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江苏省常州市2015-2016学年高二上学期期末考试数学试卷


常州市教育学会学生学业水平监测
高二数学试题
注意事项: 1.本试卷满分 160 分,考试用时 120 分钟. 本试卷部分试题设置文科及理科选做题,请考生根据选科类别答题. 2. 答题时, 填空题和解答题的答案写在答题卡上对应题目的区域内, 答案写在试卷上无效 . 本 ......... 卷考试结束后,上交答题卡. 3.本场考试不得使用计算器或带有计算功能的电

子词典等. 参考公式: 锥体的体积公式: V ? 2016 年 1 月

1 Sh ,其中 S 表示底面积, h 表示高. 3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请将答案 填写在答题卡相应的位置上 . ......... 1.若点 A(1,2) 在直线 ax ? 3 y ? 5 ? 0 上,则实数 a 的值为 2.抛物线 x 2 ? 2 y 的焦点到准线的距离为 ▲ . ▲ . ▲ . ▲ .

3.命题“若 ? 是锐角,则 sin? ? 0 ”的逆否命题 为 ....

4.若直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 与直线 x ? (a ? 1) y ? 2 ? 0 垂直,则实数 a 的值为 5.(文科做)当函数 f ( x) ?

ex 取到极值时,实数 x 的值为 ▲ . x ? ? ? ? (理科做)已知空间向量 a ? (1, k , ?1), b ? (?3, 2, k ) ,且 a ? b ,则实数 k 的值为
2 2





6.已知双曲线 y ? 4 x ? 16 上一点 M 到一个焦点的距离等于 2,则点 M 到另一个焦点的 距离为 ▲ . ▲ . P

7.已知正四棱锥的高为 4,侧棱长为 3 2 ,则该棱锥的体积为 8.若两条直线 x ? ay ? 3 ? 0, (a ? 1) x ? 2 y ? a ? 1 ? 0 互相平行, 则这两条直线之间的距离为 ▲ .

9.(文科做)已知曲线 y ? f ( x) 在点 M (2, f (2)) 处的切线方程 是 y ? 2 x ? 3 ,则 f (2) ? f ?(2) 的值为 ▲ . F E

(理科做)如图,在三棱锥 P ? ABC 中,已知 PA ? 平面 ABC ,

?BAC ?

π , PA ? AB ? AC , E, F 分别为棱 PB, PC 的中点, 2
▲ . B

A C (第 9 题理科图)

则异面直线 AF 与 CE 所成的角的余弦值为

10.已知集合 A ? x x 2 ? 5x ? 6 ? 0 , B ? ?x 1 ? a ? x ? 3 ? a?.若“ x ? A ”是“ x ? B ”的充 分不必要条件,则实数 a 的取值范围为 ▲ .

?

?

11.已知圆 C1 : x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 ,圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 ,若过点 C1 的直线 l 被圆 C 2 所 截得的弦长为 12.已知椭圆 C : 则当
6 ,则直线 l 的方程为 5





x2 y 2 F 是椭圆 C 的右焦点, 点 M 是椭圆 C 上的动点, ? ? 1 与定点 A(1, 2) , 9 8
▲ .

AM ? MF 取最小值时,点 M 的坐标为 3

13.给出下列四个命题: ①“直线 a , b 没有公共点”是“直线 a , b 为异面直线”的必要不充分条件; ②“直线 a , b 和平面 ? 所成的角相等”是“直线 a , b 平行”的充分不必要条件; ③“直线 l 平行于两个相交平面 ?,? ”是“直线 l 与平面 ?,? 的交线平行”的充要条件; ④“直线 l 与平面 ? 内无数条直线都垂直”是“直线 l ? 平面? ”的必要不充分条件. 其中,所有真命题的序号是 ▲ .

14.在平面直角坐标系 xOy 中,设 A,B,P 是椭圆

??? ? ??? ? x2 ? y 2 ? 1 上的三个动点,且 OA ? OB ? 0 . 3 ???? ??? ? ??? ? 动点 Q 在线段 AB 上,且 OQ ? AB ? 0 ,则 PQ 的取值范围为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域 内作答,解答应写出文字 ....... 说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
2? , f ( x ) ? a ; 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 , a ? R . p : ?x ? ?0,

2? , f ( x) ? a ? 0 . q : ?x ? ?0,

(1)若 p 为真命题,求 a 的取值范围; (2)若 q 为真命题,求 a 的取值范围; (3)若“ p 且 q ”为假命题,“非 p ”为假命题,求 a 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 2 , 且双曲线 C 与斜率为 2 的直线 l 有一个公共点 P (?2, 0) . (1)求双曲线 C 的方程及它的渐近线方程; (2)求以直线 l 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程.

