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2014-2015学年重庆市南开中学高三(上)一诊模拟数学试卷(文科) Word版含解析


2014-2015 学年重庆市南开中学高三 (上) 一诊模拟数学试卷 (文 科)
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分.在给出的四个选项中只有一项是正确的. 1.集合 A={x| A. 2 2.已知 m∈R,复数 A. ≥2,x∈Z}的子集个数为( B. 3 ) C. 4 ) D . ﹣1 D. 5

的实部和虚部相等,则 m 的值为( B. 0

C. 1

3.下列命题的否定为假命题的是(
2



A. ?x∈R,x ﹣2x+2≤0 B. 任意一个平面四边形的四个顶点共圆 C. 样本的中位数一定在样本中 D. 线性回归直线一定经过样本中心点( , ) 4.某工厂从 2015 件产品中选取 l00 件抽样检查,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽 样从 2015 件产品中剔除 15 件,剩下的 2000 件再按系统抽样的方法进行抽取.则每件产品 被抽中的概率( ) A. 均不相等 C. 不全相等 B. 都相等,且为 D. 都相等,且为

5.将函数 ( ) A. B.

的图象向左平移

个单位,所得函数图象的一条对称轴是

C.

D.

6.执行如图所示的程序框图,若输入 n=10,则输出的 S=(



A.
2 2

B.

C.

D.

7.已知圆 C:x +y ﹣2x+4y+1=0,在区间[﹣4,6]上任取整数 m,则直线 l:x+y+m=0 与圆 C 相交所得△ ABC 为钝角三角形(其中 A、B 为交点,C 为圆心)的概率为( ) A. B. C. D.

8.已知△ ABC 满足|AB|=4,O 是△ ABC 所在平面内一点,满足 + =λ ,λ∈R,则 ? =( ) C. 4

=

=

,且

A. 8

B. 8

D. 4

9.已知实数 x,y 满足可行域 D:

,曲线 T:|x|+|y﹣5|+a=0,恰好平分可行

域 D 的面积,则 a 的值为( ) A. ﹣4 B. ﹣4

C. ﹣6

D. 2

﹣8

10.已知实数 a,b,c,d 满足

=

=1,则(a﹣c) +(b﹣d) 的最小值为(

2

2



A.

﹣1

B. 2﹣

C. 3﹣2

D . 1﹣

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.二项式( ﹣x ) 展开式中的第四项的系数为
2 5



12.已知 x,y∈R ,且

+

+

=1,则 x+2y 的最小值为



13.设点 p 是椭圆

(a>0,b>0)上一点,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,I .

为△ PF1F2 的内心,若 S△ IPF1+S△ IPF2=2S△ IF1F2,则该椭圆的离心率是

14、15、16 为选做题.请从中任选两题作答.若三题全做,则按前两题给分. 14. (几何证明选做题)如图,已知:△ ABC 内接于圆 O,点 D 在 OC 的延长线上,AD 是 圆 O 的切线,若∠B=30°,AC=2,则 OD 的长为 .

15.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2 的方程为 psin (θ+ B,则|AB|= .

(t 为参数) ,在以 O 为极点,以

) =2

, C1 与 C2 的交点为 A、

1013?南昌二模)设 f(x)=|2x﹣1|,若不等式 f(x)≥ 成立,则 x 取值集合是 .

对任意实数 a≠0 恒

三、解答题:本大题共 6 小蹶.共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=2 (1)求 w 的值; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别是∠ABC 的对边,f( )=1,且 a=2,b+c=4,求△ ABC 的面积. sinwxcoswx+2cos wx﹣1 的周期为
2



18.某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加 A、B、C、D、E 五项考试,如果前四 项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一 定继续参加后面的考试.已知每一项测试都是相互独立的,该生参加 A、B、C、D 四项考 试不合格的概率均为 ,参加第五项不合格的概率为 , (1)求该生被录取的概率; (2)记该生参加考试的项数为 X,求 X 的分布列和期望. 19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an﹣p,其中 p 是不为零的常数. (1)证明:数列{an}是等比数列; + (2)当 p=2 时,数列{an}满足 b1=2,bn+1=bn+an(n∈N ) ,求数列{nbn}的前项 n 和 Tn. 20.已知函数 f(x)=x﹣alnx(a 为常数) (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 y=f(x)在 x=1 出取得极值时,若关于 x 的方程 f(x)+2x=x +b 在 两个不相等的实数根,求实数 b 的取值范围.
2

