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江西省宜春中学2015-2016学年高二上学期入学数学(理)试卷 Word版含解析


2015-2016 学年江西省宜春中学高二(上)入学数学 试卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.集合 A={0,1,2},B={x|﹣1<x<2},则 A∩B=( ) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{0,1,2} 2.采用系统抽样的方法从 2005 个个体中抽取一个容量为 50 的样本,则抽样间隔和随机剔 除的个体数分别为 ( ) A.40,5 B.50,5 C.5,40 D.5,50 3.在△ ABC 中, A. B. C. D.﹣ + + ﹣ +
0.6 5

=

,设

= ,

= ,则向量

=(

)

4.三个数 5 ,0.6 ,log0.65 的大小顺序是( 5 0.6 A.0.6 <log0.65<5 5 0.6 B.0.6 <5 <log0.65 5 0.6 C.log0.65<0.6 <5 0.6 5 D.log0.65<5 <0.6 5.已知 x、y 取值如表:

)

x y

0 1.3

1 m

4 3m

5 5.6

6 7.4

画散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且求得回归方程为 =x+1,则 m 的值(精确到 0.1) 为( ) A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8 6.程序框图如下:

如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入( A.k≤10 B.k≥10 C.k≤11 D.k≥11

)

7.袋中共有 6 个大小质地完全相同的小球,其中有 2 个红球、1 个白球和 3 个黑球,从袋 中任取两球,至少有一个黑球的概率为( ) A. B. C. D.

8.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其表面积为(

)

A.6+2 B.6+ C.6+4

D.10 9.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|< (x)=sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( ) )的图象如图所示,为了得到 g

A.向左平移 B.向右平移 C.向右平移 D.向左平移

个长度单位 个长度单位 个长度单位 个长度单位

10.已知直线 x+y=2a 与圆 x +y =4 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,向量 | + |=| ﹣ |,则实数 a 的值为( )

2

2



满足

A.2 B.2 或﹣2 C.1 或﹣1 D. 或

11.定义在 R 上的偶函数满足 f(x+2)=f(x)且 f(x)在[﹣3,﹣2]上为减函数,若 α,β 是锐角三角形的两个内角,则( ) A.f(sinα)>f(cosβ) B.f(sinα)<f(cosβ) C.f(sinα)>f(sinβ) D.f(cosα)>f(cosβ) 12.已知函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,且 x>0 时,f(x)=lg(x) ,若 g(x)=sinπx,则 函数 y=f(x﹣2)与 y=g(x)图象所有公共点的横坐标之和为( ) A.10 B.12 C.20 D.22

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知函数 ,则 f(f(﹣1) )的值等于__________.

14.在区间(0,6)上随机取一个数 x,log2x 的值介于 0 到 2 之间的概率为__________.

15.已知 sinα= ﹣cosα,则

的值为__________.

16.在 Rt△ ABC 中,CA=CB=2,M,N 是斜边 AB 上的两个动点,且 MN= 取值范围为__________.

,则

?



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知直线 l1:ax﹣y﹣2=0 经过圆 C:x +y +4x﹣12y+24=0 的圆心 (1)求 a 的值; (2)求经过圆心 C 且与直线 l:x﹣4y+1=0 平行的直线 l2 的方程. 18.已知函数 f(x)= 的定义域为集合 A,函数 g(x)=( ) , (﹣1≤x≤0)
x 2 2

的值域为集合 B. (1)求 A∩B; (2)若集合 C={x|a≤x≤2a﹣1},且 C∩B=C,求实数 a 的取值范围. 19.如图的多面体中,ABCD 为矩形,且 AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 的中点, AE⊥BE. (1)求证:AE∥平面 BFD; (2)求三棱锥 E﹣BDC 的体积.

20.某校高三(1)班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同 程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

(1)求高三(1)班全体女生的人数; (2)求分数在[80,90)之间的女生人数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的 高; (3)若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析女学生失分情况,在抽取的试卷 中,求至少有一份分数在[90,100)之间的概率. 21.已知向量 =( cosωx,1) , =(2sin(ωx+ . ) ,﹣1) (其中 ≤ω≤ ) ,函数 f(x)

= ? ,且 f(x)图象的一条对称轴为 x= (1)求 f( π)的值; (2)若 f( ﹣β)的值. )= ,f( ﹣ )=

,且

,求 cos(α

22.已知函数 f(x)=2x ﹣3x+1,g(x)=ksin(x﹣

2

) , (k≠0) .