17.(本小题满分 15 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? A1C , D, E , F 分别为 AB, A1C1 , AA1 的中点, 平面 AA1C1C ? 平面 ABC . G , H 分别在 AD, AC 上,且 AD ? 4 AG, GH ∥ CD .求证: (1) AB ? CE ; (2)平面 FGH ∥平面 CDE . A1 F H A G D (第 17 题图) B C E B1 C1

18. (本小题满分 15 分) 双曲线C设 M 是椭圆

x2 过 M 作x轴的垂线l, 垂足为N, P为直线l上一点, ? y 2 ? 1 上的点, 4

???? ???? ? 且 PN ? 2MN ,当点 M 在椭圆上运动时,记点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;
??? ? ??? ? (2)设椭圆的右焦点为F,上顶点为A,求 AP ? FP 的取值范围.

19. (本小题满分 16 分) (文科做)已知函数 f ( x) ? x ?

2a ? (a ? 2)ln x ( x ? 0) ,其中实数 a ≥ 0 . x
P

(1)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 在 x ? ?1,3? 上的最值; (2)若 a ? 0 ,讨论函数 f ( x ) 的单调性. (理科做)如图,正四棱锥 P ? ABCD中, PA ? BD , 点 M 为 AC , BD 的交点,点 N 为 AP 中点. (1)求证: MN ∥平面PBC ; (2)求 MN 与平面PAD 所成角的正弦值; (3)求 平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值. D N

C M

A

B (第 19 题理科图)

20. (本小题满分 16 分) 本题有 A、B 两道选做题,请各校根据本校学生情况选做.

A 组.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆 C : mx 2 ? ny 2 ? 1 (m ? 0,
1 n ? 0) 相交于 A,B 两点,点 M 为 AB 的中点,直线 OM 的斜率为 ? . 3

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若 OA ? OB ,求: ①椭圆 C 的方程;②三角形 OAB 的面积.

B 组.在平面直角坐标系 xOy 中,已知动圆 M 过定点 A(? 3,0) ,且与定圆
B : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 相切,记动圆圆心 M 的轨迹为曲线 C.

(1)求曲线 C 的方程;
(?为常数) (2)已知 P,Q 是曲线 C 上的动点,且满足直线 OP,OQ 的斜率乘积等于 ? . ???? ??? ? ???? 设动点 N ( x0 , y0 ) 满足 ON ? mOP ? nOQ(m, n ? R) .

1 ①若 m ? 1, n ? 2 , ? ? ? ,求证: x02 ? 4 y02 为定值; 4

②是否存在定值 ? ,使得点 N 也在曲线 C 上,若存在,求出 ? 的值以及 m, n 满足的条 件;若不存在,说明理由.

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高二数学答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 2 1. ?1 2.1 3.“若 sin ? ≤ 0 ,则 ? 不是锐角” 4. 3 6.10 7.
16 3

2016 年 1 月

5. (文科做)1 (理科做)3
3 6

8.

3 2 2

9. (文科做)9(理科做)

10. a ≥ 0

11. 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0

12. (

3 2 ,2) 2

13.①④

? 3 3 3? 14. ?1 ? , ? 2 2 ? ? ? ?

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (本小题满分 14 分)
[

解: (1)若 p 为真命题,由题意, f ( x) min ? a .

????????????2 分

∵ f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 ? ( x ? 1) 2 的图象为开口向上,对称轴为 x ? 1 的抛物线, ∴当 x ? ?0, 2? 时, f ( x) ? ?0, 1? . ∴ f ( x) min ? 0 .∴ a ? 0 . ????????????4 分 ????????????6 分 ????????8 分

(2)若 q 为真命题, ?x ? ?0, 2? , a ? ? f ( x) ,∴ a ? (? f ( x)) min . ∵ (? f ( x)) min ? ?1 ,∴ a ? ?1 .

????????????10 分

(3)若“ p 且 q ”为假命题, “非 p ”为假命题,∴p 为真命题,q 为假命题.???12 分 ∴
源。.

