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2014-2015年北京东城区高三上学期期末考试数学(文科)试题及答案


2014-2015 年北京东城区高三上学期期末考试数学(文科)试题及 答案

东城区 2014-2015 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学 (文科)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

2, 4? ,则 A (1)已知集合 A ? x ? Z ?1 ? x ? 2 ,集合 B ? ?0,

?

?

B?
(D) ?? 1,0,1,2,4?

(A) ?0, 2?

2, 4? (B) ?0,

(C) ?? 1,0,2,4?

+?) 上为增函数的是 (2)下列函数中,既是奇函数,又在区间 (0,
(A) y ? ln x (B) y ? x3
2

(C) y ? 3x

(D) y ? sin x

开始

(3)设 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

输入

n

k ? 1, S ? 0

k ? k ?1
S ? S ? 2k
k ? n?
否 输出 S 是

(4)当 n ? 3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A) 6 (5)已知 cos ? ? (B) 8 (C) 14 (D) 30

3 ? , ? ? ( ? , 0) ,则 sin 2? 的值为 4 2
(B) ?

(A)

3 8

3 8

(C)

3 7 8

(D) ?

3 7 8

S
结束

(6)如图所示,为了测量某湖泊两侧 A , B 间的距离,某同学首先选定了与 A , B 不共线的一点 C , 然后给出了四种测量方案: (△ ABC 的角 A , B , C 所对的边分别记为 a , b , c ) ①测量 A , C , b ②测量 a , b , C ③测量 A , B , a ④测量 a , b , B
B

则一定能确定 A , B 间距离的所有方案的序号为 (A)①②③ (B)②③④ (C)①③④ (D)①②③④
A

) b ? (m , 2m ? 3) , 平 面 上 任 意 向 量 ( 7 ) 已 知 向 量 a ? ( 1 , 3, c ? ?a +?b (? , ? ? R) ,则实数 m 的取值范围是

c 都可以唯一地表示为

(A) (?? , 0)

(0 , ? ?)

(B) (?? , 3)

(C) (?? , ? 3)

(?3 , ? ?) (D) [?3 , 3)

(8)已知两点 M (?1, 0) , N (1, 0) ,若直线 y ? k ( x ? 2) 上至少存在三个点 P ,使得△ MNP 是直角三 角形,则实数 k 的取值范围是 (A) [ ?

1 1 , 0) (0 , ] 3 3

(B) [?

3 3 , 0) (0 , ] 3 3

(C) [ ?

1 1 , ] 3 3

(D) [?5 , 5]

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,则其焦点到准线的距离为________. (10)若

2+i ? 1 ? mi (m ? R ) ,则 m ? ________. i
cm.

(11)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体最长棱的棱长为

? x ? 1, ? (12)已知 x , y 满足 ? x +y ? 4, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为_______. ? x ? 2 y ? 1 ? 0, ?

3 4

3 3

x ,x? 0, ?l o g 1 2 ( 13 ) 设 函 数 f ( x) ? ? x 则 f ( f ( )) =________ ; 若 函 数 2 x≤0, ?4 ,
g ( x) ? f ( x) ? k 存在两个零点,则实数 k 的取值范围是________.
(14)某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下: ①如果一次性购物不超过 200 元,则不给予优惠; ②如果一次性购物超过 200 元但不超过 500 元,则按标价 给予 9 折优惠; ..

正(主)视图
3 4

侧(左)视图

俯视图

③如果一次性购物超过 500 元,则 500 元按第②条给予优惠,剩余部分给予 7 折优惠. 甲单独购买 A 商品实际付款 100 元,乙单独购买 B 商品实际付款 ....450 元,若丙一次性购买 A , B 两 件商品,则应付款________ 元. 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ) ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 2 ,其图象相邻两 条对称轴之间的距离为 的值.

? 6

? ? ? .(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式及最小正周期; (Ⅱ)设 ? ? (0, ) ,且 f ( ) ? 1 ,求 ? 2 2 2

(16) (本小题共 13 分)已知数列 ?an ? 是等差数列,数列 ?bn ? 是公比大于零的等比数列,且 a1 ? b1 ? 2 , (Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)记 cn ? abn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . a3 =b3 ? 8 .

(17) (本小题共 14 分)在三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC , ?BCA ? 90 , E 为 PC 的中点, M

为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 AF ? 2 FP . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求证: CM 平面 BEF ;

(Ⅲ)若 PB ? BC ? CA ? 2 ,求三棱锥 E ? ABC 的体积.