上恰有

21.已知抛物线 C1:y =2px(p>0)的焦点 F 以及椭圆 C2:
2 2

2

的上、下焦点及左、

右顶点均在圆 O:x +y =1 上. (Ⅰ)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交抛物线 C1 于 A、B 两不同点,交 y 轴于点 N,已知 ,求证:λ1+λ2 为定值. (Ⅲ)直线 l 交椭圆 C2 于 P、Q 两不同点,P、Q 在 x 轴的射影分别为 P′、Q′, ,若点 S 满足:
3 2

,证明:点 S 在椭圆 C2 上.
+

22.设数列{an}满足 a1=1,an +an (1﹣an+1)+1=an+1(n∈N ) ; (1)证明:an+1>an; (2)若 bn=(1﹣ ) ,证明:0< bk<2.

2014-2015 学年重庆市南开中学高三(上)一诊模拟数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:每小题 5 分,共 50 分.在给出的四个选项中只有一项是正确的. 1.集合 A={x| A. 2 ≥2,x∈Z}的子集个数为( B. 3 ) C. 4 D. 5

考点:子集与真子集. 专题:集合. 分析:根据条件求出集合 A,利用子集的关系即可得到结论. 解答: 解:∵A={x| ∴A={﹣3,﹣2} ∴集合 A={x| ≥2,x∈Z}的子集为{﹣3},{﹣2},{﹣3,﹣2},?共 4 个, ≥2,x∈Z},

故选:C 点评:本题主要考查集合子集个数的判断,比较基础. 2.已知 m∈R,复数 A.

的实部和虚部相等,则 m 的值为( B. 0 C. 1

) D . ﹣1

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则、实部和虚部的定义即可得出. 解答: 解:∵复数 = = + 的实部和虚部相等,

∴m+1=1﹣m, 解得 m=0. 故选:B. 点评:本题考查了复数的运算法则、实部和虚部的定义,属于基础题. 3.下列命题的否定为假命题的是( ) 2 A. ?x∈R,x ﹣2x+2≤0 B. 任意一个平面四边形的四个顶点共圆 C. 样本的中位数一定在样本中 D. 线性回归直线一定经过样本中心点( , )

考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析: A.?x∈R,x ﹣2x+2=(x﹣1) +1≤0,不正确,其否定“?x∈R,x ﹣2x+2≥0”,即 可判断出; B.只有一个平面四边形的内对角互补的四个顶点共圆,即可判断出; C.样本的中位数一定在样本中,不正确,即可判断出; D.线性回归直线一定经过样本中心点( , )正确,即可判断出. 2 2 2 解答: 解:A.?x∈R,x ﹣2x+2=(x﹣1) +1≤0,不正确,其否定“?x∈R,x ﹣2x+2≥0”, 正确; B.任意一个平面四边形的四个顶点共圆,不正确,其否定正确; C.样本的中位数一定在样本中,不正确,其否定正确; D.线性回归直线一定经过样本中心点( , )正确,其否定不正确. 故选:D. 点评:本题考查了简易逻辑的判定、实数的性质、四点共圆的性质、概率统计,考查了推理 能力,属于基础题. 4.某工厂从 2015 件产品中选取 l00 件抽样检查,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽 样从 2015 件产品中剔除 15 件,剩下的 2000 件再按系统抽样的方法进行抽取.则每件产品 被抽中的概率( ) A. 均不相等 C. 不全相等 B. 都相等,且为 D. 都相等,且为
2 2 2

考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:根据抽样的定义进行判断即可. 解答: 解:在各种抽样中,为了保证抽样的公平性, 每个个体被抽到的概率都是相同的,都为 = ,

故选:B 点评:本题主要考查抽样的定义和理解,比较基础.

5.将函数 ( ) A. B.

