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湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)


湖南师大附中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 a 是实数, A.﹣1 B. 1
2

是纯虚数,则 a 等于() C. D.

2. (5 分)极坐标方程 ρco

s θ=4sin θ 所表示的曲线是() A.一条直线 B.一个圆 C.一条抛物线

D.一条双曲线

3. (5 分)设集合 A={x|x>﹣1},B={x|x≥1},则“x∈A 且 x?B”成立的充要条件是() A.﹣1<x≤1 B.x≤1 C.x>﹣1 D.﹣1<x<1 4. (5 分)如果函数 f(x)=sin( A.T=4π,θ= B.T=4,θ= x+θ) (0<θ<π)是最小正周期为 T 的偶函数,那么() C.T=4,θ= D.T=4π,θ=

5. (5 分)已知 a,b 为两条直线,α,β 为两个平面,下列命题中正确的是() A.若 α∥b,β∥b,则 α∥β B. 若 α∥a,α∥b,则 a∥b C. 若 a⊥α,b⊥β,则 α∥β D.若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β 6. (5 分)若 ax +bx+c<0 的解集为{x|x<﹣2 或 x>4},则对于函数 f(x)=ax +bx+c 应有() A.f(5)<f(2)<f(﹣1) B.f(5)<f(﹣1)<f(2) C. f(﹣1)< f(2)<f(5) D. f(2)<f(﹣1)<f(5) 7. (5 分)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为() A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D.由增加的长度决定 8. (5 分)若 < <0,则下列不等式中不正确的是() A.ab<b
2 2 2

B.a+b<ab
*

C.a >b

2

2

D . + >2

9. (5 分)已知 an=logn+1(n+2) (n∈N ) ,观察下列运算: a1?a2=log23?log34= ? =2; ? ?…? =3;….

a1?a2?a3?a4?a5?a6=log23?log34?…?log78=

若 a1?a2?a3?…?ak(k∈N )为整数,则称 k 为“企盼数”,试确定当 a1?a2?a3?…?ak=2 014 时,“企 盼数”k 为() A.2
2014

*

+2

B. 2

2014

C. 2

2014

﹣2

D.2

2014

﹣4

10. (5 分)过点(﹣2,0)的直线 l 与抛物线 y= 切线互相垂直,则直线 l 的斜率 k 等于() A.﹣ B. ﹣ C.

相交于两点,且在这两个交点处抛物线的

D.

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卷对应题号后的 横线上. 11. (5 分)在 200 个产品中,一等品 40 个,二等品 60 个,三等品 100 个,用分层抽样的方 法抽取一个容量为 40 的样本,则从二等品中应抽取个. 12. (5 分)阅读框图填空:若 a=0.8 ,b=0.9 ,c=log50.9,则输出的数是.
0.3 0.3

13. (5 分)若直线 y=kx 与圆 x +y ﹣4x+3=0 相切,则 k 的值是. 14. (5 分)函数 f(x)=x(e +1)+ x ,则函数 f(x)的单调增区间为.
x 2

2

2

15. (5 分)当 n 为正整数时,定义函数 N(n)表示 n 的最大奇因数,如:N(3)=3,N(10) n =5,记 S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2 ) ,则 (1)S(3)=. (2)S(n)=.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 2 16. (12 分)已知函数 f(x)= sinωx?cosωx+cos ωx+1(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)求当 x∈(0, ]时 f(x)的值域.

17. (12 分)某中学 2015 届高三(1)班共有 50 名学生,他们每天自主学习的时间在 180 到 330 分钟之间,将全班学生的自主学习时间作分组统计,得其频率分布如下表所示:

组序 分组 频数 频率 第一组 [180,210) 5 0.1 第二组 [210,240) 10 0.2 第三组 [240,270) 12 0.24 第四组 [270,300) a b 第五组 [300,330) 6 c (1)求表中的 a、b、c 的值; (2)某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性,需用分层抽样方法,从这 50 名学 生中随机抽取 20 名作统计分析,求在第二组学生中应抽取多少人? (3)已知第一组学生中有 3 名男生和 2 名女生,从这 5 名学生中随机抽取 2 人,求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率. 18. (12 分)如图,已知三棱锥 P﹣ABC 中,PC⊥平面 ABC,AB⊥BC,PC=BC=4,AB=2, E、F 分别是 PB、PA 的中点. (1)求证:侧面 PAB⊥侧面 PBC; (2)求三棱锥 P﹣CEF 的外接球的表面积.