(18) (本小题共 13 分)为普及宪法知识,某中学举行了首届“宪法知识大赛”活动.为了了解本次竞赛 学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n ) 进行统计.按照 [50, 60) , [60, 70) , [70, 80) , [80, 90) , [90,100] 的分组作出频率分布直方图,并作出样 本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在 [50, 60) , [90,100] 的数据) . (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x , y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取两名学生参加“全民宪法 知识大赛” ,求所抽取的两名学生中至少有一人得分在 [90,100] 内的概率.
频率 组距 0.040 x 0.016 0.010 y O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

5 1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 9 3 4

x2 ? y 2 ? 1,椭圆 C2 的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上,与 C1 有 (19) (本小题共 13 分)已知椭圆 C1 : 4
相同的离心率,且过椭圆 C1 的长轴端点.(Ⅰ)求椭圆 C2 的标准方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,点 A , B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,若 OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程.

(20)(本小题共 14 分)已知函数

f ( x) ? a ln x ? bx 2 , a , b ? R .
1 相切,求 a , b 的值; 2 1 e

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ?

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求 f ( x ) 在 [ , e] 上的最大值;

(Ⅲ)若不等式 f ( x) ? x 对所有的 b ? (?? , 0] , x ? (e,e2 ] 都成立,求 a 的取值范围.

东城区 2014-2015 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)A (5)D (2)B (6)A (3)A (7)C (4)C (8)B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 2 (11) 34 (13) (10) ?2 (12) 7

1 4

(0,1]

(14) 520

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为函数 f ( x ) 的最大值为 2 ,所以 A ? 2 . 由图象相邻两条对称轴之间的距离为 所以 ? =2 .

? ,得最小正周期 T ? ? . 2

=2sin(2 x ? ) . 故函数的解析式为 f ( x)

=2sin(? ? ) (Ⅱ) f ( ) ,由 f ( ) ? 1 得 sin(? ? ) ? 2 2 ? ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ? . 2 6 6 3 ? ? ? 所以 ? ? ? ,故 ? = . 6 6 3
因为 0 ? ? ? (16) (共 13 分)

?

? 6

?

? 6

????????????6 分

? 6

1 . 2

????????????13 分

解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,且 q ? 0 .

由 a1 ? 2 , a3 ? 8 得 8=2+2d ,解得 d ? 3 . 所以 an ? 2 ? (n ?1) ? 3 ? 3n ? 1 , n ? N . 由 b1 ? 2 , b3 ? 8 得 8=2q 2 ,又 q ? 0 ,解得 q ? 2 . 所以 bn ? 2 ? 2n?1 ? 2n , n ? N . (Ⅱ)因为 cn ? abn ? 3? 2 ?1 ,
n
? ?

????????????7 分 ????????????9 分

2(1 ? 2n ) ? n =3 ? 2n?1 ? n ? 6 . 所以 Sn ? 3 ? 1? 2
(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)因为 PB ? 底面 ABC ,且 AC ? 底面 ABC , 所以 AC ? PB . 由 ?BCA ? 90 ,可得 AC ? CB .

????????????13 分

CB ? B , 所以 AC ? 平面 PBC .
又 PB (Ⅱ)取 AF 的中点 G ,连结 CG , GM .

????????????5 分

因为 AF ? 2 FP , G 为 AF 中点,所以 F 为 PG 中点. 在△ PCG 中, E , F 分别为 PC , PG 中点, 所以 EF 所以 CG 又 CG ? 平面 BEF ,EF ? 平面 BEF , CG . 平面 BEF . 平面 BEF .

同理可证 GM 又 CG

GM ? G ,
平面 BEF .

所以平面 CMG

又 CM ? 平面 CMG , 所以 CM 平面 BEF . ????????????11 分

(Ⅲ)取 BC 中点 D ,连结 ED . 在△ PBC 中, E , D 分别为中点,所以 ED

PB .

因为 PB ? 底面 ABC ,所以 ED ? 底面 ABC . 由 PB ? BC ? CA ? 2 ,可得 V ? (18) (共 13 分)

1 1 1 2 S ?ABC ? ED ? ? ? 2 ? 2 ?1 ? . 3 3 2 3

?????14 分

解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ?