的图象向左平移

个单位,所得函数图象的一条对称轴是

C.

D.

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的对称性. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律可得变换后所得函数图象对应的函数解 析式为 y=2sin(x+ ) ,令 x﹣ =kπ+ ,k∈z,求得 x 的值,即可得到函数图象的

一条对称轴方程. 解答: 解:将函数 的图象向左平移 ﹣ 个单位, ) .

所得函数图象对应的函数解析式为 y=2sin(x+ 由 x﹣ =kπ+ ,k∈z,可得 x=kπ+ , ,

)=2sin(x﹣

故所得函数图象的一条对称轴是

故选 C. 点评:本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,函数 y=Asin(ωx+?)的对称 轴的求法,属于中档题. 6.执行如图所示的程序框图,若输入 n=10,则输出的 S=( )

A.

B.

C.

D.

考点:循环结构. 专题:计算题;图表型. 分析: 框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 分别赋值 0 和 2,在输入 n 的值为 10 后,对 i 的值域 n 的值大小加以判断,满足 i≤n, 执行 ,i=i+2,不满足则跳出循环,输出 S.

解答: 解:输入 n 的值为 10,框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 分别赋值 0 和 2, 判断 2≤10 成立,执行 ,i=2+2=4;

判断 4≤10 成立,执行

= ,i=4+2=6;

判断 6≤10 成立,执行

,i=6+2=8;

判断 8≤10 成立,执行

,i=8+2=10;

判断 10≤10 成立,执行

,i=10+2=12;

判断 12≤10 不成立,跳出循环,算法结束,输出 S 的值为



故选 A. 点评:本题考查了循环结构中的当型循环,即先判断后执行,满足条件,执行循环,不满足 条件跳出循环,算法结束,是基础题. 7.已知圆 C:x +y ﹣2x+4y+1=0,在区间[﹣4,6]上任取整数 m,则直线 l:x+y+m=0 与圆 C 相交所得△ ABC 为钝角三角形(其中 A、B 为交点,C 为圆心)的概率为( ) A. B. C. D.
2 2

考点:古典概型及其概率计算公式;圆的一般方程. 专题:应用题;概率与统计. 分析:直线 l:x+y+m=0 与圆 C 相交所得△ ABC 为钝角三角形,可得圆心到直线的距离 d= < ×2 且 m≠1,即﹣1<m<3 且 m≠1,从而在区间[﹣4,6]上任取整数 m,有

基本事件 11 个,﹣1<m<3 且 m≠1,有基本事件 2 个,即可求得结论. 2 2 解答: 解:圆 C:x +y ﹣2x+4y+1=0 2 2 ∴化成标准形式得(x﹣1) +(y+2) =4,得圆心为 C(1,﹣2) ,半径为 2 ∵直线 l:x+y+m=0 与圆 C 相交所得△ ABC 为钝角三角形, ∴圆心到直线的距离 d= < ×2 且 m≠1,

∴﹣1<m<3 且 m≠1, 在区间[﹣4,6]上任取整数 m,有基本事件 11 个,﹣1<m<3 且 m≠1,有基本事件 2 个, ∴所求概率为 ,

故选:B. 点评:本题考查概率的计算,考查直线与圆的位置关系,求得基本事件的个数是关键.

8.已知△ ABC 满足|AB|=4,O 是△ ABC 所在平面内一点,满足 + =λ ,λ∈R,则 ? =( ) C. 4

=

=

,且

A. 8

B. 8

D. 4

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:O 是△ ABC 所在平面内一点,满足 AB 边的中点为 D.可得 OD⊥AB.由于 + = =λ = ,可得 O 是△ ABC 的外心.设

,可得 AC∥OD.∠A=90°.即可得出. = = ,

解答: 解:∵O 是△ ABC 所在平面内一点,满足 ∴O 是△ ABC 的外心. 设 AB 边的中点为 D. 则 OD⊥AB. ∵ + =λ ,

∴AC∥OD. ∴∠A=90°. ∴ ? = = =8.

故选:B.