19. (13 分)已知函数 f(x)= x + ax ﹣(a+2)x+b(a,b∈R)在[﹣1,1]上是减函数. (1)求实数 a 的取值范围; (2)设 <a<1,若对任意实数 u、v∈[a﹣1,a],不等式|f(u)﹣f(v)|≤ a 的最小值. 恒成立,求实数

3

2

20. (13 分)如图,已知双曲线

,其右准线交 x 轴于点 A,双曲

线虚轴的下端点为 B.过双曲线的右焦点 F(c,0)作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P,若 点 D 满足 , .

(1)求双曲线的离心率; (2)若 a=2,过点 B 作直线 l 分别交双曲线的左支、右支于 M、N 两点,且△ OMN 的面积 S△ OMN= ,求 l 的方程.

21. (13 分)设不等式组

所表示的平面区域为 Dn,记 Dn 内整点的个数为

an(横纵坐标均为整数的点称为整点) . (1)n=2 时,先在平面直角坐标系中作出区域 D2,再求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; * (3)记数列{an}的前 n 项的和为 Sn,试证明:对任意 n∈N 恒有 + +…+ < 成立.

湖南师大附中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 a 是实数, 是纯虚数,则 a 等于()

A.﹣1

B. 1

C.

D.

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,求得所给的复数为 ,再根据它为纯虚数, 可得 a﹣1=0,且 a+1≠0,由此求得 a 的值. 解答: 解:a 是实数,且 = = 为纯虚数,故有 a

﹣1=0,且 a+1≠0, 解得 a=1, 故选 B. 点评: 本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性 质,属于基础题. 2. (5 分)极坐标方程 ρcos θ=4sin θ 所表示的曲线是() A.一条直线 B.一个圆 C.一条抛物线 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 利用 即可把极坐标方程化为直角坐标方程,即可判断出.
2 2 2 2

D.一条双曲线

解答: 解:极坐标方程 ρcos θ=4sinθ 化为 ρ cos θ=4ρsinθ, 2 ∴x =4y. 2 因此极坐标方程 ρcos θ=4sin θ 所表示的曲线是一条抛物线. 故选:C. 点评: 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程,属于基础题. 3. (5 分)设集合 A={x|x>﹣1},B={x|x≥1},则“x∈A 且 x?B”成立的充要条件是() A.﹣1<x≤1 B.x≤1 C.x>﹣1 D.﹣1<x<1 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题;集合. 分析: 判断“x∈A 且 x?B”成立的充要条件要分别说明必要性与充分性. 解答: 解:∵集合 A={x|x>﹣1},B={x|x≥1}, 又∵“x∈A 且 x?B”, ∴﹣1<x<1; 又由﹣1<x<1 时, 满足 x∈A 且 x?B. 故选 D. 点评: 本题考查了充要条件的求法,要分别说明必要性与充分性.属于基础题.

4. (5 分)如果函数 f(x)=sin( A.T=4π,θ= B.T=4,θ=

x+θ) (0<θ<π)是最小正周期为 T 的偶函数,那么() C.T=4,θ= D.T=4π,θ=

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件根据正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性,可得结论. 解答: 解:根据函数 f(x)=sin( 可得 T= =4,且 θ= , x+θ) (0<θ<π)是最小正周期为 T 的偶函数,

