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第三章 概率 3.3.2有详细答案


3.3.2

均匀随机数的产生

课时目标 1.了解均匀随机数的产生方法与意义.2.会用模拟实验求几何概型的概率.3. 能利用模拟实验估计不规则图形的面积. 1.均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是______________函数. (2)Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”.

2.用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1)____________的方法:制作两个转盘模型,进行模拟试验,并统计试验结果. (2)____________的方法:用 Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟.注意操作 步骤. 3.[a,b]上均匀随机数的产生. 利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数 x=RAND,然后利用伸缩和平移交换,x =x1*(b-a)+a 就可以得到[a,b]内的均匀随机数,试验的结果是[a,b]上的任何一个实 数,并且任何一个实数都是等可能的.

一、选择题 1.将[0,1]内的均匀随机数转化为[-3,4]内的均匀随机数,需要实施的变换为(

)

2.在线段 AB 上任取三个点 x1,x2,x3,则 x2 位于 x1 与 x3 之间的概率是( ) 1 1 A. B. 2 3 1 C. D.1 4 3.与均匀随机数特点不符的是( ) A.它是[0,1]内的任何一个实数 B.它是一个随机数 C.出现的每一个实数都是等可能的 D.是随机数的平均数 4.如图,边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒 2 豆子,它落在阴影区域内的概率为 ,则阴影区域的面积为( ) 3

4 8 A. B. 3 3 2 C. D.无法计算 3 5.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形.这个正方形 的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为( ) 36 12 12 1 A. B. C. D. 81 36 81 4 6.将一个长与宽不等的长方形,沿对角线分成四个区域,如图所示涂上四种颜色,中 间装个指针,使其可以自由转动,对指针停留的可能性下列说法正确的是( )

A.一样大 B.蓝白区域大 C.红黄区域大 D.由指针转动圈数决定 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 7.在圆心角为 90° 的扇形中,以圆心 O 为起点作射线 OC,使得∠AOC 和∠BOC 都不 小于 30° 的概率为______.

8.在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则|x|≤1 的概率为________. 9.在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P,则使点 P 到三个顶点的距离至少有一个 小于 1 的概率是________. 三、解答题 10.利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线 y=log3x 与 x=3 及 x 轴围成的图形) 的面积.

11.假设小军、小燕和小明所在的班级共有 50 名学生,并且这 50 名学生早上到校先后 的可能性是相同的.设计模拟方法估计下列事件的概率: (1)小燕比小明先到校; (2)小燕比小明先到校,小明比小军先到校.

能力提升 12.如图所示,曲线 y=x2 与 y 轴、直线 y=1 围成一个区域 A(图中的阴影部分),用模 拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法).

13. 甲、 乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一人一刻钟, 过时即可离去.求两人能会面的概率(用两种方法).

1.[0,1]或[a,b]上均匀随机数的产生 利用计算器的 RAND 函数可以产生[0,1]的均匀随机数, 试验的结果是区间[0,1]内的任何 一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,可以用计算器产生的 0 到 1 之间 的均匀随机数进行随机模拟. 计算器不能直接产生[a,b]区间上的随机数,但可利用伸缩和平移变换得到:如果 Z 是 [0,1]区间上的均匀随机数,则 a+(b-a)Z 就是[a,b]区间上的均匀随机数. 2.随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法.用计算机或计算器模拟试验,首先 把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数刻画 影响随机事件结果的量.我们可以从以下几个方面考虑: (1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数.如长度、角度型只用 一组,面积型需要两组. (2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围.

(3)由事件 A 发生的条件确定随机数所应满足的关系式.