? a ? 0, ? ?a ≥ ?1,



















????????????14 分

16.(本小题满分 14 分) 解: (1)由题意,设双曲线的方程为 ∵点 P (?2, 0) 在双曲线上,∴ a ? 2 . ∵双曲线 C 的离心率为 2 ,∴ c ? 2 2 .∵ c 2 ? a 2 ? b 2 ,∴ b ? 2 . ∴双曲线的方程为:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) .???????????2 分 a 2 b2

x2 y 2 ? ?1, 4 4

?????????????4 分 ????????????6 分

其渐近线方程为: y ? ? x .

(2)由题意,直线 l 的方程为 y ? 2(x ? 2) ,即 y ? 2 x ? 4 ,????????????8 分 直线 l 与坐标轴交点分别为 F1 (?2,0), F2 (0, 4) . ????????????10 分

∴以 F1 (?2,0) 为焦点的抛物线的标准方程为 y 2 ? ?8x ; ????????????12 分 以 F2 (0, 4) 为焦点的抛物线的标准方程为 x 2 ? 16y . 17.(本小题满分 15 分) 证明: (1)取 AC 的中点 P ,连接 A1 P . ∵ AA1 ? A1C ,∴ A1 P ? AC . ∵平面 AA1C1C ? 平面 ABC , 平面 AA1C1C ∩平面 ABC ? AC ,
A1 P ? 平面 AA1C1C ,

????????????14 分 C1 E A1 F H P D (第 17 题图) B C B1

?????2 分

∴ A1 P ? 平面 ABC .

???????4 分

A

G

∵ AB ? 平面 ABC ,∴ A1 P ? AB . ?????6 分 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E , P 分别为 A1C1 , AC 的中点, ∴ A1 E ∥ CP 且 A1E ? CP ?

AC ,∴四边形 A1 ECP 是平行四边形,∴ A1 P ∥ CE . 2

又∵ A1 P ? AB ,∴ AB ? CE .

?????????????8 分

(2)∵ GH ∥ CD, CD ? 平面 CDE , GH ? 平面CDE ,∴ GH ∥平面 CDE .???10 分 ∵ AD ? 4 AG, GH ∥ CD,∴ AH ?
1 1 AC ? AP . 4 2

又∵ F 为 AA1 的中点,∴ FH ∥ A1 P . ∵ A1 P ∥ CE ,∴ FH ∥ CE . 又∵ CE ? 平面 CDE , FH ? 平面CDE , ∴ FH ∥平面 CDE . ???????????13 分

∵ GH ? 平面FGH , FH ? 平面FGH , GH ∩ FH ? H ,且 GH ∥平面 CDE , FH ∥平面

CDE ,
∴平面 FGH ∥平面 CDE . 18. (本小题满分 15 分)
???? ???? ? (1)设 P( x, y), M ( x0 , y0 ) ,∵ PN ? 2MN ,

???????????15 分

∴ x0 ? x, y0 ?

y , 2
x2 x2 ? y 2 ? 1 上,∴ 0 ? y0 2 ? 1 , 4 4

????????????3 分 ????????????5 分

∵点 M 在椭圆 即

x2 y 2 2 2 2 ? ( )2 ? 1 , 整理得 x ? y ? 4 . ∴曲线 C 的方程为 x ? y ? 4 .??????7 分 4 2 (2)∵椭圆的右焦点 F 3 ,0 ,上顶点 A ?0,1? , ????????????9 分

?

?

??? ? ??? ? 2 2 ∴ AP ? FP ? ( x ? 3, y) ? ( x, y ? 1) ? ( x ? 3 ) x ? y( y ? 1) ? x ? y ? 3x ? y ? 4 ? 3x ? y ,

????????????11 分 设 t ? 3x ? y ,即 3x ? y ? t ? 0 ,∵ d ?
t 3 ?1 ≤2,

∴ -4 ≤ t ≤ 4 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ 0 ≤ AP ? FP ≤ 8 ,∴ AP ? FP 的取值范围为 ?0,8? . 19.(本小题满分 16 分) (文科做) (1)∵ f ( x) ? x ? 2 ln x ,∴ f ?( x) ? 1 ? 令 f ?( x) ? 0 ,∴ x ? 2 .列表如下,
x

????????????13 分 ????????????15 分

2 x?2 , ???????????2 分 ? x x

1

?1, 2?
?

2 0

?2, 3?
?