故选:B. 点评: 本题主要考查正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性,属于基础题. 5. (5 分)已知 a,b 为两条直线,α,β 为两个平面,下列命题中正确的是() A.若 α∥b,β∥b,则 α∥β B. 若 α∥a,α∥b,则 a∥b C. 若 a⊥α,b⊥β,则 α∥β D.若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:若 α∥b,β∥b,则 α 与 β 相交或平行,故 A 错误; 若 α∥a,α∥b,则 a 与 b 相交、平行或异面,故 B 错误; 若 a⊥α,b⊥β,则 α 与 β 相交或平行,故 C 错误; 若 a⊥α,a⊥β,则由平面与平面平行的判定定理得 α∥β,故 D 正确. 故选:D. 点评: 本小题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意空间想象能力和思维能力的 培养. 6. (5 分)若 ax +bx+c<0 的解集为{x|x<﹣2 或 x>4},则对于函数 f(x)=ax +bx+c 应有() A.f(5)<f(2)<f(﹣1) B.f(5)<f(﹣1)<f(2) C. f(﹣1)< f(2)<f(5) D. f(2)<f(﹣1)<f(5) 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 分析: 由于 ax +bx+c<0 的解集为{x|x<﹣2 或 x>4},可知;﹣2,4 是 ax +bx+c=0 的两个 实数根,且 a<0.得到 =﹣2, =﹣8.因此函数 f(x)=ax +bx+c=a
2 2 2 2

=a(x

﹣1) ﹣9a.可知:a<0,抛物线开口向下,且对称轴为 x=1.当 x≥1 时,函数 f(x)单调递 减.即可得出. 2 解答: 解:∵ax +bx+c<0 的解集为{x|x<﹣2 或 x>4}, 2 ∴﹣2,4 是 ax +bx+c=0 的两个实数根,且 a<0.

∴﹣2+4=

,﹣2×4= .

化为 =﹣2, =﹣8. ∴函数 f(x)=ax +bx+c=a
2

=a(x ﹣2x﹣8)=a(x﹣1) ﹣9a.

2

2

∵a<0,抛物线开口向下,且对称轴为 x=1. ∴当 x≥1 时,函数 f(x)单调递减, ∴f(5)<f(3)<f(2) ,f(3)=f(﹣1) , ∴f(5)<f(﹣1)<f(2) . 故选:B. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、二 次函数的图象与性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 7. (5 分)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为() A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D.由增加的长度决定 考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 先设出原来的三边为 a、b、c 且 c =a +b ,以及增加同样的长度为 x,得到新的三角 形的三边为 a+x、b+x、c+x,知 c+x 为最大边,所以所对的角最大,然后根据余弦定理判断出 余弦值为正数,所以最大角为锐角,得到三角形为锐角三角形. 2 2 2 解答: 解:设增加同样的长度为 x,原三边长为 a、b、c,且 c =a +b ,c 为最大边; 新的三角形的三边长为 a+x、b+x、c+x,知 c+x 为最大边,其对应角最大. 而(a+x) +(b+x) ﹣(c+x) =x +2(a+b﹣c)x>0, 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦= >0,则为锐
2 2 2 2 2 2 2

角, 那么它为锐角三角形. 故选 A 点评: 考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力,以及掌握三角形一些基本性质的 能力.

8. (5 分)若 < <0,则下列不等式中不正确的是() A.ab<b
2

B.a+b<ab

C.a >b

2

2

D . + >2

考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由于 < <0,可得 b<a<0,因此 b >a ,即可得出.
2 2

解答: 解:∵ < <0,∴b<a<0, ∴b >a , 因此 C 不正确. 故选:C. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 9. (5 分)已知 an=logn+1(n+2) (n∈N ) ,观察下列运算: a1?a2=log23?log34= ? =2; ? ?…? =3;….
* 2 2

a1?a2?a3?a4?a5?a6=log23?log34?…?log78=
*

若 a1?a2?a3?…?ak(k∈N )为整数,则称 k 为“企盼数”,试确定当 a1?a2?a3?…?ak=2 014 时,“企 盼数”k 为() 2014 2014 2014 2014 A.2 +2 B. 2 C. 2 ﹣2 D.2 ﹣4 考点: 数列与函数的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 2014 分析: 由已知得 lg(k+2)=lg 2 ,由此能求出 k. 解答: 解:由已知得 a1?a2?a3?…?ak=
2014

=2 014,

lg(k+2)=lg 2 , 2014 解得 k=2 ﹣2. 故选:C. 点评: 本题考查“企盼数”k 的求法,是中档题,解题时要注意对数性质的合理运用.

