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丰城中学高中数学联赛试题(二)解答


丰城中学高中数学联赛试题(二)解答
一、填空题(每题 8 分)

1 、若 2013 的每个质因子都是某个正整数等差数列 ?an ? 中的项,则 a2013 的最大值
是 . 答案: 4027 . 解: 2013 ? 3 ?11? 61 ,若 3,11,61 皆是某正整数等差数列中的项,则公差 d 应是

11 ? 3 ? 8 与 61 ? 3 ? 58 的公因数, 为使 a2013 取得最大, 则其首项 a1 和公差 d 都应取尽可能
大的数,于是 a1 ? 3, d ? 2 ,所以 a2013 的最大值是 3 ? 2012d ? 4027 .

2 、若 a, b, c ? 0 ,
答案: 36 .

1 2 3 ? ? ? 1 ,则 a ? 2b ? 3c 的最小值为 a b c



解:据柯西不等式, a ? 2b ? 3c ? ? a ? 2b ? 3c ? ?

2 ? 1 2 3? ? ? ? ? ?1 ? 2 ? 3? ? 36 . ?a b c?

?1 2 3 ? n 3 、若 Sn ? n!? ? ? ? ? ? ? ? 1? ,则 S2013 ? (n ? 1)! ? ? 2! 3! 4!
答案: ?



1 . 2014

解:因

k (k ? 1) ? 1 1 1 ? ? ? ,则 (k ? 1)! (k ? 1)! k ! (k ? 1)!

1 2 3 n 1 ?1 2 ?1 3 ?1 ( n ? 1) ? 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? ? 1? 2! 3! 4! (n ? 1)! 1! 2! 3! (n ? 1)! ( n ? 1)!
所以, Sn ? n ! ??1 ?

?? ??

1 1 ? ? 1 ,故 S 2013 ? ? . ? ? 1? ? ? 2014 (n ? 1)! ? ? n ?1

4 、如果一个正方体 X 与一个正四面体 Y 的表面面积(各面面积之和)相等,则其体
积之比

Vx ? Vy



答案: 4 3 . 解:记表面面积为 12 (平方单位) ,则正方体每个面的面积为 2 ,其边长为 2 ,所以

Vx ? 2 ;正四面体每个面的面积为 3 ,设其边长为 a ,则由

3 2

1 3 2 4 a ? 2 ? 3 a ? 3 ,得 ; 4

1

于是 Vy ? 2 2 ? 3 4 ,因此

3

?

1

1 Vx ? 34 ? 4 3 . Vy

5 、若椭圆中心到焦点,到长、短轴端点,以及到准线距离皆为正整数,则这四个距离
之和的最小值是 答案: 61 . 解:设椭圆方程为 .

x2 y 2 ? ? 1 , a ? b ? 0 ,椭圆中心 O 到长、短轴端点距离为 a , b , a 2 b2
2 2

a2 到焦点距离 c 满足: c ? a ? b ,到准线距离 d 满足: d ? ,由于 a, b, c 组成勾股数, c
2

满足 a ? 20 的勾股数组有 ?a, b, c? ? ?3,4,5?, ?6,8,10?, ?9,12,15?, ?12,16,20?, ?5,12,13?, 以及 ?8,15,17? ,其中只有

152 202 ? 25 ,而 (a, b, c, d ) ? (15,12,9, 25) 使得 ? 25 与 16 9

a ? b ? c ? d 的值为最小,这时有 a ? b ? c ? d ? 61 .

6 、函数 f ( x) ? 3x ? 6 ? 3 ? x 的值域是
答案: [1, 2] .



解: f ( x) ? 3( x ? 2) ? 3 ? x 的定义域为 [2,3] ,故可设 x ? 2 ? sin ? (0 ? ? ?
2

?
2

),

则 f ( x) ? 3sin ? ? 1 ? sin ? ? 3 sin ? ? cos ? ? 2sin(? ?
2 2

?
6

),



?

2? 1 ? ,这时 ? sin(? ? ) ? 1 ,因此 1 ? f ? 2 . 6 6 3 2 6 7 、设合数 k 满足: 1 ? k ? 100 ,而 k 的数字和为质数,就称合数 k 为“山寨质数” , ?? ?

?

?

则这种“山寨质数”的个数是 答案: 23 个.



解: 用 S (k ) 表示 k 的数字和; 而 M ( p) 表示山寨为质数 p 的合数的集合. 当 k ? 99 时,

S (k ) ? 18 ,不大于 18 的质数共有 7 个,它们是: 2,3,5,7,11,13,17 ,山寨为 2 的合数有

M (2) ? ?20? ,而 M (3) ? ?12,21,30?, M (5) ? ?14,32,50?, M (7) ? ?16,25,34,52,70? ; M (11) ? ?38,56,65,74,92? , M (13) ? ?49,58,76,85,94? , M (17) ? ?98? ;
共得 23 个山寨质数.