3

f ?( x) f ( x)

1



2 ? 2ln2



3 ? 2 ln 3

?????????????5 分
3? 上的最大值 从上表可知,∵ f (3) ? f (1) ? 2 ? 2 ln 3 ? 0 ,∴ f (1) ? f (3) ,函数 f ( x) 在区间 ?1,

是 1,最小值为 2 ? 2ln2 . (2) f ?( x) ? 1 ?

???????????7 分

2a a ? 2 x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ( x ? 2)( x ? a) ? ? ? .???????????9 分 x x2 x2 x2

①当 a ? 2 时, x ? ?0,2? ? ?a,?? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ?2, a ? 时, f ?( x) ? 0 . ∴ f ( x) 的单调增区间为 ?0,2? , ?a,?? ?,单调减区间为 ?2, a ? . ??????????11 分 ②当 a ? 2 时,∵ f ?( x) ?
( x ? 2) 2 ? 0( x ? 2) .∴ f ( x) 的单调增区间为 ?0,?? ? .????13 分 x2

③当 0 ? a ? 2 时, x ? ?0, a ? ? ?2,?? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ?a,2 ? 时, f ?( x) ? 0 ∴ f ( x) 的单调增区间为 ?0, a ? , ?2,?? ? ,单调减区间为 ?a,2? . ??????????15 分 综上,当 a ? 2 时, f ( x) 的单调增区间为 ?0,2? , ?a,?? ?,单调减区间为 ?2, a ? ; 当 a ? 2 时, f ( x) 的单调增区间为 ?0,?? ? ; 当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 的单调增区间为 ?0, a ? , ?2,?? ? ,单调减区间为 ?a,2? . P z

(理科做) (1)以 MA, MB, MP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系
M ? xyz ,设 PA ? BD ? 2 ,则 MP ? 3 ,各点的坐标为:

?

?

?????????16 分

N

M (0,0,0), A(1,0,0) , B (0,1, 0) , C (?1,0,0), D(0, ?1,0) ,

P(0,0, 3) .

?????????2 分 x

D C M A B (第 19 题理科图) y

???? ? 1 1 3 3 由题意得 N ( ,0, ) ,则 MN ? ( ,0, ) . 2 2 2 2

??? ? ???? ? ∴ PC ? (?1,0, ? 3) ? ?2MN ,∴ MN ∥ PC ,
又∵ PC ? 平面 PBC , MN ? 平面PBC , ∴ MN ∥平面PBC .

???4 分

??????????????6 分 ? ? ? ???? ??? ? (2)设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,由题意得 AD ? (?1, ?1,0), PD ? (0, ?1, ? 3) ,
???? ? ? ? ? x ? ? y, ?? ? ? 3 ? ? AD ? n1 ? ? x ? y ? 0, ∵ ???? ∴? ? ? ? ? 3 令 y ? 1 ,得到 n1 ? (?1,1, ? ) , 3 ? ? PD ? n1 ? ? y ? 3z ? 0, ? z ? ? 3 y, ?

??????????????8 分
???? ? ?? ? ( 1 ,0, 3 ) ? (?1,1, ? 3 ) ???? ? ?? ? MN ? n1 2 3 ? ?1 = ? 21 . ????????10 分 ∴ cos ? MN , n1 ?? ???? ? ?? ? ? 2 7 7 7 MN n1 1? 3 3

∴ AM 与平面DEF 所成角的正弦值为

21 . 7

??????????????11 分

?? ? ??? ? ??? ? (3)设平面 PBC 的法向量为 n2 ? ( x, y, z ) ,由题意得 BC ? (?1, ?1,0), PB ? (0,1, ? 3) ,
??? ? ?? ? ? x ? ? y, ?? ? ? 3 ? ? BC ? n2 ? ? x ? y ? 0, ∵ ???? ∴? ? ?? ? 3 令 y ? 1 ,得到 n2 ? (?1,1, ) , ???????13 分 3 ? ? PB ? n2 ? y ? 3z ? 0, ? z ? 3 y, ?