10. (5 分)过点(﹣2,0)的直线 l 与抛物线 y= 切线互相垂直,则直线 l 的斜率 k 等于() A.﹣ B. ﹣ C.

相交于两点,且在这两个交点处抛物线的

D.

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 对抛物线 y= ,y′=x,l 的方程是 y=k(x+2) ,代入 y= 得:x ﹣2kx﹣4k=0,由此
2

利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率. 解答: 解:对抛物线 y= ,y′=x, 得:x ﹣2kx﹣4k=0,
2

l 的方程是 y=k(x+2) ,代入 y=

设两个交点是 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 ,

而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即 x1x2=﹣1. ∴k= 且满足△ >0. 故选:C. 点评: 本题考查直线的斜率的求法,是中档题,解题时要注意抛物线性质和导数性质的合 理运用. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卷对应题号后的 横线上. 11. (5 分)在 200 个产品中,一等品 40 个,二等品 60 个,三等品 100 个,用分层抽样的方 法抽取一个容量为 40 的样本,则从二等品中应抽取 12 个. 考点: 专题: 分析: 解答: 分层抽样方法. 概率与统计. 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论. 解:∵在 200 个产品中,一等品 40 个,二等品 60 个,三等品 100 个, 个,

∴二等品中应抽取

故答案为:12 点评: 本题主要考查分层抽样的应用,建立比例关系是解决本题的关键. 12. (5 分)阅读框图填空:若 a=0.8 ,b=0.9 ,c=log50.9,则输出的数是 b(或 0.9 ) .
0.3 0.3 0.3

考点: 选择结构. 专题: 算法和程序框图. 0.3 0.3 分析: 根据指数函数和对数函数的图象和性质比较 0.8 ,0.9 ,log50.9 三个数的大小,由 框图即可确定输出的数. 解答: 解:指数函数和对数函数的图象和性质可知 0.8 0.9 ,且 0.9 log50.9, 0.3 执行框图流程可知输出的数为:b(或 0.9 ) 0.3 故答案为:b(或 0.9 ) . 点评: 本题主要考查流程图和算法以及指数函数、对数函数的图象和性质,属于基础题.
2 2 0.3< 0.3 0.3>

13. (5 分)若直线 y=kx 与圆 x +y ﹣4x+3=0 相切,则 k 的值是±



考点: 直线与圆的位置关系.

专题: 计算题;直线与圆. 分析: 先根据圆的方程求出圆心和半径,再根据圆心到直线的距离等于半径求得 k 的值. 解答: 解:圆 x +y ﹣4x+3=0,即(x﹣2) +y =1,表示以(2,0)为圆心、半径等于 1 的 圆. 根据圆心到直线的距离等于半径可得 =1,求得 k=± .
2 2 2 2

故答案为:±



点评: 本题主要考查直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式的应用,属于基础题.
x 2

14. (5 分)函数 f(x)=x(e +1)+ x ,则函数 f(x)的单调增区间为(﹣1,+∞) (注:[﹣ 1,+∞)也可) . 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 只需在定义域内解不等式 f′(x)>0,注意定义域的书写形式. x x x 解答: 解:f′(x)=e +1+xe +x=(e +1) (x+1) , 令 f′(x)>0,得 x>﹣1, ∴函数 f(x)的单调增区间为(﹣1,+∞) , 故答案为: (﹣1,+∞) . 点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性,属基础题,求 f(x)的增区间只需解 f′(x) >0,求减区间只需解 f′(x)<0,注意单调区间为定义域的子集. 15. (5 分)当 n 为正整数时,定义函数 N(n)表示 n 的最大奇因数,如:N(3)=3,N(10) n =5,记 S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2 ) ,则 (1)S(3)=22. (2)S(n)= .

