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特殊化与一般思想巩固练习


GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG

特殊化与一般思想巩固练习
1. 已 知 函 数 f (x ) =2ax2+4 (a -3 )x +5 在 区 间 (-∞ ,3 ) 上 是 减
函数 , 则 a 的取值范围是 ( )

10. 如图 , 圆 F :(x-1 )2+y2=1 和抛物线 x= y , 过 F 的直线与 4
· 抛物线和圆依次交于 A、B、C、D 四点 ,求|AB| |CD|的值是 ( )

2

A. 1 C. [0 , 3 ) 4 D. [0 , 3 ] 4 1 f (lnx+1 )
1

B. 2 y

C. 3 A B O C D

D. 无法确定

A. (0 , 3 ) 4

B. (0 , 3 ] 4

2. (1 ) 已知函数地 f (x ) 的定义域为 R , 当 x>0 时 ,f (x )>1 , 且
对任意的 x ,y∈R ,f (x+y )=f (x )f (y ), 则不等式 f (lnx )≤ 的解集为 ( )
-1 4

A. (0 ,e



- - B. [e 2 ,e 4 ]

1

1

C. (0 ,e-1]

- D. (0 ,e 2 ]

F

x

(2 ) 函数 f (x ) 的定义域为 D= {x|x≠0 }, 且满 足 对 于 任 意 x1, · x2∈D , 有 f (x1 x2)=f (x1)+f (x2), 则 f (1 )=________.
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

x-1 ,x>0
是奇函数 , 则 a+b=

3. (1 ) 若函数 f (x )= a ,x=0 x+b ,x<0



练习 10 图

(2 ) 设 f (x )=lg ( 2 +a ) 是奇函数 , 则使 f (x )<0 成立 x 的取 1-x 值范围是 ( )

11. 如图 ,P (4 ,3 ) 为圆 x2+y2=25 上一点 , 点 E ,F 为 y 轴上的
两点 ,△PEF 为以 P 为顶 点 的 等 腰 三 角 形 , 直 线 PE ,PF 交 圆 于

D ,C 两点 , 则直线 CD 的斜率是 ( B. (0 ,1 )
2 2



A. (-1 ,0 )

C. (-∞ ,0 )
, ,

D. (-∞ ,0 )∪ (1 ,+∞ )

4. 已 知 函 数 f (x ) =

x +2x-1 x≥0 ≥ x -2x-1 x<0

A. 3 4

B. 4 3

C. 1 y D E P F O

D. 3 2

则 对 于 任 意 x1,x2∈R , 若

0<|x1|<|x2| , 下列不等式成立的是 ( A. f (x1)+f (x2)<0 C. f (x1)-f (x2)>0



B. f (x1)+f (x2)>0 D. f (x1)-f (x2)<0 C

5. 已知 cos ( π -θ )=a (|a|≤1 ), 则 cos ( 5π +θ )+sin ( 2π -θ ) 6 6 3
的值是 ________.

x

6. (1 ) 数 列 0 ,1 ,0 , -1 ,0 ,1 ,0 , -1 ,… 的 一 个 通 项 公 式 是 an
等于 ( )
n A. (-1 ) +1 2

B. cos nπ 2 2 3 3

C. cos n+1 π 2 4 4 4

D. cos n+2 π 2
参考解答 :

练习 11 图

(2 ) 已 知 数 列 {an}: 1 , 1 + 2 , 1 + 2 + 3 ,… , 1 + 2 +

10

10

1. 解析 : 可以根据选择项的特点 , 取特殊值代入验证 . 当 a= 0 时 ,f (x )=-3x+5 在区间 (-∞ ,3 ) 上 是 减 函 数 ; 当 a= 3 时 ,f (x )= 4 3 x2-9x+5 在区间 (-∞ ,3 ) 上是减函数 . 所以选择 D. 2 2. 解析 : (1 ) 对于 f (x+y )=f (x )f (y ), 我们可以取特殊函 数 指
数函数 f (x )=ax, 又因为当 x>0 时 ,f (x )>1 且有 f (lnx )、 f (lnx+1 ), 所以不妨取 f (x )=ex, 则 f (lnx )=x , f (lnx+1 )=ex , 故 不 等 式 f (lnx )
-1 -1 1 化为 x≤ 1 , 所以可以解得 x≤-e 2 或 0<x≤e 2 , f (lnx+1 ) ex

3 + … + 9 , …, 若 b = 1 , 那么数列 {b } 的 前 n 项 和 S n n n 10 10 anan+1
为( )

A. n n+1

B. 4n n+1

C. 3n n+1

D. 5n n+1

7. 已知正方形 ABCD 的边长为 1 , 点 E 是 AB 边 上 的 动 点 ,

∈∈ ∈∈ 则D E· CB 的值为 ______________.
8. 已 知 a>0 ,b>0 , 若 不 等 式 m - 3 - 1 ≤0 恒 成 立 , 则 3a+b a b m 的最大值为 ( A. 4
点( ) )



比较选择项 , 选 D.

B. 16

C. 9

D. 3

(2 ) 对于 f (x1 · x2)=f (x1)+f (x2), 我 们 可 以 取 特 殊 函 数 对 数 函 数 f (x ) =logax , 所 以 f (1 ) =0. 当 然 我 们 也 可 以 取 特 殊 的 x1,x2 的值来求解 , 例如 x1=x2=1 , 则 f (1 · 1 )=f (1 )+f (1 ), 故 f (1 )=0. 注 : 对 于题 目 中有 类似条件 f(x+y)=f(x)f(y)、 f(x+y )=f (x )+

9. 直 线 2x-my +1-3m =0 , 当 m 变 动 时 , 所 以 直 线 都 通 过 定 A. (- 1 ,3 ) 2 B. ( 1 ,3 ) 2 C. ( 1 ,-3 ) 2 D. (- 1 ,-3 ) 2

f (y ) 、 f (xy )=f (x )f (y )、f (xy )=f (x )+f (y ) 的 函 数 , 我 们 可 以 分 别

广东教育·高中 2015 年第 2 期

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点拨
应解题 .