?? ? ?? ? 3 3 ∵平面 PAD 的法向量 n1 ? (?1,1, ? ) ,平面 PBC 的法向量 n2 ? (?1,1, ) , 3 3
?? ? ?? ? (?1,1, ? 3 ) ? (?1,1, 3 ) 5 ?? ? ?? ? n1 ? n2 3 3 ? 3 = 5 . ????????????15 分 ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ? ?? ? ? 7 7 7 7 n1 n2 ? 3 3 3

∴ 平面PBC与平面PAD 所成的二面角的余弦值为 20. (本小题满分 16 分)

5 . 7

????????????16 分

A 组.
? x ? y ? 1 ? 0, (1)由 ? 2 消去 y 化简得 (m ? n) x 2 ? 2nx ? n ? 1 ? 0 . 2 ?mx ? ny ? 1

当 ? ? 4n2 ? 4(m ? n)(n ? 1) ? 4(m ? n ? mn) ? 0 时, 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 ? x2 ? ? 弦 AB 的中点 M 的坐标为 (? ∴ 直线 OM 的斜率为 ?
2n n ?1 , , x1 x2 ? m?n m?n

????????????2 分

n m , ), m?n m?n

m 1 ? ? ,∴ n ? 3m , n 3

????????????4 分

∴椭圆 C 的方程为

x2 y2 1 1 ? ? 1 ,即 a 2 ? , b 2 ? , ∴ a ? 3b ,∴ c ? 2b , 1 1 m 3m m 3m
6 . 3

∴椭圆 C 的离心率 e ?

????????????6 分

(2)①∵ OA ? OB ,∴ OA ? OB ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ∴m ? n ? 2 ,
2(n ? 1) 2n ? ?1 ? 0 , m?n m?n

????????????8 分

1 3 又∵ n ? 3m ,∴ m ? , n ? ,且满足 ? ? 4(m ? n ? mn) ? 0 ,??????????10 分 2 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 3y 2 ? ?1 . 2 2

????????????11 分

2 ② AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2?x1 ? x2 ?

? 2(( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1x2 ) ? 2((
原点 O 到 AB 的距离 d ?
0 ? 0 ?1 1?1

?3 2 10 ) ? 1) ? , 2 2
? 2 , 2

????????????13 分

????????????15 分

∴三角形 OAB 的面积为

1 5 AB ? d ? . 2 4

????????????16 分

B 组.
(1)设圆 M 的半径为 R , ∵点 A(? 3,0) 在圆 B : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 内, ∴ AM ? R , BM ? 4 ? R , ∴ AM ? BM ? 4 ? 2 3 ? AB , ∴圆心 M 的轨迹为以 A,B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. ????????????2 分 ∴ 2a ? 4 , 2c ? 2 3 ,∴ a ? 2 , c ? 3 ,∴ b ? 1 , ∴曲线 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

????????????4 分

???? ??? ? ???? (2)①设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,∵ ON ? OP ? 2OQ, ∴ x0 ? x1 ? 2x2 , y0 ? y1 ? 2y2 . ???6 分
∵ P , Q 在曲线 C 上,∴ x12 ? 4 y12 ? 4, x2 2 ? 4 y2 2 ? 4 . y y 1 又∵ kOP ? kOQ = 1 ? 2 ? ? ,∴ x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 . x1 x2 4 于是 x02 ? 4 y02 ? ( x12 ? 4x1 x2 ? 4x22 ) ? 4( y12 ? 4 y1 y2 ? 4 y22 )

????????????8 分

? ( x1 ? 4 y1 ) ? 4( x1x2 ? 4 y1 y2 ) ? 4( x2 ? 4 y2 ) ? 20.

2

2

2

2

故 x02 ? 4 y02 为定值. ②假设存在定值 ? ,使得点 N 也在曲线 C 上. ???? ??? ? ???? ∵ ON ? mOP ? nOQ, ∴ x0 ? mx1 ? nx2 , y0 ? my1 ? ny2 . ∵ P , Q 在曲线 C 上,∴ x12 ? 4 y12 ? 4, x2 2 ? 4 y2 2 ? 4 . 又 kOP ? kOQ =? ,∴ ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

????????????10 分

????????????12 分

于是 x02 ? 4 y02 ? (m2 x12 ? 2mnx1 x2 ? n2 x22 ) ? 4(m2 y12 ? 2mny1 y2 ? n2 y22 )

? m2 ( x1 ? 4 y1 ) ? 2mn( x1x2 ? 4 y1 y2 ) ? n2 ( x2 ? 4 y2 ) ?( 4 m2 ? n 2 ) ? 2mn( x1 x2 ? 4 y1 y2 ) .
∵点 N 也在曲线 C 上,故 x0 2 ? 4y0 2 =4 为定值, ∴ m2 ? n 2 ? 1 ,x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 , 1 ∴存在定值 ? ? ? ,实数 m, n 满足的条件为 m 2 ? n 2 ? 1 . ???????????16 分 4 ????????????14 分

2

2

2

2


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