻。下面分别计算处于四种临界运动时,对应 的重物 E 的重量 WE 。 (1)向下滑动的临界状态, 摩擦力 F 应向上, 其值 F ? Fmax ? fN , 取箱体为研究对象, 受力图如(b),列平衡方程

?X ? 0, T cos30? ? WA sin 20? ? F ? 0 ?Y ? 0, T sin 30? ? WA cos 20? ? N ? 0
解得

T?

sin 20? ? f cos 20? WA ? 39.9kN cos30? ? f sin 30?

即当 WE1 ? T ? 39.9kN 时,箱体处于向下滑动的临界状态。 (2)处于向上滑动的临界状态时,摩擦力 F 方向应沿斜面向下, F ? Fmax ? fN 箱体受力图与图(b)相仿,仅 F 方向应向下,在(1)、(2)式中摩擦力投影相差一个负号, 故

T?

sin 20? ? f cos20? WA ? 109.7kN cos30? ? f sin 30?

(3)处于向下倾翻的临界状态时,斜面对箱体的约束反力将集中于左下角 B1 点,箱体的 受力图如(c)。列平衡方程求解:

?mB1 ( F ) ? 0, T sin 30 ? b ? T cos 30 ? a ? W A sin 20 ?
T?

h b ? W A cos 20 ? ? 0 2 2

b cos 20? ? h sin 20? WA ? ?24.14kN b sin 30? ? a cos30? 2

负号表明 T 应变为推力才能使箱体向下翻倒。由于软绳只能传递拉力,因此箱体没有向下 倾翻的可能性。 (4)处于向上倾翻的临界状态时, 斜面对箱体的约束反力将集中于右下角 B 点。 〔c〕 将图 中的 N、F 挪至 B 点,即为此状态时的受力图(不另画)。列平衡方程求解

?mB ( F ) ? 0,?T cos 30 ? a ? WA sin 20 ?
T?

h b ? W A cos 20 ? ? 0 2 2

b cos 20? ? h sin 20? WA ? 104.2kN a cos30? 2 综上所述,WE1 ? 39.9kN 、WE 2 ? 109.7kN 、WE 4 ? 104.2kN 时,箱体分别处于下
滑、上滑、上翻的临界状态。因而可得出结论,当

39.9kN ? WE ? 104.2kN
时, 箱体 A 处于平衡状态。 当箱体 A 在上滑或下滑的临界状态时, 法向反力 N 必在 B 和 B1 之间;当箱体在上翻的临界状态时, F ? fN 。

T
y

T
y

C

30?

C

30?

WA

x

WA

x

B1

B
N

B1

B
N

F

F

(b) (c) 2. (14 分) 解:机构中 O1 B 杆作定铀转动,三角形 ABD 作平面运动,轮 O O 作平面运 动, ECH 杆平动。 B 、 D 点处无相对运动, A 点处存在相对运动,因此在 A A 点处应当 用点的合成运动方法解题。先求出三角形上 A 点的速度和加速度。 轮 O 的速度瞬心在 PO 处, D 点的速度 v D ? 2vO 。 则 三角形上 B 点的速度沿铅垂方向,

B 、 D 两点的速度垂线交点与 B 点重合,因此 B 点是此瞬时三角形 ABD 的速度瞬心。 A 点的速度方向应当与 BA 线垂直,由于 BD ? AB ,所以
v A ? vD ? 2vo 2v v ? ABD ? O ? o 2r r
轮 O 的中心点 O 的轨迹为直线,加速度为零。轮 O 的角速度

?O ?
以 O 点为基点求得 D 点的加速度

vO ? 常数 r

?O ? 0

n aD ? aO ? aDO ? a? DO



2 a D ? ?O r ?

2 vO ( ?) 。 r

由于 v B ? 0 ,所以 B 点只能有铅垂方向的切向速度, 可以直接判断出 a? BD
n n aB ? a? ? aD ? aBD ? a? B BD ? 0 ,即 ? ABD ? 0 。再以 D 点为基点求 A 点的加速度 n aA ? aD ? aAD ? a? AD

将上式向 x 、 y 轴投影
2 a Ax ? ?2r? ABD cos30? ? ? 2 3vO r

a Ay ? ?

2 vO 2v 2 2 ? 2r? ABD sin 30? ? ? O r r

最后用运动合成的方法分析 A 点处的速度和加速度。 动点:三角形上的 A 点。 动系: ECH 杆。 静系:机架。 绝对运动:平面曲线运动。 相对运动:直线运动。 牵连运动:平动。 速度分析:速度合成定理

va ? ve ? vr
矢量等式向水平 x 轴投影,得

v A cos60? ? ve , vECH ? ve ? vO
加速度分析:加速度合成定理

(?) 。

aa ? ae ? ar
矢量等式向水平 x 轴投影,得

a Ax ? ae
负号表示 ae 的实际指向与 x 轴正向相反。

ae ? ?

2 3vO r

4. (15 分) 解(a) 去圆柱 2 为研究对象, 受力如图 示。由运动学可知

1

P1 r O ao

T?

A

vC ? vO ? r?2


aC ? aO ? r?2

T
CV F N

?2 ?2
C

2

?2 ?

v C ? vO r

?2 ?

a C ? aO r

r P2

又由平面运动微分方程,有

aC

m2 aC ? m2 g ? T J C? 2 ? Tr
将 J C ? m2 r 及 ? 2 代入(2) ,得
2

(1) (2)

m2 (aC ? aO ) ? T 再取圆柱 1 为研究对象,受力如图示。对瞬心 CV 点写出动量矩定理

(3)

( J O ? m1r 2 )?1 ? T ?r
因圆柱 1 只滚不滑,故有 ?1 ? aO r ,且 J O ? m1r 2 2 , T ? ? T ,于是上式成为

3 m2 aO ? T 2
将(4)代入(3),得

(4)

解得 将上式和(4)一起代入(1),得

3 m1aO 2 ?3 ? m2 aC ? ? m1 ? m2 ?aO ?2 ? m2 ( a C ? aO ) ?

解得 由(4)求得

3 ?3 ? ? m1 ? m2 ?aO ? m2 g ? m1aO 2 ?2 ? m2 aO ? g 3m1 ? m2 T? 3m1m2 g 2(3m1 ? m2 )

将 T 代入(1),得

3m1 ? 2m2 g。 2(3m1 ? m2 ) (b)求圆柱 1 沿水平面只滚不滑时的滑动摩擦系数 f ,以圆柱 1 为研究对象,根据质心 aC ?

运动定理,有

因 T ? ? T ,由(5)得

m1aO ? T ? ? F 0 ? ?P ? N 1

(5) (6)

m1aO ? T ? F 将 aO 及 T 之值代入上式,求得
F?
由(6)得

m1m2 g 3(3m1 ? m2 )

N ? P ? m1 g 1 欲使圆柱 1 只滚不滑,必须是 F ? fN ,所以,

解得

m1m2 g ? fm1 g 2(3m1 ? m2 ) m2 。 f ? 2(3m1 ? m2 )


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