(1)问 α 取何值时,方程 f(sinx)=α﹣sinx 在[0,2π]上有两解; (2)若对任意的 x1∈[0,3],总存在 x2∈[0,3],使 f(x1)=g(x2)成立,求实数 k 的取值 范围?

2015-2016 学年江西省宜春中学高二(上)入学数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.集合 A={0,1,2},B={x|﹣1<x<2},则 A∩B=( ) A.{0} B.{1} C.{0,1}

D.{0,1,2} 考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:直接根据交集的定义即可求解. 解答: 解:∵A={0,1,2},B={x|﹣1<x<2} ∴A∩B={0,1} 故选 C 点评: 本题主要考查了交集的定义, 属常考题型, 较易. 解题的关键是透彻理解交集的定义, 但此题一定要注意集合 A 是孤立的点集否则极易出错! 2.采用系统抽样的方法从 2005 个个体中抽取一个容量为 50 的样本,则抽样间隔和随机剔 除的个体数分别为 ( ) A.40,5 B.50,5 C.5,40 D.5,50 考点:系统抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:根据 的整数值是系统抽样的抽样间隔,余数是应随机剔除的个体数,即可

得出答案. 解答: 解:∵2005÷50=40 余 5, ∴用系统抽样法从 2005 个个体中抽取一个容量为 50 的样本, 抽样间隔是 40,且应随机剔除的个体数为 5. 故选:A. 点评:本题考查了系统抽样方法的应用问题,是基础题目. 3.在△ ABC 中, A. B. C. D.﹣ + + ﹣ +

=

,设

= ,

= ,则向量

=(

)

考点:向量的线性运算性质及几何意义. 专题:平面向量及应用. 分析:将向量 解答: 解: 利用三角形法则用 = , = = 表示,整理即可. ;

故选 A. 点评:本题考查了平面向量的三角形法则;熟练法则的运用是关键;属于基础题. 4.三个数 5 ,0.6 ,log0.65 的大小顺序是( ) 5 0.6 A.0.6 <log0.65<5 5 0.6 B.0.6 <5 <log0.65 5 0.6 C.log0.65<0.6 <5 0.6 5 D.log0.65<5 <0.6 考点:对数值大小的比较. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵5 >1>0.6 >0>log0.65, 0.6 5 ∴5 >0.6 >log0.65, 故选:C. 点评:本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 5.已知 x、y 取值如表:
0.6 5 0.6 5

x y

0 1.3

1 m

4 3m

5 5.6

6 7.4

画散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且求得回归方程为 =x+1,则 m 的值(精确到 0.1) 为( ) A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8 考点:线性回归方程. 专题:计算题;概率与统计. 分析:将 解答: 解:将 代入回归方程为 代入回归方程为 可得 可得 ,则 4m=6.7,即可得出结论. ,则 4m=6.7,解得 m=1.675,

即精确到 0.1 后 m 的值为 1.7. 故选:C. 点评:本题考查线性回归方程,考查学生的计算能力,属于基础题. 6.程序框图如下:

如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入( ) A.k≤10 B.k≥10 C.k≤11 D.k≥11 考点:循环结构. 专题:规律型. 分析:经过第一次循环得到的结果,判断是否是输出的结果,不是说明 k 的值满足判断框的 条件;经过第二次循环得到的结果,是需要输出的结果,说明 k 的值不满足判断框中的条 件.得到判断框中的条件. 解答: 解:当 k=12,S=1,应该满足判断框的条件; 经过第一次循环得到 S=1×12=12,k=12﹣1=11 应该满足判断框的条件; 经过第二次循环得到 S=12×11=132,k=11﹣1=10,应该输出 S,此时应该不满足判断框的条 件,即 k=10 不满足判断框的条件. 所以判断框中的条件是 k≥11 故选 D 点评:本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,从中找到规 律. 7.袋中共有 6 个大小质地完全相同的小球,其中有 2 个红球、1 个白球和 3 个黑球,从袋 中任取两球,至少有一个黑球的概率为( ) A. B. C. D. 考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:从口袋中 6 个小球中随机摸出 2 个小球,共有 10 种选法,则没有黑球只有 3 种,根 据互斥事件的概率公式计算即可 2 2 解答: 解: 从口袋中 6 个小球中随机摸出 2 个小球, 共有 C6 =15 种选法, 则没有黑球 C3 =3 种, ∴每个小球被抽到的机会均等,从袋中任取两球,至少有一个黑球的概率为 1﹣ 故选:D. 点评:本题考查了古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式,属于基础题. 8.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其表面积为( ) = ,