8 、将 1, 2,3, 4,5,6,7,8 的每一个全排列皆看成一个八位数,则其中是11 倍数的八位数
的个数为 3456 。提示: (若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11 整除,则这个数能被 11 整除。 )
2

解:对于每个这样的八位数 a1a2 ?a8 ,记 A ? ?a1, a3 , a5 , a7 ? , B ? ?a2 , a4 , a6 , a8? ,而

S ( A), S ( B) 表示其数字和,先设 S ( A) ? S ( B) ,则 S (A) ?S (B) ?36 ,故 S (A), S( B) 同奇
偶,且 S ( A) ? S ( B) 与 S ( A) ? S ( B) 同奇偶,因此 S ( A) ? S ( B) 为偶数,且是 11 的倍数;如 果 S ( A) ? S ( B) ? 22 , 则 S ( B ) ? 7 , 这 不 可 能 ( 因 最 小 四 数 之 和 不 小 于 10 ) ;于是

S ( A) ? S ( B) ? 0 ,即有 S ( A) ? S ( B) ? 18 ,考虑 9 所在的组,另三数只有三种情况:

?6,2,1?,?5,3,1? 与 ?4,3,2? ,当一组数确定后,另一组数随之唯一确定.再考虑 9 在奇数数
位或偶数数位情况,于是得到 2 ? 3 ? 4!? 4! ? 3456 个这种八位数. 二、解答题

9、 (20 分)设直线 x ? y ? 1 与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 交于点 A, B ,若 OA ? OB ,
求抛物线方程以及 ?OAB 的面积. 解:设交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由

y
D A

y ? 2 px 与 x ? y ? 1 ,得 y ? 2 py ? 2 p ? 0 ,
2 2

O
2 故有 x1 ? 1 ? p ? p ? 2 p , y1 ? ? p ?

C

x

p2 ? 2 p ,
B

以及 x2 ? 1 ? p ?

p 2 ? 2 p , y2 ? ? p ? p 2 ? 2 p .

因 OA ? OB ,即 OA ? OB ? 0 ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即
2 2 2 2 ? ?(1 ? p ) ? ( p ? 2 p) ? ??? ? p ? ( p ? 2 p) ? ? ? 0 ,化简得 1 ? 2 p ? 0 ,因此抛物线方程为

??? ? ??? ?

? 3 ? 5 ?1 ? 5 ? ? 3 ? 5 ?1 ? 5 ? , y 2 ? x ,从而交点 A, B 坐标为: A ? ?, B? ?, ? 2 , ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ?
2 2 OA2 ? x12 ? y12 ? 5 ? 2 5 , OB2 ? x2 ? y2 ? 5? 2 5 ,

因此 S?OAB ?

1 1 OA ? OB ? 5. 2 2

10 、 (20 分)如图,四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AD, BC 的中点, P 是对角线 BD
上的一点;直线 EP, PF 分别交 AB, DC 的延长线于 M , N . 证明:线段 MN 被直线 EF 所平分. 证:设 EF 交 MN 于 G ,直线 EF 截 ?PMN ,则

NG ME PF ? ? ? 1 ;为证 G 是线段 GM EP FN

3

MN 的中点,只要证,
直线 AB 截 ?PDE ,

PF PE ? NF ME

? ①,
A E

D MP BP PM EA DB ? ? ? ? 1 ,即 得 ? ②, 2 ME BD ME AD BP P B C PN FC BD F ? ? ? 1, 直线 CD 截 ?PBF ,则有 NF CB DP N NP PD G ? 即 ? ③, M 2 NF BD MP NP NP MP PF PE ? ? 2 ,即 ?1 ? 1? ? ②③相加得 ,也即 ,因此结论得证. ME NF NF ME NF ME 11 、 (20 分)在非钝角三角形 ABC 中,证明: sin A ? sin B ? sin C ? 2 .

证一: sin A ? sin B ? sin C ? 2 ? sin A ? sin B ? sin( A ? B)

?(sin 2 A ? cos2 A) ? (sin 2 B ? cos2 B) ? sin A(1 ? sin A) ? sin B(1 ? sin B) ? sin( A ? B) ? (cos 2 A ? cos 2 B)
? sin A(1 ? sin A) ? sin B(1 ? sin B) ? cos B(sin A ? cos B) ? cos A(sin B ? cos A) ? 0 .
这里用到,在非钝角三角形 ABC 中,任两个内角之和不小于 90 ,所以由 A ? B ? 90 ,
0 0

得 A ? 900 ? B, B ? 900 ? A ,因此 sin B ? sin(90 0 ? A) ? cos A ,同理 sin A ? cos B, 而 1 ? sin A , 1 ? sin B 不能同时为 0 .从而结论得证. 证二: sin A ? sin B ? sin C ? 2 ? sin A ? sin B ? sin( A ? B ) ? 2sin(

A? B C ? ) 2 2

? 2sin

A? B A? B A? B A? B A? B C A? B C cos ? 2sin cos ? 2sin cos ? 2cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2

A? B A? B C A? B A? B C (cos ? cos ) ? 2 cos (sin ? sin ) 2 2 2 2 2 2 A? B A?C ? B B?C ? A A? B C C ? 4sin sin sin ? 2 cos (cos ? sin ) ? 0 ; 2 2 2 2 2 2 ? 2sin
(这是由于,锐角三角形 ?ABC 中,任两个内角之和大于 90 ,而任一个半角小于 45 ; )
0 0

所以 sin A ? sin B ? sin C ? 2 . 证三:令 x ? tan

A B C , y ? tan , z ? tan ,则 xy ? yz ? zx ? 1 ,且 2 2 2

sin A ?