点评:本题考查了三角形外心的性质、向量共线定理、数量积运算性质,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

9.已知实数 x,y 满足可行域 D:

,曲线 T:|x|+|y﹣5|+a=0,恰好平分可行

域 D 的面积,则 a 的值为( ) A. ﹣4 B. ﹣4

C. ﹣6

D. 2

﹣8

考点:简单线性规划的应用;二元一次不等式(组)与平面区域. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,确定 x,y 的取值范围将曲线进行化简,利用面积关 系进行转化求即可即可. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图:则 A(0,1) ,C(3,0) , 由 ,解得 ,即 B(2,3) ,

则 x≥0 且 0≤y≤3, 则曲线 T:|x|+|y﹣5|+a=0,等价为 x﹣y+5+a=0,

则曲线 x﹣y+5+a=0 与直线 AB:x﹣y+1=0 平行, 则 C 到 AB:x﹣y+1=0 的距离 dAB= |AB|= 则△ ABC 的面积 S= , =4. =2 ,

∵T:|x|+|y﹣5|+a=0,恰好平分可行域 D 的面积, ∴设 C 到 x﹣y+5+a=0 的距离 d, 则 ,即 ,

即 d= 则 d=

=

, =2,

即|a+8|=2 , 解得 a+8=2 ,或 a+8=﹣2 , 即 a=2 ﹣8 或 a=﹣2 ﹣8(舍) . 故选:D.

点评:本题主要考查线性规划的应用, 根据图象将曲线进行化简是解决本题的关键, 考查学 生的运算和推理能力.

10.已知实数 a,b,c,d 满足

=

=1,则(a﹣c) +(b﹣d) 的最小值为(

2

2



A.

﹣1

B. 2﹣

C. 3﹣2

D . 1﹣

考点:曲线与方程;基本不等式. 专题:导数的综合应用;直线与圆. 分析:实数 a,b,c,d 满足
2 2

=

=1,可得 b=lna, (d﹣1) +c =1.考查函数 y=lnx

2

2

与圆的方程 x +(y﹣1) =1 的图象及其性质.设直线 l 与函数 y=lnx 相切于点 P(x0,lnx0) ,

利用导数的几何意义可得切线 l 的方程为: y﹣lnx0=
2 2

, 由于 EP⊥l, 可得 kEP?kl=
2

﹣1,解得切点为 P(1,0) .即可得出(a﹣c) +(b﹣d) 的最小值为(|EP|﹣r) . 解答: 解:∵实数 a,b,c,d 满足
2 2

=

=1,

∴b=lna, (d﹣1) +c =1. 2 2 考查函数 y=lnx,与圆的方程 x +(y﹣1) =1. 设直线 l 与函数 y=lnx 相切于点 P(x0,lnx0) , ∵ , ,

∴切线 l 的方程为:y﹣lnx0= ∵EP⊥l, ∴kEP?kl= ∴ , =﹣1,

当 x0=1 时,上述方程成立;当 x0>1 或 0<x0<1 时,上述方程不成立. 因此切点为 P(1,0) . ∴(a﹣c) +(b﹣d) 的最小值为(|EP|﹣r) = 故选;C.
2 2 2

=3﹣2



点评:本题考查了对数函数与圆的图象及其性质、导数的几何意义、切线的性质、两点之间 的距离公式,考查了转化能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.二项式( ﹣x ) 展开式中的第四项的系数为 ﹣40 .
2 5

考点:二项式系数的性质. 专题:计算题;二项式定理. 分析:先求得二项式( ﹣x ) 的通项公式,再令 r=3,即可求得第四项的系数.
2 5

解答: 解:∵二项式( ﹣x ) 的通项公式为 Tr+1= ∴第四项的系数为﹣ ?2 =﹣40,
2

2

5

?(﹣1) ?2

r

5﹣r

?x

r﹣5



故答案为:﹣40. 点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数, 属于中档题. 12.已知 x,y∈R ,且
+

+

=1,则 x+2y 的最小值为 15 .