A.6+2 B.6+ C.6+4 D.10 考点:简单空间图形的三视图. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据几何体的三视图,得出该几何体的结构特征是什么,求出它的表面积即可. 解答: 解:根据几何体的三视图,得出该几何体是 底面为边长等于 2 的正三角形,高为 1 的正三棱柱, ∴它的表面积为 3×2×1+2× ×2 ×
2

=6+2



故选:A. 点评:本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,是基础题目.

9.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|< (x)=sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到 g

A.向左平移 B.向右平移 C.向右平移 D.向左平移

个长度单位 个长度单位 个长度单位 个长度单位

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可得函数的解析 式,再根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:由函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可得 A=1, 根据 = = ﹣ ,求得 ω=2,

再根据五点法作图可得 2× 故把 f(x)的图象向右平移

+φ=π,求得 φ=

,∴f(x)=sin(2x+

)=sin2(x+

) ,

个长度单位,可得 g(x)=sin2x 的图象,

故选:C. 点评:本题主要考查利用 y=Asin(ωx+φ)的图象特征,由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图 象求解析式,y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.
2 2

10.已知直线 x+y=2a 与圆 x +y =4 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,向量 | + |=| ﹣ |,则实数 a 的值为( )



满足

A.2 B.2 或﹣2 C.1 或﹣1 D. 或 考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:根据| 得 a=±1. 解答: 解:∵| + |=| ﹣ |,两边平方,得 = =0,即 ,求得 a=±1. ,如图所示 + |=| ﹣ |,得即 ,如图所示故圆心到直线的距离 d= ,可求

故圆心(0,0)到直线 x﹣y﹣2a=0 的距离 d= 故选:C.

点评: 本题考查了直线与圆相交的性质, 熟练正确运用已知条件以及点到直线的距离是解决 此问题的关键. 11.定义在 R 上的偶函数满足 f(x+2)=f(x)且 f(x)在[﹣3,﹣2]上为减函数,若 α,β 是锐角三角形的两个内角,则( ) A.f(sinα)>f(cosβ)

B.f(sinα)<f(cosβ) C.f(sinα)>f(sinβ) D.f(cosα)>f(cosβ) 考点:奇偶性与单调性的综合;抽象函数及其应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:由 f(x+2)=f(x)得函数的周期为 2,然后利用函数的周期和奇偶性进行判断. 解答: 解:由 f(x+2)=f(x) ,所以函数的周期为 2, 因为 f(x)在[﹣3,﹣2]上为减函数,所以 f(x)在[﹣1,0]上为减函数, 因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)在[0,1]上为单调增函数. 因为在锐角三角形中,π﹣α﹣β< 所以 ,所以 , ,所以 >0,

因为 f(x)在[0,1]上为单调增函数. 所以 f(sinα)>f(cosβ) , 故选 A. 点评:本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用,以及三角函数的图象和性质,综合性 较强,涉及的知识点较多. 12.已知函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,且 x>0 时,f(x)=lg(x) ,若 g(x)=sinπx,则 函数 y=f(x﹣2)与 y=g(x)图象所有公共点的横坐标之和为( ) A.10 B.12 C.20 D.22 考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:由已知中函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,且 x>0 时,f(x)=lg(x) ,在同一坐标系 中画出函数 y=f(x﹣2)与 y=g(x)图象,结合函数图象的对称性,可得答案. 解答: 解:由已知中函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,且 x>0 时,f(x)=lg(x) , 故函数 y=f(x)的图象如下图所示:

在同一坐标系中画出函数 y=f(x﹣2)与 y=g(x)图象,如下图所示:

结合函数图象可得:函数 y=f(x﹣2)与 y=g(x)图象共有十一个交点, 且这些交点有十组两两关于(2,0)点对称,另外一个就是(2,0)点, 故函数 y=f(x﹣2)与 y=g(x)图象所有公共点的横坐标之和为 22, 故选:D 点评:发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口,画出函数 y=f(x﹣2)的图象是本 题的难点所在. 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知函数 ,则 f(f(﹣1) )的值等于﹣1.

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:首先求出 f(﹣1) ,对其函数值当作自变量,再求函数值. 解答: 解:由已知 f(﹣1)= f( )= =﹣1; ,

故 f(f(﹣1) )=﹣1; 故答案为:﹣1. 点评:本题考查了分段函数的函数值求法;关键是明确自变量所属的范围,代入对应的解析 式求值.

14.在区间(0,6)上随机取一个数 x,log2x 的值介于 0 到 2 之间的概率为 .

考点:几何概型. 专题:计算题;概率与统计. 分析:本题利用几何概型求概率.先解对数不等式 0≤log2x≤2,再利用解得的区间长度与区 间(0,6)的长度求比值即得. 解答: 解:利用几何概型,其测度为线段的长度. ∵0≤log2x≤2 得 1≤x≤4,

∴log2x 的值介于 0 到 2 之间的概率为: P(log2x 的值介于 0 到 2 之间)= 故答案为: . 点评:本题主要考查了与长度有关的几何概型的求解,属于基础试题. = .

15.已知 sinα= ﹣cosα,则

的值为﹣



考点:三角函数的化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析: 已知可化为 sinα+cosα= , 由三角函数公式可得 代值计算可得. 解答: 解: = =﹣ (sinα+cosα) ,

= =﹣ (sinα+cosα) ,

∵sinα= ﹣cosα, ∴sinα+cosα= , ∴原式=﹣ (sinα+cosα)=﹣ . ,

故答案为:﹣

点评:本题考查三角函数化简求值,涉及二倍角公式和和差角的三角函数,属基础题.

16.在 Rt△ ABC 中,CA=CB=2,M,N 是斜边 AB 上的两个动点,且 MN= 取值范围为[ ,2].

,则

?



考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:通过建立直角坐标系求出 AB 所在直线的方程,设出 M,N 的坐标,将 ﹣1) ,0≤b≤1,求出范围.
2

?

=2(b

解答: 解:以 C 为坐标原点,CA 为 x 轴建立平面坐标系, 则 A(2,0) ,B(0,2) , ∴AB 所在直线的方程为: ,则 y=2﹣x,

设 M(a,2﹣a) ,N(b,2﹣b) ,且 0≤a≤2,0≤b≤2 不妨设 a>b, ∵MN= , 2 2 ∴(a﹣b) +(b﹣a) =2, ∴a﹣b=1, ∴a=b+1, ∴0≤b≤1 ∴ ? =(a,2﹣a)?(b,2﹣b)

=2ab﹣2(a+b)+4 2 =2(b ﹣b+1) ,0≤b≤1 ∴当 b=0 或 b=1 时有最大值 2; 当 b= 时有最小值 ∴ ? 的取值范围为[ ,2]

故答案为[ ,2] 点评:熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知直线 l1:ax﹣y﹣2=0 经过圆 C:x +y +4x﹣12y+24=0 的圆心 (1)求 a 的值; (2)求经过圆心 C 且与直线 l:x﹣4y+1=0 平行的直线 l2 的方程. 考点:直线与圆的位置关系. 专题:计算题;直线与圆. 分析: (1)将圆心(﹣2,6)代入得直线 l1,得 a 的值; (2)设所求直线方程 x﹣4y+n=0C(﹣2,6)点在直线 x﹣4y+n=0 上,得 n,即可得出结论. 解答: 解: (1)将圆心(﹣2,6)代入得直线 l1,得 a=﹣4; (2)设所求直线方程 x﹣4y+n=0, C(﹣2,6)点在直线 x﹣4y+n=0 上,得 n=26, 故所求直线 l2 方程为:x﹣4y+26=0. 点评:本题考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
x 2 2

18.已知函数 f(x)=

的定义域为集合 A,函数 g(x)=( ) , (﹣1≤x≤0)

的值域为集合 B. (1)求 A∩B; (2)若集合 C={x|a≤x≤2a﹣1},且 C∩B=C,求实数 a 的取值范围.

