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直线、平面垂直的判定及其性质知识点


直线、平面垂直的判定及其性质
【高考会这样考】 1.以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定,经常与命题或充要条件相结 合. 2.以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定.考查空间想象能力、逻辑思维能 力,考查转化与化归思想的应用能力. 3.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,运用公理、定理和已获得的 结论,证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题.

【复习指导】 1.垂直是立体几何的必考题目,且几乎每年都有一个解答题出现,所以是高考 的热点,是复习的重点.纵观历年来的高考题,立体几何中没有难度过大的题, 所以复习要抓好三基:基础知识,基本方法,基本能力. 2.要重视和研究数学思想、数学方法.在本讲中“化归”思想尤为重要,不论 何种“垂直”都要化归到“线线垂直”, 观察与分析几何体中线与线的关系是解 题的突破口.

基础梳理 1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理: 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这 个平面垂直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于 这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一直线的两平面平行.

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2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理: 如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂 直. (2)平面与平面垂直的性质 如果两平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平 面.

一个关系 垂直问题的转化关系 线线垂直面面垂直 性质 三类证法 (1)证明线线垂直的方法 ①定义:两条直线所成的角为 90° ; ②平面几何中证明线线垂直的方法; ③线面垂直的性质:a⊥α,b?α?a⊥b; ④线面垂直的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b. (2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直?a⊥α; ②判定定理 1: m、n?α,m∩n=A? ??l⊥α; l⊥m,l⊥n ? 判定 线面垂直 性质 判定

③判定定理 2:a∥b,a⊥α?b⊥α; ④面面平行的性质:α∥β,a⊥α?a⊥β; ⑤面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β. (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角;
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②判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)下列条件中,能判定直线 l⊥平面 α 的是( A.l 与平面 α 内的两条直线垂直 B.l 与平面 α 内无数条直线垂直 C.l 与平面 α 内的某一条直线垂直 D.l 与平面 α 内任意一条直线垂直 解析 由直线与平面垂直的定义,可知 D 正确. 答案 D 2.(2012· 安庆月考)在空间中,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 解析 选项 A,平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线;选项 B,两个相 交平面的交线与某一条直线平行,则这条直线平行于这两个平面;选项 C,两个 相交平面可以同时垂直于同一个平面;选项 D 正确. 答案 D 3.(2012· 兰州模拟)用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c; ③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. 其中真命题的序号是( A.①② B.②③ ). C.①④ D.③④ ). ).

解析 由公理 4 知①是真命题.在空间内 a⊥b,b⊥c,直线 a、c 的关系不确定, 故②是假命题. 由 a∥γ,b∥γ,不能判定 a、b 的关系,故③是假命题.④是直线与平面垂直的 性质定理. 答案 C
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4.(2011· 聊城模拟)设 a、b、c 表示三条不同的直线,α、β 表示两个不同的平面, 则下列命题中不正确的是( A. c⊥α ? ??c⊥β α∥β? ? ??b⊥c c是a在β内的射影? b?β,a⊥b b∥c C. c?α D. b?α??c∥α ).

B.

? ?

a∥α? ??b⊥α b⊥a?

解析 由 a∥α,b⊥α 可得 b 与 α 的位置关系有:b∥α,b?α,b 与 α 相交,所 以 D 不正确. 答案 D

5.如图,已知 PA⊥平面 ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________. 解析 由线面垂直知,图中直角三角形为 4 个. 答案 4

考向一

直线与平面垂直的判定与性质

【例 1】?(2011· 天津改编)如图,

在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45° ,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD.