考点:基本不等式. 专题:函数的性质及应用. 分析:由 x,y∈R ,且 1=9+
+

+

=1,变形 x+2y=x+1+2y﹣1=



,再利用基本不等式的性质即可得出.
+

解答: 解:∵x,y∈R ,且 ∴x+2y=x+1+2y﹣1= 1=9+ ≥9+2

+

=1, ﹣

=9+6=15,当且仅当 x+1=6y=12 时取等号.

∴x+2y 的最小值为 15. 故答案为:15. 点评:本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.

13.设点 p 是椭圆

(a>0,b>0)上一点,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,I .

为△ PF1F2 的内心,若 S△ IPF1+S△ IPF2=2S△ IF1F2,则该椭圆的离心率是

考点:椭圆的简单性质. 专题:计算题. 分析:设△ PF1F2 的内切圆半径为 r,根据内心的性质,结合三角形面积公式将 S△ IPF1+S△ IPF2=2S△ IF1F2 化简整理,可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|.由此结合椭圆离心率公式,即 可得到该椭圆的离心率. 解答: 解:设△ PF1F2 的内切圆半径为 r,则 S△ IPF1= |PF1|?r,S△ IPF2= |PF2|?r,S△ IF1F2= |F1F2|?r, ∵S△ IPF1+S△ IPF2=2S△ IF1F2, ∴ |PF1|?r+ |PF2|?r=|F1F2|?r,可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|.

∴椭圆的离心率 e= =

=

=

故答案为: 点评:本题已知椭圆的焦点三角形的一个面积关系式, 求椭圆的离心率. 着重考查了三角形 内切圆的性质、椭圆的标准方程和简单性质等知识,属于基础题. 14、15、16 为选做题.请从中任选两题作答.若三题全做,则按前两题给分. 14. (几何证明选做题)如图,已知:△ ABC 内接于圆 O,点 D 在 OC 的延长线上,AD 是 圆 O 的切线,若∠B=30°,AC=2,则 OD 的长为 4 .

考点:与圆有关的比例线段. 专题:计算题;压轴题;选作题. 分析:根据同弧所对的圆周角与弦切角相等,得到∠DAC=30°,从而得到三角形 AOC 是一 个等腰三角形,得到半径的长度,在含有 30°角的直角三角形中,做出 OD 的长. 解答: 解:∵AD 是圆 O 的切线,∠B=30° ∴∠DAC=30°, ∴∠OAC=60°, ∴△AOC 是一个等边三角形, ∴OA=OC=2, 在直角三角形 AOD 中, OD=2AO=4, 故答案为:4. 点评:本题考查和圆有关的比例线段, 考查同弧所对的圆周角等于弦切角, 本题在数据运算 中主要应用含有 30°角的直角三角形的性质,本题是一个基础题.

15.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2 的方程为 psin (θ+ B,则|AB|= 6 .

(t 为参数) ,在以 O 为极点,以

) =2

, C1 与 C2 的交点为 A、

考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题:计算题;坐标系和参数方程.

分析:把曲线 C1 的参数方程化为普通方程,得方程①;曲线 C2 的极坐标方程化为普通方 程,得方程②;由①②组成方程组,求出 x,利用弦长公式,即可得出结论. 解答: 解:把曲线 C1 的参数方程 曲线 C2 的极坐标方程 ρsin(θ+
2

(t 为参数) ,化为普通方程,得 y= x ①;

2

)=2

,化为普通方程,得 x+y=4②;

由①②联立,消去 y,得 x +2x﹣8=0,∴x=2,或 x=﹣4, ∴|AB|= ?|2+4|=6 . 故答案为:6 . 点评:本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题, 解题时先把参数方程、 极坐标方程化 为普通方程,再解答问题,是基础题.

1013?南昌二模)设 f(x)=|2x﹣1|,若不等式 f(x)≥ 成立,则 x 取值集合是 {x|x≤﹣1 或 x≥2} .