考点:集合的包含关系判断及应用;交集及其运算. 专题:集合. 分析: (1)要使函数 f(x)= 有意义,则 log2(x﹣1)≥0,利用对数的单
x

调性可得 x 的范围,即可得到其定义域为集合 A;对于函数 g(x)=( ) ,由于﹣1≤x≤0, 利用指数函数的单调性可得 ≤ ,即可得出其值域为集合 B.利

用交集运算性质可得 A∩B. (2)由于 C∩B=C,可得 C?B.分类讨论:对 C=?与 C≠?,利用集合之间的关系即可得出. 解答: 解: (1)要使函数 f(x)= ∴其定义域为集合 A=[2,+∞) ; 对于函数 g(x)=( ) ,∵﹣1≤x≤0, ∴ ≤ ,化为 1≤g(x)≤2,其值域为集合 B=[1,2].
x

有意义,则 log2(x﹣1)≥0,解得 x≥2,

∴A∩B={2}. (2)∵C∩B=C,∴C?B. 当 2a﹣1<a 时,即 a<1 时,C=?,满足条件; 当 2a﹣1≥a 时,即 a≥1 时,要使 C?B,则 综上可得:a∈ . ,解得 .

点评:本题考查了函数的单调性、集合的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 19.如图的多面体中,ABCD 为矩形,且 AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 的中点, AE⊥BE. (1)求证:AE∥平面 BFD; (2)求三棱锥 E﹣BDC 的体积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)根据线面平行的判定定理即可证明 AE∥平面 BDF; (2)取 AB 的中点 O,连接 EO,则 EO⊥平面 ABCD,EO= ,即可求三棱锥 E﹣BDC 的体积.

解答: (1)证明:设 AC∩BD=G,连接 FG,易知 G 是 AC 的中点, ∵F 是 EC 中点. ∴在△ ACE 中,FG∥AE, ∵AE?平面 BFD,FG?平面 BFD, ∴AE∥平面 BFD. (2)解:取 AB 的中点 O,连接 EO,则 EO⊥平面 ABCD,EO= , ∴三棱锥 E﹣BDC 的体积= = .

点评:本题主要考查空间平行的位置关系的判断,考查三棱锥的体积,正确运用线面平行的 判定定理是关键. 20.某校高三(1)班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同 程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

(1)求高三(1)班全体女生的人数; (2)求分数在[80,90)之间的女生人数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的 高; (3)若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析女学生失分情况,在抽取的试卷 中,求至少有一份分数在[90,100)之间的概率. 考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据条件所给的茎叶图看出分数在[50,60)之间的频数,由频率分布直方图看 出分数在[50,60)之间的频率,根据频率、频数和样本容量之间的关系解出样本容量. (2)算出分数在[80,90)之间的人数,算出分数在[80,90)之间的频率,根据小矩形的 面积是这一段数据的频率,做出矩形的高. (3)由题意知本题是一个古典概型,试验包含的所有事件可以通过列举得到结果数,看出 满足条件的事件数,根据古典概型公式得到结果. 解答: 解: (1)由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为 2. 由频率分布直方图知:分数在[50,60)之间的频率为 0.008×10=0.08.

∴全班人数为

=25 人.

(2)∵分数在[80,90)之间的人数为 25﹣2﹣7﹣10﹣2=4 人 ∴分数在[80,90)之间的频率为 =0.16, =0.016.

∴频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为

(3)将[80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4; [90,100]之间的 2 个分数编号为 5,6. 则在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,5) , (4,6) , (5,6)共 15 个. 至少有一个在[90,100]之间的基本事件有(1,5) (1,6) (2,5) (2,6) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6)共 9 个, ∴至少有一份分数在[90,100]之间的概率是 .

