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幂函数的图像与性质


【知识结构】
1.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂: a n ? n a m (a ? 0, m、n ? N ? , 且n ? 1) ; ②正数的负分数指数幂: a
? m n

m

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m、n ? N ? , 且n ? 1)

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.
? ? 3 ? 4 [(3 ) 3 (5 ) 0.5 ? (0.008) 3 ? (0.02) 2 ? (0.32) 2 ] ? 0.06250.25 9 例 2 (1)计算: 8 ; 2 2 1 1

4

1

a 3 ? 8a 3 b
(2)化简: 4b ? 2 ab ? a
3 2 3 2 3

? (a

?

2 3

?

23 b a ? 3 a2 )? 5 a a ?3 a

变式: (2007 执信 A)化简下列各式(其中各字母均为正数):

(a 3 ? b ?1 ) 2 ? a 2 ? b 3
(1)
6

2

?

1

1

1

a ? b5

2 1 1 ? 5 1 ; (2) a 3 ? b?2 ? (?3a 2 b?1 ) ? (4a 3 ? b?3 ) 2 . 6

1 ? 7 2 2 1.5 3 ? (? )0 ? 80.25 ? 4 2 ? ( 3 2 ? 3)6 ? ( ) 3 6 3 (3)

(三)幂函数 1、幂函数的定义 形如 y=xα (a∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数 注: 幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底 数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例 1.下列函数中不是幂函数的是( A. y ? x B. y ? x
3

) D. y ? x
?1

C. y ? 2 x

例 2.已知函数 f ? x ? ? ? m 2 ? m ? 1? x ?5 m?3 ,当 m 为何值时, f ? x ? : (1)是幂函数; (2)是幂函数,且是 ? 0, ?? ? 上的增函数; (3)是正比例函数; (4)是反比例函数; (5)是二次函数;

? ∞) 时为减函数,则幂函数 变式 已知幂函数 y ? (m2 ? m ? 1)xm ? 2m? 3 ,当 x ? (0,
y ? _______ .

2

2.幂函数的图像 幂函数 y=xα 的图象由于 α 的值不同而不同. α 的正负:α>0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; α<0 时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立;

3、幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3

y?x

1 2

y=x-1

定义域 值域 奇偶性 单调性

R R 奇 增

R [0, ?? )

R R

[0, ?? ) [0, ?? ) 非奇非偶 增

?x | x ? R且x ? 0?
? y | y ? R且y ? 0?
奇 x ∈ (0,+ ? ) 时, 减; x∈(- ? ,0)时, 减

偶 奇 x∈[0, ?? )时, 增 增; x∈ (??, 0] 时,减

定点
1 1

(1,1)

例 3.比较大小:
3 0.5 1.52 ,1.7 2 (2)(?1.2)3 ,(?1.25)3(3) 5.25?1,5.26?1,5.26?2(4)0.5 ,3 ,log3 0.5 (1)

4.幂函数的性质及其应用 幂函数 y=xα 有下列性质: (1) 单调性:当 α>0 时,函数在(0,+∞)上单调递增; 当 α<0 时,函数在(0,+∞)上单调递减. (2)奇偶性:幂函数中既有奇函数,又有偶函数,也有非奇非偶函数,可以用函 数奇偶性的定义进行判断. 例 4.已知幂函数 y ? x 原点对称,求 m 的值.
m2 ?2 m?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于

例 5.已知幂函数 y ? xm?2 (m ? N) 的图象与 x, y 轴都无交点,且关于 y 轴对称,求

m 的值,并画出它的图象.

变式:已知幂函数 f(x)=x m

2

? 2 m ?3

(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单
f(x) ? b 的奇偶性. xf(x)

调减函数.(1)求函数 f(x);

(2)讨论 F(x)=a

5.规律方法 (1) .幂函数 y=xα(α=0,1)的图象

(2).幂函数 y ? x a (a ?

q q , p, q ? N ? , 为最简分式) 的图象 p p

6.性质: (1)幂函数的图象都过点 (2)当 a ? 0 时,幂函数在 [0, ??) 上 上 ;
1 ;当 a ? ?1,1, 3, 时,幂函数 3

;任何幂函数都不过

象限;

;当 a ? 0 时,幂函数在 (0, ??)

(3)当 a ? ?2, 2 时,幂函数是 是 .

例 6 右图为幂函数 y ? x? 在第一象限的图像, 则 a, b, c, d 的大小关系是
( A) a ? b ? c ? d (C ) a ? b ? d ? c

y




( B) b ? a ? d ? c ( D) a ? d ? c ? b
O

y ? xa y ? xb y ? xc
x

例 7 若点错误!未找到引用源。在幂函数错误!未找到引用源。的图象上,点 错误!未找到引用源。在幂函数错误!未找到引用源。的图象上,定义错误!未 找到引用源。 ,试求函数错误!未找到引用源。的最大值以及单调区间。 例 8 若函数错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上是递减函数, 求实数错误!未找到引用源。的取值范围。

【巩固练习】 1.在函数 y ? A.0
1 , y ? 3x 2 , y ? x 2 ? x, y ? x 0 中,幂函数的个数为 3 x B.1 C .2 D.3

(

)

2、幂函数的图象都经过点( A. (1,1) B . (0,1)
? 5 2

) C. (0,0) ) C.R D.(-?,0)U (0,+?) ( ) D.不能确定 ( ) D.不能确定 ) D . (1,0)

3、幂函数 y ? x A.(0,+?)