考点: 函数的值. 专题: 计算题;新定义. 分析: (1)由题意可得,S(3)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(8) ,分别寻求每一项的 值,然后可求 (2)先根据题意求出当 n=1 时,S(1)=N(1)+N(2) ,S(2)=N(1)+N(2)+N(3) +N(4) ,S(3)=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+…+N(8) ,S(4)=N(1)+N(2)+N (3)+N(4)+…+N(16) ,根据值出现的规律总结一般规律,然后可求 解答: 解: (1) 由题意可得, S (3) =N (1) +N (2) +N (3) +…+N (8) =1+1+3+1+5+3+7+1=22 (2)由题意可得,当 n=1 时,S(1)=N(1)+N(2)=1+1=2 当 n=2 时,S(2)=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)=[N(1)+N(3)]+N(2×1)+N(4×1) =(1+3)+1+1 =2 +2 当 n=3 时,S(3)=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+…+N(8)
2

=[N(1)+N(3)+N(5)+N(7)]+[N(2)+N(6)]+[N(4)+N(8)] =(1+3+5+7)+(1+3)+(1+1) =2 +2 +2 当 n=4,S(4)=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+…+N(16) =[N(1)+N(3)+N(5)+…+N(15)]+[N(2)+N(6)+N(10)+N(14)]+[N(4)+N(8) +N(12)+N(16)] =(1+3+5+7+9+11+13+15)+(1+3+5+7)+(1+1+3+1) =64+16+6 =2 +2 +2 +2 n=5,S(5)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(32) =[N(1)+N(3)+N(5)+…+N(31)]+[N(2)+N(6)+N(10)+…N(30)]+[N(4)+N (8)+…N(32)] =(1+3+5++…+31)+(1+3+5+…+15)+(1+1+3+1+5+3+7+1) =256+64+22=2 +2 +2 +2 +2 n ∴S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2 ) n n =[N(1)+N(3)+N(5)+…+N(2 ﹣1)]+[N(2)+N(6)+N(10)+…N(2 ﹣2)]+[N(4) n +N(8)+…N(2 )] 2n﹣2 2n﹣4 2 =2 +2 +…+2 +2 =
8 6 4 2 6 4 2 4 2

=2

=

故答案为:22, 点评: 本题以新定义为载体,主要考查了函数的函数值的求解,解题的关键是根据前几项 的值寻求函数值出现的规律 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)= (1)求 ω 的值; (2)求当 x∈(0, sinωx?cosωx+cos ωx+1(ω>0)的最小正周期为 π.
2

]时 f(x)的值域.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f(x)=sin(2ωx+ 此根据周期为 π 求得 ω 的值. (2)当 x∈(0, ]时,利用正弦函数的定义域和值域求得 f(x)的值域. )+ ,由

解答: 解: (1) f (x) = + . ∵ω>0,∴T=

sinωxcosωx+

+1=

sin2ωx+ cos2ωx+ =sin (2ωx+



=π,∴ω=2. )+ ,∵0<x≤ ,∴ <2x+ ≤ ,

(2)由(1)得:f(x)=sin(2ωx+ ∴﹣ ≤sin(2x+

)≤1,∴1≤f(x)≤ ,即 f(x)的值域是[1, ].

点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的周期性、定义域和值域, 属于基础题. 17. (12 分)某中学 2015 届高三(1)班共有 50 名学生,他们每天自主学习的时间在 180 到 330 分钟之间,将全班学生的自主学习时间作分组统计,得其频率分布如下表所示: 组序 分组 频数 频率 第一组 [180,210) 5 0.1 第二组 [210,240) 10 0.2 第三组 [240,270) 12 0.24 第四组 [270,300) a b 第五组 [300,330) 6 c (1)求表中的 a、b、c 的值; (2)某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性,需用分层抽样方法,从这 50 名学 生中随机抽取 20 名作统计分析,求在第二组学生中应抽取多少人? (3)已知第一组学生中有 3 名男生和 2 名女生,从这 5 名学生中随机抽取 2 人,求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由 5+10+12+a+6=50 得 a=17,再求 b、c 的值; (2)先求抽取比例,根据抽取比例求在第二组学生中应抽取的人数; (3) 计算从 5 名学生中随机抽取 2 人的取法种数和恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的取法种数, 利用古典概型概率公式计算. 解答: 解: (1)由 5+10+12+a+6=50 得 a=17,b= (2)∵分层抽样的抽取比例为 =0,34,c= =0.12; =4 人;

,∴在第二组学生中应抽取 10× =10 种取法, =6 种, = .