答案:

3.3.2

均匀随机数的产生

知识梳理 1.(1)RAND 2.(1)试验模拟 (2)计算机模拟 作业设计 1.C [根据伸缩、平移变换 a=a1*[4-(-3)]+(-3)=a1*7-3.] 2.B [因为 x1,x2,x3 是线段 AB 上任意的三个点,任何一个数在中间的概率相等且 1 都是 .] 3 3.D [A、B、C 是均匀随机数的定义,均匀随机数的均匀是“等可能”的意思,并不是 “随机数的平均数”.] S阴影 2 2 8 4.B [∵ = ,∴S 阴影= S 正方形= .] 3 3 3 S正方形 9-6 1 5.D [由题意知,6<AM<9,而 AB=12,则所求概率为 = .] 12 4 6. B [指针停留在哪个区域的可能性大, 即表明该区域的张角大, 显然, 蓝白区域大. ] 1 7. 3

解析 作∠AOE=∠BOD=30° ,如图所示,随机试验中,射线 OC 可能落在扇面 AOB 内任意一条射线上,而要使∠AOC 和∠BOC 都不小于 30° ,则 OC 落在扇面 DOE 内, 1 ∴P(A)= . 3 2 8. 3 解析 由|x|≤1,得-1≤x≤1. 区间[-1,1]的长度 2 由几何概型的概率求法知,所求的概率 P= = . 区间[-1,2]的长度 3 3π 9. 6 解析 以 A、B、C 为圆心,以 1 为半径作圆,与△ABC 交出三个扇形, 当 P 落在其内时符合要求. 1 π 3×? × ×12? 2 3 3π ∴P= = . 6 3 ×22 4

10.解 设事件 A:“随机向正方形内投点,所投的点落在阴影部分”. (1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND. (2)经过伸缩变换 x=x1*3,y=y ? 1*3,得到两组[0,3]上的均匀随机数. (3)统计出试验总次数 N 和满足条件 y<log3x 的点(x,y)的个数 N1 (4)计算频率 fn(A)=

N1 ,即为概率 P(A)的近似值. NA

S N1 S 设阴影部分的面积为 S,正方形的面积为 9,由几何概率公式得 P(A)= ,所以 ≈ . 9 N 9 9N1 所以 S≈ 即为阴影部分面积的近似值. N 11.解 记事件 A“小燕比小明先到校”;记事件 B“小燕比小明先到校且小明比小军 先到校”. ①利用计算器或计算机产生三组 0 到 1 区间的均匀随机数,a=RAND,b=RAND,c= RAND 分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间; ②统计出试验总次数 N 及其中满足 b<c 的次数 N1,满足 b<c<a 的次数 N2; N1 N2 ③计算频率 fn(A)= ,fn(B)= ,即分别为事件 A,B 的概率的近似值. N N 12.解 方法一 我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子,数出落在区域 A 内的 豆子数与落在正方形内的豆子数,根据

,即可求区域 A 面积的 近似值.例如,假设撒 1 000 粒豆子,落在区域 A 内的豆子数为 700,则区域 A 的面积 700 S≈ =0.7. 1 000 方法二 对于上述问题,我们可以用计算机模拟上述过程,步骤如下: 第一步,产生两组 0~1 内的均匀随机数,它们表示随机点(x,y)的坐标.如果一个点 的坐标满足 y≥x2,就表示这个点落在区域 A 内. 第二步,统计出落在区域 A 内的随机点的个数 M 与落在正方形内的随机点的个数 N, M 可求得区域 A 的面积 S≈ . N 13. 解 方法一 以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够 会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是 边长为 60 的正方形区域,而事件 A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表 示. 由几何概型的概率公式得: S 602-452 3 600-2 025 7 P(A)= A = = = . 602 3 600 16 S 7 所以两人能会面的概率是 . 16 方法二 设事件 A={两人能会面}. (1)利用计算器或计算机产生两组 0 到 1 区间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND; (2)经过伸缩变换,x=x1*60,y=y1*60,得到两组[0,60]上的均匀随机数; (3)统计出试验总次数 N 和满足条件|x-y|≤15 的点(x,y)的个数 N1; (4)计算频率 fn(A)=

N1 ,即为概率 P(A)的近似值. N


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