的定义域为( B.[0,+?)

4.若幂函数 f ? x ? ? xa 在 ? 0, ??? 上是增函数,则 A. a >0 B. a <0 C. a =0

5.若幂函数 f ? x ? ? xm?1 在(0,+∞)上是减函数,则 A. m >1 B. m <1 C. m =l

6.若函数 f(x)=x3(x∈R),则函数 y=f(-x)在其定义域上是( A.单调递减的偶函数 C.单调递增的偶函数 B.单调递减的奇函数 D.单调递增的奇函数

7.已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表:

x f(x
) 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是( A.{x|-4≤x≤4} C.{x|- 2≤x≤ 2} 8. 如果幂函数 y=(m2-3m+3) A.-1≤m≤2 C.m=2

1

1 2 2 2 )

1

B.{x|0≤x≤4} D.{x|0<x≤ 2} 的图象不过原点, 则 m 的取值是( )

B.m=1 或 m=2 D.m=1

9、当 x∈(1,+∞)时,函数)y= x a 的图象恒在直线 y=x 的下方,则 a 的取 值范围是 A、a<1 B、0<a<1 C、a>0 D、a<0

二、填空题: 11、若 (a+1)
- 1 2 3 2

< (3a-2)

1 - 2

,则 a 的取值范围是____;

12.函数 y ? x (A)

?

的定义域为___________. (C) (D) (E) (F)

(B)

1? ? 13.幂函数 y=f(x)的图象经过点?-2,- ?,则满足 f(x)=27 的 8? ?

x 的值是________.
14.已知 a= 5-1 ,函数 f(x)=ax,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m, 2

n 的大小关系为________.

幂函数的性质与图像测试
一、填空题
? 2 ? 1. 若 幂 函 数 y ? f ? x ? 的 图 像 过 点 ? ? 2 ,2? ? , 则 函 数 y ? f ? x? 的 解 析 式 为 ? ?

__________. 2.已知函数 f ? x ? ? ? m 2 ? 4m ? 4 ? x m
2
2

? m ?1

是幂函数,则实数 m 的值为__________.

3.幂函数 y ? xn ?2n?3 ? n ? N ? 的图像与两坐标无交点且关于 y 轴对称,则 n 的值 等于_________.
1 1 1 ? ? 4. 设 a ? ??2, ?1, ? , , ,1, 2,3? ,已知幂函数 f ? x? ? x? 是偶函数,且在区间 2 3 2 ? ?

? 0, ??? 上是减函数,则满足要求的 ? 值的个数是__________.
5.已知函数 f ? x ? ?
a?x 的图像的对称中心是 ? 3, ?1? ,则函数 f ? x ? 的单调递 x ? a ?1 减区间是_________.

6.已知幂函数 y ? x? ?? ? R? 的图像当 0 ? x ? 1 时,在直线 y ? x 的上方;当 x ? 1 时在直线 y ? x 的下方,则 ? 的取值范围是__________. 7. 函数 y ? x ? 1 的图像可以看成由幂函数 y ? x 2 的图像向 __________ 平移
1

________个单位. 8.已知 ? x ? 1? 二、选择题 9.如图, M 、 N 、 P 、 Q 分别为幂函数图像上的点,且他们的纵坐标相同,若 四个幂函数为① y ? x ;② y ? x ;③ y ? x ;④ y ? x ,则 M 、 N 、 P 、
Q 与四个函数序号的对应顺序只可能是(
?3 ?2
? 2 3 ? 1 3 ? 1 3

? ? 3 ? 2 x ? 3 ,则实数 x 的取值范围是_________.
?

1

).

(A)①②③④ (C)②①③④

(B)②③④① (D)③②①④ ).

10.下列函数中,是奇函数且在 ? 0, ??? 上是增函数的是( (A) y ? x (C) y ? x
? 5 3

(B) y ? x 3 (D) y ? x
4 3

5

5 4

11.当 x ? ?1, ?? ? 时,下列函数的图像全在直线 y ? x 下方且为偶函数的是( (A) y ? x 2
1

).

(B) y ? x ?4

(C) y ? x4

(D) y ? x ?1

12.设 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 是两个不同的幂函数,集合 M ? ?x | f ? x ? ? g ? x ?? ,则 集合 M 中元素的个数是( (A)1 或 2 或 0 (C)1 或 2 或 3 或 4 三、解答题
2

) (B) 1 或 2 或 3 (D)0 或 1 或 2 或 3

13.研究函数 y ? x 3 的定义域、值域、奇偶性和单调性,并画出其大致图像.


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