2x 2y 2z , sin B ? , sin C ? ; 2 2 1? x 1? y 1? z2 2x 2y 2z ? ? ? 2 ? ①,因为 1 ? x2 ? ( x ? y)( x ? z) , 2 2 1? x 1? y 1? z2

即要证

4

1 ? y 2 ? ( y ? x)( y ? z),1 ? z 2 ? ( z ? x)( z ? y) ,
故①式即

4 ? 2 ,也即 ( x ? y)( y ? z)( x ? z) ? 2 , ( x ? y )( y ? z )( x ? z )
? ②

即 x ? y ? z ? xyz ? 2 而因

A B C ? , , ? (0, ] ,故 x, y, z ? (0,1] ,所以 (1 ? x)(1 ? y)(1 ? z) ? 0 , 2 2 2 4

即 1 ? ( x ? y ? z ) ? ( xy ? yz ? xz ) ? xyz ? 0 . 此式即为 x ? y ? z ? xyz ? 2 ? ③

由③立知②式成立(③式强于②式) ,因此命题得证.

12 、 (26 分)试确定,是否存在这样的正整数数列 ?an ? ,满足: a2013 ? 2013 ,且对
每个 k ??2,3,?, 2013 ? ,皆有 ak ? ak ?1 ? 20 或 13 ;而其各项 a1, a2 ,?, a2013 的值恰好构 成 1, 2,?, 2013 的一个排列?证明你的结论. 解:存在.由于 20 ? 13 ? 33 ,而 33 2013 , (即有 2013 ? 33 ? 61 ) ; 我们注意到, “差”运算具有“平移性” ,即是说,如果 ak ? ak ?1 ? 20 或 13 ,那么, 对任何整数 c ,也有 (ak ? c) ? (ak ?1 ? c) ? 20 或 13 ; 为此,先将集合 ?1, 2,?,33? 中的数排成一个 圈,使得圈上任何相邻两数之差皆为 20 或 13 ,如 图所示. 将此圈从任一间隙处剪开,铺成的线状排列
28 15 2 22 9 29 16 3 23 10 8 21 1 14 27

7

a1 , a2 ,?, a33 ,都满足 ak ? ak ?1 ? 20 或 13 ,
为将数列锁定,在前面添加一项 a0 ? 0 ,使数 列 a0 , a1 , a2 ,?, a33 也满足条件, 我们可选择与数 33 相邻的一个间隙剪开;例如从 33 右侧间隙剪开,并 按顺时针排列,就成为:

30

17 4

24 11 31

18

20 33 13 26 6 19 32 12 25 5

0 ; 13, 26,6,19,32,12, 25,5,18,31,11, 24, 4,17,30,10, 23,3,16, 29,9, 22, 2,15 ,

28,8, 21,1,14, 27,7, 20,33 ;
若从 33 左侧间隙剪开,并按逆时针排列,则成为: 0 ; 20, 7, 27,14,?, 6, 26,13,33 ;
5

这两种排列都满足 ak ? ak ?1 ? 20 或 13 ; 记分段数列 M 0 ? (13, 26,6,19,32,12, 25,5,18,31,11, 24, 4,17,30,10, 23,3,16, 29 ,

9, 22, 2,15, 28,8, 21,1,14, 27,7, 20,33) ? (a1 , a2 ,?, a33 ) ,而分段数列

M k ? (a1?33k , a2?33k ,?a33?33k ) ? (a1 ? 33k , a2 ? 33k ,?, a33 ? 33k ) , k ? 1, 2,?,60 ,
将这些段作如下连接: 0, M 0 , M1 ,?, M 60 ,所得到的数列 a0 , a1 , a2 ,?, a2013 满足条件. 因为,a2013 ? a33?33?60 ? a33 ? 33? 60 ? 33 ? 33? 60 ? 2013 ; 对其中任意两个邻项 ak , ak ?1 , 若 ak , ak ?1 属于同一个分段,显然有 ak ? ak ?1 ? 20 或 13 ;若相邻项 ak , ak ?1 属于两个相邻段

M n 与 M n?1 ,则 ak 是 M n?1 的首项:即 ak ? a1 ? 33(n ? 1) ? 13 ? 33(n ? 1) ,而 ak ?1 是 M n 的
末项,即 ak ?1 ? a33 ? 33n ? 33 ? 33n ,这时有

ak ? ak ?1 ? ?13 ? 33(n ?1)? ? ?33 ? 33n? ? 13 ,并且 a1 ? a0 ? 13 ,
因此,数列 a1 , a2 ,?, a2013 满足条件.

6


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