(3)从 5 名学生中随机抽取 2 人共有 恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的取法有

∴恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率为

点评: 本题考查了古典概型的概率计算,考查了组合数公式的应用,解题的关键是读懂频 率分布表. 18. (12 分)如图,已知三棱锥 P﹣ABC 中,PC⊥平面 ABC,AB⊥BC,PC=BC=4,AB=2, E、F 分别是 PB、PA 的中点. (1)求证:侧面 PAB⊥侧面 PBC; (2)求三棱锥 P﹣CEF 的外接球的表面积.

考点: 平面与平面垂直的判定;球内接多面体. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由已知得 AB⊥PC,AB⊥BC,从而 AB⊥侧面 PBC,由此能证明侧面 PAB⊥侧 面 PBC. (2)由已知得 CE⊥PB,CE⊥EF.从而 EF⊥侧面 PBC,故 EC、EF、EP 两两垂直,从而三 棱锥 P﹣CEF 的外接球就是以 EC、EF、EP 为长、宽、高的长方体的外接球,由此能求出三 棱锥 P﹣CEF 的外接球的表面积. 解答: (1)证明:∵PC⊥平面 ABC,∴AB⊥PC, 又 AB⊥BC,则 AB⊥侧面 PBC,AB?侧面 PAB, 故侧面 PAB⊥侧面 PBC. (6 分) (2)解:∵PC=BC=4,E 为 PB 的中点,∴CE⊥PB, 而侧面 PAB 垂直侧面 PBC 于 PB,∴CE⊥EF. 由 E、F 分别是 PB、PA 的中点有 EF∥AB, 则 EF⊥侧面 PBC. 故 EC、EF、EP 两两垂直, (9 分) 三棱锥 P﹣CEF 的外接球就是以 EC、EF、EP 为长、宽、高的长方体的外接球, 由已知得 EC=EP=2 ,EF=1, 其外接球的直径是 = , 故所求三棱锥 P﹣CEF 的外接球的表面积是=17π. (12 分) 点评: 本题考查侧面 PAB⊥侧面 PBC 的证明,考查三棱锥 P﹣CEF 的外接球的表面积的求 法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 19. (13 分)已知函数 f(x)= x + ax ﹣(a+2)x+b(a,b∈R)在[﹣1,1]上是减函数. (1)求实数 a 的取值范围; (2)设 <a<1,若对任意实数 u、v∈[a﹣1,a],不等式|f(u)﹣f(v)|≤ a 的最小值. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 恒成立,求实数
3 2

专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由已知得 x∈[﹣1,1]时,f′(x)=x +ax﹣a﹣2≤0 恒成立,由此能求出 a≥﹣ . (2)由已知得 <a<1,﹣ <a﹣1<0,[a﹣1,a]?[﹣1,1],f(x)在[a﹣1,a]上是减函数, 从而得到 fmax﹣fmin≤ ,由此能求出实数 a 的最小值.
3 2 2

解答: 解: (1)∵f(x)= x + ax ﹣(a+2)x+b, ∴f′(x)=x +ax﹣a﹣2, 由函数 f(x)= x + ax ﹣(a+2)x+b(a,b∈R)在[﹣1,1]上是减函数得: x∈[﹣1,1]时,f′(x)=x +ax﹣a﹣2≤0 恒成立. (3 分) ∴ ,
2 3 2 2