对任意实数 a≠0 恒

考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式. 分析:把 f(x)看作是一个参数,问题转化为求 作是关于 a 的函数,通过分段处理的方式,可获得最值. 解答: 解:∵不等式 f(x)≥ ∴f(x)大于或等于 令 g(a)= 对任意实数 a≠0 恒成立, 的最大值, ,则当 a≤﹣1 时,g(a)= ; 的最大值,再把此式看

当﹣1<a<0 时,g(a)=﹣3; 当 0<a< 时,g(a)=3; 当a 时,g(a)= ,

即 g(a)=

∴g(a)有最大值 g( )=



∴f(x)≥3,即|2x﹣1|≥3,解得 x≤﹣1 或 x≥2. 故答案为{x|x≤﹣1 或 x≥2}. 点评: 本题属于恒成立问题,解决本题的关键有两个: (1)弄清谁是参数 我们习惯上把 a 当作参数,但由于本题是“对任意实数 a≠0 恒成立”,所以不等式 f(x) ≥ 应看作是关于 a 的不等式;

(2)如何去绝对值符号 求函数 g(a)= 的最大值时,采用了分段处理的方法,分段的依据是以三

个临界点﹣1,0, 为准则进行讨论,从而顺利地去掉了绝对值符号.

三、解答题:本大题共 6 小蹶.共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=2 (1)求 w 的值; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别是∠ABC 的对边,f( )=1,且 a=2,b+c=4,求△ ABC 的面积. 考点:余弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题:解三角形. 分析: (1)由条件利用三角恒等变换求得函数 f(x)=2sin(2wx+ 周期为 T= = ,求得 w 的值. ) =1, 求得 sin (2A+ ) = , 求得 A= . 再根据 a=2, b+c=4, ) ,再根据 f(x) 的 sinwxcoswx+2cos wx﹣1 的周期为
2



(2) 由f ( ) =2sin (4× +

利用余弦定理求得 bc 的值,可得△ ABC 的面积为 bc?sinA 的值. 解答: 解: (1)由于函数 f(x)=2 (2wx+ ) 的周期为 T= = ) . )=1,∴sin(2A+
2 2 2

sinwxcoswx+2cos wx﹣1=

2

sin2wx+cos2wx=2sin



∴w=2,f(x)=2sin(4x+ (2)∵f( )=2sin(4× +

)= ,∴2A+

=
2

,求得 A=



再根据 a=2,b+c=4,利用余弦定理可得 a =4=b +c ﹣2bc?cosA=(b+c) ﹣3bc=16﹣3bc, ∴bc=4,∴△ABC 的面积为 bc?sinA= ×4× = .

点评:本题主要考查三角函数的恒等变换,正弦函数的周期性,余弦定理,属于基础题.

18.某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加 A、B、C、D、E 五项考试,如果前四 项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一 定继续参加后面的考试.已知每一项测试都是相互独立的,该生参加 A、B、C、D 四项考 试不合格的概率均为 ,参加第五项不合格的概率为 , (1)求该生被录取的概率; (2)记该生参加考试的项数为 X,求 X 的分布列和期望. 考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析: (1)该生被录取,则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项. (2)分析此问题时要注意有顺序,所以 X 的所有取值为:2,3,4,5.分别计算其概率得 出分布列,以及它的期望值. 解答: 解: (1)该生被录取,则 A、B、C、D 四项考试答对 3 道或 4 道,并且答对第五 项. 所以该生被录取的概率为 P= [( ) +C
4

( ) ? ]=

3



(2)该生参加考试的项数 X 的所有取值为:2,3,4,5. P(X=2)= × = ;P(X=3)=C P(X=5)=1﹣ ﹣ ﹣ = . ? ? ? = ;P(X=4)=C ? ?( )? =
2



该生参加考试的项数 ξ 的分布列为: X 2 3 P EX=2× +3× +4× +5× = .