8 2 ? 50 , y ? ? 0.004 , 0.016 ?10 50 ?10

x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 .????????????5 分

(Ⅱ) 由题意可知, 分数在 [80, 90) 内的学生有 5 人, 记这 5 人分别为 a1 , 分数在 [90,100] a2 , a3 , a4 , a5 , 内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1 , b2 . ????????7 分

抽取的两名学生的所有情况有 21 种,分别为: ( a1 , a2 ) , ( a1 , a 3 ) , ( a1 , a4 ) , ( a1 , a 5 ) , ( a1 ,b1 ) , ( a1 ,b2 ) , ( a2 , a 3 ) , ( a2 , a4 ) , ( a2 , a 5 ) , ( a2 , b1 ) , ( a2 ,b2 ) , ( a 3 , a4 ) , ( a3 , a5 ) , ( a 3 , b1 ) , ( a 3 , b2 ) , ( a4 , a 5 ) , ( a4 , b1 ) , ( a4 , b2 ) , ( a 5 , b1 ) , ( a 5 , b2 ) , ( b1 ,

b2 ).

??????????????????????10 分

其中两同学的分数都不在 [90,100] 内的情况有 10 种, 分别为: ( a1 ,a2 ) , ( a1 ,a 3 ) , ( a1 ,a4 ) , ( a1 ,a 5 ) , ( a2 , a 3 ) , ( a2 , a4 ) , ( a2 , a 5 ) , ( a 3 , a4 ) , ( a3 , a5 ) , ( a4 , a 5 ). 所以抽取的两名学生中至少有一人得分在 [90,100] 内的概率 P ? 1 ? (19) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由 C1 方程可得 e=

10 11 ? .??????13 分 21 21

3 . 2

??????3 分

y 2 x2 3 ? 1(a ? 2) ,由已知 C1 的离心率为 依题意可设椭圆 C2 的方程为 2 ? , a 4 2
则有

a2 ? 4 3 ? ,解得 a2 ? 16 . 2 a 4 y 2 x2 ? ? 1. 16 4
????????????6 分

故椭圆 C2 的方程为

(Ⅱ)设 A , B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,由 OB ? 2OA 及(Ⅰ)知,

O , A , B 三点共线且点 A , B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y ? kx .
将 y ? kx 代入

x2 2 4 +y ? 1 中,解得 x12 ? ; 1 ? 4k 2 4

将 y ? kx 代入

y 2 x2 16 ? ? 1 中,解得 x2 2 ? . 4 ? k2 16 4

又由 OB ? 2OA ,得 x22 ? 4x12 ,即 故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x . (20) (共 14 分)

16 16 ? ,解得 k ? ?1 . 2 1+4k 4 ? k2
????????????13 分

解: (Ⅰ) f ?( x ) ?

a ? 2bx . x

? f ?(1) ? 0, ?a ? 2b ? 0, 1 ? ? 由函数 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切,得 ? 1 即? 1 2 f (1) ? ? . ??b ? ? . ? ? 2 ? 2 ?a ? 1, ? 解得 ? 1 b? . ? ? 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? ln x ?

????????????4 分

1 2 x ,定义域为 (0, ??) . 2

此时 f ?( x) ?

1 1 ? x2 ?x = .令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 . x x

所以 f ( x ) 在(

1 , 1 )上单调递增,在( 1 , e )上单调递减, e
1 . 2

所以 f ( x ) 在 [ , e] 上的最大值为 f (1) ? ?

1 e

????????????8 分

(Ⅲ)若不等式 f ( x) ? x 对所有的 b ? (?? , 0] , x ? (e,e2 ] 都成立, 即 a ln x ? bx 2 ? x 对所有的 b ? (?? , 0] , x ? (e,e2 ] 都成立, 即 a ln x ? x ? bx 2 对所有的 b ? (?? , 0] , x ? (e,e2 ] 都成立, 即 a ln x ? x ? 0 对 x ? (e,e2 ] 恒成立. ???????11 分

即a ?

x 对 x ? (e,e2 ] 恒成立, ln x

即 a 大于或等于

x 在区间 (e,e2 ] 上的最大值. ln x

令 h( x ) ?

ln x ? 1 x 2 = h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增, ,则 h?( x) 2 ,当 x ? (e,e ] 时, (ln x) ln x
x e2 e2 , x ? (e,e2 ] 的最大值为 h(e 2 ) ? .即 a ? . ln x 2 2
2

所以 h( x) ?

e 所以 a 的取值范围是 [ , ? ?) . 2

????????????14 分



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