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高中数学第三阶段研修课题二 l


探究题后回顾反思对提高学生解题能力的作用
通过学生对已完成的思维过程进行周密且具有批判性的思考, 进一步探讨知 识的内涵和外延,从中领悟数学思想方法,形成良好的认知结构,提高元认知水 平,完善知识体系。 例 1 已知 0 ? a ? b ? 2 2 ? a ? b ? 4 ,求 6a ? 2b 的范围。 解:由于 0 ? a ? b ? 2 2 ? a ? b ? 4 则 1 ? a ? 3 0 ? b ? 2 得 6 ? 6a ? 2b ? 14 。 上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的,但实际上答案是错误的。什 么呢? 反思 1: 看不等式 6 ? 6a ? 2b , 什么时候等号成立呢?由上述解题过程可知, 当 a ? 3, b ? 0 时,才取等号,而此时 0 ? a ? b ? 2 不能成立.同理 6a ? 2b ? 14 等号 也无法取到。 反思 2:为什么会出现这样的错误呢?原因是“同向不等式两边分别相加所 得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的,用它来做变形,是非同解变形。 上解法为了求得 a、b 范围,多次应用了这一性质,必然使所求范围扩大了,从 而揭示问题的隐蔽性。 反思 3:那什么时候可以多次应用同向不等式相加这一性质呢?可以采用特 定系数法、换元法、数形结合法等。 问题是思维的核心, 从提出问题中培养思维能力。教师在平时的教学中要有 理论高度, 把数学心理学等其他教育理论贯穿于教学过程中,用数学启发法去剖 析解题思路的发现和结论的猜想。在例题教学中,要经常从解题后的反思出发, 启发学生进行猜想、提炼,并及时给予表扬和鼓励。 例如:在讲解四边形内角和时,给出下面的问题: 1、图(1)中作对角线 AC、BD 能求出四边形 ABCD 的内角和吗? 2、图(1)中如果在四边形 ABCD 的内部任取一点 P, 结 PA、PB、PC、PD 能得到几个三角形?根据这些三角形, 能求出四边形 ABCD 内角和吗? 利用这两个问题,引导学生思考、探索并解答,最后在反思的基础上进一步
A 图1 B D C

提炼,不断的开发学生的思维,提出新的问题,从根本上提高数学能力。通过思 考很快得以解决,教师进一步引导学生“图中的点 P 可不可以移动,移动后是否 还可以推出四边形内角和?” 教室一片寂静, 突然, 一个学生兴奋的喊到: 老师, 我做出来了!紧接着,学生都举起了手,纷纷发表自己的做法,出乎意料,学生 又说出了下面五种解法: 方法 1:如图(2)在 AB 上任取一点 P,连结 DP、CP ∠A+∠B+∠BCD+∠ADC =(∠A+∠1+∠7)+(∠2+∠3+∠6)+(∠4+∠B∠5)-(∠5+∠6+∠7) =180°+ 180°+ 180°- 180° =360° 方法 2:如图(3)在四边形外任取一点,连结 AP、BP、CP、DP ∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC =(∠DAB+∠8+∠7+∠1)+(∠2+∠3+∠6)+(∠4+∠CBA+∠9+∠5) -(∠8+∠9++∠5+∠6+∠7) =180°+ 180°+ 180°- 180° =360° 方法 3:如图(4)在 AB 延长线上取一点 P,连结 DP、CP ∠A+∠ABC+∠BCD+∠ADC =∠A+∠3+∠4+∠5+∠5+∠BCD+∠1+∠2 =(∠A+∠1+∠5)+(∠2+∠3+∠4+∠BCD) =180°+ 180° =360° 方法 4:如图(5)在 DB 延长线上取一点 P ∠A+∠ABC+∠C+∠ADC =∠A+∠4+∠3+∠C+∠2+∠1
3 A 图4 D 1 B D 1 A 8 7 P 6 9 5 图3 P
2

D 1 2 3 C 4

A

7 P

6

5 图2

B

D 1 2 3 C 4

B

C
3 4

5

2

C

=(∠A+∠1)+(∠2+∠C)+∠3+∠4 =∠6+∠5+∠3+∠4 =360°

A

4 6 图5 D

5

B P

方法 5:如图(6)延长 AB、DC 交于 P
C 1 A
2

B

P

∠A+∠ABC+∠BCD+∠D =∠A+(∠1+∠P)+(∠2+∠P)+∠D =180°+ 180°=360° 如果我们对上面解法仅停留在“一题多解”操作面上,那就是“进宝山而空 还” ,错过提炼精华的大好时机,甚至还会使部分学生在众多信息的干扰之下。 连一个基本的解法都掌握不了。 因此,应该分析上述图中众多解法所体现的数学 思想方法及本质联系。做完一道题后,不能停留在满足所得出的结论上,而应该 把具体思维对象的本质抽取出来,再进一步推广为一类对象所具有的普通属性, 提高思维的深刻性。 从以上几个案例,我们可以看出,落实解题后的反思,对提高学生数学思维 能力有其重要的意义,它是由知识到能力的一条必由之路。加强对习题反思,引 导学生进行类比和归纳,引发他们的猜想,提高他们的解题能力,养成解题反思 习惯。


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