4

5

点评:本题主要考查了离散型随机变量及其分布列, 数学期望. 此题把二项分布和回合制问 题有机的结合在一起,增加了试题的难度.解决此问题应注意顺序. 19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an﹣p,其中 p 是不为零的常数. (1)证明:数列{an}是等比数列; + (2)当 p=2 时,数列{an}满足 b1=2,bn+1=bn+an(n∈N ) ,求数列{nbn}的前项 n 和 Tn. 考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)由 Sn=2an﹣p,得 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1,a1=2a1﹣p,由此能证明{an}是首 项为 p,公比为 2 的等比数列. n n n n (2)当 p=2 时,an=2 ,从而 bn+1﹣bn=2 ,由此利用累加法能求出 bn=2 .从而 nbn=n?2 , n﹣1 由此利用错位相减法能求出 Tn=(n﹣1)?2 +2. * 解答: (1)证明:因为 Sn=2an﹣p(n∈N ) , * 则 Sn﹣1=2an﹣1﹣p(n∈N ,n≥2) , 所以当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1,

整理得 an=2an﹣1 由 Sn=2an﹣p,令 n=1,得 a1=2a1﹣p, 解得 a1=p, 所以{an}是首项为 p,公比为 2 的等比数列. n (2)解:当 p=2 时,an=2 , ∵满足 b1=2,bn+1=bn+an=
n



∴bn+1﹣bn=2 , ∴bn=b1+b2﹣b1+b3﹣b2+…+bn﹣bn﹣1 2 3 n﹣1 =2+2+2 +2 +…+2 =2+ =2 . n ∴nbn=n?2 , 2 3 n ∴Tn=1?2+2?2 +3?2 +…+n?2 ,① 2 3 4 n+1 2Tn=1?2 +2?2 +3?2 +…+n?2 ,② 2 3 n n+1 ①﹣②,得:﹣Tn=2+2 +2 +…+2 ﹣n?2 =
n+1 n

﹣n?2

n+1

=(1﹣n)?2 ﹣2, n﹣1 ∴Tn=(n﹣1)?2 +2. 点评:本题主要考查数列的通项公式的求法、前 n 项和公式的求法,考查等差数列、等比数 列等基础知识,考查抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想、 函数与方程思想,解题时要注意累加法和错位相减法的合理运用. 20.已知函数 f(x)=x﹣alnx(a 为常数) (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 y=f(x)在 x=1 出取得极值时,若关于 x 的方程 f(x)+2x=x +b 在 两个不相等的实数根,求实数 b 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件. 专题:综合题. 分析: (1)先求出函数的导函数,利用导数的正负,分类讨论,即可得到函数 f(x)的 单调区间; 2 (2)由 y=f(x)在 x=1 处取得极值,可知 f'(1)=0,从而可得函数解析式,设 g(x)=x ﹣3x+lnx+b(x>0) ,研究当 x 变化时,g'(x) ,g(x)的变化情况,确定函数的极值,利 用关于 x 的方程 f(x)+2x=x +b 在 可求得实数 b 的取值范围. 解答: 解: (1)求导函数,可得 (x>0)
2 2

上恰有

上恰有两个不相等的实数根,建立不等式,即

若 a≤0,则 f′(x)>0,函数在(0,+∞)上单调增,∴函数的单调增区间为(0,+∞) ; 若 a>0,则 f′(x)>0 时,x>a,f′(x)<0 时,x<a,∵x>0,∴0<x<a ∴函数的单调增区间为(a,+∞) .单调减区间为(0,a) ; (2)∵y=f(x)在 x=1 处取得极值,∴f′(1)=1﹣a=0,解得 a=1 ∴f(x)=x﹣lnx 2 2 2 ∴f(x)+2x=x +b,即 x﹣lnx+2x=x +b,亦即 x ﹣3x+lnx+b=0 2 设 g(x)=x ﹣3x+lnx+b(x>0) 则 g'(x)=2x﹣3+ = =

当 x 变化时,g'(x) ,g(x)的变化情况如下表 x g'(x) G(x) (0, ) + ↗ 0 极大值 ( ,1) 1 ﹣ ↘ 0 极小值 (1,2) + ↗ 2

b﹣2+ln2

当 x=1 时,g(x)最小值=g(1)=b﹣2,g( )=b﹣ ﹣ln2,g(2)=b﹣2+ln2 ∵方程 f(x)+2x=x +b 在[ ,2]上恰有两个不相等的实数根 ∴g( )≥0,g(1)<0,g(2)≥0 ∴b﹣ ﹣ln2≥0,b﹣2<0,b﹣2+ln2≥0 ∴ +ln2≤b<2 点评:本题主要考查函数的极值,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题.
2

21.已知抛物线 C1:y =2px(p>0)的焦点 F 以及椭圆 C2:
2 2

2

的上、下焦点及左、

右顶点均在圆 O:x +y =1 上. (Ⅰ)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交抛物线 C1 于 A、B 两不同点,交 y 轴于点 N,已知 ,求证:λ1+λ2 为定值. (Ⅲ)直线 l 交椭圆 C2 于 P、Q 两不同点,P、Q 在 x 轴的射影分别为 P′、Q′, ,若点 S 满足: ,证明:点 S 在椭圆 C2 上.