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证明:AD⊥平面 PAC. [审题视点] 只需证 AD⊥AC,再利用线面垂直的判定定理即可. 证明 ∵∠ADC=45° ,且 AD=AC=1. ∴∠DAC=90° ,即 AD⊥AC, 又 PO⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD, ∴PO⊥AD,而 AC∩PO=O, ∴AD⊥平面 PAC. (1)证明直线和平面垂直的常用方法有:①判定定理;②a∥b,a⊥α?b ⊥α;③α∥β,a⊥α?a⊥β;④面面垂直的性质. (2)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直. 【训练 1】 如图,

已知 BD⊥平面 ABC, 1 MC 綉2BD,AC=BC,N 是棱 AB 的中点. 求证:CN⊥AD. 证明 ∵BD⊥平面 ABC,CN?平面 ABC,∴BD⊥CN. 又∵AC=BC,N 是 AB 的中点. ∴CN⊥AB. 又∵BD∩AB=B, ∴CN⊥平面 ABD. 而 AD?平面 ABD, ∴CN⊥AD. 考向二 【例 2】?如图 平面与平面垂直的判定与性质

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所示,在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边 三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5.M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD. [审题视点] 证明 BD⊥平面 PAD, 根据已知平面 PAD⊥平面 ABCD, 只要证明 BD ⊥AD 即可. 证明 在△ABD 中,由于 AD=4,BD=8,AB=4 5, 所以 AD2+BD2=AB2.故 AD⊥BD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD?平面 ABCD,所 以 BD⊥平面 PAD. 又 BD?平面 MBD,故平面 MBD⊥平面 PAD. 面面垂直的关键是线面垂直,线面垂直的证明方法主要有:判定定理 法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平 面)、面面垂直性质定理法,本题就是用的面面垂直性质定理法,这种方法是证 明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法. 【训练 2】 如图所示,

在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点. 证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M. 证明 ∵A1B1⊥平面 B1C1CB,BM?平面 B1C1CB,∴A1B1⊥BM, 由已知易得 B1M= 2, 又 BM= BC2+CM2= 2,B1B=2, ∴B1M2+BM2=B1B2,∴B1M⊥BM.
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又∵A1B1∩B1M=B1,∴BM⊥平面 A1B1M. 而 BM?平面 ABM,∴平面 ABM⊥平面 A1B1M. 考向三 【例 3】?如图, 平行与垂直关系的综合应用

在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点.求 证: (1)直线 EF∥平面 ACD; (2)平面 EFC⊥平面 BCD. [审题视点] 第(1)问需证明 EF∥AD;第(2)问需证明 BD⊥平面 EFC. 证明 (1)在△ABD 中,因为 E、F 分别是 AB、BD 的中点, 所以 EF∥AD. 又 AD?平面 ACD,EF?平面 ACD, 所以直线 EF∥平面 ACD. (2)在△ABD 中, 因为 AD⊥BD,EF∥AD,所以 EF⊥BD. 在△BCD 中,因为 CD=CB,F 为 BD 的中点, 所以 CF⊥BD. 因为 EF?平面 EFC,CF?平面 EFC, EF 与 CF 交于点 F,所以 BD⊥平面 EFC. 又因为 BD?平面 BCD,所以平面 EFC⊥平面 BCD. 解答立体几何综合题时,要学会识图、用图与作图.图在解题中起着 非常重要的作用,空间平行、垂直关系的证明,都与几何体的结构特征相结合, 准确识图, 灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系 是证明的关键. 【训练 3】 如图,

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正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB= 2,CE= EF=1. (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE. 证明 (1)设 AC 与 BD 交于点 G. 1 因为 EF∥AG,且 EF=1,AG=2AC=1. 所以四边形 AGEF 为平行四边形, 所以 AF∥EG.因为 EG?平面 BDE,AF?平面 BDE, 所以 AF∥平面 BDE. (2)如图,连接 FG.