数学有数
所以 m≤ (10+ 3b + 3a ) 的最小值 .

取特殊函数: 指数函数、 正比例函数、 幂函数、 对数函数对

a

b

3. 解析 : (1) 奇函数在 0 处有定义必有 f(0)=0, 故 a=0, 又
由 f (1 )=-f (-1 ) 得 b=1 , 所以 a+b=1. ( 2 ) 由 f (0 ) =lg (2+a ) =0 , 得 a =-1 , 所 以 f (x ) =lg 1+x <0 ,

又 10+ 3b + 3a ≥10+2

a

b

姨a

3b × 3a =16 , b

所以 m≤16 恒成立 , 故的最大值可以为 16.

1-x

9. 解 析 : 把 选 择 项 具 体 代 入 直 线 方 程 2x-my+1-3m =0 ,
只有 D 是满足的 . 另一方面, 我们也可以继续用下面的特殊化思想求解: 当 m=0 时 , 直线 2x+1=0 要通过定点 ; 当 m=1 时 , 直线 2x-y-2=0 要通过定点 , 所以定点只能是两直线

则 0< 1+x <1 , 解得 -1<x<0. 1-x

4. 解析 : 不妨取 x1=1, x2=2, 则 f(x1)=2, f(x2)=7, 故 B、 D
成立 ; 当取 x1= 1 , x2= 1 , 则 f (x1)=- 7 , f (x2)=- 2 , 故 只

4

3

16

9

有 D 成立 .

2x+1=0 姨 2x-y-2=0


的交点 (- 1 ,-3 ) .

2

5. 解析: 不妨取 θ=0, a= 姨 3 , 则 cos( 5π +θ)+sin( 2π -θ ) 2 6 3 =cos 5π +sin 2π =- 姨 3 + 姨 3 =0. 一般做法为 cos ( 5π +θ )+ 6 3 2 2 6 sin ( 2π -θ )=-cos[π- ( 5π +θ )]+sin[ π + ( π -θ )]=-a+a =0. 3 6 2 6 6. 解析 : 前几项特殊值验证即可 .
(1 ) 因为 a1=0 , 故 C 不成立 ; a2=1 , 故 B 不成立 ; a4=-1 , 故 A 不成立 , 所以选 D. (2 ) 因为 a1= 1 , a2=1 , 所以 b1=2 , 故 S1=2 , 选择项中当

10. 解 析 : 取 直 线 为 x =1 , 则 易 得 AB = CD =1 , 故 AB · CD =1.
当然 , 我们也可以用一般的方法求出来 . 设 A (x1,y1),D (x2,y2), 则 AB = AF - BF =x1+1-1=x1, 同理 CD =x2, 所以 AB · CD =x1x2. 设直线方程为 y=k (x-1 ), 代入抛物线整理得 k2x2- (2k2+4 )

x +k =0 ,
所以由韦达定理得 x1x2=1 , 故 AB · CD =1.

2

2

11. 解析 : 不妨让 E 取点 (0 ,4 ), 则点 F (0 ,2 ),
所以直线 PE 方程为 y=- 1 x+4 , PE 方程为 y= 1 x+2 ,

n=1 时只有 B 满足 . 7. 解 析 : 如 图 , 可 以 用 特 殊 位 置 法 , 因 为 E 在 AB 边 上

4

4

姨姨 姨姨 的运动时 D E· C B 是定值 ,
1×1=1. D

姨姨 所以不妨取 E 为 A , 则 D E ·姨姨 CB =1×

联立直线 PE 方程和圆方程 , 可得 D (- 36 , 77 ), 17 17 联立直线 PE 方程和圆方程 , 可得 C (- 84 , 13 ),

C

17

17

于是由两点斜率公式得直线 CD 的斜率是 4 . 3 从上面的解答中我们可以看到实际上直线 PE , PF 的斜率 是 互 为 相 反 数 , 于 是 可 以 得 到 一 般 解 法 : 设 直 线 PE 方 程 为

y-3=k (x-4 ),
联立圆方程得 (1+k2)x2+2k (3-4k )x+16k2-24k-16=0 ,

-16 , 则 x = 4k -6k-4 , 所以 4 · xD= 16k -24k D 2 2 1+k 1+k A E
练习 7 解答用图

2

2

B

+3 . 于是 yD= -3k -8k 2 1+k -4 , y = -3k +8k+3 , 同理 xC= 4k +6k C 2 2 1+k 1+k
因此 , 由两点斜率公式得直线 CD 的斜率是 4 .
2 2

2

8. 解 析 : 不 妨 取 a =b =1 , 则 m -4 ≤0 即 m ≤16 恒 成 立 , 4
所以 m 的最大值可以为 16. 而一般方法要这样解答:

3

m - 3 - 1 ≤0 等 价 于 m ≤ 3a+b a b

( 作者单位 : 浙江省绍兴市柯桥区越崎中学 ) 责任编校 徐国坚

( 3 + 1 )(3a+b )=10+ 3b + 3a 恒成立 ,

a

b

a

b

70

广东教育·高中 2015 年第 2 期


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