考点:圆锥曲线的综合;向量在几何中的应用. 专题:综合题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (Ⅰ)由 C1:y =2px(p>0)焦点 F( ,0)在圆 O:x +y =1 上,可求 p 的值; 同理由椭圆的上、下焦点(0,c) , (0,﹣c)及左、右顶点(﹣a,0) , (a,0)均在圆 O: 2 2 x +y =1 上可解得椭圆 C2 的方程; (Ⅱ)设直线 AB 的方程与抛物线联立,消元,利用韦达定理,结合 ,从而可求 λ1、λ2 的值,即可得证; (Ⅲ) 设 P, Q 的坐标, 利用 及 P,Q 在椭圆上,即可证得结论. 解答: (Ⅰ)解:由 C1:y =2px(p>0)的焦点 F( ,0)在圆 O:x +y =1 上, 得: ,解得 p=2,
2 2 2 2

2

2

2

, 确定 S 的坐标, 利用

∴抛物线 C1:y =4x; 由椭圆 C2:
2 2

的上、下焦点(0,c) , (0,﹣c)及左、右顶点(﹣a,0) , (a,0)

均在圆 O:x +y =1 上, 2 2 可得:a =1,c =1, ∴a=c=1, 则 b= = ,

∴椭圆 C2:



(Ⅱ)证明:设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 N(0,﹣k) , 2 2 2 2 直线与抛物线联立,消元可得 k x ﹣(2k +4)x+k =0, ∴x1+x2= ∵ ,x1x2=1, ,

∴λ1(1﹣x1)=x1,λ2(1﹣x2)=x2, ∴ , ,

∴λ1+λ2=

=﹣1 为定值;

(Ⅲ)证明:设 P(x3,y3) ,Q(x4,y4) ,则 P′(x3,0) ,Q′(x4,0) , ∵ ,

∴S(x3+x4,y3+y4) ,

∵ ∴2x3x4+y3y4=﹣1 ①, ∵P,Q 在椭圆上, ∴ ②,



③,

由①+②+③得(x3+x4) +

2

=1.

∴点 S 在椭圆 C2 上. 点评:本题考查了抛物线与椭圆的方程的求法, 考查直线与椭圆的位置关系, 考查向量知识 的运用,解题的关键是设点的坐标,然后联立方程,利用向量知识求解,是压轴题. 22.设数列{an}满足 a1=1,an +an (1﹣an+1)+1=an+1(n∈N ) ; (1)证明:an+1>an; (2)若 bn=(1﹣ ) ,证明:0< bk<2.
3 2 +

考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)由 an +an (1﹣an+1)+1=an+1(n∈N ) ,化为 可证明. (2)由 a1=1>0,an+1>an,可得?n∈N ,an>0,
* 3 2 +

,作差比较即

>0,可得 bn>0,0<

bk.另

一方面:bn=



=

,利用“累加求和”即可证明.

解答: 证明: (1)∵an +an (1﹣an+1)+1=an+1(n∈N ) ,化为

3

2

+



∴an+1﹣an=

=

>0,

∴an+1>an; * (2)∵a1=1>0,an+1>an,∴?n∈N ,an>0, ∴ >0,

∴bn=(1﹣



>0,∴0<

bk .

另一方面:bn=(1﹣



=



=





bk<

+…+

=2

<2.

∴0<

bk<2.

点评:本题考查了“累加求和”、“放缩法”、数列的单调性,考查了数列的变形能力,考查了 推理能力与计算能力,属于难题.


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