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2014高考数学(理科专用)名师指导历炼题型3-2


1.(角度新)已知等比数列{an}满足 an+1+an=9· 2n-1,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若不等式 Sn>kan-2 对一切 n∈ N*恒成立,求实数 k 的取值范围.

2.(交汇新)已知数列{an}的相邻两项 an,an+1 是关于 x 的方程 x2 -2nx+bn=0 的两根,且 a1=1. 1 n? ? 2 ?是等比数列; (1)求证:数列?an-3·
? ?

(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (3)设函数 f(n)=bn-t· Sn(n∈N*),若 f(n)>0 对任意的 n∈N*都成 立,求实数 t 的取值范围.

[历

炼]

1.解析:(1)设等比数列{an}的公比为 q, ∵ an+1+an=9· 2n-1,n∈N*,∴ a2+a1=9,a3+a2=18, a3+a2 18 ∴ q= = =2, a2+a1 9 ∴ 2a1+a1=9,∴ a1=3. ∴ an=3· 2n-1,n∈N*. a1?1-qn? 3?1-2n? (2)由(1),知 Sn= = =3(2n-1), 1-q 1-2 ∴ 不等式 3(2n-1)>k· 3· 2n-1-2, 1 即 k<2- n-1对一切 n∈N*恒成立. 3· 2 1 令 f(n)=2- n-1,则 f(n)随 n 的增大而增大, 3· 2 1 5 5 ∴ f(n)min=f(1)=2-3=3,∴ k<3. 5? ? ∴ 实数 k 的取值范围为?-∞,3?.
? ?

2.解析:(1)∵ an+an+1=2n, 1 n? ? 1 n+1 2 ?, ∴ an+1-3· 2 =-?an-3·
? ?

1 1 ∵ a1-3· 2=3≠0, 1 n+1 an+1-3· 2 ∴ 1 n =-1, an-3· 2 1 n? ? 1 2 ?是首项为 ,公比为-1 的等比数列, ∴ ?an-3· 3
? ?

1 且 an=3[2n-(-1)n].

1 1 (2)由(1),得 Sn=a1+a2+…+an=3(2+22+…+2n)-3[(-1)+ (-1)2+…+(-1)n]
n n 1?2?1-2 ? 1-?-1? ? ? + =3? 1+1 ? ? 1-2

-1+?-1?n? 1? n+1 ? =3?2 -2- 2 ? ?

? =? 2 ?3

2 n +1 2 3 -3,n为偶数,
n +1

1 -3,n为奇数.

(3)∵ bn=an· an+1, 1 1 ∴ bn=9[2n-(-1)n][2n+1-(-1)n+1]=9[22n+1-(-2)n-1], ∵ bn-t· Sn>0, ?-1?n-1? 1 2n+1 1? n+1 n ? ?>0. ∴ 9[2 -(-2) -1]-t· 3?2 -2- 2 ? ∴ 当 n 为奇数时, 1 2n+1 t n+1 n (2 + 2 - 1) - 9 3(2 -1)>0, 1 ∵ t<3(2n+1)对任意的 n 为奇数都成立,∴ t<1. ∴ 当 n 为偶数时, 1 2n+1 t n+1 n (2 - 2 - 1) - 9 3(2 -2)>0, 1 2t ∴ 9(22n+1-2n-1)- 3 (2n-1)>0, 1 3 ∵ t<6(2n+1+1)对任意的 n 为偶数都成立,∴ t<2. 综上所述,实数 t 的取值范围为(-∞,1).


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