点评:这是一个统计综合题,频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一,这种问题 会出现在选择和填空中,有的省份也会以大题的形式出现,把它融于统计问题中.

21.已知向量 =(

cosωx,1) , =(2sin(ωx+ .

) ,﹣1) (其中 ≤ω≤ ) ,函数 f(x)

= ? ,且 f(x)图象的一条对称轴为 x= (1)求 f( π)的值; (2)若 f( ﹣β)的值. )= ,f( ﹣ )=

,且

,求 cos(α

考点:三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (1)根据向量的数量积公式,倍角公式,辅助角公式,化简函数的解析式,结合 f(x) 图象的一条对称轴为 x= (2)若 f( )= ,求出 ω=1,代入可得 f( π)的值; ,f( ﹣ )= ,且 ,可得 α,

β 的余弦值,代入差角的余弦公式,可得答案. 解答: 解: (1) ∵向量 = ( ﹣1) ∴函数 f(x)= ? =2cosωx(sinωx+cosωx)﹣1=2sinωxcosωx+2cos ωx﹣ 1=sin2ωx+cos2ωx= sin(2ωx+ ) ,
2

cosωx, 1) , = (2sin (ωx+

) , ﹣1) = (

(sinωx+cosωx) ,

∵f(x)图象的一条对称轴为 x= ∴2ω× + = +kπ, (k∈Z) .



又由 ≤ω≤ , ∴ω=1, ∴f(x)= ∴f( π)= (2)∵f( sin(2x+ ) , )=﹣ ﹣ cos )= =﹣1, ,

sin(2× π+ )=

,f(

∴sinα= ,sinβ= , ∵ ∴cosα= ,cosβ= , . ,

∴cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ=

点评:本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象和性质,数量积公 式,倍角公式,辅助角公式,两角差的余弦公式,难度中档.
2

22.已知函数 f(x)=2x ﹣3x+1,g(x)=ksin(x﹣

) , (k≠0) .

(1)问 α 取何值时,方程 f(sinx)=α﹣sinx 在[0,2π]上有两解; (2)若对任意的 x1∈[0,3],总存在 x2∈[0,3],使 f(x1)=g(x2)成立,求实数 k 的取值 范围? 考点:复合三角函数的单调性;函数最值的应用. 专题:函数的性质及应用. 2 2 分析: (1)2sin x﹣3sinx+1=a﹣sinx 化为 2sin x﹣2sinx+1=a 在[0,2π]上有两解令 t=sinx 则 2 2t ﹣2t+1=a 在[﹣1,1]上解的情况可结合两函数图象的交点情况讨论; (2)据题意有 f(x1)的值域是 g(x2)值域的子集,先求 f(x1)值域,然后分类讨论, 求出 g(x2)值域,建立关于 k 的不等式,可求 k 的范围. 2 2 解答: 解: (1)2sin x﹣3sinx+1=a﹣sinx 化为 2sin x﹣2sinx+1﹣a=0 在[0,2π]上有两解, 2 令 sinx=t,h(t)=2t ﹣2t+1﹣a, 则方程 f(sinx)=α﹣sinx 在[0,2π]上有两解相当于: 2 h(t)=2t ﹣2t+1﹣α 在[﹣1,1]上有两解或一解, 两解的情况是:h(﹣1)=h(1)=0;当 t∈(﹣1,1)时,h(t)=0 有一个解; 则有:

,解得: <α≤1,

故 α 的取值范围为( ,1]. (2)当 x1∈[0,3]时,f(x1)值域为[ 当 x2∈[0,3]时,x2﹣ ∈[﹣ ,3﹣ ], ],有 sin(x2﹣ )∈[﹣ ,1]

①当 k>0 时,g(x2)值域为[﹣

,k] ]

②当 k<0 时,g(x2)值域为[k,﹣

而依据题意有 f(x1)的值域是 g(x2)值域的子集





∴k≥10 或 k≤﹣20. 点评:本题考查复合函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,体现了化归与转化思想 的应用,方程与函数的思想的应用.



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