解得 a≥﹣ . (6 分) (2)∵ <a<1,∴﹣ <a﹣1<0, ∴[a﹣1,a]?[﹣1,1], 故 f(x)在[a﹣1,a]上是减函数, (7 分) ∴fmax=f(a﹣1)= (a﹣1) + a(a﹣1) ﹣(a+2) (a﹣1)+b, fmin=f(a)= a + a ﹣a(a+2)+b. 依条件有 fmax﹣fmin≤
2 3 3 3 2

, , (11 分)

∴fmax﹣fmin=﹣2a + a+ ≤ 即 8a ﹣10a+3≥0, a≥ 或 a≤ ,
2

∵ <a<1,∴amin= . (13 分) 点评: 本题重点考查利用导数研究函数的性质,利用函数的性质解决不等式、方程问题.重 点考查学生的代数推理论证能力.解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.

20. (13 分)如图,已知双曲线

,其右准线交 x 轴于点 A,双曲

线虚轴的下端点为 B.过双曲线的右焦点 F(c,0)作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P,若 点 D 满足 , .

(1)求双曲线的离心率; (2)若 a=2,过点 B 作直线 l 分别交双曲线的左支、右支于 M、N 两点,且△ OMN 的面积 S△ OMN= ,求 l 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的简单性质. 专题: 综合题;转化思想. 分析: (1)欲求双曲线的离心率,只需找到含 a,c 的齐次式,由已知,易求 P 点坐标,根 据 , 可判断 D 点为 FP 的中点, 再根据 可找

到 a,b 的关系,进而转化为含 a,c 的等式,即可求出离心率 e 的值. (2)当 a=2 时,根据(1)中所求离心率,可求出 b 的值,进而求出双曲线方程,根据直线 MN 过 B 点,设出直线 MN 的方程,与双曲线方程联立,解出 x1+x2,x1x2,△ OMN 被 y 轴 分成两个三角形,分别求出面积,再相加,即为△ OMN 的面积,让其等于题目中所给的值, 可得到关于直线 l 的斜率 k 的方程,解出 k 即可. 解答: 解: (1)∵B(0,﹣b) ∵ ∴ ,即 A、B、D 共线. 而 ∴ , , ,得 a=2b, ,即 D 为线段 FP 的中点. ,



(2)∵a=2,而 故双曲线的方程为

,∴b =1, …①

2

∴B、的坐标为(0,﹣1) 设 l 的方程为 y=kx﹣1…② 2 2 ②代入①得(1﹣4k )x +8kx﹣8=0

由题意得:

得:

设 M、N 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) 则 而 = =

整理得 24k ﹣11k +1=0,解得: ∴所求 l 的方程为

4

2



(舍去)

点评: 本题主要考查了双曲线离心率的求法,以及直线与 双曲线位置关系的应用.

21. (13 分)设不等式组

所表示的平面区域为 Dn,记 Dn 内整点的个数为

an(横纵坐标均为整数的点称为整点) . (1)n=2 时,先在平面直角坐标系中作出区域 D2,再求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式;

(3)记数列{an}的前 n 项的和为 Sn,试证明:对任意 n∈N 恒有 + +…+ < 成立.

*

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)在 4×8 的矩形区域内有 5×9 个整点,对角线上有 5 个整点,可求 a2 的值; (2)直线 y=nx 与 x=4 交于点 P(4,4n) ,即可求数列{an}的通项公式; (3)利用裂项法,放缩,求和即可证明结论. 解答: 解: (1)D2 如图中阴影部分所示, ∵在 4×8 的矩形区域内有 5×9 个整点,对角线上有 5 个整点, ∴a2= =25. (3 分)

(另解:a2=1+3+5+7+9=25) (2)直线 y=nx 与 x=4 交于点 P(4,4n) , 据题意有 an= =10n+5. (6 分)

(另解:an=1+(n+1)+(2n+1)+(3n+1)+(4n+1)=10n+5) (3)Sn=5n(n+2) . (8 分) ∵ = , = ? <



+

+…+



+

+…+

= ( ﹣ +…+



)= ( + ﹣



)<

(13 分)

点评: 本题考查数列与不等式的综合,考查数列的通项与求和,考查学生分析解决问题的 能力,属于中档题.


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