因为 EF∥CG,EF=CG=1, 且 CE=1, 所以四边形 CEFG 为菱形. 所以 CF⊥EG. 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BD⊥AC. 又因为平面 ACEF⊥平面 ABCD, 且平面 ACEF∩平面 ABCD=AC, 所以 BD⊥平面 ACEF. 所以 CF⊥BD. 又 BD∩EG=G. 所以 CF⊥平面 BDE. 考向四 线面角

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【例 4】?(2012· 无锡模拟)

如图,四棱锥 PABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (1)求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (2)当 PD= 2AB,且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小. [审题视点] (1)转化为证明 AC⊥平面 PDB;(2)AE 与平面 PDB 所成的角即为 AE 与它在平面 PDB 上的射影所成的角. (1)证明

∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD.∵PD⊥底面 ABCD, ∴PD⊥AC.又 PD∩BD=D, ∴AC⊥平面 PDB.又 AC?平面 AEC, ∴平面 AEC⊥平面 PDB. (2)解 设 AC∩BD=O,连接 OE.

由(1)知,AC⊥平面 PDB 于点 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角. 1 ∵点 O、E 分别为 DB、PB 的中点,∴OE∥PD,且 OE=2PD. 又∵PD⊥底面 ABCD,∴OE⊥底面 ABCD,∴OE⊥AO. 1 2 在 Rt△AOE 中,OE=2PD= 2 AB=AO,∴∠AEO=45° . 即 AE 与平面 PDB 所成的角为 45° . 求直线与平面所成的角,一般分为两大步:
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(1)找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成; (2)计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解. 【训练 4】 (2012· 丽水质检)

如图,已知 DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120° , P,Q 分别为 AE,AB 的中点. (1)证明:PQ∥平面 ACD; (2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值. (1)证明 因为 P,Q 分别为 AE,AB 的中点,所以 PQ∥EB.

又 DC∥EB,因此 PQ∥DC,PQ?平面 ACD,DC?平面 ACD,从而 PQ∥平面 ACD. (2)解 如图,连接 CQ,DP.

因为 Q 为 AB 的中点,且 AC=BC, 所以 CQ⊥AB. 因为 DC⊥平面 ABC,EB∥DC, 所以 EB⊥平面 ABC. 因此 CQ⊥EB,又 AB∩EB=B, 故 CQ⊥平面 ABE. 1 由(1)有 PQ∥DC,又 PQ=2EB=DC, 所以四边形 CQPD 为平行四边形,故 DP∥CQ, 因此 DP⊥平面 ABE,∠DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角, 5 在 Rt△DPA 中,AD= 5,DP=1,sin∠DAP= 5 . 5 因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为 5 .
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阅卷报告 11——证明过程推理不严密而丢分 【问题诊断】 高考对空间线面关系的考查每年必有一道解答题,难度为中低档 题,大多数考生会做而得不到全分,往往因为推理不严密,跳步作答所致. 【防范措施】 解题过程要表达准确、格式要符合要求.每步推理要有根有据.计算 题要有明确的计算过程,不可跨度太大,以免漏掉得分点.引入数据要明确、要 写明已知、设等字样.要养成良好的书写习惯. 【示例】?(2011· 江苏)如图,

在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分 别是 AP,AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 错因 在运用判定定理时漏掉关键条件致使推理不严谨致误. 实录 (1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP、AD 的中点,所以 EF∥PD,所以 EF∥平面 PCD. (2)△ABD 为正三角形, ∴BF⊥AD, 又平面 PAD⊥平面 ABCD ∴BF⊥平面 PAD,∴平面 BEF⊥平面 PAD. 正解

(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD,所以直线 EF∥平面 PCD. (2)如图,连结 BD.
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因为 AB=AD,∠BAD=60° , 所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD. 【试一试】 如图

所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,E、F 分别为 PC、 2 BD 的中点,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= 2 AD. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD. [尝试解答] EF∥PA, 又∵PA?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 又∵CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD, (1)连接 AC,则 F 是 AC 的中点,E 为 PC 的中点,故在△CPA 中,

2 ∴CD⊥PA.又 PA=PD= 2 AD, ∴△PAD 是等腰直角三角形, π 且∠APD=2,即 PA⊥PD. 又∵CD∩PD=D,∴PA⊥平面 PCD.
又∵PA?平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 PCD.

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